Исследование операций и Теория систем 3

Министерство образования и науки Российской Федерации

Южно-Уральский государственный университет

Кафедра Системы управления

Курсовая работа

по курсу

Исследование операций и Теория систем

Выполнил: Пушников А.А.

Группа: ПС-669

Проверила Плотникова Н.В.

Дата«____»____________2006г.

Челябинск

2006г

Содержание

Теория систем

Модели системы

Модель черного ящика

Модель состава

Модель структуры

Структурная схема

Динамическая модель

Классификация модели

Закономерности модели

Исследование операций

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Теория систем

Модели системы

Рассматривается модель движения жесткого летательного аппарата самолетного типа. В качестве исследуемого аппарата взят некий гипотетический самолет современного типа.

Модель черного ящика

К входам системы относятся управляющие органы летательного аппарата и возмущения окружающей среды. Рассматриваемый самолет обладает органом управления тягой двигателя и аэродинамическими рулями: элероны, закрылки, руль направления и высоты (рис. 1). Так же на самолет влияет скорость ветра, температура и плотность окружающего воздуха.

Рисунок 1. Рулевые органы ЛА

К выходам ЛА относятся данные, полученные с датчиков самолета. Непосредственно измеряется положение летательного аппарата в пространстве относительно нормальной системы координат, для этого используются датчики углового положения и система глобального позиционирования (GPS). Так же измеряются угловые скорости, угловые ускорения, линейные скорости и линейные ускорения (перегрузки).

Модель состава

Модель движения летательного аппарата можно разбить на следующие подсистемы и элементы:

· Аэродинамика летательного аппарата. Выражает воздушный поток вокруг самолета. Воздействие воздушного потока заключается в создании сил и моментов.

· Момент и сила тяги, вызываемые двигателем.

· Поступательное движение. Вычисляется скорость движения самолета в связной системе координат.

· Вращательное движение. Вычисляются угловые скорости самолета в связанной системе координат.

· Навигация. Вычисляет положение самолета в нормальной системе координат.

· Угловое положение. Через углы Эйлера или матрицу направляющих косинусов.

· Показания датчиков.

· Сигналы управляющих приводов. Положение ручка тяги, закрылок, элеронов, руля высоты и направления.

Модель структуры

Структура движения летательного аппарата определяется отношениями между следующими парами элементов, указанны прямые отношения (табл. 1).

Таблица 1

Структурная схема

Так как в модели нас интересует функции каждого элемента системы, рассмотрим структурную схему в зависимости от сил и моментов, действующих на модель (рис. 2).

Рисунок 2.Структурная схема.

Динамическая модель

Обозначения:

– набор входных воздействий (входов) в системе – вектор управления (вход системы);

– набор выходных воздействий (выходов) в системе – набор данных получаемых с датчиков будет выходом системы;

– набор параметров, характеризующих свойства системы, постоянные во всё время рассмотрения, и влияющих на выходные воздействия системы, – конструктивные и неконструктивные параметры летательного аппарата;

– набор параметров, характеризующих свойства системы, изменяющиеся во время ее рассмотрения (параметры состояния) – линейные и угловые скорости, положение в пространстве и угловое положение, аэродинамические силы и моменты, силы и моменты в двигателе;

– параметр (или параметры) процесса в системе – t;

– правило - нелинейная зависимость скоростей и положения в пространстве летательного аппарата от вектора управления;

– правило - нелинейная зависимость показаний датчиков от вектора управления, скоростей и положения в пространстве летательного аппарата;

– правило - нелинейная зависимость показаний датчиков от скоростей и положения в пространстве.

Тогда модель может быть записана так:

Классификация модели

Классификация системы:

по их происхождению - искусственная система, машина;

по описанию входных и выходных процессов - c количественными переменными, непрерывная, детерминированная система;

по описанию оператора системы – параметризованная, разомкнутая, нелинейная;

по способам управления – система управляемая извне, с управлением типа регулирование;

Закономерности модели

1. Целостность. Совокупность аэродинамической модели и модели двигателя дают летательному аппарату возможность движения в воздухе.

2. Иерархичность. Совокупность управляющих элементов, датчиков, аэродинамической модели и модели двигателя дают летательному аппарату возможность управляемого движения в воздухе.

3. Коммуникативность. На полет летательного аппарата действуют температура окружающей среды, скорость и направление ветра, плотность воздуха и др.

4. Эквифинальность. Рано или поздно, самолет вынужден будет приземлится или разобьется. Т.о. скорости, ускорения, моменты и силы будут равны нулю.

Исследование операций

Задача 1

Авиакомпания «Небесный грузовик», обслуживающая периферийные районы страны, располагает А₁ самолетами типа 1, А₂ самолетами типа 2, А₃ самолетами типа 3, которые она может использовать для выполнения рейсов в течение ближайших суток. Грузоподъемность (в тысячах тонн) известна: В₁ для самолетов типа 1, В₂ для самолетов типа 2, В₃ для самолетов типа 3.

Авиакомпания обслуживает два города. Первому городу требуется тоннаж в С₁, а второму – в С₂ т. Избыточный тоннаж не оплачивается. Каждый самолет в течение дня может выполнить только один рейс.

Расходы, связанные с перелетом самолетов по маршруту «центральный аэродром – пункт назначения», обозначены символом a_ij, где первый индекс соответствует номеру города, а второй – типу самолета.

А₁=8, А₂ = 15, А₃ =12, В₁ = 45, В₂ = 7, В₃ = 4, С₁ = 20000, С₂ = 30000, a₁₁= 23,
a₁₂ = 5, a₁₃ = 1.4, a₂₁ = 58, a₂₂ = 10, a₂₃ =3.8.

Решение

1. Составим математическую модель задачи. Возьмём в качестве целевой функции расходы на перелеты самолетов (соответственно, необходима минимизация целевой вункции), а в качестве переменных – число рейсов в день x_ij, где первый индекс соответствует номеру города, а второй – типу самолета.

Целевая функция:

Ограничений задачи:

Основная задача линейного программирования:

2. Правую часть уравнений (ограничения и целевую функцию) представляем в виде разности между свободным членом и суммой всех остальных:

Составим симплекс – таблицу:

Ответ: Задача не имеет допустимого решения

Задача 2

1. Основная задача линейного программирования:

Правую часть уравнений (ограничения и целевую функцию) представляем в виде разности между свободным членом и суммой всех остальных:

2. Составим симплекс – таблицу:

3. Решим задачу линейного программирования.

Оптимальное решение найдено.

Ответ: F=53/4, x₁=3/4, x₂=11/8, x₃=0, x₄=0, x₅=13/8, x₆=0.

Задача 3

Исходные данные:

Определение опорного плана задачи

L=5000+9000+6400+2500+4200=27300

r+m-1=7>5 это вырожденный случай.

Определение оптимального плана

1.

2.

3.

4.

5. Результат

6.

Так в системе нет положительных чисел, то найденный план называется оптимальным.

Ответ: F=19100

Задача 4

Приведем систему к стандартному виду:

Определение стационарной точки:

Очевидно, что данные координаты не удовлетворяют условиям ограничений.

1. Проверка стационарной точки на относительный max или min:

Стационарная точка является точкой относительного максимума.

2. Составление функции Лагранжа:

3. Применим теорему Куна-Таккера:

Нахождение решения системы:

Перепишем эту систему, оставив все переменные в левой части:

Из уравнения 3 системы следует, что x₁=8-x₂:

Тогда:

Для обращения неравенств системы в равенства введём V₁, V₂, W и преобразуем систему:

Запишем условия дополняющей нежесткости:

4. Метод искусственных переменных:

Введем искусственные переменные , в первое и второе уравнения со знаками, совпадающими со знаками соответствующих свободных членов:

Далее решаем полученную задачу линейного программирования, для этого из 1 и 2 уравнений выражаем переменные , и принимаем их в качестве базисных.

Составляем симплекс-таблицу:

u₁=u₂=z₁=z₂=V₂=0

V₁=13

x₂=1

W=9

x₁=8-x₂=7

Ответ: x₂=1, x₁ =7,

Список используемой литературы

1. Волков И. К., Загоруйко Е. А. Исследование операций. – Москва: Издательство МГТУ имени Баумана Н. Э., 2000г. – 436с.

2. Плотникова Н.В. «Исследование операций» Часть 1. Линейное программирование.

3. Плотникова Н.В. «Лекции по курсу теория систем»