Билеты по геометрии

БИЛЕТ 1

А₁ Какова бы ни была плоскость, существуют точки принадлежащие этой плоскости

и точки, не принадлежащие ей.

А₂ Если две различные плоскости имеют общуюточку, то они пересекаются по прямой.

БИЛЕТ 2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Док-во: проведем ч/з а и М плоскость a, а ч/з М в плоскости a прямую b|| a. Докажем, что b|| a единственна.

Допустим, что существует другая прямая b₂|| a, и проходящая ч/з т.М. Через b₂ и а можно провести плоскость a₂, которая проходит ч/з М и а, след-но, по Т.14.1(ЧЕРЕЗ ПРЯМ. И ТОЧКУ НЕ ЛЕЖ. НА ЭТОЙ ПРЯМОЙ МОЖНО ПРОВЕСТИ ПЛОСКОСТЬ И ПРИТОМ ТОЛЬКО ОДНУ) она совпадает с a. По аксиоме о параллельных прямых b₂ и а совпадают. Ч.Т.Д.

БИЛЕТ 3

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

ТЕОРЕМА. Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Док-во: Пусть a-плоскость, а - не лежащая в ней прямая и а₁ - прямая в плоскости a,параллельная прямой а.

Проведем плоскость a₁ ч/з прямые а и а₁.

Она отлична от a, т.к. прямая а не лежит в плоскости a. Плоскости a и a₁ пересекаются по прямой а₁. Если бы прямая а пересекала плоскость a, то точка пересечения принадлежала бы прямой а₁. Но это невозможно, т.к. прямые а и а₁ параллельны. Итак, прямая а не пересекает плоскость a, а значит, параллельна плоскости a. Ч.Т.Д.

БИЛЕТ 4

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

ТЕОРЕМА. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Док-во: Рассмотрим две плоскости a и b. В плоскости a лежат пересекающиеся в т.М прямые a и b, а в b - прямые а₁ и b₁, причем а|| а₁ и b|| b₁.

Докажем, что плоскоскоти a и b не параллельны. Тогда они перес. по прямой с. Мы получили, что плоскость a проходит ч/з прямую а, параллельную плоскости b, и пересекает плоскость b по прямой с. Отсюда следует, что а|| с.

Но плоскость a проходит также ч/з прямую b, параллельную плоскости b. Поэтому b || с. Таким обр. ч/з т.М проходят две прямые а и b, || с. Но это невозможно, т.к. по теореме о параллельных прямых ч/з т. М проходит только

БИЛЕТ 5

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Для док-ва данного св-ва рассмотрим прямые а и b , по которым параллельные плоскости a и b пересекаются с плоскостью j. Докажем, что а|| b.

Эти прямые лежат в одной плоскости (j) и не пересекаются. В самом деле, если бы прямые а и b пересекались, то пл. a и b имели бы общ. точку, что невозможно, т.к. a||b. Итак, прямые а и b лежат в одной плоскости и не пересекаются, а|| b.

2. V_{пирамиды}= 1/3*S_осн.*H

БИЛЕТ 6

Отрезки параллельных прямых, заключенные м/у параллельными плоскостями, равны.

Для док-ва рассмотрим отрезки АВ и СD двух параллельных прямых, заключенные м/у параллельными плоскостями a и b. Докажем, АВ=СD. Плоскость j, проходящая ч/з параллельные прямые АВ и СD, пересекается с плоскостями a и b по параллельным прямым АС и ВD. Таким образом, в четырехугольнике ABDC противолеж. стор. паралл., т.е. ABDC-параллел-м

Но в пар-ме прот. леж. стороны равны, значит AB=CD.

S_п.п.=2pR(H+R)

БИЛЕТ 7

1⁰Проекция прямой есть прямая.

2⁰ Проекция отрезка есть отрезок.

3⁰ Проекции параллельных отрезков - параллельные отрезки или отрезки, принадлеж.

одной прямой.

4⁰ Проекции параллельных отрезков, а также проекцииотрезков, лежащих на одной прямой, пропорциональны самим отрезкам.

Из св-ва 4⁰ следует, что проекция середины отрезка есть середина проекции отрезка.

БИЛЕТ 8

Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

ТЕОРЕМА: Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

БИЛЕТ 9

ТЕОРЕМА: Прямая, проведенная в плоскости ч/з основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной

Док-во: AH - перпенд. к плоскости a, AM - наклонная, а – прямая проведенная в плоск. a ч/з точку M перпенд к проекцииHM наклонной.

Рассмотрим плоск. AMH. Прямая а^этой плоскости, т.к. она ^ к двум пересекающимся прямым AH и MH. Отсюда след. что прямая а перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости AMH, в частности а^AM. Ч.Т.Д.

БИЛЕТ 10

ТЕОРЕМА: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Док-во: Рассмотрим две параллельные прямые а и а₁ и плоскость a, такую, что а^a. Докажем, что и а₁^a.

Проведем какую-нибудь прямую х в плоскости a.

Так как а^a, то а^х. Таким образом, прямая а₁ перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости a, т.е. а₁^a. Ч.Т.Д.

V_{паралл-да}=abc=S_осн.*H

БИЛЕТ 12

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол м/у ними равен 90⁰.

ТЕОРЕМА: Если одна из двух плоскостей проходит ч/з прямую,перпендикулярную к др.

плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Док-во: Рассмотрим плоскости a и b такие, что плоскость a проходит ч/з прямую АВ, перпендикулярную к плоскости b и пересекающуюся с ней в точке А. Докажем, что a^b. Плоскости a и b пересекаются по прямой АС, причем АВ^АС, Т.к. по усл. АВ^b, и, значит, прямая АВ^ к любой прямой, лежащей в плоскости b.

Проведем в плоскости b прямую АD,^АС. Тогда ÐBAD - линейный угол двугранного угла, образованного при пересечении плоскостей a и b. Но ÐBAD=90⁰ (т.к. AB^b). След-но, угол м/у плоскостями a и b равен 90⁰, т.е. a^b. Ч.Т.Д.

S_бок=P*a (а - бок. ребро, Р-периметр)

БИЛЕТ 11

ТЕОРЕМА: Если две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны.

Док-во: Рассмотрим прямые а и b, перпендикулярные к плоскости a. Докажем, что а½½b.

Через какую-нибудь точку М прямой b проведем прямую b₁, параллельную прямой a. Докажем, что прямая b₁ совпадает с прямой b. Тем самым будет доказано, что a½½ b. Допустим, что прямые b и b₁ не совпадают. Тогда в плоскости b, содержащей прямые b и b₁, ч/з точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой c, по которой пересекаются плоскости a и b. Но это невозможно, след-но, a½½ b. Ч.Т.Д.

БИЛЕТ 13

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Расстояние м/у одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей ч/з другую прямую параллельно первой, называется расстоянием м/у скрещивающимися прямыми.

S_полн=S_бок+2S_осн ; S_бок=P*H(ребро)

БИЛЕТ 14

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае наклонной.

ТЕОРЕМА: Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Док-во: Бок.грани прямой призмы - прямоугольники, основания которых - стороны основания призмы, а высоты равны высоте h призмы. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей указанных прямоугольников, т.е. равна сумме произведений сторон основания на высоту h. Вынося множитель h за скобки, получим в скобках сумму сторон основания призмы, т.е. его периметр Р. Итак, S_бок=P*h. Ч.Т.Д.

БИЛЕТ 15

Рассмотрим два равных параллелограмма ABCD и A₁B₁C₁D₁, расположенных в плоскостях так, что отрезки AA₁,BB₁,CC₁, и DD₁ параллельны.

Поверхность составленная из двух равных параллелограммов ABCD и A₁B₁C₁D₁ и четырех параллелограммов называется параллелепипедом м обозначается ABCDA₁..D₁.

Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, называются гранями, их стороны - ребрами, а вершины параллелограммов - вершинами параллелепипеда.

ТЕОРЕМА: Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Док-во: Рассмотрим четырехугольник A₁D₁CB, диагонали которого являются диагоналями параллелепипеда ABCDA₁..D₁. Т.к. A₁D₁½½ BC и

A₁D₁=BC, то A₁D₁CB - параллелограмм. Поэтому диагонали A₁C и D₁B пересекаются в некоторой точке О и этой точкой делятся пополам.

БИЛЕТ 16

ТЕОРЕМА: Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.

Док-во: Докажем равенство граней ABB₁A₁ и DCC₁D параллелепипеда ABCA₁..D₁. Т.к. ABCD и ADD₁A₁ - параллелограммы, то AB½½DC и AA₁½½DD₁. Таким обр., две пересекающиеся прямые AB и AA₁ одной грани соответственно параллельны двум прямым CD и DD₁ другой грани. Отсюда по признаку параллельности плоск. следует, что грани ABB₁A₁ и DCC₁D₁ параллельны.

Докажем равенство этих граней. Т.к. все грани параллелепипеда - параллелограммы, то AB=DC и AA₁=DD₁. По той же причине стороны углов A₁AB и D₁DC соответственно сонаправлены, и, значит, эти углы равны. Таким обр., две смежные стороны и Ð м/у ними паралл-ма ABB₁A₁ соотв. равны двум смежным сторонам у Ð м/у ними пар-ма DCC₁D₁, поэтому эти параллелограммы равны

БИЛЕТ 17

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Параллелепипед называется прямоугольным , если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.

ТЕОРЕМА: Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

Док-во: Докажем, что AC₁²=AB²+AD²+AA₁² Так как ребро CC₁ перпендикулярно к основанию ABCD, то ÐACC₁-прямой.

Из прямоугольного треугольника ACC₁ по теореме Пифагора получаем AC₁²=AC²+CC₁².

Но AC -диагональ прямоугольника ABCD, поэтому AC²=AB²+AD². Кроме того, CC₁=AA₁.

След-но AC₁²=AB²+AD²+AA₁² Ч.Т.Д.

БИЛЕТ 18

Рассмотрим многоугольник A₁A₂..A_n и точку P не лежащую в плоскости этого многоугольника. Соединив точку P отрезками с вершинами многоугольника, получим n треугольников: PA₁A₂,PA₂A₃,...,PA_nA₁.

Многогранник, составленный из n-угольника A₁A₂..A_n и n треугольников, называется пирамидой

Многоугольник A₁A₂..A_n называется основанием, а треугольники - боковыми гранями пирамиды. Точка P называется вершиной пирамиды, а отрезки PA₁, PA₂, ..., Pa_n - ее боковыми ребрами.

ТЕОРЕМА: Плоскость, параллельная основанию пирамиды и пересекающая ее, отсекает подобную пирамиду.

Док-во: S-вершина пирамид A - верш.основания и A¹ - точка пересечения секущей плоскости с боковым ребр. SA. Подвергнем пирамиду преобразованию гомотетии относительно вершины S с коэф. гомотет. k=SA¹/SA

При этом плоск-ть основания переходит в паралл. плоск-ть, проходящую ч/з точку A¹, т.е. в секущую плоскость, а след-но, вся пирамида - в отсекаемую это плоскостью часть. Т.к. гомотет. есть преобразование подобия, то отсек. часть явл пирамид., подобной данной. Ч.Т.Д.

БИЛЕТ 19

ТЕОРЕМА: Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Док-во: Боковые грани правидьной пирамиды - равные равнобедренные треугольники, основания которых - стороны основания пирамиды, а высоты равны апофеме. Площадь S боковой поверхности пирамиды равна сумме произведений сторон основания на половину апофемы d. Вынося множитель 1/2*d за скобки, получим в скобках сумму сторон основания пирамиды, т.е. его периметр. Ч.Т.Д.

БИЛЕТ 20

ТЕОРЕМА: Объем призмы равен произведению площади основания на высоту.

Док-во: 1) Рассмотрим прямую треуг. призму ABCA₁B₁C₁ с объемом V и высотой h. Проведем такую высоту треугольника ABC отрез.BD, которая разделяет этот треуг. на два треуг.

Плоскость BB₁D разделяет данную призму на две приз., основаниями которых явл. прямоугольные треуг. ABD и BDC. Поэтому объемы V₁ и V₂ этих призм соответственно равны

S_abdh и S_bdch. V=V₁+V₂, т.е. V=S_abdh+S_bdch=(S_abd+S_bdc)h. Таким обр., V=S_abch

2) Докажем теорему для произвольной призмы с высотой h и площ. основания S. Такую призму можно разбить на прямые треуг. призмы с высотой h.

Выразим объем каждой приз. по формуле (1) и сложим эти объемы. Вынося за скобки множитель h, получим в скобках сумму площадей оснований треугольных призм, т.е площадь S основания исходной призмы. Таким образом, объем призмы равен Sh. Ч.Т.Д.

За площадь боковой поверхности цилиндра принимают площадь ее развертки.

Так как площадь прямоугольника ABB¹A¹ равна AA¹*AB=2prh, то для вычислений площади боковой поверхности цилиндра радиуса r и высоты h получается формула S_бок=2prh

Итак, площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра.

БИЛЕТ 22

ТЕОРЕМА: Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Док-во: Рассмотрим конус с объемом V. Произвольн. сечение конуса плоскостью перпендикулярной к оси Ox, является кругом с центром в т.M₁ пересечения этой плоскости с осью Ox.

Обозначим радиус этого круга ч/з R₁, а площадь сечения ч/з S(x), где x- абсцисса точки M₁. Из подобия прямоугольных треугольников OM₁A₁ и OMA следует, что OM₁/OM=R₁/R, или x/h=R₁/R, откуда R₁=xR/h.

Так как S(x)=pR₁², то S(x)=pR²x²/h².

Применяя основную формулу для вычисления объемов тел получаем:

Площадь S основания конуса равна pR², поэтому

V=1/3Sh Ч.Т..Д.