Парная регрессия 3

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По курсу: Эконометрика

На тему: Парная регрессия (Вариант №9)

Выполнил студент 1 курса ФВВиДО

Специальность:БУАА

Конкина Анна Андреевна

Руководитель: Репина Е.Г.

г. Самара

2010г.

По данным 12-летних наблюдений исследовали зависимость признаков Х иY , где Х – темп прироста капиталовложений, %; Y – выпуск валовой продукции, млн. руб. Признаки имеют нормальный закон распределения.

Задание

1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи между темпом прироста капиталовложений и выпуском валовой продукции.

2. Рассчитайте оценки параметров , уравнения парной линейной регрессии.

3. Оцените тесноту связи между темпом прироста капиталовложений и выпуском с помощью выборочного коэффициента корреляции (r_в). Проверьте значимость коэффициента корреляции(α =0,1).

4. Рассчитайте выборочный коэффициент детерминации (R²_в). Сделайте экономический вывод.

5. Проверьте значимость оценки параметра с помощью критерия Стьюдента при уровне значимости α =0,1.

6. Постройте 90-процентный доверительный интервал для коэффициента регрессии b. Сделайте экономический вывод.

7. Проверьте значимость оценки параметра с помощью критерия Стьюдента при уровне значимости α =0,1.

8. Постройте 90-процентный доверительный интервал для свободного члена уравнения а.

9. Составьте таблицу дисперсионного анализа.

10. Оцените с помощью F-критерия Фишера - Снедекора значимость уравнения линейной регрессии (α =0,1).

11. Рассчитайте выпуск валовой продукции (), если темп прироста капиталовложений составит 15%. Постройте 90-процентный доверительный интервал для прогнозного значения объясняемой переменной (). Сделайте экономический вывод.

12. Рассчитайте средний коэффициент эластичности (). Сделайте экономический вывод.

13. Проверьте гипотезу Н₀: b = b₀, (b₀ = 0,25).

14. На поле корреляции постройте линию регрессии.

1. Построим поле корреляции (рис. 1) и сформулируем гипотезу о форме связи между признаками:

Х –темп прироста капиталовложений,%;

Y - выпуск валовой продукции, млн.руб.

По расположению точек на поле корреляции можно предположить наличие прямой линейной связи между темпом прироста капиталовложений и выпуском валовой продукции.

2. Рассчитаем оценки параметров линейной модели

методом наименьших квадратов (МНК). Оценкой модели по выборке является выборочное уравнение регрессии

. (1)

Найдем оценки параметров , из системы нормальных уравнений линейной зависимости, которая имеет следующий вид:

Отсюда можно выразить , [1]:

Необходимые суммы рассчитаны в табл. 1 в столбцах 2 - 5.

Занесем полученные ответы в табл. 4.

Подставим рассчитанные значения , в уравнение (1) и запишем линейную модель в виде:

. (2)

3. Оценим тесноту взаимосвязи между признаками с помощью выборочного линейного коэффициента корреляции:

.

Заполним столбец 6 и подставим рассчитанные суммы из табл. 1.

0,95348.

Проверим значимость выборочного коэффициента корреляции. Для этого выдвигаем нулевую гипотезу Н₀ об отсутствии линейной зависимости между признаками Х и Y, т.е.

Н₀: r_г = 0,

Н₁: r_г¹ 0.

Конкурирующая гипотеза Н₁ определяет двустороннюю критическую область.

Данная гипотеза проверяется с помощью случайной величины

Т =, которая имеет распределение Стьюдента с

k = 12– 2 = 10 степенями свободы.

По выборочным данным найдем

Т_н == 10,00181.

По таблице критических точек распределения Стьюдента (прил. 1) находим

t_кр.дв(a; k) = t_кр.дв(0,1; 10) = 1,81

(на пересечении строки k = 10 и уровня значимости a= 0,1).

Сравниваем Т_н и t_кр.дв(a; k). Так как |Т_н| > t_кр.дв(a; k), то Т_н попало в критическую область. Следовательно, нулевая гипотеза об отсутствии линейной связи между темпом прироста капиталовложений и выпуском валовой продукции отвергается при 10-процентном уровне значимости.

Справедлива конкурирующая гипотеза Н₁: r_г¹ 0,r_в значим, признаки Х и Y коррелированы.

Коэффициент корреляции r_в по модулю больше 0,7, значит, связь между признаками тесная, а положительный знак r_в указывает на прямую зависимость между темпом прироста капиталовложений и выпуском валовой продукции, что подтверждается экономической теорией.

4. Рассчитаем выборочный коэффициент детерминации . Для этого возведем коэффициент корреляции r_в в квадрат:

= (r_в)² = (0,95348)² = 0,909124.

Коэффициент детерминации характеризует вариацию признака Y, объясненную линейным уравнением регрессии. Таким образом, в среднем 90,91% вариации выпуска валовой продукции объясняется вариацией темпа прироста капиталовложений, а 9,09% зависит от вариации не учтенных в модели факторов.

5. Проверим значимость оценки параметра регрессии с помощью критерия Стьюдента. Выдвигаем нулевую гипотезу о равенстве нулю коэффициента регрессии:

Н₀: b = 0,

Н₁: b 0.

Конкурирующая гипотеза Н₁ определяет двустороннюю критическую область.

Данная гипотеза Н₀ проверяется с помощью случайной величины

=, которая имеет распределение Стьюдента с k = 12– 2 = 10 степенями свободы.

Заполняем столбцы 7 и 8 табл. 1. Для того чтобы найти , надо значения фактора (столбец 2 табл. 1) подставить в уравнение (2).

Предварительно найдем стандартную ошибку коэффициента регрессии по формуле

,

где – это несмещенная оценка остаточной дисперсии , она равна

(табл. 1, столбец 8).

Тогда стандартная ошибка регрессии

(занесем этот результат в табл. 4).

Дисперсия объясняющего фактора Х вычисляется по формуле

== 87,74.

Итак, 0,02207.

Найдем наблюдаемое значение критерия Стьюдента:

= .

Заносим два последних ответа в табл. 4. По таблице критических точек распределения Стьюдента (прил. 1) находим

t_кр.дв(a; k) = t_кр.дв(0,1; 10) = 1,81.

Сравниваем || и t_кр.дв(a; k). Так как || > t_кр.дв(a; k), то попало в критическую область. Следовательно, нулевая гипотеза о незначимости коэффициента регрессии отвергается при 10-процентном уровне значимости. Справедлива конкурирующая гипотеза Н₁: b¹ 0,оценка параметра статистически значима, признаки Х и Y взаимосвязаны.

Таким образом, если прирост капиталовложений увеличится на 1%, то выпуск валовой продукции увеличится в среднем на 0,22132 млн.руб.

6. Построим доверительный интервал для коэффициента регрессии b.

– t_кр.дв(α; k)+ t_кр.дв(α; k).

Подставляем значения из п. 5:

,

(заносим результат в табл. 4).

Таким образом, при увеличении темпа прироста капиталовложений на 1% выпуск валовой продукции увеличится в среднем с 0,18 до 0,26 млн. руб.

7. Проверим значимость оценки параметра с помощью критерия Стьюдента. Выдвигаем нулевую гипотезу о незначимости свободного члена уравнения.

Н₀: а = 0,

Н₁: а 0.

Конкурирующая гипотеза Н₁ определяет двустороннюю критическую область.

Данная гипотеза Н₀ проверяется с помощью случайной величины

=, которая имеет распределение Стьюдента с k = 12– 2 = 10 степенями свободы.

Предварительно найдем стандартную ошибку по формуле

.

Найдем наблюдаемое значение критерия Стьюдента

= .

Заносим ответы и в табл. 4. По таблице критических точек распределения Стьюдента (прил. 1) находим

t_кр.дв(a; k) = t_кр.дв(0,1; 10) = 1,81.

Сравниваем || и t_кр.дв(a; k). Так как || > t_кр.дв(a; k), то попало в критическую область. Следовательно, нулевая гипотеза о незначимости свободного члена отвергается при 10-процентном уровне значимости. Справедлива конкурирующая гипотеза Н₁: а¹ 0,оценка параметра статистически значима.

8. Построим доверительный интервал для свободного члена уравнения:

– t_кр.дв.(α; k)+ t_кр.дв.(α; k).

Подставляем значения из п. 7:

,

(вносим в табл. 4).

Границы доверительного интервала имеют одинаковые знаки, поэтому линейную модель оставляем в общем виде[2]: .

9. Построим таблицу дисперсионного анализа по общей схеме (табл. 2).

Сначала найдем среднее значение признака Y:

=59,2= 4,93333(3).

Затем в табл. 1 заполним столбцы 9 и 10.

RSS =– регрессионная сумма квадратов отклонений.

ESS =– остаточная сумма квадратов отклонений.

TSS = RSS + ESS – общая сумма квадратов отклонений.

F– статистика рассчитана по формуле F = .

10. Оценим значимость линейной модели в целом при 10-процентном уровне значимости. Выдвигаем гипотезу о незначимости линейной модели.

Н₀: модель незначима,

Н₁: модель значима.

Конкурирующая гипотеза Н₁ определяет правостороннюю критическую область.

Данная гипотеза проверяется с помощью случайной величины F, которая имеет распределение Фишера – Снедекора с и степенями свободы.

Наблюдаемое значение критерия берем из схемы дисперсионного анализа (табл. 3): . Критическое значение критерия смотрим в таблице критических точек Фишера – Снедекора (прил. 2)

F_кр(α; k₁; k₂) = F_кр(0,1; 1; 10) = 3,29

(на пересечении строки k₂ = 10 и уровня значимости α = 0,1).

Сравниваем F_н и F_кр(α; k₁; k_2). Так как F_н >> F_кр(α; k₁; k₂), то F_н попало в критическую область. Следовательно, нулевая гипотеза о незначимости линейной модели отвергается при 10-процентном уровне значимости. Справедлива конкурирующая гипотеза Н₁, следовательно, модель значима и ее можно использовать для прогноза.

11. Спрогнозируем процент расходов на питание при темпе прироста капиталовложений =15%. Для этого подставим в уравнение регрессии (2):

.

Таким образом, если темп прироста капиталовложений будет равен 15%, выпуск валовой продукции составит в среднем 4,4 млн.руб.

Построим 90-процентный доверительный интервал прогноза:

– t_кр.дв(α; k)+ t_кр.дв(α; k).

Предварительно заполним столбец 11 (см. табл. 1) и найдем стандартную ошибку прогноза :

,

где

= – среднее значение дохода Х.

Итак, (табл. 4).

Подставляем найденные значения в формулу доверительного интервала:

.

(табл. 4).

Таким образом, если темп прироста капиталовложений буде равен 15%, то выпуск валовой продукции будет колебаться в среднем от 3,04 до 5,76 млн.

12. Найдем средний коэффициент эластичности:

.

Таким образом, с увеличением темпа прироста капиталовложений на 1% выпуск валовой продукции увеличится в среднем на 0,7806 млн.руб.

13. Проверим гипотезу о равенстве параметра b некоторому теоретическому значению b₀. Примем b₀ = 0,25, так как = 0,22 ≈ 0,25.

Н₀: b = 0,25,

Н₁: b0,25.

Конкурирующая гипотеза Н₁ определяет двустороннюю критическую область.

Данная гипотеза проверяется с помощью случайной величины

=, которая имеет распределение Стьюдента с

k = n– 2 = 10 степенями свободы.

Стандартная ошибка коэффициента регрессии = 0,02207 (см. п. 5).

По выборочным данным найдем

= .

По таблице критических точек распределения Стьюдента (прил. 1) находим t_кр.дв(a; k) = t_кр.дв(0,1; 10) = 1,81.

Сравниваем || и t_кр.дв(a; k). Так как || < t_кр.дв(a; k), то попало в область принятия гипотезы. Следовательно, нулевая гипотеза принимается при уровне значимости α = 0.1, Н₀: b=0,25. Таким образом, b₀ и b различаются несущественно.

14. На поле корреляции построим график уравнения линейной регрессии (рис. 2). Графиком является прямая, которую можно построить по данным столбцов 2 и 7 (см. табл. 1).

Рис.2

y=1,08+0,22x

Коэффициент детерминации() – 0,909

[1]Пределы суммирования постоянны, поэтому суммубудем обозначать знаком.

[2] Если при сравнении || < t_кр.дв(a; k), то попадает в область принятия гипотезы и нулевая гипотеза Н₀: а= 0 принимается, аоценка параметра считаетсястатистически незначимой. Тогда модель можно записать в виде.