Тригонометрия

Действительные числа:

Теорема: R - несчётное множество.

Док-во:метод от противного. Несчётность (0;1)

X1=0,n11n12n13…n1k… m1Î{0,1,…,9}{9,n11}

X2=0,n21n22n23…n2k… m2Î{0,1,…,9}{9,n22}

……………………… ………………………

Xk=0,nk1nk2nk3…nkk… mkÎ{0,1,…,9}{9,nkk}

a=0,m1m2…mk… Þa¹x1a¹x2a¹x3 …… a¹xk

aÏ(0;1) Противоречие.

0<a<1 Þ R - несчётное множество.

Теорема:Q - Счётное множество.

Док-ть: Q+ - счётное, т.к. Q=Q-U{0}UQ+

Док-во:

Q+ - счётное множество, т.к. оно есть объединение счётного семейства счётных

множеств. Q- - Тоже, что и Q+ только все элементы множества отрецательные

. По теореме: Всякое множество счётных одмножеств явл. Само счётным ÞQ - сч. мн.

Предел числовой последовательности:

Пусть aÎR, e>0 {x:| x-a|<e}

Последовательность {Xn} имеет конечный предел если сущ. такое число a?R, что кокого

бы нибыло e>0 почти все члены этой последовательности e- окрестность точки a.

Почти все - это значит за исключением быть может конечного числа.

$n0=n0(e)ÎN: n>n0Þ|xn-a|<e a=limxn , при n®¥

Свойства:

1. Единственность(Если предел есть, то только один)

Док-во: Метод от противного. a=limxn , b=limxn , при n®¥, a>b, a-b=e>0

$n0=n0(e/3):|xn-a|<e/3 и|xn-b|<e/3

e=a-b=(a-xn)-(b-xn)

e=|(a-xn)-(b-xn)|£|(a-xn)|+|(b-xn)|£2e/3

e£2e/3 Противоречие.

2. Ограниченность(Если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена)

Дано: $limxn=a, при n®¥ - конечный предел

Док-ть:$M>0:|xn|<M "n

Док-во: limxn=a, при n®¥:"e>0 $n0=n0(e):a-e<xn<a+e, при n>n0

Пусть e=1, тогда при n>n0(1) будет выполняться a-1<xn<a+1 или |xn-a|<1

Тогда |xn|<|(xn-a)+a|<|xn-a|+|a|<|a|+1 "n>n0(1)

P=max{|a1|,|a2|,…,|ano|}

M=max{P,|a|+1}Þ|xn|<M "n

3. Предел подпоследовательности(Если последовательность имеет предел а, то любая

её подпоследовательность имеет тоже предел а)

Свойства предельного перехода связанные с неравенствами:

Теорема 1. Пусть $limxn=x, при n®¥ - конечный (1 последовательность)

$limyn=y, при n®¥ - конечный (2 последовательность)

Если x<y, то для почти всех n xn<yn

Док-во: e=y-x>0

$n|=n|(e/3): |xn-x|<e/3 "n>n|

$n||=n||(e/3): |yn-y|<e/3 "n>n|

n0=max{n|,n||}, n>n0

x-e/3<xn<x+e/3 î

y-e/3<yn<y+e/3 ìÞ xn<x+e/3<y-e/3<ynÞ"n>n0 xn<ynЧто и т. док-ть.

Следствие: Если последовательность имеет предел отличный от нуля, то

эта последовательность отделена от нуля. Эта последовательность при больших n

сохраняет знак своего предела)

x=limxn, x¹0

1) x>0 Предположим x>0 x/2>0Þx>x/2

limxn>x/2, при n®¥Из Т.1. следует, что $n0:"n>n0 xn>x/2>0

Теорема 2. Предположим, что $limxn=x и$limyn=y, при n®¥

Если для почти всех n:xn£yn, то и x£y

Док-во: Метод от противного. x>y по Т.1. Þxn>ynдля почти всех n

Противоречие.

Теорема 3. Теорема о двустороннем ограничении.

Пусь $limxn=limyn=a, при n®¥, и предположим, что xn£zn£yn"n, тогда

1) Сущ. limzn, при n®¥

2) limzn=a, при n®¥

Док-во: $n|=n|(e):a-e£xn£a+e, "n>n|

$n||=n||(e):a-e£yn£a+e, "n>n||

n0=max{n|,n||}

n>n0Þ a-e£xn£zn£yn£a+eÞ a-e£zn£a+eÞ$limzn=a

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности:

defû {xn}-б.м. :=limxn=0, при n®¥, т.е. "e>0 $n0=n0(e) n>n0Þ|xn|<e

defû {xn}-б.б. :=limxn=¥, при n®¥, т.е. "e>0 $n0=n0(e) n>n0Þ|xn|>e

Свойство 1. Произведение б.м. последов. на ограниченную даёт сного б.м.

{xn}-б.м. {yn}-ограниченная {xnyn}-б.м.

Док-во:$M>0:|yn|£M "n - значит ограничена.

"e>0 $n0=n0(e/M):n>n0Þ|xn|<e/M Þ

Þ n>n0|xnyn|=|xn||yn|£e/M*M=eÞ {xnyn}-б.м.

Свойство 2. Произведение б.б. на посл. Отделённую от нуля даст б.б.

{xn}-б.б. и {yn}-отдел от нуля

Док-во: {1/xn*1/yn}=б.м.*огран.=б.м. (по 1-ому свойству)Þ{xnyn}-б.б.

Свойство 3. Сумма двух (любого кон. числа) б.м. послед. Даст снова б.м.

{xn} и {yn}-б.м. Þ{xn+yn}-б.м.

Док-во:"e$n|=n|(e/2):n>n||xn|<e/2

$n||=n||(e/2):n>n|||yn|<e/2

n0=max{n|,n||}

n>n0Þ|xn+yn|£|xn|+|yn|<e/2+e/2=e

Для того чтобы получить это св-во с любым числом последовательностей

нужно применить метод мат. индукции.

Свойство 4. Сумма б.б. одного знака снова б.б. того же знака

Док-во: Очивиднл.

Неопределённые интегралы.

def / F(x) называется первообразной

для f(x) на[a;b] если F ¢(x)=f(x)

У непрерывной функции первообразная

всегда есть.

Теорема: Различные первообразные

одной и той же функции отличаются

на одно и тоже постоянное слагаемое.

Док-во: F1(x) и F2(x) – первообразные для f(x)

F(x)= F1(x)- F2(x)

F ¢(x)= F1¢(x)- F1¢(x)=f(x)-f(x)=0

F(x)=const

Def / Совокупность всех первообразных одной

и той же функции называется её

неопределённым интегралом.

Св-ва линейности:

Замена переменных в неопределённом интеграле

или методом подстановки.

Теорема: Пусть функция x=

x(t): (a;b)®(a;b), xÎC1(a;b), fÎC(a;b)

1)

½x=x(t)

2) Если x¢(t) сохраняет знак, тогда

½t=t(x)

Док-во: 1) d/dxF(x(t))=F ¢(x(t))x¢(t)=f(x(t))x¢(t)

2) x(t) – строго монотонная Þ$обратная t=t(x)

½t=t(x)

Интегрирование по частям.

Рекуррентная формула.

y=a+bx2 y¢=2bx xy¢=2bx2=2(y-a)

U=1/yn dx=dV dU=(-ny¢/yn+1)dx V=x

In=x/yn+2nIn-2naIn+1

1) In+1=(1/2na)(x/yn+(2n-1)In), n¹0, a¹0

2) In=(1/(2n-1))(2naIn+1-x/yn), n¹1/2, a¹0

Поле комплексных чисел.

(x;y)=(x;0)+(y;0)(0;1)=x+yi

– алгебраическая запись комплексного числа

Чертёж :