Теория устойчивости

4. КритерийустойчивостиМихайлова.

Частотныекритерии устойчивостиполучили наиболееширокое практическоеприменение,так как, во-первых,они позволяютсудить обустойчивостизамкнутойсистемы поболее простойпередаточнойфункции системыW ( s ) ; во-вторых,анализ устойчивостиможно выполнятьи по экспериментальноопределеннымчастотнымхарактеристикам;в-третьих, спомощью частотныххарактеристикможно судитьи о качествепереходныхпроцессов всистеме.

А.В. Михайловпервым предложилиспользоватьразвитые врадиотехникеНайквистомчастотныеметоды дляанализа устойчивостилинейных системрегулирования.Сформулированнымим в 1938 г. критерийустойчивостиназвали егоименем. Рассмотримсущество этогокритерия.

Пусть характеристическоеуравнениезамкнутойсистемы имеетвид

D ( l ) = l ⁿ + a₁ l ^n-1 + a₂ l ^n-2 + ... + a_n = 0. (13)

Зная его корни l ₁ , l ₂ , ... , l _n , характеристическиймногочлен дляуравнения (13)запишем в виде

D ( l ) = ( l - l ₁ ) ( l - l ₂ ) ... ( l - l _n ).(14)

Im Im

0Re 0 Re

а)б)

Рис.12. Векторноеизображениесомно-жителейхарактерис-тическогоуравнениязамкнутойсистемы наплоскости :

а - для двухкорней l и l _i ;

б - для четырехкорней l ₁ , l ‘₁ , l ₂ , l ‘₂

Графическикаждый комплексныйкорень l можно представитьточкой на плоскости.Поэтому, в своюочередь, каждыйиз сомножителейуравнения (14)можно представитьв виде разностидвух векторов ( l - l _i ), какэто показанона рис.12,а. Положимтеперь, что l = j w ; тогда определяющейявляется точка w на мнимой оси(рис.12,б). При изменении w от - Ґ до + Ґ векторыj w - l ₁ и j w - l ‘₁ комплексныхкорней l и l ‘₁повернутьсяпротив часовойстрелки, и приращениеих аргументаравно + p , а векторы j w - l ₂ и j w - l ‘₂повернутся почасовой стрелке,и приращениеих аргументаравно - p . Таким образом,приращениеаргумента arg( j w - l _i ) длякорня характеристическогоуравнения l _i , находящегосяв левой полуплоскости,составит + p , а для корня,находящегосяв правой полуплоскости,- p . Приращениерезультирующегоаргумента D arg D( j w ) равно суммеприращенийаргументовего отдельныхсомножителей.Если сре1ди nкорней характеристическогоуравнения mлежит в правойполуплоскости,то приращениеаргументасоставит

D arg D( j w ) = ( n - m ) p - m p = ( n - 2m ) p . (15)

^{- Ґ w Ґ для левойдля правой}

^{полуплоскости полуплоскости}

Отметимтеперь, чтодействительнаячасть многочлена

D ( j w ) = ( j w )ⁿ + a₁( j w )^n-1 + a₂( j w )^n-2 + ... + a_n(16)

содержитлишь четныестепени w , а мнимая егочасть - тольконечетные, поэтому

arg D ( j w ) = - arg D ( -j w ), (17)

и можнорассматриватьизменениечастоты толькона интервале w от 0 до Ґ . В этом случаеприращениеаргументагодографахарактеристическогомногочлена

D arg D( j w ) = ( n - 2m ) p / 2 . (18)

^{0 Ј w Ґ}

Если системаустойчива, топараметр m = 0, ииз условия (18)следует, чтоприращениеаргумента

D arg D( j w ) = n p / 2 . (19)

^{0 Ј w Ґ}

На основанииполученноговыражениясформулируемчастотныйкритерий устойчивостиМихайлова: длятого чтобызамкнутаясистема автоматическогорегулированиябыла устойчива,необходимои достаточно,чтобы годографхарактеристическогомногочленав замкнутойсистеме (годографМихайлова)начинался наположительнойчасти действительнойоси и проходилпоследовательнов положительномнаправлении,не попадая вначало координат,n квадрантовкомплекснойплоскости (здесь n - порядокхарактеристическогоуравнениясистемы).

j V’ j V’

0 U’ 0 U’

а) б)

Рис.13. ПримерыгодографовМихайлова дляразличныххарактеристическихуравненийзамкнутыхсистем:

а - устойчивыесистемы приn = 1 - 6 ; б - неустойчивыесистемы приn = 4 и различныхпараметрах

Соответствующиеустойчивымсистемам годографыМихайлова дляуравненийразличныхпорядков построенына рис. 13,а. На рис.13,б построеныгодографыМихайлова длянеустойчивыхсистем при n =4.

Введение

Одной изосновных задачтеории автоматическогорегулированияявляется изучениединамическихпроцессов,происходящихв автоматическихсистемах.Автоматическиесистемы принормальнойэксплуатациидолжны поддерживатьопределенныйрежим работыобъекта регулированияпри действиина него многихвозмущающихфакторов. Такоеповедение можетбыть достигнутолишь в системахавтоматическогорегулирования,обладающихустойчивостьюпо отношениюк этим воздействиям.Устойчивостьсистемы означает,что малое изменениевходного сигналаили какого-нибудьвозмущения,начальныхусловий илипараметровне приведутк значительнымотконениямвыходногосигнала. Этоопределениераскрываетфизическийсмысл понятияустойчивости.

Теория устойчивости,основоположникамикоторой являютсявеликий русскийученый А.М. Ляпунови великий французскийученый А.Пуанкаре,представляетсобой важныйраздел прикладнойматематики.Создателямисовременнойтеории устойчивостиявляются русскиеученые Н.Г. Четаев,Е.А. Барбашин,Н.П. Еругин, Н.Н.Красовский.

1. Понятиеустойчивости,асимптотическойустойчивостии неустойчивостипо Ляпунову.

Рассмотримзадачу Кошидля нормальнойсистемы дифференциальныхуравнений

x’ = f ( t , x )

(1)

с начальнымиусловиями x ( t₀ ) = x₀ (2)

где x = ( x₁, x₂,... , x_n ) - n -мерный вектор;t О I = [t₀, + Ґ [ - независимаяпеременная,по которойпроизводитсядифференцирование;

f ( t, x ) = ( f₁( t , x ) , f₂ ( t, x ) , ... , f_n (t , x ) ) - n - мерная вектор- функция.

Комментариик задаче Коши (1), (2). Дляпростоты восприятияэту задачуможно сначалатрактоватькак задачу Кошидля скалярногодифференциальногоуравненияпервого порядкавида x’= f ( t , x ) сначальнымусловием x ( t₀) = x₀. Сцелью упрощения все рисункип. 1⁰ ,еслинет специальныхоговорок, приводитсядля случая n =1.

x

0 t

Рис.1

Таккак задачатеории устойчивостивпервые возниклав механике,то переменнуюt принято интерпретироватькак время, аискомую вектор-функцию x ( t ) - как движениеточки в зависимостиот времени впространствеRⁿ⁺¹ (рис.1)

Пустьзадача Коши(1), (2) удовлетворяетусловиям теоремысуществованияи единственности.Тогда черезкаждую точку( t₀ , x₀) областиединственностирешений проходиттолько однаинтегральнаякривая. Еслиначальныеданные ( t₀, x₀ ) изменяются,то изменяетсяи решение. Тотфакт, что решениезависит отначальныхданных, обозначаетсяследующимобразом: x ( t ) = x ( t; t₀ , x₀). Изменениеэтого решенияв данной математическоймодели с изменениемначальныхданных ( t₀, x₀ ) приводятк существенномуизменениюрешения x ( t ; t₀, x₀ ) , приводитк тому, что такоймоделью нельзяпользоваться,посколькуначальныеданные ( t₀, x₀ ) получаютсяиз опыта, а измененияне могут бытьабсолютноточными. Естественно,что в качествематематическоймодели пригодналишь та задачаКоши, котораяустойчива кмалым изменениямначальныхданных.

Определимпонятие устойчивости,асимптотическойустойчивостии неустойчивостив смысле Ляпунова.Для этого отклоениерешения x ( t ) = x ( t ; t₀ , x₀) , вызванноеотклонением D x₀ начальногозначения x₀, будем записыватьследующимобразом:

|x ( t ; t₀ , x₀+ D x₀ ) - x ( t ) | = | x ( t ; t₀ ,x₀ + D x₀ ) - x ( t ; t₀, x₀ ) |.

Определение1. Решение x ( t ) = x ( t ; t₀, x₀ ) системы(1) называетсяустойчивымпо Ляпуновув положительномнаправлении(или устойчивым),если оно непрерывнопо x₀ на интервале I = = [ t₀,+ Ґ [ , т.е. " e > 0 $ d > 0 такое, что " D x₀

| D x₀ | Ј d Ю | x ( t ; t₀ ,x₀ + D x₀ ) - x ( t ) | Ј e " t і t₀.

Если, крометого, отклонениерешения x ( t ) стремитсяк нулю при t ® + Ґ для достаточномалых D x₀ , т.е.$ D > 0 " D x₀.

| D x₀ | Ј D Ю | x ( t ; t₀ ,x₀ + D x₀ ) - x ( t ) | ® 0 , t ® + Ґ . (3)

торешение x ( t ) системы(1) называетсяасимптотическиустойчивымв положительномнаправлении(или асимптотическиустойчивым).

Аналогичноопределяютсяразличные типыустойчивостирешения вотрицательномнаправлении.

Комментарийк определению 1. 1) Геометрическиустойчивостьпо Ляпуновурешение х ( t )можно интерпритироватьследующимобразом ( рис.1) : все решенияx ( t ; t₀ , x₀+ D x₀ ) , близкиев начальныймомент t₀к решению x ( t ) (т.е. начинающиесяв пределах d - трубки ) , невыходят запределы e - трубки привсех значенияхt і t₀ .

x

0 t

Рис.2

2)Асимптотическаяустойчивостьесть устойчивостьс дополнительнымусловием (3) :любое решениеx₁ ( t ) ,начинающеесяв момент t₀в D - трубке, с течениемвремени неограниченноприближаетсяк решению x ( t ) (рис.2). Трубкарадиуса D называетсяобластью притяжениярешения x ( t ). Решениеx₂ ( t ),начинающеесяпри t = t₀ за пределамиобласти притяжения,но в пределахd - трубки, непокидает e - трубку, хотяможет и неприближатьсяк решению x(t).

Определение2. Решениеx ( t ) = x ( t ; t₀, x₀ ) системы(1) называетсянеустойчивыппо Ляпуновув положительномнаправлении(или неустойчивым),если оно неявляется устойчивымв положительномнаправлении.

Аналогичноопределяетсянеустойчивостьв отрицательномнаправлении.

Комментарийк определению2. Геометрическинеустойчивостьпо Ляпуновуозначает, чтосреди решений,близких в начальныймомент t₀к решению х ( t) , найдется хотябы одно, котороев некоторыймомент t₁( свой для каждоготакого решения)выйдет за пределы e - трубки (рис.3).

Приведемпримеры измеханики,иллюстрирующиеопределенияразличных типовустойчивостидля одномерногослучая, т.е. n = 1.

Рассмотриммаятник, состоящийиз точечноймассы m, укрепленнойна невесомомстержне длинойl (рис.4). Выведеммаятник изсостояния I,отклонив стерженьна угол a ; тогда, какизвестно изопыта, он будетстремитьсязанять вновьположение I.Если пренебречьсопротивлениемокружающейсреды, то маятникбудет колебатьсявозле положенияI сколь угоднодолго с амплитудой,равной начальномуотклонению,- это модельустойчивогоположенияравновесия.Если же учитыватьсопротивлениеокружающейсреды, то амплитудаколебаниймаятника будетуменьшатьсяи в итоге онснова займетположение I -это модельасимптотическиустойчивогоположенияравновесия.Если маятникнаходится вположении II,то малейшееего смещениеприведет кудалению маятникаот состоянияII - это модельне устойчивогоположенияравновесия.

x

0 t

Рис.3 Рис.4

Исследованиеустойчивостипроизвольногорешения x ( t ) системы(1) всегда можносвести к исследованиюустойчивостинулевого решениянекоторойпреобразованнойсистемы.Действительно,в системе (1)произведемподстановкуy ( t ) = x - x (t). Тогда получимсистему

y’ = F ( t,y ). (4)

где F ( t , y ) = f ( t , y ( t ) + x ( t ) ) - f ( t , x ( t ) ) , F(t, 0) є 0 " t і t₀.

Решениюx ( t ) системы (1)соответствуетнулевое решениеy (t) є 0 системы (4).

Вдальнейшембудем предполагать,что система(1) имеет нулевоерешение, т.е.f ( t , 0 ) = 0 " t і t₀, иограгничимсяисследованиемустойчивостинулевого решения.Переформулируемопределенияразличных типовустойчивостидля нулевогорешения x ( t ) є 0 системы (1).

Определение3. Нулевоерешение x ( t ) є 0 системы (1) называетсяустойчивымпо Ляпуновув положительномнаправлении(или устойчивым),если " e > 0 $ d = d ( e ) > 0 такое, что " x₀

| D x₀ | Ј d Ю | x ( t ; t₀ ,x₀ ) | Ј e " t і t₀.

Если крометого,

$ D > 0 " x₀ | D x₀ | Ј D Ю | x ( t ; t₀ ,x₀ ) | ® 0 , t ® + Ґ ,

торешение x ( t ) є 0 системы (1) называетсяасимптотическиустойчивымв положительномнаправлении( или асимптотическиустойчивым) .

Определение4. Нулевоерешение x ( t ) є 0 системы (1) называетсянеустойчивымпо Ляпуновув положительномнаправлении(или неустойчиво),если оно неявляется устойчивымв положительномнаправлении,т.е.

$ e > 0 $ t₁ > t₀ " d > 0 x₀ № 0 | x₀ | Ј d Ю | x ( t ; t₀ ,x₀ ) | > e .

Геометрическаяинтерпритацияустойчивости,асимптотическойустойчивостии неустойчивостинулевого решения x ( t ) є 0 системы (1) данасоответственнона рис.5-7.

x

t

0

Рис.5

x

t

0

Рис.6

x

t

0

Рис.7

2. Устойчивостьрешения автономнойсистемы. Устойчивостьрешения системылинейныхдифференциальныхуравнений спостояннымикоэффициентами.

Системаобыкновенныхдифференциальныхуравненийназываетсяавтономной(или стационарной,или консервативной,или динамической),если независимаяпеременнаяне входит явнов систему уравнений.

Нормальнуюавтономнуюсистему n - гопорядка можнозаписать ввекторной форме:

dx/ dt = f ( x ). (5)

Рассмотримзадачу Кошидля системы(5) с начальнымиусловиями (2).В дальнейшемпредполагаем,что задача Коши(5), (2) удовлетворяетусловиям теоремысуществованияи единственности.

Пустьx = x ( t ) - есть решениесистемы (5).Направленнаякривая g , которую можнопараметрическизадать в видеx_i = x_i( t ) ( i = 1, ... , n ), называетсятраекторией(фазовым графиком)системы (5) илитраекториейрешения x = x ( t ).ПространствоRⁿ скоординатами( x₁ , ... , x_n), в которомрасположенытраекториисистемы (5), называетсяфазовым пространствомавтономнойсистемы (5). Известно,что интегральныекривые системы(5) можно параметрическизадать в виде t = t , x₁ = x₁( t ), ... , x_n =x_n ( t ).Следовательно,интегральнаякривая принадлежитпространствуRⁿ⁺¹ скоординатами( t , x₁ , x₂, ... , x_n ) , атраекторияявляется проекциейинтегральнойкривой напространствоRⁿ параллельнооси t. Проиллюстрируемэто для случаяn = 2 , т.е. когда Rⁿ⁺¹ - трехмерноепространство,а фазовоепространствоRⁿ - двумернаяплоскость. Нарис.8,а изображенаинтегральнаякривая, заданнаяпараметрическимиуравнениямиt = t, x₁ = x₁( t ) , x₂ = x₂( t ), на рис.8,б- ее проекцияна плоскость,т.е. траектория,заданнаяпараметрическимиуравнениямиx₁ = x₁( t ) , x₂ = x₂( t ). Стрелкойуказано направлениевозрастанияпараметра t.

x₂ x₂

0 t 0 x₁

x₁

а) Рис.8б)

Определение5. Точка( a₁, a₂, ... , a_n )называетсяточкой покоя(положениемравновесия)автономнойсистемы (5), еслиправые частиf₁ , f₂, ... , f_n системы (5) обращаютсяв этой точкев нуль, т.е. f (a) = 0,где a = ( a₁, a₂, ... , a_n ) , 0 =( 0 , 0 , ... , 0 ) .

Если( a₁ , ... , a_n) - точка покоя,то система (5)имеет постоянноерешение x ( t ) = a. Какизвестно,исследованиеустойчивостилюбого, а значит,и постоянногорешения a можносвести к исследованиюустойчивостинулевого решения.Поэтому далеебудем считать,что система(5) имеет нулевоерешение x ( t ) є 0 , т.е. f ( 0 ) = 0, и точкапокоя совпадаетс началом координатфазового пространстваRⁿ. ВпространствеRⁿ⁺¹ точкепокоя соответствуетнулевое решение.Это изображенона рис.8 для случаяn = 2.

Таким образом,устойчивостьнулевого решениясистемы (5) означаетустойчивостьначала координатфазового пространствасистемы (5), инаоборот.

Дадимгеометрическуюинтерпретациюустойчивого,асимптотическиустойчивогои неустойчивогоначала плоскости,т.е. когда n = 2. Дляэтого следуетспроектироватьаналоги рис.5-7в двумерномслучае нафазовую плоскостьR², причемпроекциямиe - трубки и d - трубки являютсяокружностис радиусами e и d . Начало x = 0 устойчиво,если все траектории,начинающиесяв пределах d - окружности,не покидают e - окружность " t і t₀ (рис.9); асимптотическиустойчиво, еслионо устойчивои все траектории,начинающиесяв области притяжения D , стремятся кначалу (рис.10); неустойчиво,если для любой e - окружностии всех d > 0 существуетхотя бы однатраектория,покидающаяее (рис.11).

Нормальнаясистема линейныхдифференциальныхуравнений спостояннымикоэффициентами,имеющая вид

dx / dt = A x, (6)

где A - постояннаяматрица размераn ґ n , является частнымслучаем системы(5). Следовательно,для этой системысправедливывсе сделанныевыше утвержденияоб автономныхсистемах.

x₂

0 x₁

Рис.9

x₂

0 x₁

Рис.10

x₂

0 x₁

Рис.11

3. Простейшиетипы точекпокоя.

Пусть имеемсистему дифференциальныхуравнений

ж dx / dt = P ( x , y ),

н(A)

о dy / dt = Q ( x , y ).

Точка ( x₀, y₀) называетсяточкой покояили особойточкой системы(A), если P ( x₀, y₀ ) = 0 , Q (x₀ , y₀) = 0.

Рассмотримсистему

ж dx / dt = a₁₁ x +a₁₂ y,

н(7)

о dy / dt = a₂₁ x +a₂₂ y.

где a_ij( i , j = 1 , 2 ) - постоянные.Точка ( 0 , 0 ) являетсяточкой покоясистемы (7). Исследуемрасположениетраекториисистемы (7) вокрестностиэтой точки.Ищем решениев виде

x = a ₁ e ^kt , y = a ₂ e ^kt .(8)

Для определенияk получаемхарактеристическоеуравнение

a₁₁- ka₁₂

= 0.(9)

a₂₁a₂₂- k

Рассмотримвозможныеслучаи.

I. Корнихарактеристическогоуравнениядействительныи различны.Подслучаи :

1) k₁2

2) k₁ > 0, k₂ >0. Точка покоянеустойчива(неустойчивыйузел).

3) k₁ > 0, k₂

4) k₁ = 0, k₂ > 0. Точка покоянеустойчива.

5) k₁ = 0, k₂

II. Корнихарактеристическогоуравнениякомплексные: k₁ = p+ q i, k₂ = p - qi. Подслучаи :

1) p № 0. Точка покояасимптотическиустойчива(устойчивыйфокус).

2) p > 0 , q № 0. Точка покоянеустойчива(неустойчивыйфокус).

3) p = 0, q № 0. Точка покояустойчива(центр). Асимптотическойустойчивостинет.

III. Корникратные:k₁ = k₂. Подслучаи :

1) k₁= k₂

2) k₁= k₂ > 0. Точкапокоя неустойчива(неустойчивыйузел).

3) k₁= k₂ = 0. Точкапокоя неустойчива.Возможенисключительныйслучай, когдавсе точки плоскостиявляются устойчивымиточками покоя.

Для системылинейных однородныхуравнений спостояннымикоэффициентами

dx_{i n}

=е a_{i j} x_j ( i = 1 , 2 , ... , n )(10)

dt ⁱ⁼¹

характеристическимуравнениембудет

a₁₁- ka₁₂a₁₃...a_1n

a₂₁a₂₂- ka₂₃...a_2n= 0.(11)

........

a_n1a_n2a_n3...a_nn - k

1) Если действительныечасти всехкорней характеристическогоуравнения (11)системы (10) отрицательны,то точка покояx_i ( t ) є 0 ( i = 1 , 2 , ... , n ) асимптотическиустойчива.

2) Если действительнаячасть хотя быодного корняхарактеристическогоуравнения (11)положительна,Re k _i = p _i> 0, то точка покояx_i ( t ) є 0 ( i = 1, 2, ... n ) системы(10) неустойчива.

3) Если характеристическоеуравнение (11)имеет простыекорни с нулевойдействительнойчастью (т.е. нулевыеили чисто мнимыекорни ), то точкапокоя x_i( t ) є 0 ( i = 1, 2, ... n ) системы(10) устойчива,но не асимптотически.

Для системыдвух линейныхлинейных уравненийс постояннымидействительнымикоэфициентами

.

ж x = a₁₁ x + a₁₂y,

н .(12)

о y = a₂₁ x + a₂₂y

характеристическоеуравнение (9)приводитсяк виду

k² +a₁ k + a₂ = 0.

1) Если a₁> 0 , a₂ >0, то нулевоерешение системы(12) асимптотическиустойчиво.

2) Если а₁> 0 , a₂ = 0,или a₁= 0 , a₂ > 0 ,то нулевоерешение устойчиво,но не асимптотически.

3) Во всех остальныхслучаях нулевоерешение неустойчиво;однако при a₁= a₂ = 0 возможенисключительныйслучай, когданулевое решениеустойчиво, ноне асимптотически.

Списоклитературы:

1. Краснов М. Л.,Киселев А. И.,Макаренко Г.И. Функции комплексногопеременного.Операционноеисчисление.Теория устойчивости. М.: Наука, 1981.

2. ШестаковА. А., МалышеваИ. А., ПолозковД. П. Курсвысшей математики. М.: ВШ , 1987.

3. ИващенкоН. Н. Автоматическоерегулирование. М.: ВШ ,1973.

4. АбрамовичИ. Г., Лунц Г. Л.,Эльсгольц Л.Э. Функциикомплексогопеременного.Операционноеисчисление.Теория устойчивости. М.: Наука, 1968.

5. ЧемодановБ.К. Математическиеосновы теорииавтоматическогорегулирования. М.: ВШ,1977.