Солитоны в воде

Е. Н. Пелиновский

Кто из нас, сидя у воды и бросая в нее камешки, не любовался картиной разбегающихся волн! Но мало кто задумывался, почему высота волн быстро убывает с расстоянием r от места падения камня. Можно назвать сразу две главные причины, ведущие к такому ослаблению волн. Первая связана с расходимостью круговых волн: сохранение потока энергии ведет к падению амплитуды (высоты) волны по закону H~r^-1/2. Другой эффект менее тривиален: скорость волн на воде зависит от их длины (у более длинных волн и скорость больше); в результате, как нам кажется, с расстоянием волны становятся более длинными. И хотя каждый, кто бросал камень в воду, наблюдал этот эффект, в школьных учебниках его традиционно описывают на примере разложения обычного света, проходящего через призму, на его цветовые составляющие (спектр).

И в том и в другом случае мы имеем дело с дисперсией волны, когда начальное возмущение, образуемое в месте бросания камня, "растаскивается" на спектральные компоненты. Каждая из волн бежит со своей скоростью, и вперед выходят более длинные. Этот эффект может быть пояснен на примере излюбленной школьной задачи, когда путешественники А и Б выходят из одного пункта с разными скоростями в одном направлении и расстояние между ними возрастает линейно со временем. Переходя теперь к большому числу таких путешественников, скорости которых различны, легко понять, что "плотность" путешественников (число людей на 1 м) падает с расстоянием от исходного пункта. Аналогичные оценки для волн, исходя из закона сохранения энергии, также приводят к зависимости H~r ^-1/2. Совместное воздействие этих двух причин ведет к суммарному ослаблению высоты волны (вследствие дисперсии и расходимости) по закону H~r^-1. Благодаря быстрому ослаблению высоты волны происходит локализация возмущений на воде (иначе бы штормовые волны, зародившись в одном месте, оставались опасными для всего океана).

Однако это упрощенная картина, в которую не вошло достаточно много исключений. Например, гигантские морские волны, зародившиеся при землетрясении в Чили 22 мая 1960 г. (такие волны называют цунами), пересекли весь Тихий океан (примерно 17 тыс. км) и накатились на побережье Дальнего Востока, где высота их достигала 7 м.

Об эффектах, которые приводят к аномально долгому существованию волн на воде (и в воде), и будет рассказано в этой статье.

Нелинейность и солитоны

Какие же факторы способны воспрепятствовать быстрому ослаблению волнового поля? Во-первых, ограничение распространения волны только одной пространственной координатой, чтобы ликвидировать ее расходимость в виде круговых волн. Простейший пример - распространение волны в реке. В открытом океане естественными каналами (волноводами) служат подводные хребты и течения струйного типа (например, Гольфстрим). Роль таких волноводов была понята давно. Однако они не могут препятствовать эффектам дисперсии, и, следовательно, волна все равно ослабляется (хотя и не так быстро) и ее длина возрастает.

Другим фактором, о котором здесь нужно сказать, является нелинейность. Под этим понятием мы будем подразумевать зависимость скорости распространения волны от ее амплитуды. Во всех линейных моделях скорость распространения определяется характеристиками среды (например, для волн на воде максимальная скорость их распространения есть

где h - глубина бассейна и g - ускорение свободного падения), но не амплитудой волны. Между тем глубина водоема под различными частями волны различна: она увеличивается под гребнем и уменьшается под впадиной.

Вообще говоря, непонятно, почему в приведенную выше формулу для скорости волны не входит локальная глубина с учетом волнового движения. И действительно, более точные теории показывают, что скорость распространения волны зависит от локальной глубины. Но это означает, что гребень волны должен двигаться быстрее ее впадины и, следовательно, профиль волны будет искажаться: его передний фронт будет становиться все более крутым и в конце концов волна должна опрокинуться (каждый, кто купался в море, знает, как обрушиваются волны вблизи берега).

Теперь уже можно понять совместное влияние нелинейности и дисперсии на трансформацию волн. Рассмотрим, например, эволюцию гребня. Нелинейность в чистом виде, как мы уже описали, хочет, так сказать, привести к тому, чтобы передний фронт становился круче, и гребень стремится догнать подножие. Дисперсия же в чистом виде стремится растащить волну на ее спектральные компоненты, чтобы более короткие волны отставали от тех, которые длиннее. Следовательно, нелинейность, способствующая образованию более крутого фронта волны (с высокочастотными гармониками), и дисперсия, стремящаяся утащить короткие волны с крутого фронта, действуют в противоположных направлениях. Но тогда возможна их взаимная компенсация, и форма волны в процессе распространения будет неизменяющейся (стационарной).

Этот качественный анализ подтверждается решениями соответствующих уравнений:

Форма стационарной волны показана на рис.1. Как видим, волна представляет собой движущийся одиночный гребень, скорость и длина которого зависят от высоты волны. Н. Забуски и М. Крускал в 1965 г. назвали его солитоном (от англ. solitary wave - уединенная волна). Главная особенность солитонов заключается в неизменности их формы в процессе распространения, и, следовательно, такие волны могут распространяться на очень большие расстояния без потери своей энергии. Роль представлений о солитонах резко возросла, когда стало ясно, что если начальное возмущение имеет другую форму, то оно сбрасывает все лишнее в хвост и трансформируется в солитоны, число которых определяется законами сохранения (массы, энергии). Кроме того, солитоны сохраняют свою форму при взаимодействии с себе подобными.

Рис.1. Уединенная волна - солитон

Выше мы рассказали о солитонах на воде. Но в океане волны бегают не только на его поверхности. Океан не является однородным по вертикали, его температура и соленость зависят от глубины, а значит, и плотность морской воды не остается постоянной. Отсюда следует, что океан можно представить как совокупность многих поверхностей, разделяющих слои с разными плотностями. Каждая такая поверхность в принципе похожа на водную поверхность, где также происходит скачок плотности (от воды к воздуху), и, следовательно, по этим поверхностям могут также распространяться волны, получившие название внутренних. Поскольку скачок плотности внутри океана мал (по сравнению с морской поверхностью), то мала и архимедова сила, двигающая частицы воды в волне. В результате амплитуды волн могут достигать очень больших значений, отмечались волны в 100 м. Во внутренних волнах также должны быть солитоны, и мы активно занимаемся их исследованием и прогнозом.

Возбуждение солитонов бегущими внешними волнами

Важным фактором поддержания энергии волн служат внешние воздействия. Простейший пример - появление волн на воде, как только подует ветер. Картинка стационарных волн за кораблем в его следе также общеизвестна. Принимая во внимание постоянство скорости корабля, естественно было изучать сразу стационарную картину волн. К сожалению, это приводило к сложным численным расчетам и ничего не говорило об устойчивости получаемых картинок. Между тем солитон на воде был открыт еще 150 лет назад Дж. С. Расселом именно в ситуации, характерной для корабельных волн. Рассел наблюдал за баржей в узком канале, которую тянула пара лошадей, и увидел, что масса воды в момент торможения баржи не остановилась, а собралась у носа судна и затем ушла вперед, принимая форму описанного выше солитона. (Отметим, что физики несколько раз пытались повторить эксперимент с открытием солитона, и это удалось только в 1995 г. на том же самом месте в Великобритании.)

Австралийскому физику Р. Гримшоу и мне показалось интересным рассмотреть взаимодействие свободного солитона с внешним бегущим возмущением (баржей) во времени. При этом мы рассчитывали убить двух зайцев: во-первых, корабельные волны должны были получаться как некоторые стационарные состояния в математической модели и, во- вторых, проблема устойчивости волнового следа решалась бы автоматически в рамках более общей нестационарной теории. Сделанные оценки были перспективными, и мы активно поработали вместе над этой задачей, придумав упрощенную модель явления и получив ряд приближенных решений. Именно этой проблемой я и мои коллеги занялись в рамках еще первых поддержек от Фонда Сороса и продолжили в рамках гранта от Международного научного фонда.

Главная наша идея состоит в учете солитонного характера нелинейной волны. В этом случае волна описывается всего двумя параметрами: амплитудой (или скоростью) и координатой (местоположением), так что солитон, по существу, очень похож на классическую движущуюся частицу. Уравнение для такой частицы хорошо известно еще со средней школы и представляет собой второй закон Ньютона: ускорение частицы, умноженное на ее массу, равно внешней силе, действующей на частицу. В таких задачах, как известно, очень удобно описывать внешние воздействия в рамках потенциальных полей, и наглядным примером здесь служит движение шарика по криволинейной поверхности (рис.2): частица колеблется в потенциальной яме.

Рис.2. Колебания частицы в потенциальной яме

Остается понять, что происходит в нашем случае. Движущийся корабль выдавливает из-под себя воду - так образуется потенциальная яма, в которую "сваливается" солитон. Если солитон имеет ту же скорость, что и корабль, и находится непосредственно в яме, то он является стационарным и представляет собой нелинейную корабельную волну. Но это возможно только для солитона одной-единственной амплитуды. Если скорость солитона больше скорости корабля, то возможны два режима. При очень большой разнице в скоростях солитон обгонит корабль, практически не испытав взаимодействия. Когда же скорости близки, солитон сначала ускоряется, сваливаясь в яму, а затем опять тормозится, пытаясь выбраться из нее.

Теперь понятно, почему солитон, который движется почти синхронно с кораблем (резонансный солитон), колеблется около него. Если же солитон имеет малую амплитуду и находится впереди корабля, то он может усилиться, пока его догоняет корабль, а потом затухнуть, когда корабль его обгонит. В результате возможно появление солитонов, живущих короткое время. Существование такого нестационарного волнового следа, меняющего сопротивление движению корабля, требует дополнительной его мощности, и переменная нагрузка на двигатель возрастает. Трудности управления кораблем в условиях резонансного возбуждения известны. Развитая теория дает одно из возможных объяснений этого эффекта.

Мы всюду говорили о корабельных волнах, используя для простоты изложения их наглядность. В результате наша задача стала казаться уж очень технической. В океанологии роль движущегося корабля играют перемещающиеся области давления, в частности, при штормах и ураганах. Такие крупномасштабные атмосферные воздействия приводят к возникновению больших волн в океане. На метеорологических картах, которые показывают по телевидению, можно увидеть области как высокого, так и низкого давления. Увеличение давления вызывает понижение уровня океана, а его уменьшение ведет к повышению уровня (эта связь получила название закона обратного барометра).

Первый случай похож на движущийся корабль и может приводить к захвату солитона в поле давления. Уменьшение давления над водой, сопровождающееся повышением уровня океана, приводит к новым эффектам. Так, если солитон, имея скорость, близкую к скорости перемещающего давления, пытается догнать эту область, то ему не хватает энергии, чтобы влезть на потенциальную горку, и, потеряв энергию (а следовательно, и скорость), солитон будет отставать от области возмущения. В системе координат, связанной с внешним возмущением, солитон отражается от него. Формально и здесь, конечно, существует стационарное решение, когда солитон сидит на вершине горы и распространяется вместе с ней, однако ясно, что такое решение является неустойчивым, и при малейшем смещении солитон скатится с вершины горы.

Другим важным приложением развитой теории служат волны в потоках воды над неровным дном (например, над подводной банкой). Очевидно, что в системе координат, связанной с потоком, такая банка движется и играет роль корабля, так что здесь возможны все те эффекты, которые описаны выше. Однако смысл таких решений здесь существенно другой: солитоны стоят в потоке над изолированной неровностью дна и не смещаются относительно нее. Такие стоячие структуры в потоках, наблюдаемые в океанических течениях типа Куросио, относительно легко измерять в силу их долгоживучести. Отметим также атмосферный аспект проблемы: стоячая структура в воздушном потоке над городом блокирует процессы обмена и способствует образованию смога. Эти процессы сейчас активно изучаются.

Получив объяснение эффекта в простой ситуации, захотелось, как это обычно бывает, немедленно рассмотреть более общие случаи, чтобы оценить реальность развитой теории. В частности, предположение о постоянстве скорости движения внешнего возмущения представляется слишком сильным для океанологии. И мы рассмотрели ряд других возможных движений. Здесь мне бы хотелось остановиться на равноускоренном движении. Первый вопрос: существует ли резонансно движущийся солитон - решается тривиально. Такой солитон, конечно же, имеется, но его скорость должна следовать за скоростью внешнего возмущения, значит, амплитуда солитона неограниченно нарастает. Вопрос об устойчивости такого солитона оказался еще более простым, чем в случае равномерного движения. Так, ускорение ведет к наклону потенциальной поверхности, поэтому если на ней была ямка, то она и останется, при условии, конечно, что перекос невелик. Если же была горка, то из-за наклона на поверхности также образуется ямка (рис.3). В результате солитон может захватываться внешним возмущением любого знака, и это явление должно быть широко распространено.

Рис.3. Колебания солитона в равноускоренно движущемся внешнем поле

Конечно, для простоты изложения мы очень загрубили модель: на самом деле солитон при взаимодействии не остается неизменным, часть его энергии излучается, теряется также масса солитона (эти эффекты, естественно, учтены в нашей теории). Число определяющих параметров на самом деле велико (как минимум два - для возмущения и два - для солитона), так что возможны более разнообразные, чем описанные здесь, режимы взаимодействия солитона с внешним возмущением. Учитывая приближенность теории, мы специально провели численное моделирование такого воздействия в рамках более полных уравнений, подтвердившее правомочность первоначальных оценок. На рис.4 показан результат расчета захвата солитона ускоренно движущейся силой.

Рис.4. Захват и усиление солитона ускоренно движущейся внешней силой. Амплитуда солитона и его местоположение относительно центра внешней силы (в безразмерых переменных)

* * *

Выше мы описали простейшие режимы взаимодействия солитона с внешним возмущением. Подход, при котором нелинейная волна рассматривается как частица, оказался весьма перспективным. Мы поняли, когда солитон может быть захвачен внешним полем, а когда отторгнут им. Сразу стало ясно, куда надо двигаться дальше в решении этой проблемы. Например, внешнее возмущение может захватить несколько солитонов. Такие примеры мы уже получали в численных экспериментах. Ответа на вопрос, сколько таких солитонов может быть захвачено одновременно, пока еще нет.

Хочется также более внимательно рассмотреть геофизические аспекты этой проблемы, связанные с существованием стоячих структур в течениях (данные наблюдений за биопродуктивностью океана выявляют корреляцию между интенсивностью этого процесса и местоположением таких структур) и в атмосферных потоках над городами (в связи с проблемой смога). Большинство таких процессов принципиально связано с внутренними волнами, скорость которых мала (1 м/с), и им легко затормозиться на препятствиях. К сожалению, поле внутренних волн оказалось весьма чувствительным к деталям стратификации плотности океана.

Другой важный аспект - анализ солитонов с точки зрения морских природных катастроф (цунами, ураганы), поскольку они могут распространяться на большие расстояния. Но здесь пока еще многое остается только на уровне оценок.

Списоклитературы

1. Pelinovsky E., Choi H. A mathematical model for nonlinear waves due to moving disturbances in a basin of variable depth //J. Korean Soc. Coastal and Ocean Engn. 1993. V. 5. P. 191-197.

2. Пелиновский Е. Н., Талипова Т. Г., Степанянц Ю. А. Моделирование распространения нелинейной внутренней волны в горизонтально неоднородном океане //Изв. РАН. Физикаатмосферыиокеана. 1994. Т. 30. С. 79-85.

3. Grimshaw R., pelinovsky E., Tian X. Interaction of a solitary wave with an external force //Physica D. 1994. V. 77. P. 405-413.

4. Гримшоу Р., Пелиновский Е. Н. Взаимодействие уединенных поверхностных и внутренних волн с бегущими возмущениями //ДАН. 1995. Т. 344. С. 394-396.

5. Долина И. С. Резонансные эффекты при рассеянии поверхностной гравитационной волны на подводном препятствии //Препринт ИПФ. 1995. № 374.

6. pelinovsky E., Talipova T., Ivanov V. Estimations of the nonlinear properties of the internal wave field off the Israel coast //Nonlinear Processes in Geophysics. 1995. V. 2. P. 80-88.

7. pelinovsky E., Holloway P., Talipova T. A Statistical analysis of extreme events in current variations due to internal waves from the Australian North West shelf //J. Geophys. Res. 1995. V. 100. P. 831-839.

8. Grimshaw R., pelinovsky E., Sakov P. Interaction of a solitary wave with an external force moving with variable speed //Studied Appl. Math. 1996. V. 97.

9. pelinovsky E., Talipova T. Nonlinear model of internal wave propagation //Int. Conf. "Dynamics of ocean and atmosphere". Moscow, 1995. P. 90-91.

10. Talipova T., pelinovsky E., Kit E. Numerical simulation of wind waves in the coastal zone //Int. Conf. "Coastal Dynamics'95". Gdansk (Poland), 1995. P. 211-212.