Всё сдал! - помощь студентам онлайн Всё сдал! - помощь студентам онлайн

Реальная база готовых
студенческих работ

Узнайте стоимость индивидуальной работы!

Вы нашли то, что искали?

Вы нашли то, что искали?

Да, спасибо!

0%

Нет, пока не нашел

0%

Узнайте стоимость индивидуальной работы

это быстро и бесплатно

Получите скидку

Оформите заказ сейчас и получите скидку 100 руб.!


Матожидание, дисперсия, мода и медиана

Тип Реферат
Предмет Математика
Просмотров
291
Размер файла
58 б
Поделиться

Ознакомительный фрагмент работы:

Матожидание, дисперсия, мода и медиана

Математическое ожидание и его свойства.

Одной из важных числовых характеристик случайной величины является математическое ожидание. Введем понятие системы случайных величин. Рассмотрим совокупность случайных величин , которые являются результатами одного и того же случайного эксперимента. Если — одно из возможных значений системы , то событию соответствует определенная вероятность удовлетворяющая аксиомам Колмогорова. Функция , определенная при любых возможных значениях случайных величин , называется совместным законом распределения. Эта функция позволяет вычислять вероятности любых событий из . В частности, совместный закон распределения случайных величин и , которые принимают значения из множества и , задается вероятностями . Расширим понятие независимости случайных событий и введем понятие независимых случайных величин.

1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной, т.е. .

Доказательство. Постоянную можно рассматривать как дискретную случайную величину, принимающую единственное значение с вероятностью 1. .

2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: .

Доказательство. Пусть случайная величина задана законом распределения вероятностей:

. . .. . .
. . .. . .

Очевидно, что случайная величина также является дискретной и принимает значения , , ... , , ... с прежними вероятностями , , ... , , ... т.е. закон распределения имеет вид

. . .. . .
. . .. . .

Тогда по определению математического ожидания .

3) Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

.

Доказательство. Рассмотрим случайную величину и докажем, что

Действительно, если и заданы рядами распределения

. . .
. . .
. . .
. .

то, как было указано выше, случайная величина имеет следующий закон распределения:

. . .
. . .

Тогда

.

Методом математической индукции можно доказать, что если это свойство выполняется для случайных величин, то оно выполняется и для случайных величин.

4) Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: .

Доказательство. Пусть заданы две случайные величины и рядами распределения (см. предыдущее свойство).

В силу вышесказанного возможные значения случайной величины будут , , , , ... Их вероятности , , , ... , т.к. они определяются по теореме умножения вероятностей. Т.к. вероятность обозначает вероятность того, что события и наступают совместно, т.е. .

Переходя к математическом ожиданию рассматриваемой суммы, имеем

Предположим, что свойство 4) справедливо для случайной величины применяя в очередной раз метод математической индукции докажем, что это свойство справедливо и для случайных величин.

Дисперсия случайной величины

На практике часто требуется оценить рассеивание возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения. Отклонением случайной величины является разность между значением случайной величины и ее математическим ожиданием и обозначается . Хотя отклонение является величиной случайной, но использовать его для оценки разброса не удобно, т.к. его математическое ожидание всегда равно 0. Поэтому для характеристики рассеивания вводят другие характеристики.

Определение. Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения: .

Из этого определения следует, что дисперсия случайной величины вычисляется по формуле

для дискретной случайной величины

для непрерывной случайной величины .

(1)

Справедлива следующая теорема.

Теорема.Дисперсия случайной величины равна математическому ожиданию ее квадрата минус квадрат математического ожидания: .

Доказательство. Из определения дисперсии и учитывая, что математическое ожидание — постоянная величина, получим

.

Тогда формула (1) примет вид

для дискретной случайной величины

для непрерывной случайной величины .

(2)

Свойства дисперсии

    Дисперсия постоянной величины равна нулю: .

Действительно, .

    Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: .

Доказательство. По определению дисперсии и в силу свойств математического ожидания получаем:

.

    Дисперсия суммы нескольких независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

.

Доказательство. Вначале докажем свойство для двух величин и .

По теореме

И далее методом математической индукции...

Следствие 1. Дисперсия суммы постоянной величины и случайной величины равна дисперсии случайной величины : .

Действительно, .

Следствие 2. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: .

Доказательство. Используя свойства 2) и 3), получаем

.

Дисперсия случайной величины как характеристика разброса имеет одну неудобную особенность: ее размерность (из определения) равна квадрату размерности случайной величины .

Определение. Средним квадратическим отклонением случайной величины называется арифметический корень из дисперсии, т.е..

Зная введенные две числовые характеристики — математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение , — получаем ориентировочное представление о пределах возможных значений случайной величины.

Мода и медиана как разновидность средних величин в вариационных рядах

Средние величины являются своего рода отвлеченной, абстрактной величиной. Отвлекаясь от конкретных величин каждого варианта, эти числа отражают то общее, что присуще всей совокупности единиц. При этом может случиться, что величина средней не имеет равенства ни с одним из конкретных вариантов встречающихся в рассматриваемой совокупности вариантов.

Например, среднее число членов семьи, равное 3,84, полученное на основе исчисления соответствующей совокупности данных, ничего общего с конкретным составом семьи не имеет, поскольку дробного числа членов семьи не может быть. Здесь в данном показателе средней величины состава семьи выражается некоторое центральное значение, около которого группируются реально существующие варианты.

Кроме рассмотренных средних, когда определяется некая абстрактная величина, могут быть использованы величины конкретных вариантов имеющихся в рассматриваемой совокупности величин, величин занимающих определенное место в ранжированном ряду индивидуальных значений признака. Ранжировка признаков может быть построена в порядке возрастания или убывания индивидуальных значений признака. Такими величинами, чаще всего являются мода и медиана.

Мода - это наиболее часто встречающаяся в совокупности величина варианта. Эту величину означают символом Мо.

Мода как величина в дискритном (прерывистом) ряду определяется следующим образом на примере выявления наибольшего процента мужчин носящих определенный размер обуви. Наглядно это можно представить следующей таблицей.

Распределение числа мужчин по размеру используемой обуви

Размер обувиЧисло мужчин старше 16 лет % к итогуНакопление частности
До 3711
3856
391218
402341
412869
422190
43898
442100
и более-
Всего100

В распределении мужчин по размеру обуви наибольшая часть мужчин (28%) относится к величине номера обуви в 41. Следовательно, мода Мо = 41, т.е. модой является 41-й размер обуви.

Чтобы определить медиану, необходимо найти один из центральных вариантов рассматриваемой совокупности. В нашем примере центральным вариантом будет находиться в центре совокупности состоящей из 100 членов, т.е. 100 : 2 = 50. Затем по накопленным частотам определяем величину 50-го члена ряда. В нашем примере он будет находиться между 41 и 69 накопленной частности (см. 3-ий столбец таблицы), 50-ый член ряда имеет величину 41, т.е. Ме = 41-му размеру обуви.

В практике мода и медиана часто используются вместо средней арифметической или наряду с ней. Так, фиксируя средние цены на оптовых рынках, записывают наиболее часто встречающуюся цену каждого продукта, т.е. определяют моду цены. Тем не менее наилучшей характеристикой величины варианта служит средняя арифметическая, которая имеет ряд существенных преимуществ, о которых было сказано раньше, главное из которых, точное отражение суммы всех значений признака, использующихся для решения соответствующих практических задач.


Нет нужной работы в каталоге?

Сделайте индивидуальный заказ на нашем сервисе. Там эксперты помогают с учебой без посредников Разместите задание – сайт бесплатно отправит его исполнителя, и они предложат цены.

Цены ниже, чем в агентствах и у конкурентов

Вы работаете с экспертами напрямую. Поэтому стоимость работ приятно вас удивит

Бесплатные доработки и консультации

Исполнитель внесет нужные правки в работу по вашему требованию без доплат. Корректировки в максимально короткие сроки

Гарантируем возврат

Если работа вас не устроит – мы вернем 100% суммы заказа

Техподдержка 7 дней в неделю

Наши менеджеры всегда на связи и оперативно решат любую проблему

Строгий отбор экспертов

К работе допускаются только проверенные специалисты с высшим образованием. Проверяем диплом на оценки «хорошо» и «отлично»

1 000 +
Новых работ ежедневно
computer

Требуются доработки?
Они включены в стоимость работы

Работы выполняют эксперты в своём деле. Они ценят свою репутацию, поэтому результат выполненной работы гарантирован

avatar
Математика
История
Экономика
icon
147565
рейтинг
icon
3126
работ сдано
icon
1349
отзывов
avatar
Математика
Физика
История
icon
142374
рейтинг
icon
5881
работ сдано
icon
2654
отзывов
avatar
Химия
Экономика
Биология
icon
95295
рейтинг
icon
2031
работ сдано
icon
1273
отзывов
avatar
Высшая математика
Информатика
Геодезия
icon
62710
рейтинг
icon
1046
работ сдано
icon
598
отзывов
Отзывы студентов о нашей работе
54 129 оценок star star star star star
среднее 4.9 из 5
Санкт-Петербургский институт ФСБ России
Полный отзыв дам позже, после принятия реферата в вузе. Ну а на данном этапе все отлично.
star star star star star
ТИ им. А. П. Чехова
Все было выполнено качественно. Никаких замечаний. Было приятно сотрудничать.
star star star star star
БГИТА БРЯНСК
Спасибо за выполненную работу досрочно! Все изложено понятно и в полном объёме
star star star star star

Последние размещённые задания

Ежедневно эксперты готовы работать над 1000 заданиями. Контролируйте процесс написания работы в режиме онлайн

только что

оформить презентацию в PowerPoint

Презентация, Экономика образовательной организации

Срок сдачи к 15 сент.

только что
3 минуты назад

мастер и маргарита

Сочинение, Русская литература

Срок сдачи к 20 сент.

3 минуты назад

Россия - демократическое государство

Реферат, конституционное право

Срок сдачи к 11 сент.

3 минуты назад

Задание на фото.

Контрольная, Цифровая обработка сигнала, электротехника

Срок сдачи к 12 сент.

4 минуты назад

Эволюция парольной аутентификации в ОС Unix

Реферат, Информационные технологии

Срок сдачи к 14 сент.

5 минут назад

Практические задания

Решение задач, Предпринимательская деятельность. Привлечение инвестиций в проект

Срок сдачи к 10 сент.

5 минут назад

«Бизнес-модели инновационного развития компаний»

Курсовая, Кафедра экономики инновационного развития

Срок сдачи к 11 сент.

5 минут назад

Решить вариант 10

Контрольная, Криминалистика

Срок сдачи к 22 сент.

6 минут назад
7 минут назад

Сделать 1-ну лабораторную

Лабораторная, Сетевое програмирование

Срок сдачи к 12 сент.

7 минут назад

Нужно решить второй вариант (обе задачи)

Решение задач, уравнения математической физики

Срок сдачи к 16 сент.

7 минут назад

Сделать курсовую работу под номером 18

Курсовая, административная деятельность

Срок сдачи к 22 сент.

7 минут назад

Нужно сделать простое задание из задач для...

Решение задач, 1с предприятие, торговое дело

Срок сдачи к 10 сент.

8 минут назад

Диплом

Диплом, Наземные транспортные средства

Срок сдачи к 1 нояб.

9 минут назад
9 минут назад

Проблема перевода французских политических дебатов

Курсовая, Французский язык

Срок сдачи к 30 окт.

12 минут назад
planes planes
Закажи индивидуальную работу за 1 минуту!

Размещенные на сайт контрольные, курсовые и иные категории работ (далее — Работы) и их содержимое предназначены исключительно для ознакомления, без целей коммерческого использования. Все права в отношении Работ и их содержимого принадлежат их законным правообладателям. Любое их использование возможно лишь с согласия законных правообладателей. Администрация сайта не несет ответственности за возможный вред и/или убытки, возникшие в связи с использованием Работ и их содержимого.

«Всё сдал!» — безопасный онлайн-сервис с проверенными экспертами

Используя «Свежую базу РГСР», вы принимаете пользовательское соглашение
и политику обработки персональных данных
Сайт работает по московскому времени:

Вход
Регистрация или
Не нашли, что искали?

Заполните форму и узнайте цену на индивидуальную работу!

Файлы (при наличии)

    это быстро и бесплатно