Математические методы исследования экономики системы массового обслуживания

Министерство образования и науки Российской Федерации

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Кафедра "Высшей математики"

Расчётно-графическая работа по теме:

Математические методы исследования экономики.

(системы массового обслуживания)

Выполнила: ХХХХХХХХ. Проверил: ХХХХХХ Дата

Студент групп ХХХХ Оценка:

Данная работа представляет собой анализ системы массового обслуживания. В ней проводится расчёт основных показателей СМО, которые непосредственно влияют на её работу.

Целью данной расчётно-графической работы является получение теоретических и практических знаний и навыков по анализу систем массового обслуживания (на примере продуктового магазина).

При проведении анализа были использованы элементы теории массового обслуживания, а так же элементы теории вероятностей и математической статистики.

Наименование организации:

Род деятельности: продуктовый магазин

Место расположения:

Время работы:с 8.00 до 23.00, без обеда и выходных

Необходимые данные для анализа системы:

Рассматриваемый промежуток времени:

Рассматриваемое количество обслуживающих приборов:

2

Рассматриваемые дни:

дни с понедельника по воскресенье включительно.

Рассматриваемый промежуток времени:

17.00 – 19.00

(период наибольшей загруженности системы)

Рассматриваемая единица времени: t = 7,1 минут

X₁, X₂, …, X_n – число поступивших клиентов в единицу времени.

Y₁, Y₂, …, Y_n– количество обслуженных клиентов в течение единицы времени.

Проверив данные выборки на подтверждение гипотезы о том, что они из распределения Пуассона, получаем результат: По Х и по У гипотеза подтверждается.

Согласно проверенным выше гипотезам, мы описываем систему массового обслуживания вида:

<М│М│2> (с очередью).

где: <М│ - функция распределения промежутка времени между приходами вызовов (т.е. характеристика входного потока);

│М│ - функция распределения времени обслуживания (т.е. характеристика времени обслуживания);

│2> – число приборов в системе;

(с очередью) – дисциплина обслуживания.

λ_к = λ

μ_к =

λ_к = 6,6

μ_к =

Проанализируем полученные выборки как выборки из распределения Пуассона.

Пусть X(t) – число клиентов в системе в момент t с характеристиками:

Где λ_k – интенсивность поступления клиентов:

- среднее число клиентов, поступивших в систему, когда система находится в состоянии k в единицу времени.

µ_k – интенсивность обслуживания клиентов:

- характеризует среднее число обслуженных клиентов в системе, когда система находится в состоянии k в единицу времени.

Следовательно:

- интенсивность поступления клиентов в систему.

- интенсивность обслуживания клиентов.

Определим основные характеристики системы:

Определим коэффициент загруженности системы :

, следовательно, условие стационарности выполняется, так как

В условиях существования стационарного режима

S = 3.3

- доля времени простоя

(1.29^k / k!) * 0.23, 0≤ к≤ 2

P_k= (1.29^k/ 2*2^k-2) * 0.23, к > 2

- вероятность того, что в системе k клиентов

Р_з = р^m / (m-1)!(1+S)(m-p) = 1,29²/( 2-1)!(1+3,3)(2-1,29) = 0,545

- вероятность, что все приборы заняты

E_q= Р_з / µ( m –p) = 0,545 /5,1*( 2-1,29) = 0,151 единицы времени,

т.е 0,151*7,1 =1,072 минуты в среднем клиент проводит в очереди

E_v= E_q +1/µ = 0.151 * 1/5.1 = 0.229 единицы времени.

т.е. 0,229*7,1 = 1,626 минуты клиент в среднем пребывает в системе

E_x = λ* E_v = 6,6*0,229 = 1,51- среднее число клиентов в системе в единицу времени (7,1 минут).

Для того чтобы система массового обслуживания работала эффективно, необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:

P₀ ≤ 0,1

Для рассматриваемой системы P₀ = 0,23 > 0,1 , это означает, что система работает с чрезмерным простоем и несет тем самым финансовые потери.

Следующее условие, которое должно выполняться:

,

То есть должно выполняться: E_q≤ 0,392, а в нашем случае Eq= 0,151 единицы времени, то есть условие выполняется.

Рассчитаем значение μ, необходимое для снижения времени простоя системы.

; ; ; ; µ ( 3,3; 4,02]

Прежде чем заново рассчитывать характеристики системы, решим неравенство

µ ( -оо;4,02][4,02;+оо)

и посмотрим пересечение интервалов значения , при фиксированном значении. Решением системы неравенств является единственное значение µ=4,02.

Теперь рассчитаем основные характеристики системы при λ = 6,6 и скорректированном значении µ=4,02.

р = 6,6/4,02 = 1,64

S = 15.1

P₀ = 1/1+S = 0.061 доля временипростоя

(1.64^k / k!) * 0.061, 0≤ к≤ 2

P_k= (1.64^k/ 2*2^k-2) * 0.061, к > 2

- вероятность того, что в системе k клиентов

Р_з = р^m/ (m-1)!(1+S)(m-p) = 1,64²/( 2-1)!(1+15,1)(2-1,64) = 0,46

- вероятность, что все приборы заняты

E_q= Р_з / µ( m –p) = 0,46 /4,02*( 2-1,64) = 0,32 единицы времени

т.е 0,32*7,1 =2,25 минуты в среднем клиент проводит в очереди

E_v= E_q +1/µ = 0.32 * ¼,02 = 0.569 единицы времени.

т.е. 0,569*7,1=4,04 минуты клиент в среднем пребывает в системе

E_x = λ* E_v = 6,6*0,569 = 3,75

- среднее число клиентов в системе.

Теперь поставленные условия выполняются:

P₀ ≤ 0,1 ( Р₀ = 0,061)

( E_q=0,32< 2/4,02; E_q= 0,32<0,497

Уменьшение интенсивности обслуживания клиентов приводит к увеличению качества обслуживания клиентов за счет уменьшения доли простоя системы. При времени, проводимом клиентом в очереди – 2.25 минуты это должно привести к привлечению клиентов. Следует учесть, что качество обслуживания влияет на спрос отпускаемой продукции исследуемой системы, что приведет к увеличению прибыли предприятия.

Надо уменьшить интенсивность обслуживания клиентов, что поможет привлечь новых клиентов и получить прибыль.