Економіко-математична модель оптимізації структури посівних площ

Задача 5.

Економіко-математична модель оптимізації структури посівних площ.

Загальна постановка задачі

В сільському господарстві земля - основний засіб виробництва. Її необхідно використовувати з максимальним економічним ефектом, постійно дбаючи про родючість. Успішне рішення задачі раціонального використання землі багато в чому залежить від обґрунтованої структури посівних площ.

Оптимальна структура посівних площ являє собою відображення спеціалізації рослинництва у вигляді такого співвідношення посівних площ по культурах, яке забезпечує отримання максимальної кількості сільськогосподарської продукції.

Постановка задачі: виходячи з виробничих ресурсів (земельних, трудових, матеріальних, тощо) визначити оптимальну структуру посівних площ, яка забезпечить виконання плану продажу продукції по видах, внутрішні потреби господарства в продукції, агрономічні та сівозмінні вимоги при максимальному економічному ефекті.

В якості критерію оптимальності може бути:

- максимум отримання прибутку від виробництва;

- максимум виробництва валової та товарної продукції в грошовому виразі;

- максимум виробництва конкретної продукції (зерна, картоплі, тощо).

Для розробки економіко-математичної моделі необхідна така інформація:

- розмір площі ріллі, сінокосів, пасовищ;

- перелік сільськогосподарських культур, що вирощуються в даній кліматичній зоні, їх можлива врожайність;

- затрати праці та коштів на 1га посіву;

- виручка від реалізації продукції (з 1га або одиниці продукції);

- наявність виробничих ресурсів в господарстві, норми витрат їх на 1га;

- потреба тварин в кормах по видах;

- план продажу та внутрішня потреба господарства по видах продукції;

- агротехнічні вимог та можливі межі входження окремої культури або групи культур в сівозміну.

Економіко-математичну модель можна представити в загальному виді.

Знайти максимум функції:

при обмеженнях:

- виробничі ресурси господарства обмежені:

- окремі культури та групи культур в сівозміну вводяться в обґрунтованих агротехнічними вимогами межах:

;

- дотримується співвідношення окремих культур (наприклад: для отримання збалансованих концентрованих кормів, страхові культури, ...):

- обмеження, на отримання продукції даного виду не менше заданої кількості:

- при умові невід’ємності змінних:

де:

- прибуток з 1га j-ї культури;

- площа посіву j-тої культури;

- затрати ресурсів i-го виду на 1га j-ї культури;

- наявність виробничих ресурсів i-го виду;

- нижня межа входження окремої культури або групи культур в сівозміну;

- верхня межа входження окремої культури або групи культур в сівозміну;

- урожайність j-тої культурі;

- необхідна кількість i-го виду продукції;

- коефіцієнти пропорційності.

Умова задачі

Господарство має 1200га оранки, на яких може вирощувати зернові та просапні культури.

Площа зернових у структурі посівних площ повинна бути від 40 до 60%, площа цукрових буряків не повинна перевищувати 15%, а площа соняшника або картоплі – не більше 10%. Площа озимих повинна бути не більше 50% від максимальної площі зернових. Площа ярої пшениці співвідноситься до площі озимої пшениці як 1:10.

Підприємство повинно виробити не менше:

- 15600ц зерна (в тому числі 7050ц пшениці);

- 10500ц цукрового буряку;

- 1050ц соняшника;

- 530ц проса або гречки.

Крім цього для галузі тваринництва необхідно:

- соломи – 17400ц;

- кукурудзи на силос (зелений корм) – 15570ц

В якості критерію оптимальності виступає прибуток від товарної продукції рослинництва.

Культури для розробки економіко-математичної моделі наведено в таблиці 7, вихідні дані взяти довільно з заданого діапазону (таблиця 1).

Розробити економіко-математичну модель, змінними в якій будуть площі під кожну культуру (Х₁, Х ₂, ..., Х₈), валові збори культур (Х₉, Х₁₀, ..., Х₁₆), загальні витрати на виробництво продукції (Х₁₇), витрати на виробництво товарної продукції (Х₁₈), виручка від реалізації товарної продукції рослинництва (Х₁₉).

Таблиця 1

Культури, що будуть висіватися в господарстві

Таблиця 2

Вихідні дані для розробки економіко-математичної моделі

Рішення

На 19-ть змінних задачі накладено 25 обмежень:

1-ше обмеження стосується використання наявної площі:

1X₁+1X₂+1X₃+1X₄+1X₅+1X₆+1X₇+1X₈<=1200, де:

X₁,X₂, ..., X₈ – площі сільськогосподарських культур.

2-ге та 3-тє обмеження задають верхню та нижню межу насиченості сівозміни зерновими культурами, питома вага яких повинна бути від 40% до 60%.

1X₁+1X₂+1X₃+1X₄+1X₅£720 (60%)

1X₁+1X₂+1X₃+1X₄+1X₅³480 (40%), де

X₁,X₂,X₃,X₄,X₅ – площі зернових культур.

4-те, 5-те та 6-те обмеження описують максимальну площу цукрових буряків, озимих та картоплі відповідно, так 4-те стосується площі цукрових буряків:

1X₆£180 (15%), де:

X₆ – площа цукрових буряків.

7-ме обмеження характеризує співвідношення між площею посіву озимої пшениці та ярої пшениці:

1X₁-10X₂=0, де:

X₁ – площа озимої пшениці;

X₂ – площа ярої пшениці.

Група обмежень з 8-го по 12-те задають нижню межу виробництва певної продукції, так 8-ме обмеження характеризується валового збору зерна, який повинен бути на менше 15600 ц:

1X₉+1X₁₀+1X₁₁+1X₁₂+1X₁₃>=15600; де:

X₉,X₁₀,X₁₁,X₁₂,X₁₃ – валові збори озимої пшениці, ярої пшениці, гречки, жита, гороху відповідно.

13-те та 14-те обмеження забезпечать задоволення потреб тваринництва в соломі та силосі відповідно, так 13-те має вигляд:

55X₁+30X₂+35X₄+25X₅>=17400; де:

X₁,X₂,X₄,X₅ – площі зернових культур: озимої пшениці, ярої пшениці, жита та гороху відповідно (коефіцієнти при цих змінних - урожайність соломи відповідних культур).

Обмеження з 15-го по 22-ге забезпечують зв’язок між площею посіву та валовим збором по кожній сільськогосподарській культурі, 15-те обмеження стосується озимої пшениці:

45X₁-X₉=0; де:

X₁ – площа озимої пшениці (32 – урожайність озимої пшениці);

X₉ – валовий збір озимої пшениці.

23-те обмеження акумулює затрати на виробництво продукції:

600X₁+480X₂+30X₃+480X₄+450X₅+2300X₆+650X₇+300X₈ – X17=0; де:

X₁,X₂, ..., X₈ – площі сільськогосподарських культур (коефіцієнти при змінних – затрати на 1 га, грн.);

X₁₇ – загальні затрати на виробництво продукції, грн.

24-те обмеження характеризує затрати на виробництво товарної продукції:

600X₁+480X₂+30X₃+480X₄+450X₅+2300X₆+650X₇ – X18=0; де:

X₁,X₂, X₃, X₄, X₅, X₆, X₇ – площі товарних сільськогосподарських культур (коефіцієнти при змінних – затрати на 1 га, грн.);

X₁₈ – загальні затрати на виробництво товарної продукції, грн.

25-те обмеження стосується виручки від реалізації товарної продукції:

40X₉+40X₁₀+38X₁₁+44X₁₂+29X₁₃+16X₁₄+90X₁₅-X₁₉ =0; де:

X₉,X₁₀,X₁₁,X₁₂,X₁₃,X₁₄,X₁₅ – валові збори с/г культур (коефіцієнти при змінних – ціна реалізації 1 ц продукції, грн.);

X₁₉ – виручка від реалізації товарної продукції рослинництва, грн.

В якості критерію оптимальності виступає прибуток від виробництва товарної продукції рослинництва:

1X₁₉–1X₁₈-max.

Економіко-математичну модель оптимізації посівних площ можна представити в табличному вигляді.