Интегрирование линейного дифференциального уравнения с помощью степенных рядов

Длярешения дифференциальногоуравнения:

(I.1)

где функцииа_i(t)(i=0,1,2)разлагаютсяв степеннойряд в окрестноститочки t₀с радиусамисходимостиr_i:

i=0,1,2

необходимонайти двалинейно-независимыхрешения ₁(t),₂(t).Такими решениямибудут, например,решения уравнения(I.1)с начальнымиусловиями:

Решения _iбудем искатьв виде степенногоряда:

(I.2)

методомнеопределенныхкоэффициентов.

Для решениявоспользуемсятеоремами.

Теорема1: (об аналитическомрешении)

Еслиp₀(x),p₁(x),p₂(x)являютсяаналитическимифункциями xв окрестноститочки x=x₀и p₀(x)≠0,то решенияуравненияp₀(x)y^’’+ p₁(x)y^’ + p₂(x)y= 0 также являютсяаналитическимифункциями внекоторойокрестноститой же точкии, значит, решенияуравнения можноискать в виде: y=l₀+ l₁(x-x₀)+ l₂(x-x₀)²+ … + l_n(x-x₀)ⁿ+ …

Теорема2: (о разложимостирешения в обобщенныйстепенной ряд)

Если уравнение(I.1) удовлетворяетусловиям предыдущейтеоремы, ноx=x₀является нулемконечногопорядка Sфункции a₀(x),нулем порядкаS-1 или вышефункции a₁(x)(если S>1) инулем порядкане ниже S-2коэффициентаa₂(x)(если S>2), тосуществует,по крайнеймере, однонетривиальноерешение уравнения(I.1) в видесуммы обобщенногостепенногоряда:

y= l₀(x- x₀)^k+ l₁(x– x₀)^k+1+ … + l_n(x-x₀)^k+n+ …

где k- некотороедействительноечисло, котороеможет быть какцелым, так идробным, какположительным,так и отрицательным.

Рассмотримуравнение:

(I.3)

a₀(t)= t + 2 ; a₁(t)= -1; a₂(t)= -4t³;a₀(t)≠ 0 t

по теореме 2хотя бы однонетривиальноерешение уравнения(I.3) можетбыть найденов виде суммыобобщенногостепенногоряда (t)= c_n(t-t₀)ⁿ

возьмем t₀= 0, будем искатьрешение в виде(t)= c_ntⁿ (I.4)

Опираясь натеорему 1 и,дифференцируяряд (I.4) почленнодва раза, получим

(t)= nc_nt^n-1,(t)= n(n-1)c_nt^n-2

(2+t)( n(n-1)c_nt^n-2)– (nc_nt^n-1)– 4t³(c_ntⁿ)=0

Вычислим коэффициентыпри соответствующихстепенях:

t⁰: 4c₂– c₁=0 4c₂-c₁-4c_-3=0

t¹:

рекуррентноесоотношениеимеет вид

nN, c_-3=0,c_-2=0, c_-1=0 (I.5)

при n=0,

n=1,

n=2, c₄=0

n=3,

n=m-2,

Итак,

Найдем радиусысходимостиR полученныхрешений, общимметодом непредставляетсявозможным,поэтому наоснованиитеоремы осуществованиии единственностирешения.

Которые имеютобласть сходимости(по формулеДаламбера):

а)

б)

Итак, областьсходимости

2. Синтезуправленияс не более, чемс одним переключениемв управляемойсистеме второгопорядка.

Необходиморассмотретьлинейную управляемуюсистему:

Требуетсяподобратьуправлениеи( ),переводящеефазовую точку(х₁,х₂)из заданногоначальногосостояния вначало координат(0,0).

Навыбор управленияи( )накладываетсяусловие |и( )|=1 и и() имеет неболее одногопереключения.

положениеравновесия

Д=-7 фокус,т.к.

III.Малыевозмущениясистемы линейныхуравнений

В этой задачерассматриваетсясистема:

с действительнымикоэффициентамиа_ij.

Необходимоисследоватьфазовые кривыеэтой системы:

(1)

Сведем систему(1) к системе вида:

(2)

с помощью замены

(3)

Запишемсистему (1) в виде

,где (4)

Подставим в систему (4), а в систему (3), тогдаполучим:

(5)

Найдемсобственныезначения матрицыА:

,

Систему(2) можно записатьв виде:

, где (6)

Изсистемы (5) и (6)следует, что

Подберемматрицу С такую,что пусть и AC = CB

=

Решивэту систему,получим: a=-2,b=-1, c=1, d=0, т.е. и

Поставимматрицу С взамену:

Подставимполученныезначения всистему (2):

,где

При получаем систему

Этоуравнение малыхколебаниймаятника. Потеореме одифференцируемостипо параметрупри малых решение (наконечном интервалевремени) отличаетсяпоправкойпорядка от гармоническихколебаний:

Следовательно,при достаточномалом = (Т) фазоваяточка остаетсявблизи окружностирадиуса А втечении интервалавремени Т.

Прифазовая криваяне обязательнозамкнутая: онаможет иметьвид спирали,у которой расстояниемежду соседнимивитками оченьмало (порядка). Чтобыузнать, приближаетсяли фазоваякривая к началукоординат илиуходит от него,рассмотримприращениеэнергии за один оборотвокруг началакоординат. Насинтересуетзнак этогоприращения:на раскручивающейсяспирали приращениеположительное,на сжимающейся– отрицательное,а на цикле равно0. Выведем приближеннуюформулу:

Подставляязначения и ,получим:

Длявычисленияэнергии заоборот следовалобы проинтегрироватьэту функциювдоль виткафазовой траектории,которая неизвестна.Но виток близокк окружности.Поэтому интегралможно посчитатьс точностьюдо O()по окружностирадиуса А.

Пусть,тогда

для (при малыхположительныхзначениях ),поэтому фазовыеточки удаляютсяот центра, т.е.фазовая криваяраскручивается.

Векторскорости кривойнаправлен почасовой стрелке,так как точкас координатами(1,0) переходитв точку (0,-1)

Таккак detC>0, топри замене на ориентациясистемы координатне изменилась.

Литература

1. ЛизоркинГ.И. Курсобыкновенныхдифференциальныхи интегральныхуравнений.М.: Наука, 1981, Гл.7.§6. С.344-348.

2. ЭльсгольцГ.Э. Дифференциальныеуравнения ивариационноеисчисление.М.: Наука, 1969, Гл.2.§7.

3. ПонтрягинЛ.С., БолтянскийВ.Г., ГамкрелидзеР.В., МищенкоЕ.Ф. Математическаятеория оптимальныхпроцессов. М.:Наука, 1969, Гл.1. §5.

4. БолтянскийВ.Г. Математическиеметоды оптимальногоуправления.М.: Наука, 1969, Гл.1.§3.

5. ПонтрягинЛ.С. Обыкновенныедифференциальныеуравнения.М.: Наука, 1974, Гл.2.§16.

6. Арнольд В.И. Обыкновенныедифференциальныеуравнения.М.: Наука, 1975, ГЛ.2.§12. С.73-78,84-85.

programcoefficients;

typemas=array[1..100] of real;beg=array[1..6] of real;

varrez1,rez2:text;

r1,r2:mas;i:integer;r:beg;

procedurecalculate(t:beg;var a:mas);

begin

fori:=1 to 6 do a[i]:=t[i];

fori:=7 to 100 do

a[i]:=2*a[i-5]/(i*(i-1))+a[i-1]*(1-i)/(2*i)

end;

begin

assign(rez1,'rez1.txt');

rewrite(rez1);

assign(rez2,'rez2.txt');

rewrite(rez2);

r[1]:=1;r[6]:=1/10;

calculate(r,r2);

r[1]:=0;r[2]:=1;r[3]:=1/4;r[6]:=0;

calculate(r,r1);

fori:=1 to 25 do begin

writeln(rez1,' ',r1[i],' ',r1[i+25],' ',r1[i+50],' ',r1[i+75]);

writeln(rez2,' ',r2[i],' ',r2[i+25],' ',r2[i+50],' ',r2[i+75]);

end;

close(rez1);close(rez2);

end.

0.0000000000E+00 -8.1624958212E-09 2.6771846582E-17 -3.2491066259E-25

1.0000000000E+00 4.0882043248E-09 -1.2724159976E-17 1.5836707627E-25

2.5000000000E-01 -1.9312581703E-09 6.0587809612E-18 -7.7230912899E-26

0.0000000000E+00 8.7931901201E-10 -2.8899594137E-18 3.7682040069E-26

0.0000000000E+00 -3.9113365760E-10 1.3806999533E-18 -1.8394445248E-26

0.0000000000E+00 1.7170446696E-10 -6.6063798253E-19 8.9833955968E-27

4.7619047619E-02 -7.4927003757E-11 3.1655138993E-19 -4.3892344328E-27

-1.1904761905E-02 3.2670558317E-11 -1.5188147944E-19 2.1454810957E-27

5.2910052910E-03 -1.4287416203E-11 7.2964561538E-20 -1.0491602917E-27

-2.3809523810E-03 6.2822346640E-12 -3.5094186285E-20 5.1325610907E-28

1.0822510823E-03 -2.7813172998E-12 1.6898431516E-20 -2.5118617002E-28

2.2546897547E-04 1.2405702723E-12 -8.1455391475E-21 1.2297620795E-28

-2.5668775669E-04 -5.5748878718E-13 3.9303541430E-21 -6.0228905014E-29

1.7731937375E-04 2.5231583802E-13 -1.8982784409E-21 2.9508171556E-29

-1.0542477804E-04 -1.1494982403E-13 9.1766487366E-22 -1.4461997657E-29

5.8436623727E-05 5.2681234526E-14 -4.4400237356E-22 7.0901975787E-30

-2.5841727522E-05 -2.4272611542E-14 2.1500363892E-22 -3.4771871308E-30

1.0525340241E-05 1.1236692030E-14 -1.0419555735E-22 1.7058202580E-30

-3.9487320804E-06 -5.2239376878E-15 5.0533583057E-23 -8.3708571981E-31

1.3207804853E-06 2.4378141584E-15 -2.4525851909E-23 4.1089817635E-31

-3.5067345145E-07 -1.1415093557E-15 1.1911535700E-23 -2.0175412562E-31

5.5497924241E-08 5.3615711160E-16 -5.7889316226E-24 9.9090274547E-32

1.5059649832E-08 -2.5253197948E-16 2.8151673613E-24 -4.8680681263E-32

-2.1523082502E-08 1.1924700892E-16 -1.3698530670E-24 2.3921919191E-32

1.4733681219E-08 -5.6440981997E-17 6.6695603490E-25 -1.1758340267E-32

1.0000000000E+00 1.7987642729E-08 -4.5312164317E-17 5.4992078518E-25

0.0000000000E+00 -8.3840108994E-09 2.1536019548E-17 -2.6804090156E-25

0.0000000000E+00 3.7670469949E-09 -1.0254665309E-17 1.3071557555E-25

0.0000000000E+00 -1.6526367936E-09 4.8913410547E-18 -6.3777953290E-26

0.0000000000E+00 7.1493015948E-10 -2.3368750685E-18 3.1133135776E-26

1.0000000000E-01 -3.0725084549E-10 1.1181490949E-18 -1.5204659400E-26

-4.2857142857E-02 1.3192138050E-10 -5.3577247549E-19 7.4289074616E-27

1.8750000000E-02 -5.6827322754E-11 2.5706384024E-19 -3.6312894115E-27

-8.3333333333E-03 2.4632088817E-11 -1.2349465142E-19 1.7757344336E-27

3.7500000000E-03 -1.0762594132E-11 5.9397935216E-20 -8.6870095383E-28

1.1363636364E-04 4.7441168372E-12 -2.8601088852E-20 4.2513992844E-28

-7.0143398268E-04 -2.1098685807E-12 1.3786562892E-20 -2.0814082337E-28

5.6412337662E-04 9.4633740966E-13 -6.6522391701E-21 1.0193918067E-28

-3.5348951644E-04 -4.2779448863E-13 3.2128916989E-21 -4.9943442121E-29

2.0067606005E-04 1.9475161560E-13 -1.5531745983E-21 2.4477353385E-29

-9.3119933452E-05 -8.9215279760E-14 7.5148698397E-22 -1.2000366465E-29

3.8663542340E-05 4.1095067060E-14 -3.6389993788E-22 5.8852407672E-30

-1.4570702990E-05 -1.9021691211E-14 1.7635402376E-22 -2.8871506037E-30

4.8347217880E-06 8.8424759764E-15 -8.5529565117E-23 1.4167920272E-30

-1.2403030595E-06 -4.1262694515E-15 4.1510720614E-23 -6.9545716342E-31

1.4719225001E-07 1.9320856329E-15 -2.0160622039E-23 3.4147474967E-31

9.7123795568E-08 -9.0747292577E-16 9.7979358322E-24 -1.6771318352E-31

-1.0404222235E-07 4.2742041848E-16 -4.7647529737E-24 8.2393474718E-32

6.7370672802E-08 -2.0182966417E-16 2.3185163214E-24 -4.0488546850E-32

-3.6472266477E-08 9.5528152219E-17 -1.1288425670E-24 1.9901334294E-32