Всё сдал! - помощь студентам онлайн Всё сдал! - помощь студентам онлайн

Реальная база готовых
студенческих работ

Узнайте стоимость индивидуальной работы!

Вы нашли то, что искали?

Вы нашли то, что искали?

Да, спасибо!

0%

Нет, пока не нашел

0%

Узнайте стоимость индивидуальной работы

это быстро и бесплатно

Получите скидку

Оформите заказ сейчас и получите скидку 100 руб.!


Преобразование Фурье

Тип Реферат
Предмет Математика
Просмотров
1308
Размер файла
109 б
Поделиться

Ознакомительный фрагмент работы:

Преобразование Фурье

Kalmiik-forever

Глава I

Преобразование Фурье.

§1. Класс Шварца.

Преобразование Фурье отображает класс Шварца на себя.

Определение. Следующее множество комплекснозначных функций действительного переменного называется классом Шварца.

.

Класс Шварца иногда называют классом быстро убывающих функций.

Операции обычного сложения и умножения функции на число превращают класс Шварца в линейное векторное пространство:

"j,yÎS(R), a, bÎКвыполнено aj+byÎS(R).

Отметим несколько простых свойств функций из класса Шварца.

1) Если j(x)ÎS(R),то

2) Если j(x)ÎS(R),то j(x) ограничена на R.

3) Еслиj(x)ÎS(R),тоy(x)=xj(x)ÎS.

4) Если j(x)ÎS(R) и P(x) – многочлен, то P(x)j(x)ÎS.

5) Если j(x)ÎS(R),то .

Доказательство. Первые два свойства сразу следуют из неравенств

.

Докажем свойство 3). Во первых, y=xjÎC(R). Далее,

.

Свойство 4) получается из 3) последовательным применением. В самом деле, если P(x)=a0+a1x+…+anxn, то по свойству 3) имеем xijÎS(R), потому функция P(x)j(x)=a0j+a1(xj)+a2(x2j)+…+an(xnj) принадлежит классу Шварца ввиду его линейности.

Свойство 5) доказывается аналогично свойству 3).

§2. Одномерное преобразование Фурье.

Определение. Функция

(1)

называется преобразованием Фурье функции j(x) и обозначается F[j]. Ясно, что не для всякой функции j(x) интеграл (1) сходится, и потому не для всякой функции определено преобразование Фурье.

Если (интеграл Лебега), то будем говорить, что j принадлежит пространству L1(R).

Предложение 1. Преобразование Фурье функции j(x) из L1(R) определено и ограничено по модулю на действительной оси.

Доказательство следует из равенства и (1):

Следствие. Преобразование Фурье определено для функций jÎS(R).

Доказательство. Достаточно доказать, что S(R)ÌL1(R). Заметим, что если jÎS(R), то по свойству 4) функция (1+x2)jÎS(R) и, следовательно, ограничена, а (1+x2)-1ÎL1(R). Поэтому функция (1+x2)j(1+x2)-1ÎL1(R).

§3. Свойства преобразований Фурье функций из S(R).

1)

Доказательство получается дифференцированием в (1) под знаком интеграла. Это законно, так как интеграл, полученный после дифференцирования, мажорируется интегралом

сходимость которого вытекает из свойства 3): xj(x)ÎS(R)ÌL1(R).

2) Если jÎS(R), то F[j]ÎC¥(R).

Так как -ixjÎS, то доказательство немедленно вытекает из 1).

3)

Доказательство. Очевидно

теперь можно интегрировать по частям

Это и доказывает свойство 3).

Предложение 2. Преобразование Фурье функции из класса Шварца есть снова функция из класса Шварца.

Доказательство. Многократно применяя свойства 1) и 3), устанавливаем

По свойствам 4) и 5) класса Шварца функция

лежит в классе Шварца SÌL1 , и тогда, по предложению пункта 2, функция ограничена некоторой постоянной, которую мы обозначим Cn,m. Предложение доказано.

§4. Обратное преобразование Фурье.

Определение. Функция

называется обратным преобразованием Фурье функции j(y) и обозначается F-1[j].

Нетрудно проверить, что обратное преобразование Фурье функций из S(R) обладает свойствами, аналогичными прямому:

1)

2)

3)

Докажем, что F-1[F[j]]=j для любой функции jÎS. Для этого потребуется

Лемма. Пусть непрерывная функция h(y)ÎL1(R) имеет почти всюду ограниченную производную. Пусть

такой набор точек, что на интервалах (yi,yi+1) функция h класса C2, i=1,2,…,n. Тогда для всех x, отличных от yi, i=1,2,…,n+1, справедливо соотношение

Доказательство. Так как h(y)ÎL1 , то для всякого e>0 найдется такое А, что

при всех t>0. Заметим, что

(3)

Тогда

Второе слагаемое в (4) заменой z= t(x - y) приводится к виду

и, следовательно, стремится к нулю при в силу сходимости интеграла (3). Для доказательства леммы осталось показать, что первое слагаемое в (4) также стремится .

Введем обозначение

Если h класса C2 в окрестности точки x, то из равенства

следует дифференцируемость функции g(y) в точке y = x. Итак, g(y) – кусочно-диференцируемая функция. Интегрируя по частям, устанавливаем

при Лемма доказана.

Предложение 3.F-1[F[j]]=j для любого jÎS(R).

Доказательство.

Внутренний интеграл сходится равномерно по yÎ[-n, n], поэтому возможна замена порядка интегрирования.

Теперь утверждение следует из леммы.

Из доказанного предложения вытекает, что преобразование Фурье взаимно-однозначно отображает класс Шварца в себя. Покажем что это отображение “на”. Определим оператор J переводящий функцию j(x) в функцию j(-x). Тогда очевидно равенство F=2pJF-1, откуда, умножая справа на FJ/2p и используясь равенством JJ=1, будем иметь , где 1 справа надо понимать как тождественное отображение в S(R). Последнее равенство означает, что любая функция из S(R) есть преобразование Фурье некоторой функции.

§5. Класс Шварца в многомерном случае.

Мультииндексом a=(a1,…,an) будем называть набор из неотрицательных целых чисел. Порядком мультииндекса будем называть число


Глава II

Задача Коши для уравнения теплопроводности.

§1. Постановка задачи коши для уравнения теплопроводности.

Требуется найти функцию u(x,t), непрерывную при t0 и xR и класса C2 при t>0, удовлетворяющую уравнению

(1)

при t>0, xR и начальному условию

u(x,0)=j(x). (2)

Задача (1),(2) имеет, вообще говоря, много решений. Поэтому обычно накладывают дополнительное условие, которому должно удовлетворять решение.

Теорема (Тихонова). Пусть u(x,t) – решение задачи (1),(2) с функцией j(x)º0. Пусть "e>0 существует постоянная C>0 такая, что

при всех xÎR и t³0. Тогда uº0.

Из этой теоремы следует, что при среди функций, растущих, грубо говоря, медленнее чем при любом e>0, не может найтись более одного решения задачи (1),(2).

Эту теорему мы приводим без доказательства, но ниже докажем теорему единственности при более сильных ограничениях.

§2. Формальный поиск решения.

Применим преобразование Фурье

(3)

Выкладки этого пункта будем проделывать, не заботясь об обосновании. Дифференцируя (3) по t, устанавливаем:

Кроме того, по свойству 3) преобразования Фурье

Учитывая (1), имеем

(4)

Решая это обыкновенное дифференциальное уравнение с параметром y, находим

Где g(y) – произвольная функция. Используя (2), определяем g(y):

§3. Решение задачи Коши с начальной функцией из класса Шварца.

Теорема 2. Если jÎS(R), то формула

(5)

дает решение задачи (1), (2), бесконечно дифференцируемое при t³0.

Доказательство. Так как , то при любом t³0 и обратное преобразование Фурье в формуле (5) определено. Дифференцируя (5) по t, имеем

(6)

так как , то интеграл (6) сходится равномерно при t³0, и дифференцирование законно. Совершенно так же доказывается бесконечная дифференцируемость функции u(x,t) по t и x.

Дифференцируя (5) дважды по x, устанавливаем:

(7)

Из формул (6),(7) вытекает, что функция u(x,t) удовлетворяет уравнению (1). Справедливость условия (2) очевидна. Теорема доказана.

§4. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности.

Преобразуем формулу (5) к более удобному ”явному” виду. Для этого запишем ее в интегралах

меняем порядок интегрирования

(8)

В формуле (8) внутренний интеграл есть преобразование Фурье от функции при значении аргумента –(x-z), поэтому из (9.2) имеем

Подставляя это в (8), получим

(9)

Функцию

называют фундаментальным решением уравнения теплопроводности. Легко проверяются следующие свойства этой функции:

§5. Решение задачи с непрерывной ограниченной начальной функцией.

Теорема 3. Пусть j(z) ограничена и непрерывна на вещественной оси. Тогда формула (9) дает решение задачи (1),(2).

Доказательство. Продифференцируем (9) под знаком интеграла

(10)

Чтобы обосновать законность такого дифференцирования, достаточно показать равномерную сходимость по x интеграла (10), для чего произведем замену

Из ограниченности функции j следует равномерная сходимость интеграла как по xÎR, так и по t>e.

Совершенно так же доказывается бесконечная дифференцируемость функции u(x, t) по x и t при t>0. Из свойства 3) фундаментального решения следует, что u есть решение уравнения (1).

Для доказательства (2) снова сделаем замену переменной интегрирования в (9):

Так как последний интеграл сходится равномерно по x и t, то возможен предельный переход под знаком интеграла

Теорема доказана.

§6. Единственность решения в классе ограниченных функций.

Теорема 4. Пусть ограниченная функция u(x, t) является решением задачи (1), (2) с начальной функцией jº0. Тогда u(x, t)º0.

Доказательство. Рассмотрим функцию

u(x, t)=e(x2+3a2t)+du(x, t),

где e>0, d - любого знака. Легко проверить, что

(11)

Так как функция u ограничена, то функция v(x, y) в области t>0 достигает минимума в некоторой точке (x0, t0). Покажем, что v(x0, t0)³0. Пусть, напротив v(x0, t0)<0. Тогда, очевидно, t0>0, так как v(x, 0)º0. Как необходимые условия минимума имеем соотношения

которые противоречат (11).

Итак, v(x, t)³0 при всех x и t³0. При фиксированных x и t,переходя к пределу при e®0 в неравенстве

e(x2+3a2t)+du(x, t)³0,

получаем du(x, y)³0. Ввиду произвольности знака d отсюда следует u=0.Теорема доказана


Нет нужной работы в каталоге?

Сделайте индивидуальный заказ на нашем сервисе. Там эксперты помогают с учебой без посредников Разместите задание – сайт бесплатно отправит его исполнителя, и они предложат цены.

Цены ниже, чем в агентствах и у конкурентов

Вы работаете с экспертами напрямую. Поэтому стоимость работ приятно вас удивит

Бесплатные доработки и консультации

Исполнитель внесет нужные правки в работу по вашему требованию без доплат. Корректировки в максимально короткие сроки

Гарантируем возврат

Если работа вас не устроит – мы вернем 100% суммы заказа

Техподдержка 7 дней в неделю

Наши менеджеры всегда на связи и оперативно решат любую проблему

Строгий отбор экспертов

К работе допускаются только проверенные специалисты с высшим образованием. Проверяем диплом на оценки «хорошо» и «отлично»

1 000 +
Новых работ ежедневно
computer

Требуются доработки?
Они включены в стоимость работы

Работы выполняют эксперты в своём деле. Они ценят свою репутацию, поэтому результат выполненной работы гарантирован

avatar
Математика
История
Экономика
icon
147565
рейтинг
icon
3126
работ сдано
icon
1349
отзывов
avatar
Математика
Физика
История
icon
142374
рейтинг
icon
5881
работ сдано
icon
2654
отзывов
avatar
Химия
Экономика
Биология
icon
95295
рейтинг
icon
2031
работ сдано
icon
1273
отзывов
avatar
Высшая математика
Информатика
Геодезия
icon
62710
рейтинг
icon
1046
работ сдано
icon
598
отзывов
Отзывы студентов о нашей работе
54 129 оценок star star star star star
среднее 4.9 из 5
Санкт-Петербургский институт ФСБ России
Полный отзыв дам позже, после принятия реферата в вузе. Ну а на данном этапе все отлично.
star star star star star
ТИ им. А. П. Чехова
Все было выполнено качественно. Никаких замечаний. Было приятно сотрудничать.
star star star star star
БГИТА БРЯНСК
Спасибо за выполненную работу досрочно! Все изложено понятно и в полном объёме
star star star star star

Последние размещённые задания

Ежедневно эксперты готовы работать над 1000 заданиями. Контролируйте процесс написания работы в режиме онлайн

только что

оформить презентацию в PowerPoint

Презентация, Экономика образовательной организации

Срок сдачи к 15 сент.

только что
3 минуты назад

мастер и маргарита

Сочинение, Русская литература

Срок сдачи к 20 сент.

3 минуты назад

Россия - демократическое государство

Реферат, конституционное право

Срок сдачи к 11 сент.

3 минуты назад

Задание на фото.

Контрольная, Цифровая обработка сигнала, электротехника

Срок сдачи к 12 сент.

4 минуты назад

Эволюция парольной аутентификации в ОС Unix

Реферат, Информационные технологии

Срок сдачи к 14 сент.

5 минут назад

Практические задания

Решение задач, Предпринимательская деятельность. Привлечение инвестиций в проект

Срок сдачи к 10 сент.

5 минут назад

«Бизнес-модели инновационного развития компаний»

Курсовая, Кафедра экономики инновационного развития

Срок сдачи к 11 сент.

5 минут назад

Решить вариант 10

Контрольная, Криминалистика

Срок сдачи к 22 сент.

6 минут назад
7 минут назад

Сделать 1-ну лабораторную

Лабораторная, Сетевое програмирование

Срок сдачи к 12 сент.

7 минут назад

Нужно решить второй вариант (обе задачи)

Решение задач, уравнения математической физики

Срок сдачи к 16 сент.

7 минут назад

Сделать курсовую работу под номером 18

Курсовая, административная деятельность

Срок сдачи к 22 сент.

7 минут назад

Нужно сделать простое задание из задач для...

Решение задач, 1с предприятие, торговое дело

Срок сдачи к 10 сент.

8 минут назад

Диплом

Диплом, Наземные транспортные средства

Срок сдачи к 1 нояб.

9 минут назад
9 минут назад

Проблема перевода французских политических дебатов

Курсовая, Французский язык

Срок сдачи к 30 окт.

12 минут назад
planes planes
Закажи индивидуальную работу за 1 минуту!

Размещенные на сайт контрольные, курсовые и иные категории работ (далее — Работы) и их содержимое предназначены исключительно для ознакомления, без целей коммерческого использования. Все права в отношении Работ и их содержимого принадлежат их законным правообладателям. Любое их использование возможно лишь с согласия законных правообладателей. Администрация сайта не несет ответственности за возможный вред и/или убытки, возникшие в связи с использованием Работ и их содержимого.

«Всё сдал!» — безопасный онлайн-сервис с проверенными экспертами

Используя «Свежую базу РГСР», вы принимаете пользовательское соглашение
и политику обработки персональных данных
Сайт работает по московскому времени:

Вход
Регистрация или
Не нашли, что искали?

Заполните форму и узнайте цену на индивидуальную работу!

Файлы (при наличии)

    это быстро и бесплатно