Составление и решение нестандартных уравнений графоаналитическим методом

Фрунзенский район

Технологическая гимназия №13 г. Минска

Авторы:

Кравченко Арсений Борисович

ученик 9”Д” класса

ул. Горецкого 69-263

д.т. 215-84-33

Ермолицкий Алексей Александрович

ученик 9”Д” класса

ул. Сухаревская 7-46

д.т. 215-62-23

Тема:

Составление и решение нестандартных уравнений графоаналитическим методом

Секция: математика

Научный руководитель:

Кайданова Татьяна Юрьевна

учитель высшей категории

Минск 2003

Содержание

Теоретическая часть научной работы………..……………………3

Цель и задача научной работы……………………………………...4

Примеры решения нестандартных уравнений…………………...6

Трехуровневый тест на решение нестандартных уравнений…20

Ответы на тест……………………………………………………….21

Список литературы…………………………………………………22

Составление уравнения данной задачи есть основной прием, посредством которого математика применяется к естествознанию и технике. Без уравнения нет математики как средства познания природы.

П.С. Александров

Теоретическая часть

Пусть X и Y - два произвольных численных множества. Элементы этих множеств будем обозначать х и у соответственно и будем называть переменными.

Определение. Числовой функцией, определенной на множестве Х и принимающей значения во множестве Y, называется соответствие (правило, закон), которое каждому х из множества Х сопоставляет одно и только одно значение у из множества Y.

Переменную х называют независимой переменной или аргументом, а переменную у – зависимой переменной. Говорят также, что переменная у является функцией от переменной х. Значения зависимой переменной называют значениями функции.

Введенное понятие числовой функции является частным случаем общего понятия функции как соответствия между элементами двух или более произвольных множеств.

Пусть Х и Y – два произвольных множества.

Определение. Функцией, определенной на множестве Х и принимающей значения во множестве Y, называется соответствие, соотносящее с каждым элементом множества Х один и только один элемент из множества Y.

Задать функцию – это значит указать область ее определения и соответствие (правило), при помощи которого по данному значению независимой переменной находятся соответствующие ему значения функции.

Графический способ. пусть на координатной плоскости изображена некоторая линия АВ, пересекаемая любой прямой, перпендикулярной к оси абсцисс, не более чем в одной точке. Каждому значению абсциссы х поставим в соответствие значение ординаты у точки К этой линии. Следовательно, с помощью линии АВ определена функция y = f (x), где х и у – координаты точки К линии АВ.

Часто самопишущие приборы на экране осциллографа, дисплея вычерчивают кривые, которые изображают графически функциональную зависимость. Например, в медицине электрокардиограф вычерчивает электрокардиограмму – кривую изменения электрических импульсов сердечной мышцы во времени.

Графическое задание удобно тем, что по графику функции можно установить общее впечатление о том, как протекает моделируемый процесс.

Возьмем на плоскости прямоугольную систему координат хОу и рассмотрим функцию y = f (x), определенную на некотором числовом множестве Х. Придавая х последовательно значения х₁, х₂, …, х_n из множества Х, получим соответствующие значения у₁, у₂, …, у_n. Отметим на плоскости точки с координатами (х₁; у₁), (х₂; у₂), …, (x_n; y_n).

Множество таких точек называют графиком данной функции.

Определение. Графиком функции y = f (x) называется множество всех точек {(x, f (x) | xD (f)} координатной плоскости.

На практике для построения графика некоторых функций составляют таблицу значений функции для некоторых значений аргумента, затем наносят соответствующие точки на координатную плоскость и последовательно соединяют их линией. При этом предполагается, что точки достаточно точно показывают ход изменения функции.

Заметим, что так как функция f сопоставляет каждому xD(f) одно число f(x), то график функции f пересекается любой прямой, параллельной оси ординат, не более, чем в одной точке. И наоборот: всякое непустое множество точек плоскости, имеющее со всякой прямой, параллельной оси ординат, не более одной общей точки, является графиком некоторой функции.

Не всякое множество точек координатной плоскости является графиком какой-либо функции. Например, множество точек окружности не может быть графиком функции, поскольку значению абсциссы внутри окружности, соответствует два значения ординаты.

В общем случае уравнение с одной переменой х можно записать в виде:

f (x) = g (x)

где f (x) и g (x) – некоторые функции. Функция f (x) называется левойчастью, а g (x) – правой частью уравнения.

Определение. Корнем (решением) уравнения f (x) = g (x) называется такое число, при подстановке которого в обе части уравнения вместо х получается верное числовое равенство.

Решить данное уравнение – значит найти множество всех его корней (решений). Множество корней (решений) может быть пустым, конечным или бесконечным.

На практике довольно часто оказывается полезным графический метод решения уравнений. Он заключается в следующем: для решения уравнения f (x) = 0 строят график функции y = f (x) и находят абсциссы точек пересечения графика с осью х; эти абсциссы и являются корнями уравнения.

С графическим методом решения уравнения f (x) = g (x) связан функциональный метод решения уравнения, основанный на том, что если одна из функций f (x) или g (x) возрастает, а другая убывает, то уравнение f (x) = g (x) либо не имеет корней, либо имеет единственный корень.

Стандартный способ решения уравнений и неравенств в отдельных случаях приводит к сложным и утомительным преобразованиям. Процесс может быть тогда упрощен и, если применять так называемый графоаналитический метод.

ЦЕЛЬ: научиться составлять и решать нестандартные уравнения, которые содержат элементарные функции, проходимые по школьной программе, с использованием преобразования графиков на плоскости.

ЗАДАЧА: углубить свои знания в области математики

x²-6x+6=2{x}

Ответ:

x₁=4-2Ö2

x₂=4-Ö10

Ö2x=[x]+3

Ответ:

3{x}=|0.5x+0.5|

Ответ:

x₁=1/6

x₂=1 1/3

x₃=2.5

x₄=3 2/3

x₅=4 5/6

(Öx)²=[x]

xÎ[0;+¥)ÇZ =>

Ответ:

{0;N}

|x²-6x+6|=-|(x-3)³|+3

Ответ:

x₁=2

x₂=3

х₃=4

|x/2+x|=2x+Öx

Ответ:

x=1

√(5-x)√(5+x)=-x+5

Ответ:

x₁=0

x₂=5

|x²+6|x|+2|-3=5x²

Ответ:

x²-4x+5=√|x-2|+1

Ответ:

x₁=1

x₂=2

x₃=3

-√(4-x²)=|x|-2

Ответ:

x₁=-2

x₂=0

x₃=2

|(Öх-1)|²+2=x³+a

при а=3 х=0

при а>3 Æ

при а<3 один корень

Öх³=Ö|х|+а

Ответ:

при а=0, х=0 х=1

при а>0 один корень

при а<0 Æ

3-|х-3|=3а-х

при а=2 хÎ [3;+¥)

при а<2 один корень

при а>2 Æ

|(4/х)+3|=а

Ответ:

при а=0 один корень

при а=1 х=-2 х=-1

при а=3 один корень

при а>3 два корня

при аÎ (0;3) два корня

при а<0 Æy²=Ö-x+1

-x+|y|=1

Ответ:

(0;1)

1-x²=y

|x|+|y|=5

Ответ:

(-2;-3)

(2;-3)

|x+1|=1-y

-2y=x²y+2xy-y²

Ответ:

(-2;2)

(-1;1)

(0;2)

TECT

Iypoвень

1.Корень уравнения х²+4х=√х³ равен:

А) –2 Б) –1 В)0 Г) 1 Д) 2

2.Сумма корней уравнения x²-x-3=3 равна:

А) 4 Б) 2 В) –4 Г) 0 Д) –2

3.Произведение корней уравнения –0.5х²+3=х²-3

А) 2 Б) 1 В)6 Г) -2 Д) –4

4.Корни уравнения 2√x=2x принадлежат промежутку:

А) [0;1] Б) [–1;1] В)(0;1] Г) [1;3) Д) (2;5)

5.Система уравнений х²+у²=2х имеет:

Öy=|x|

А)0 решений Б)1 решение В)2 решения Г)3 решения Д)4 решения

6.Система уравнений y²-|x|=0 не имеет решения:

|y+1|=|x+1|

А)(-4;-2) Б)(-1;-1) В)(0;0) Г)(4;-2) Д)(1;-1)

IIypoвень

1.Больший корень уравнения 2/х+1=х³+2 равен:

А) -3 Б) 4 В) 2 Г) 1 Д) –1

2.Сумма квадратов корней уравнения|х²-3|=|х³|+1 равна:

А) 4 Б) 8 В) 2 Г) 3 Д) 10

3.Сумма корней уравнения –0.25х²+1=|х²-6|х|+8| равна:

А) 0 Б) –1 В) 5 Г) 16 Д) -5

4.Разность большего и меньшего корней уравнения

|√|х-2|+1|=2 равна:

А) 8 Б) 1.5 В) 4 Г) 0 Д) 2

5.Уравнение -|х-1|³+2=а+1 имеет один корень при а, равном:

А) 2 Б) 0 В)5 Г) 1 Д) –3

IIIypoвень

1. Произведение корней уравнения |x-2|-1=[x] равно:

А) -12 Б) 12 В) -6 Г) -9 Д) 8

2. Корни уравнения 4{x}=2 принадлежат множеству:

А) Z Б) N+0.2 В) Z+0.5 Г) R Д) D

3. Сумма модулей корней уравнения-(√(5-x)√(5+x))+2=-1

равна:

А) 4 Б) 8 В)7 Г) 5 Д) 9

4. Корни уравнения x⁴=|(-|x|+1)²-1| принадлежат множеству:

А)(-1;1) Б) [-1;1] В){4;11} Г){-1;0;1} Д) (0;2]

5.Значение а, при котором уравнение 2/Öх=|а-|х|| имеет три корня, относится к промежутку:

А) (3;+¥) Б) [–1;12] В)(-¥;1) Г) [1;3) Д) (-¥;+¥)

ОТВЕТЫ:

Список литературы.

1. А. И. Азаров «Экзамен по математике» Минск «Полымя» 2001г.

2. К. О. Ананченко «Алгебра 9» Минск «Народная асвета» 1999г.

3. А. Г. Мерзляк «Алгебраический тренажёр» «Илекса» Москва 1998г.

4. А. И. Кушнир «Математическая энциклопедия» «Астарта» Киев 1995г.

5. М. И. Сканави «Сборник задач для поступающих в ВУЗы» Москва «Высшая школа» 1988г.

6. С. В. Кравцев «Методы решения задач по алгебре» Москва «Оникс» 2001г.

7. В. В. Амелькин «Задачи с параметрами» Минск «Асар» 1996г.

8. А. В. Самусенко «Математика. Тесты. Задачи. Решения.» Минск «Вышэйшая школа» 2002г.

9. П. И. Горштейн «Задачи с параметрами» Москва «Илекса» 1999г.

10. А. И. Азаров «Системы алгебраических уравнений» Минск «Тетра системс» 1998г.

11. М. К. Потапов «Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения» Москва «Дрофа» 2002г.

12. В. П. Супрун «Нестандартные методы решения задач по математике» Минск «Полымя» 2000г.