Решение 23 задач. Найдите вероятность того, что из 15 учебников, выданных академической группе, 4 будут в твердом переплете

Самостоятельная  работа №1.

Тема: Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения.

1.  В университетской библиотеке 100 учебников Минорского, 6 из которых в твердом переплете. Найдите вероятность того, что из 15 учебников, выданных академической группе, 4 будут в твердом переплете.

2.При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм.

3.   На гранях игрального кубика отмечены числа от 1 до 6. Найдите вероятность того, что при бросании двух игральных кубиков сумма выпавших на них очков окажется равна 7.

4.     Наудачу берется трехзначное число. Какова вероятность того, что хотя бы две его цифры совпадают?

5.    В магазин поступило 15 кинескопов, причем 10 из них изготовлены Симферопольским заводом. Найти вероятность того, что среди пяти проданных кинескопов окажутся три кинескопа Симферопольского завода.

6 .    Некоторый прибор состоит из трёх блоков. Если в работе одного из блоков происходит сбой, прибор отключается. Вероятность сбоя в течении года для первого блока составляет 0,2, для второго блока - 0,3, а для третьего блока - 0,1. Какова вероятность, что в течении года произойдёт хотя бы одно отключение данного прибора?

Самостоятельная  работа №2.

Тема: Формула полной вероятности. Формулы Байеса

1. На сборку попадают детали с 3 автоматов. Известно, что первый автомат дает 3% брака, второй – 2% и третий – 4%. Найти вероятность того, что на сборку попадает бракованная деталь, если с первого автомата поступает 100, со второго – 200, с третьего – 250 деталей.

2. В каждом из  двух урн содержится  2 черных и 8 белых  шаров. Из первой урны наудачу  переложен шар. Найти вероятность того, что  шар, извлеченный из второй урны, окажется белым.

3. В студенческом стройотряде 2 бригады первокурсников и одна — второкурсников. В каждой бригаде первокурсников 5 юношей и 3 девушки, а в бригаде второкурсников 4 юношей и 4 девушки. По жеребьевке из отряда выбрали одну из бригад и из нее одного человека для поездки в город, а) Какова вероятность того, что выбран юноша?

4. Из 20 студентов, пришедших на экзамен, 10 подготовлены отлично, 5 — хорошо, 4 — посредственно и 1 — плохо. В экзаменационных билетах имеется 30 вопросов. Студент, подготовленный отлично, знает все вопросы, хорошо — 25, посредственно —15, плохо — 5 вопросов. Некоторый студент ответил на все 3 вопроса билета. Найдите вероятность того, что он подготовлен: а) хорошо; б) плохо.

5.При переливании крови надо учитывать группу крови донора и больного. Человеку, имеющему четвертую группу крови, можно перелить кровь любой группы; человеку со второй или третьей группой крови можно перелить кровь либо той же группы, либо первой; человеку с первой группой крови можно перелить только кровь первой группы. Среди населения  33,7%   имеют первую, 37,5% — вторую, 20,9%—третью и 7,9% — четвертую группу крови, а) Найдите вероятность того, что в чрезвычайной ситуации  случайно взятому больному можно перелить кровь случайно взятого донора.

Самостоятельная работа №3

Тема: Схема повторения независимых испытаний. Формулы Бернулли, Лапласа и Пуассона.

1.Контрольное задание(тест) состоит из 5 вопросов, предусматривающих выбор правильного из 4-х предложенных вариантов ответа. Найти вероятность  того, что будет дано не менее 3-х  правильных ответов, если студент не готов и выбирает вариант ответа наудачу.

2.В результате систематически проводимого контроля качества изготовляемых предприятием деталей  установлено, что брак составляет  в среднем 5%. Сколько изготовленных деталей нужно взять, чтобы наиболее вероятное число годных среди них было равно 60 ?

3.Всхожесть семян данного сорта растений оценивается с вероятностью, равной 0,9. Какова вероятность того, что из 600 посеянных семян взойдут:  а) 550; б) не менее 400?

4.Какова вероятность того, что из 1095 студентов факультета : а). ровно 2 родились 4 апреля ; б) хотя бы у одного день рождения 4 апреля.

5.  Вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна 0,02. Найти: а).наиболее вероятное число k₀ телевизоров из выпущенных 200, которые в течение гарантийного срока  не  потребуют ремонта и соответствующую  вероятность Р(k₀) ; б). вероятность того , что хотя бы один телевизор потребует ремонта.

Тема:  Случайные величины

1. Диаметр детали, выпускаемой цехом, определяется по нормальному закону с параметрами: математическое ожидание равно 10 см., а дисперсия – 0,64 см. Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали равен от 9 до 11 см.
2. Случайная величина распределена нормально с математическим ожиданием а = 5, средним квадратическим отклонением σ = 2. Найти интервал, в который с вероятностью 0,9973 попадет величина Х в результате испытания.
3. Масса пойманной рыбы подчиняется нормальному закону с параметрами а = 400 г.σ = 30 г. Найти вероятность того, что масса первой пойманной рыбы составит от 350 до 420.
4. Имеется 6 костей домино: 0:0; 0:1; 0:2; 0:3; 1:1; 1:2. Из этого набора случайно выбирается одна. Случайная величина Х - сумма очков на половинках этой кости. Записать закон распределения  случайной величины Х. Вычислить математическое ожидание  и дисперсию cлучайной величины .
5. На пути движения автомобиля 5 светофоров. Каждый разрешает движение с вероятностью 0,5.  Построить ряд распределения дискретной случайной величины Х- числа светофоров, пройденных автомобилем до первой остановки. Вычислить математическое ожидание  и дисперсию СВСамостоятельная работа №5.

6. Тема:  Методы оптимальных решений.

   1. Завод бытовой химии производит два вида чистящих средств «Свежесть» и  «Чистота», используя при этом сырье I и II Для производства чистящих средств ежедневно имеется по 150 единиц сырья. На получение одной единицы средства «Свежесть» используется 0,5 единицы сырья I и 0,6 единицы сырья II. На производство одной единицы средства «Чистота» затрачивается 0,6 единицы сырья I и 0,4 единицы сырья П. Доход на одну единицу средств  составляет соответственно 8 и 10 ден. единиц. Ежедневное производство средства Свежесть должно быть не менее 30 и не более 150 единиц. Для производства средства Чистота  аналогичные ограничения составляют 40 и 200 единиц. Найдите оптимальную структуру выпуска чистящих средств.

   Построить математическую модель.  Решить графически.

2. Фабрике WildWest производит два типа ковбойских шляп. Производства шляпы первого типа требует в два раза больше временных ресурсов, чем изготовление шляпы второго типа. Если фабрика будет производить только шляпы второго типа, то в день она сможет изготовить 400 таких шляп. Рынок налагает ограничения на производство шляп: не более 150 шляп первого и 200 шляп второго типа. Доход от производства шляп составлял 8 долл. на единицу первого типа и 5 долл. — второго типа.

Примените графический метод для определения ежедневного оптимального производства шляп обоих типов.