Элементы теории вероятностей 2

Введение.

Если положить ручные механические часы на горизонтальную полку в середине её, то они будут лежать, но стоит их передвинуть к краю полки, то часы упадут. Это закон необходимого явления, вскрываемый в данном случае механикой. Но что произойдёт, когда часы упадут на пол? Останутся ли в целости или распадутся на n изуродованных частей? Обыватель это явление относит к случайности и не видит здесь закономерности.

Лишь в XVII в. в Европе стали рассматривать две закономерности: 1) необходимую и 2) возможную с различной оценкой их возможностей.

Так, например, если из колоды в 36 карт вынуть произвольную карту, например трефовой масти, и вынуть фигуру трефовую (короля, даму, валета) или туза трефового, здравый смысл подсказывает, что первое вероятнее второго, а второе вероятнее третьего. Математики XVII в. Б. Паскаль, П. Ферма (1601-1665), Х. Гюйгенс (1629-1695) и другие быстро разобрались в закономерностях возможных явлений и начали создавать новый предмет математики «Теорию вероятностей», ныне весьма развитый математический раздел.

Вероятностью осуществления события А называется число m/n, где m – число исходов, благоприятствующих осуществлению А, а n – число всевозможных исходов, когда эти nисходов равновозможны, всевоможны и взаимно исключают друг друга.

Вероятности событий заключены в границах от 0 до 1, т.е.

0 ≤ P ≤ 1.

Достоверным событием называется событие, вероятность которого равна единице; невозможным событием называется событие, вероятность которого равна нулю.

Примеры: 1) Если выпущено лотерейных билетов 20 миллионов, причём имеется 20 выигрышей по 2500 руб., то вероятность выиграть 2500 руб. равна:

P(A) = 20/20 000 000 = 0,000 001,

а вероятность не выиграть 2500 руб.

P(B) = 1-0,000 001=0,999 999.

Два события, сумма вероятностей которых равна единице, называются противоположными событиями. Вероятности выиграть и не выиграть 2500 руб. по сути противоположные события, т.е. P(A) + P(B) = 1.

2) Пусть имеются две кубические игральные кости, каждая грань куба отмечена точками от 1 до 6 очков.

Если играть в две кости, бросаемые на стол, то на верхних гранях двух костей возможны следующие суммы очков:

Найдём вероятности каждого выпадения суммы очков:

P(2)=P(12)=1/(35+1)=1/36; P(3)=P(11)=2/36=1/18; P(4)=P(10)=3/36=1/12; P(5)=P(9)=4/36=1/9; P(6)=P(8)=5/36; P(7)=6/36=1/6;

Видно, что наивероятнейшее событие при игре в две кости выиграть, если ставку делать на сумму в 7 очков (по отсталому бытующему в жизни – семь самое счастливое число).

При бросании трёх костей наивероятнейшее событие P(11)=26/216=13/108.

Наивероятнейшим событием называется то событие, вероятность которого наибольшая из всевозможных.

Удалось подметить законы сложения и умножения вероятностей осуществлений событий.

Вероятность осуществиться двум или нескольким взаимно исключающим (несовместимым) событиям, безразлично которому из них, равна сумме вероятностей этих составляющих событий.

Вероятность совпадения двух или нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Задачи. 1)Ученик не приготовил 4 билета по математике из 40 билетов; он же не приготовил 5 билетов по физике из 30 билетов. Какова вероятность совпадения того, что ученику достанутся неприготовленные билеты и по математике и по физике?

Если Р(А) – вероятность вынуть неприготовленные билеты по математике; Р(В) – по физике; Р(С) – и по математике и по физике, то

4∙5

Р(С) = Р(А) ∙ Р(В) = ----------- = 1/60.

40∙30

2) Вероятность 20-летнему дожить до 70 лет равна Р(А) ≈ 0,4 и вероятность 40-летнему дожить до 70 лет равна Р(В) ≈ 0,46. Какова вероятность совпадения, что оба доживут до 70 лет (Р(С)) ?

Р(С) = Р(А) ∙ Р(В) = 0,4∙0,46 = 0,18.

Если из m различных данных элементов брать по n этих элементов, где n ≤ m, так, что образовавшиеся множества из n элементов будут различаться между собою хотя бы одним элементом (порядок их следования не принимается во внимание), то каждое из таких образовавшихся множеств называется сочетанием из m данных элементов, взятых по n элементов.

m!

Сⁿ_m = ---------------- .

(m – n)!∙n!

Задача. Имеется 50 различных сигналов, которые сочетают по 5. Если не учитывать порядок в сигналах, сколько можно передать различных информаций?

Ответ:

50∙49∙48∙47∙46

С⁵₅₀ = --------------------- = 2118760.

1∙2∙3∙4∙5

Сложным событием называется событие, состоящее из совпадения двух или нескольких рассматриваемых событий.

Вероятности сложных событий, образовавшихся при n испытаниях двух противоположных событий, распределяются по строке бинома Ньютона.

Формула бинома Ньютона:

n(n-1) n(n-1) (n-2)

(а+b) ⁿ = aⁿ + na^n-1 b + ---------- a^n-2 b² +------------------- a^n-3 b³ + ... + bⁿ .

1∙2 1∙ 2 ∙3

Это формула в общем виде, в наиболее упрощённой форме она записывается так:

_n

(а+b)ⁿ = ∑( С^m_n * a^n-m * b^m).

^m=0

А каков же будет закон для (а+b+…+m)ⁿ ? Исследуем поставленный вопрос методом подстановки:

_n^nn-p

(а+b+…+d+m)ⁿ = ∑(С^p_n* m^p * (a+b+…+d)^n-p)= ∑(С^p_n* m^p * ∑( С^g_n-p* d^g * (a+b+…+i)^n-p-g)

^{p=0 p=0 g=0}

_nn-p-…-u

= ∑(С^p_n* m^p *… * ∑( С^h_n-p-…-u * a^n-p-…-u-h * b^h)…).

^p=0h=0

Задача. Из колхоза пришло известие, что весной отелилось 5 коров, каждая дала по телёнку; неизвестно, сколько появилось тёлочек и бычков. Найти вероятности каждой возможности сложных событий.

Имеем: а) вероятности появления тёлочки и бычка одинаковы (приближённо) Р(тёлочки) = Р(бычка) = ½.

б) получаем (1/2 + 1/2) ⁵ = (1/2) ⁵∙(1/2) ⁰ + 5∙(1/2) ⁴∙1/2 + 10∙(1/2) ³∙(1/2) ² + 10 ∙(1/2)²∙(1/2) ³ + +5∙(1/2)∙(1/2) ⁴ + (1/2) ⁵∙(1/2)⁰ = 1/32 + 5/32 + 10/32 + 10/32 + 5/32 + 1/32 = 1;

в) более вероятно, что появилось 3 тёлочки, 2 бычка или 2 тёлочки, 3 бычка (Р=10/32).

Маловероятно, что появятся все тёлочки или все бычки, последняя вероятность в 10 раз меньше наивероятнейшего указанного события (Р=1/32).

Частостью события А называется отношение числа появлений А к числу всех испытаний.

Так, если бросали монету 100 раз и 53 раза она появлялась гербом, то частость появления герба равна 53/100=0,53, тогда как вероятность появления герба ½=0,5.

Видно, что между частостью события и его вероятностью получилось расхождение.

Оказывается, если осуществлять испытаний больше, то различие становится всё меньшее и меньшее.

В XVII в. Я. Бернулли первый подметил закон больших чисел, Пуассон (1781 – 1840) его обобщил, а П. Л. Чебышев (1821 – 1894) строго доказал. Этот закон в менее обобщённой форме читается так:

С вероятностью как угодно близкой к достоверности можно утверждать, что частость как угодно близко приближается к вероятности осуществления этого события, если делать число испытаний неограниченно возрастающее множество раз , а вероятность остаётся неизменной при всех испытаниях.

На этом законе построена теория статистики. Например, построены таблицы смертности, по которым решаются вопросы страхования.

Случайной величиной называется величина, имеющая определённые значения, получаемые с соответствующими вероятностями так что сумма всех этих вероятностей равна единице.

Например, если N имеет выигрышный билет, то N имеет случайную величину x, так что x принимает значения: x₁ = 4000 руб. (выигрыш автомобиля «Волга»), x₂ = 300 руб. (выигрыш «холодильник») и т.д.

Математическим ожиданием случайной величины называется сумма произведений каждого значения случайной величины на их вероятности, что записывается так:

M(x) = x₁P₁ + x₂P₂ + … + x_kР_k, где Р₁+Р₂+Р₃+…+Р_k = 1.

Пусть разыгрываются 3 вещи по100 руб., 7 вещей по 50 руб. и 10 вещей по 20 руб. и выпущено 1000 билетов. Какова цена каждого билета?

Оказывается, если не преследуется прибыль, то цена билета равна математическому ожиданию случайной величины; имеем:

M(x) = 100∙3/1000 + 50∙7/1000 + 20∙10/1000 + 0∙980/1000 = 0,3 + 0,35 + 0,2 + 0 = 0,85 руб. = 85 коп.

Перейдем к проблеме страхования. Жизнь выдвинула вопросы различного рода страхования, например, в связи с риском доставки груза, в связи с возможным пожаром, градом, на случай смерти, дожития до определённого возраста и т.д.

Рассмотрим для примера одно из страхований на дожитие. Пусть Nшестнадцатилетний решил застраховать свою жизнь за 10 000 руб. на дожитие до 70 лет – это значит, что если N останется в живых к 70-ти годам, то получит страховку, если не доживёт, то внесённая Nсумма отходит страховой организации. Вопрос: сколько N должен сегодня внести страховой организации, внося каждый год сумму на 5% большую, чем в предыдущий (оплата по сложным процентам), чтобы иметь право через 70-16=54 года получить случайную сумму 10000 руб.?

1. Пусть сегодня Nдолжен внести x руб.

2. Эти деньги за 54 года по сложным процентам вырастут в сумму x∙1.05⁵⁴ руб. (по формуле сложных процентов).

3. Найдём частость доживания 16-летних до 70-ти лет. Читаем в особых таблицах смертности: 16-летних из 100 000 взятых остаётся к 70 годам 39324, следовательно, искомое частное равно 39324/100 000≈0,393, а так как по закону больших чисел частость как угодно мало отличается от вероятности, если первая найдена при большом числе испытаний , то Р ≈ 0,393. Итак, вероятность 16-летнему дожить до 70 лет ≈ 0,393.

4. Математическое ожидание страховой организации равно x∙1.05⁵⁴руб.∙1 (1 – вероятность дожития N с точки зрения страховой организации, т.е. предполагается достоверное наступление страхового случая); математическое ожидание N равно 10000∙0,393.

5. Если не преследуется прибыль, то математические ожидания страховой организации и страхующегося N должны быть равны, т.е. x∙1.05⁵⁴=10 000∙0,393.

10 000∙0.393

6. Решив уравнение, найдём: x=-------------------- ≈ 281,6 руб., что можно рассчитать

1.05⁵⁴

непосредственно, хотя это легче сделать логарифмированием:

6.1. log_1.05x = log_1.05(3930) – 54.

6.2. x = 1.05 ^{log1.05(3930) – 54}.

6.3. x ≈ 281,6 руб.

P. S.

«Пять чувств, которыми природа одарила человека, недостаточны для того, чтобы вести научные предвиденья, без которых нельзя и невозможно целесообразно изменять природу; надо развивать математическое мышление, которое помогает вскрыть и понять то, что невидимо, неслышимо, необоняемо, неосязаемо, невкушаемо, но существует в реальности.

Основной метод познания реальности есть математический метод, который и подарил XIX-ому, а в особенности XX-ому веку великую силу физико-математических разделов, под влиянием которой человек становится всё более могущим, потому что становится всё более знающим.»

Профессор математики Иван Козьмич Андронов.

Используемая литература:

И. К. Андронов, Математика для техникумов (курс единой математики), издательство «высшая школа», Москва, 1965 г., (824 c.).