Сеть линейных узлов в Co2MnGa. Обзор линейных узлов

Топологические материалы представляют большой интерес для физики в настоящее время. Хотя множество исследований сосредоточено на изучении топологических диэлектриков и сверхпроводников, полуметаллов Вейля и их феноменальных свойств, остается вопрос, может ли трехмерный магнит быть топологическим с экзогенными поверхностными состояниями. C использованием теории функционала плотности и углового разрешения фотоэмиссионной микроскопии, мы демонстрируем топологическую фазу в объемном магните Co2MnGa. Имеются узлы, пересекаемые в составном линейном топологическом узле уровень Ферми. Далее мы наблюдаем состояние поверхности, простираемые через линейные узлы на поверхности зоны Бриллюэна. Наши объемные и поверхностные измерения предполагают экспериментальную реализацию первого топологического магнита в трёх измерениях, а также первого топологического магнитного металла в любых измерениях. Наше наблюдение топологических линейных узлов объясняет поразительно большой аномальный ток Холла, наблюдаемый в Co2MnGa, и предлагает способ генерации высоко спин-поляризованных токов в материалах, которые не являются полуметаллами. В совокупности наши результаты говорят о богатой, нетрадиционной взаимосвязи между магнетизмом и топологией.
Кристалл в топологической фазе имеет зонную структуру, характеризующуюся топологической инвариантностью [1-3]. Изучение топологических фаз материи в течение последнего десятилетия привело к открытию множества кристаллов с различными топологическими инвариантами и удивительными электронными свойствами. Главные примеры среди них – топологический изолятор Z2 [2,4-6] и полуметалл Вейля [3,7-11]. Естественно спросить, может ли магнит принять топологическую фазу. Теоретически, общеизвестно, что существует богатая классификация вневременной симметрии, разрушающей топологические фазы [12]. Топологический магнит может также проявлять новые свойства, такие как топологические инварианты, которые могут быть наложены посредством изменения направления намагничивания образца. Существует несколько известных примеров существования топологических фаз, в частности обычный квантовый эффект Холла и аномальный эффект Холла. Однако обе эти фазы существуют в двух измерениях. В трёх измерениях нет чёткого экспериментального примера топологического состояния магнитного основания. Для поиска топологического магнита целесообразно рассматривать ферромагнетики с высокой температурой Кюри. По сравнению с другими видами упорядочивания, мы ожидаем, что ферромагнитный порядок будет проще всего исследовать ab initio методами. Если температура Кюри высока, то мы также ожидаем увидеть большое спиновое расщепление в зонной структуре, которое будет проще измерить экспериментально. Учитывая это, логично изучать сплавы Гейслера на основе кобальта Co2YZ, где Y – переходной металл, Z – элемент p-орбитали. Они обычно являются ферромагнетиками, при этом температура Кюри достигает ~ 1120 К для Co2FeSi. Кроме того, большой аномальный эффект Холла наблюдается в Co2MnAl [16], что повышает вероятность того, что топологические объекты в структуре полосы вызывают большую кривизну Берри. Действительно, Co2TiSn и несколько других соединений в этом семействе недавно были предложены в качестве кандидатов на магнитную топологическую фазу [17,18]. Кроме того, в этом семействе ранее наблюдался ряд интересных эффектов, имеющих возможность применения в спинтронике. Конкретно, магнитный туннельный переход (MTJ), построенный на Co2MnSi, показал магниторезистивность туннеля (TMR) до 1995% при 4,2 К. Кроме того, ток, перпендикулярный плоскости гигантского магнитосопротивления (CPP-GMR) порядка 175 % был получен при 80 K для Co2Fe0,4Mn0,6Si. Магнитный туннельный переход Co2FeSi и Co2FeAl может служить основой для туннельного магнитного эффекта Зеебека (TSM) [21], в то время как для перспективным будет спиновый эффект Зеебека. Топологическая инвариантность в сочетании с магнитными свойствами или в применении в спинтронике может спровоцировать новых явлений. Однако поверхностные статические структурные топологические свойства данного класса материалов неизвестны из эксперимента.
Здесь мы используем теорию функционала плотности и углового расширения фотоэмиссионную микроскопию (ARPES) для демонстрации магнитной топологической фазы в Co2FeGa. В частности, мы наблюдаем пересечение кривых в зоне Бриллюэна пара объемных зон. Сравнивая наши расчеты с предшествующими, мы утверждаем, что эти расширения вырождений являются топологическими линейными узлами, связанными с π-фазой Берри. Линейные узлы защищены зеркальной симметрией и требуют ферромагнитного порядка в связи с тем, что для получения спин-поляризованной зоны необходимо нарушение Т-симметрии. Мы также наблюдаем состояние поверхности мембраны, простирающееся через линейные узлы и согласованное между ARPES и DFT. Наши результаты говорят о том, что мы наблюдали первую трехмерную топологическую магнитную фазу и первый топологический магнитный металл в любом измерении. Основываясь на наших результатах, мы предлагаем новый подход к генерации спин-поляризованных токов, который не опирается на полуметаллические свойства. В более широком смысле наша работа открывает изучение богатой классификации трехмерных магнитных топологических фаз и обещает открыть новые явления, возникающие в результате взаимодействия топологических инвариантов и магнитного порядка. Co2FeGa имеет всю кристаллическую структуру Гейслера с кубической лицевой центрированной решеткой Бравэ, группы Fm3m (№ 225), рис 1А. Как отмечено выше, ферромагнитизм возникает при температуре Кюри порядка 687 К, что есть в дополнительных материалах [1]. В расчете электронная структура Co2FeGa показывает простую зону, пересекающуюся между валентной и зоной проводимости со спиновой поляризацией обеих, см. К-сегмент при энергии связывания EB ~ 0.1 eV, рис 1B. Наименьший спин показывает карман в сегменте К, но в целом далек от уровня энергии Ферми EF. Данный спин не имеет значение для нижеперечисленного, более подробное обсуждение данного представлено в дополнительных материалах, рис. S16 и в сопроводительном тексте. Мы рассматриваем, может ли пересечение зоны спинового большинства дать начало топологической фазе. Отметим, что пространственная группа Fm 3m является высокосимметричной, включая большой набор зеркальных симметрий, Mx:x→-x, Mxy:x,y→(y,x) и аналогичных для других осей. В зоне Бриллюэна зеркальная симметрия соответствует зеркальным плоскостям, на которых все состояния Блоха могут быть закреплены зеркальным собственным значением, блок-схема гамильтониана Блоха в подсистемы противоположных зеркальных собственных значений. Поскольку эти две подсистемы отделяются зеркальной симметрией, если зоны частот подсистем перекрываются, зоны переходов защищены. Если представить две несвязанные структуры зон в двухмерной зоне Бриллюэна, то можно видеть, что они будут пересекаться на замкнутых кривых, образуя линейные узлы, как показано 5ой желтой кривой на рис1C. От линейных узлов зоны рассеиваются линейно, образуя конусы в зонной структуре. В этом смысле линейные узлы связаны с обычным полуметаллом Дирака или Вейля, но с точечными узлами, модернизированными до линейных узлов путем добавления зеркальной симметрии. Такие линейные узлы по своей природе являются топологическими объектами, связанными с π-фазой Берри на контуре, интегрируемом вдоль любой замкнутой траектории пространства импульса, которая в свою очередь замкнута вокруг линейного узла. Это показано на рис 1D и [24]. Отметим, что немагнитные линейные узлы получили некоторое внимание в литературе о материалах без инверсионной симметрии, или где спин-орбитальное взаимодействие ничтожно [2-4,25]. Вычисляем пересечение зоны спинового большинства Co2MnGa и находим три семейства линейных узлов, отмеченных красным, синим и желтым, скопированных внутри каждого семейства симметриями решетки, рис 1E. Все линейные узлы являются линейно вырожденными, т.е. они возникают из пересечения двух одномерных зон. Эти линейные узлы находятся в зеркальных плоскостях, но они рассеиваются по энергии, см. дополнительные материалы, рис S5. Соответствующее обсуждение топологической фазы Co2MnGa в расчете см. в нашей недавней работе по теории [29]. На основе нашего теоретического анализа мы искали узел магнитной топологической линии в Co2MnGa с помощью ARPES.
Мы делаем некоторые замечания по нашим исследованиям на ARPES для Co2MnGa. Сравниваем измеренную поверхность Ферми (рис 2А) с поверхностью постоянной энергии объемной проекции (001) на поверхность при энергии связывания EB=0.08 eV, рис 2B. Размер поверхности зоны Бриллюэна совпадает и показывает схожие черты, включая (1) квадратную особенность вокруг линий Г, (2) клиновидную особенность вдоль линий Г-X и (3) большую округлую особенность вдоль линий X-М.
Мы можем лучше понять эти состояния, рассмотрев линейные узлы, рассчитанные в рис 1E, и построив их проекцию на поверхность (001), рис 2C. Сопоставляя проекцию узла линии с вычисленными и измеренными поверхностями постоянной энергии, мы видим, что все ключевые элементы в наших спектрах, похоже, тесно связаны с узлами линии. Однако для прямой демонстрации линейного узла следует увидеть пересечение зоны на вырезе EB-k||, проходящем через линейный узел. Мы рассматриваем сокращение EB-kx в расчете при ky=-0.4 A-1 и с легкостью выявляем конусы, связанные с узлами синей и желтой линий, рис 2D. Однако следует отметить, что соответствие между рис 2A,B предполагает, что образец легирован дырой на 0.08 эВ. Как показано на рис. 2D, узел синей линии (белая стрелка) все еще находится ниже уровня Ферми при легировании дырой 0.08 eV. На основе этого анализа мы ориентируемся на узел синей линии.
Сейчас мы точно определим узел линии Co2MnGa с помощью ARPES. Мы подчеркиваем, что поскольку каждый узел линии индивидуально связан с его инвариантом фазы Берри, наблюдение любого числа узлов линии демонстрирует топологическую фазу. В следующем обсуждении мы сосредоточили внимание на демонстрации однолинейного узла, оставив в дополнительных материалах исчерпывающее экспериментальное и теоретическое обсуждение сложной сети линейных узлов в этой системе. Мы представляем серию спектров EB-k||, пересекающих узел синей линии, центрированной при различных значениях ky, рис 2E-H. Мы непосредственно наблюдаем пересечение зоны, обозначенное зелёными стрелками. Отметим, что поведение скрещивания зон как функция ky необычно по сравнению с обычными полуметаллами Дирака или Вейля. В частности, полуметаллы Дирака или Вейля обладают точечным прикосновением зон, поэтому спектр покажет непрерывный переход на срезе EB-kx при специальном равенстве ky=kp. Вдали от kp конус выходит наружу. Напротив, здесь мы наблюдаем конус в диапазоне ky, как обозначено зелёными стрелками, показывающими удлиненную одномерную зону пересечения. Это ключевая экспериментальная сигнатура линейного узла. Мы также отмечаем, что линейный узел рассеивается вниз в энергии на 0,02 эВ по мере того, как мы двигаемся от Г, что допускается симметрией и соответствует нашим расчетам. Далее следует отметить, что за кромкой линейного узла имеется конический зазор, рис 2I. Это обычно ожидается для линейного узла в том смысле, что при изучении выреза EB-kx как функции ky этот разрез будет у конуса вплоть до полного удаления от линейного узла. Когда ky перемещается за узел линии, конус выходит наружу. В количественном отношении мы видим, что конусные зазоры при ky>0,5A-1 , именно там, где мы теоретически ожидаем экстремум линейного узла. Наконец, мы имеем превосходное количественное соответствие в линейном узловом рассеянии между экспериментом и теорией, при условии, что мы принимаем во внимание счет энергии дырки ~ 0,08 eV в нашем образце. Мы также можем идентифицировать линейный узел по его характерной эволюции на поверхности постоянной энергии как функцию EB. При переходе от уровня EF к более глубокому уровню EB мы видем, что узел линии изменяется от a<фигуры к точке на a>фигуры, что видно на синих линиях рис 4A-D. Наблюдаем последовательную эволюцию в расчёте, рис 3E,F. Мы можем понять эту эволюцию, рассматривая общий линейный узел с некоторой энергетической дисперсией, рис 3G,H. Для энергий над узлом линии поверхность постоянной энергии пересекает только верхний конус узла линии, давая I, такой как в рис 3А. Для энергий, пересекающих линейный узел, мы проводим электронные и дырочные вакансии, пересекающиеся в точке, как в II, рис 3С. При продолжении движения вниз в EB точка пересечения отслеживает узел линии, смещаясь слева направо. С другой стороны, хотя мы можем проследить узел линии таким образом в нашем спектре ARPES, он диффундирует в любой заданный EB, чтобы определить как электронные, так и дырочные карманы по обе стороны от точки пересечения, возможно, потому, что фотоэмиссионное поперечное сечение доминирует точкой пересечения для этого диапазона EB. Как видно из 3A-D, мы видим электронный карман, точку или дырочный карман. Наконец, когда мы сканируем EB ниже узла линии, точка пересечения ломанных закрывает весь электронный карман, а ломанные открывают весь карман отверстия, как в III, рис 3D. Таким образом, исследование EB-зависимости поверхности постоянной энергии в ARPES снова демонстрирует линейный узел в Co2MnGa.
Наконец, мы наблюдаем состояние мембраны Co2MnGa, соединяясь с узлами желтой линии. Пока мы не обсуждали узлы желтой линии в наших данных, но анализ следует той же общей схеме, что и для узла синей линии, поэтому мы оставляем это обсуждение на рассмотрение в дополнительных материалах, Сектор 2, рис S10,S11. Для демонстрации мембраны мы рассматриваем отрезки EB-k|| ARPES, взятые по диагонали, сдвинутой от Г, рис 4A-C, где осцилляторно-пространственное расположение смещено от среза к срезу, но где мы изменили фотонную энергию измерения. Мы наблюдаем конусный элемент (отмечены желтыми линиями на рис 4D), две U-образные зоны, выходящие из конуса (зеленые конусы), и два дополнительных внешнего конуса (немаркированы). Эти результаты согласуются с аналогичным отсечением в расчете, рис 4E. На основе нашего анализа узлов желтых линий, из дополнительных материалов, мы утверждаем, что три конуса соответствуют трем узлам желтых линий, которые обозначены оранжевыми стрелками на рис 4D-F. Далее мы утверждаем, что U-зоны образуют состояние мембраны. В спектрах ARPES мы наблюдаем, что U-зоны прикреплены к точке пересечения центрального узла желтой линии, а затем простираются наружу и заканчиваются на внешних узлах желтой линии. Более того, в расчёте мы наблюдаем подобную зонную структуру и прямо видим, что U-зона является поверхностным состоянием. Для экспериментальной проверки того, являются ли U-зоны поверхностными состояниями, выполняется зависимость фотонной энергии, рис 4G. Мы не наблюдаем дисперсию в промежутке от hν = 34 эВ до 48 эВ, как отмечено вертикальной черной линией, из дополнительных материалов рис S14 и сопутствующее обсуждение. Этот результат предполагает, что U-зоны являются поверхностными состояниями. Наконец, мы наблюдаем дисперсию U-зон в плоскости, см. дополнительные материалы на рис S15, и последовательно обнаруживаем, что они заканчиваются на внешних узлах желтой линии. Эти наблюдения предполагают, что U-зоны образуют состояние мембраны, простирающееся по внешнему узлу желтой линии. Отметим, что наш результат представляет собой первое наблюдение состояния мембраны в любом узле линии полуметаллического, магнитного или немагнитного характера. Кроме того, мы отмечаем, что, возможно, неожиданно, что состояние поверхности закрепляется узлом желтой линии центра, поскольку этот узел линии выступает на своей стороне, а не на своей грани. Наивно ожидать, что π-фаза Берри этого линейного узла не защищает состояния поверхности и, следовательно, мембрана не должна быть закреплена, а должна проходить через желтый линейный узел в общем виде. В дополнительных материалах мы подробно описываем некоторые открытые теоретические вопросы, поднятые в нашей работе относительно состояний поверхности мембраны.
Наши спектры ARPES показывают узел линии в Co2MnGa, демонстрируя первую трехмерную топологическую магнитную фазу и первый топологический магнитный металл в любом измерении. Мы утверждаем, что наши результаты могут открыть новое направление исследований, изучающих взаимодействие топологии и магнетизма. Хотя до сих пор было продемонстрировано мало топологических магнитов, уже давно известно теоретически, что системы без обратной во времени симметрии также имеют богатую топологическую классификацию. При дальнейшем рассмотрении кристаллических симметрий возникает больше фаз, в том числе (1) магнитные полуметаллы Вейля [30,31], рис 5А. (2) антиферромагнитный топологический изолятор, в котором магнитный порядок разрывает симметрию с обратимым временем, но соблюдает несиморфную симметрию, состоящую из обратимого времени, за которым следует смещение решетки [32], рис 5B. Узел магнитной линии (3), наблюдаемый в этой работе, рис 5C; (4) более высокие магнитные точки Вейля, защищенные симметрией вращения кристаллов. В целом, мы ожидаем, что различные виды магнитного порядка создадут различные топологические фазы. Также температура магнитного перехода будет естественным образом связана с топологическим фазовым переходом. Наконец, инверсии зон должны приводиться в действие не спин-орбитальным взаимодействием, а скорее магнитным спиновым расщеплением или соответствующим магнитным параметром. С другой стороны, спин-орбитальное взаимодействие, а также дипольно-дипольное взаимодействие будут определять связь топологических объектов с направлением намагничивания. Как упомянуто во введении, это может позволить топологическим инвариантам перевернуться путем изменения направления намагничивания образца. Действительно, уже известно, что тонкоизмельченные частицы Co2MnGa проявляют настраиваемую магнитную анизотропию как функцию толщины тонкоизмельченных частиц [34]. Эта настраиваемая анизотропия может быть использована для изменения формы линейных узлов или их растворения в точках Вейля, эффекта, который можно наблюдать непосредственно на ARPES. Демонстрируя магнитную топологическую фазу, мы открываем путь к изучению этих увлекательных явлений в Co2MnGa и других магнитах.
Мы обсуждаем два возможных транспортных явления, которые возбуждаемы нашей работой и доступны в Co2MnGa. (1) Недавно было предложено, что полуметаллы линейных узлов могут вызвать новый Холл-подобный ток, возникающий из паритетной аномалии квантовой теории поля [35]. Крайне важно, что в предложении рассматривается класс линейных узлов, соответствующих паритету, P и реверсированию времени, T, симметрии, в то время как Co2MnGa ломает симметрию T. Поэтому наша работа мотивирует теоретическое исследование аномальных токов от паритетной аномалии в случае полуметаллов линейных узлов, которые разрывают P или T. Такие токи можно наблюдать экспериментально в Co2MnGa. (2) Наша работа предлагает новый подход к генерации спин-поляризованных токов для спинтроники или других применений. В общем подходе используется полуметалл, который, естественно, порождает продольные спин-поляризованные течения. Среди кобальтовых сплавов Гейслера Co2MnSi вызвал больший интерес с точки зрения спинтроники, чем Co2MnGa в последние годы, отчасти от того, что Co2MnSi - это полуметалл, в то время как у Co2MnGa большая вакансия при меньшинем спине у Г. Поэтому можно предположить, что поперечный аномальный ток Холла может быть спин-поляризован в Co2MnGa, несмотря на то, что это не полуметалл, что связано с тем, что мы наблюдаем в нашей работе, что линейные узлы возникают только в большинстве полос спина в Co2MnGa, И эти линейные узлы концентрируют большую часть кривизны Берри в структуре полосы. Поскольку кривизна Берри обеспечивает собственный вклад в аномальную проводимость Холла, аномальный ток Холла в основном связан с большинством полос спина. Эквивалентно, поскольку все линейные узлы состоят из большинства спиновых состояний, мы ожидаем, что аномальный ток Холла будет сильно спин-поляризован. На самом деле, более раннее теоретическое исследование аномальной реакции Холла со стороны кобальтовых сплавов Гейслера предсказывало неожиданно спин-поляризованный ток Холла, даже в тех случаях, когда структура зоны не была полуметаллической и действительно была специфичной в случае Co2MnGa [36]. Это может позволить разработать аномальный спиновый фильтр Холла. Наше наблюдение топологических линейных узлов в Co2MnGa открывает богатое направление исследований, изучающих взаимодействие топологии с магнетизмом.
Методология
Рост кристаллов: Монокристаллы Co2MnGa выращивали с использованием технологии роста кристаллов Бриджмана-Стокбаргера. Во-первых, мы выплавили поликристаллический слиток с помощью индукционной печи со стехиометрической смесью Co, Mn и кусков металлического Ga чистотой в 99,9%. Затем порошкообразный материал выливают в тигель из оксида алюминия и герметизируют в танталовой трубке. Температуру роста регулируют термопарой, прикрепленной ко дну тигля. Для цикла нагревания весь материал расплавляли до t выше 1200 °С и затем медленно охлаждали до t ниже 900 °С. Фотография выращенного кристалла показана в дополнительных материалах, рис S1A. Мы проанализировали кристаллы с обратным рассеянием белого луча рентгеновской дифракцией Лауэ при комнатной температуре. Образцы показывают очень острые пятна, которые могут быть проиндексированы одним рисунком, что говорит о превосходном качестве выращенных кристаллов без скручивания или доменов. На рисунке S1B показана типичная дифракционная картина Лауэ выращенного кристалла Co2MnGa, наложенная на теоретически смоделированную картину. Установлено, что кристаллическая структура составляет кубическию сигнатуру Fm 3m с параметром решетки a = 5.771 (5) A. Мы представляем магнитную характеристику наших Co2MnGa образцов в разделе 1 дополнительных материалов.
фотоэмиссионная спектроскопия с угловым разрешением: измерения ARPES проводили на Beamline 5-2 и 5-4 Стэнфордского источника света синхротронного излучения, SLAC в Менло-Парке, Калифорния, США, с помощью электронного анализатора Scienta R4000. Угловое разрешение было лучше, чем 0.2⁰ и энергетическое разрешение лучше, чем 20meV, с размером лучевого пятна около 50×40 мкм для Beamline 5-2 и 100×80 мкм для Beamline 5-4. Образцы расщепляли in situ и измеряли в вакууме лучше, чем 5*10-11 Тор при температурах < 25K.
Ab initio: Численные вычисления Co2MnGa выполнялись в рамках теории функционала плотности (DFT) с использованием метода проекционно-присоединенной волны, реализованного в пакете WASP [37-39]. Использовались обобщенное приближение градиента (GGA) [40] Г-центрированная петля k-пункта 12×12×12. Ga s,p-орбитали и d-орбитали Co, Mn использовали для пространственной модели плотной обвязки, функции Ванье. Состояния поверхности на (001) полу-инфинитовой плите вычисляли по функции Ванье итеративным методом функции Грина.
Подтверждение
И.Б. признает поддержку Национального научного фонда США GRFP и стипендиата Гарольда В. Доддса Принстонского университета. Работа в Принстонском университете поддерживается инициативой "Новые явления в квантовых системах" (EPiQS) Фонда Гордона и Бетти Мур под грантом № GBMF4547 (M.Z.H.) и Национальным научным фондом, Отделом исследований материалов, под грантами № NSF-DMR-1507585 и № NSF-DMR-1006492. H.L. признает поддержку Сингапурского национального исследовательского фонда под премией NRF № NRF-NRFF2013-03. Использование Стэнфордского синхронного источника излучения (SSRL), Национальной лаборатории ускорителей SLAC, поддерживается Министерством энергетики США, Управлением науки, Управлением фундаментальных энергетических наук в соответствии с Договором № DE-AC02-76SF00515. Авторы благодарят Донгуи Лу и Макото Хашимото за восторженную поддержку на SSRL Beamlins 5-2 и 5-4.
РИС 1: Прогнозирование узла магнитной линии в Co2MnGa. A. Кристаллическая структура Co2MnGa, полная кристаллическая гейслеровская структура. B. Объемная зонная структура Co2MnGa вдоль линий высокой симметрии в ферромагнитной фазе. Большинство спинов показывают пересечение полосы между одной валентностью и полосой проводимости вблизи EF. C. Узел линии (желтая кривая) – это дегенерация полосы вдоль всей замкнутой кривой в зоне Бриллюэна. Такая дегенерация может быть защищена зеркальной симметрией кристаллической структуры, и в этом случае линейный узел должен находиться в зеркальной плоскости зоны Бриллюэна, обозначенной здесь без потери обобщенности, как kz = kM. Однако линейный узел в общем случае может рассеиваться в энергии, как показано. Любой вырезанный через узел линии EB-k|| имеет конусообразную дисперсию (фиолетовые поверхности). D. Линейный узел является по существу топологическим объектом с π-фазой Берри, накопленной на любом замкнутом контуре, окружающем линейный узел. График двухкратных разреженных линейных узлов в Co2MnGa между основной спиновой проводимостью и валентной полосой, из расчета методов ab initio. Можно ожидать, что линейные узлы распространяются в Co2MnGa, поскольку кристаллическая структура имеет множество зеркальных плоскостей. Линейные узлы внутри каждого семейства (красный, синий или желтый) копируются друг в друга симметриями кристаллической решетки.
РИС 2: Наблюдение узла магнитной линии в ARPES в Co2MnGa. A, поверхность Ферми, измеренная при падении энергии фотонного излучения h = 50 эВ, с маркировкой зоны Бриллюэна поверхности (зеленый ящик). B. Ab initio постоянная энергетическая поверхность при связывающей энергии EB = 0.08 эВ ниже EF, на поверхности (001) с окончанием MnGa, показывая качественное согласование с ARPES. Отметим, что это говорит о допировании дырой 0:08 эВ в наших образцах. Цвета указывают спектральный вес данного состояния на поверхности, см. панель цветов. Проекция линейных узлов, рассчитанная на рис 1E, на поверхность (001). Сравнение с измеренной и рассчитанной поверхностью постоянной энергии позволяет предположить, что все признаки в структуре полосы возникают из-за распространения линейных узлов. Ab initio EB-k|| вырезает узлы синей и желтой линий. Мы ориентируемся на узел синей линии (белая стрелка в D, зеленая стрелка в C), который, по нашим прогнозам, остается значительно ниже EF даже под дырой допинга ~0.08 eV. E-H, EB-k||вырезает узел синей линии по центру на разных ky, обозначенных красными стрелками в А. Наблюдаем пересечения в диапазоне ky, показывая удлиненную одномерную полосу пересечения, I. Для ky~-0.5A-1 мы движемся мимо края узла синей линии и конусных зазоров, как и ожидалось. Эти спектры ARPES являются сигнатурой “smoking gun” узла магнитной линии в Co2MnGa.
РИС 4: Наблюдение состояния поверхности голени в Co2MnGa. A-C. Спектры ARPES показывают состояние поверхности голени при различных энергиях фотонов. D, то же, что и A, но с ключевыми признаками, помеченными ручными направляющими: узел желтой линии (желтая маркировка), состояние поверхности мембраны (зеленая маркировка). Лобовая головка растягивается по внешнему узлу желтой линии (внешние оранжевые стрелки) и закрепляется центральным узлом желтой линии (центральная оранжевая стрелка). E, Аналогичный разрез из расчета методами ab initio, соответствующий эксперименту и, в частности, также показывающий состояние поверхности мембраны. F, то же, что и на рис. 2C, но с зеленой линией, обозначающей местоположение спектров ARPES в A-C. Снова оранжевые стрелки указывают на три узла жёлтой линии, пересекающие разрез. G, зависимость энергии фотона кривой распределения энергии (EDC), проходящей через барабанную перепонку (красная пунктирная линия в D). Пики, отмеченные черной вертикальной линией, соответствуют состоянию поверхности мембраны. Мы не наблюдаем дисперсию как функцию фотонной энергии, обеспечивая прямое доказательство того, что пики соответствуют состоянию поверхности. Таким образом, наша фотонная энергетическая зависимость также говорит о том, что интересующая зона представляет собой состояние поверхности мембраны. Отметим, что мы наблюдали первое состояние поверхности мембраны в любом магнитном или немагнитном материале.
РИС 5: Природные магнитные топологические основы. Были предложены различные топологические фазы разбиения с обратной симметрией во времени, включая А, хорошо известный магнитный полуметалл Вейля [30, 31]; B – антиферромагнитный топологический изолятор [32]; C - узел линии, реализованный в этой работе; И D, более высокие точки Черна Вейля, защищенные симметриями группы магнитных пространств [33]. Наша работа открывает путь к открытию этих и других магнитных топологических фаз, наряду с явлениями, возникающими из-за удивительного взаимодействия топологических инвариантов и магнетизма.
Дополнительные материалы: Трехмерная магнитная топологическая фаза
Здесь мы сначала характеризуем магнитные свойства наших Co2MnGa образцов. Затем мы обеспечиваем систематическое обсуждение богатой сети линейных узлов в Co2MnGa и представляем дополнительные ARPES и расчетные данные, опущенные из основного текста. Наконец, мы комментируем взаимосвязь между топологическим инвариантным и мембранными поверхностными состояниями в полуметаллах линейных узлов в целом, выделяя некоторые теоретические вопросы, которые остаются без внимания.Магнитная и XPS характеристика Co2MnGa
Мы представляем измерение намагниченности постоянного тока, проводимое с помощью магнитометра с вибрационным образцом Quantum Design (VSM) с температурным диапазоном 2 - 400 К и магнитным полем до 7 Т. Транспортные измерения проводили с использованием системы измерения физических свойств Quantum Design с переменным током низкой частоты. Термозависимую (FC) и нулевую (ZFC) намагниченность кристалла Co2MnGa регистрировали в магнитном поле постоянного тока 200 Ом, подаваемом вдоль направления [001] в диапазоне температур 300 - 1000 К, рис S2A. Намагниченность резко падает выше 660 К, что приводит к ферромагнитному переходу с температурой Кюри TC~687 К, что хорошо согласуется с ранее опубликованными результатами [1]. Магнитная петля гистерезиса, зарегистрированная на 2К, показывает мягкое ферромагнитное поведение, рис S2b. Намагниченность насыщается выше ~0.5 T поля при насыщении намагниченностью MS ~4.0μBf.u. Очевидно, что соединение следует правилу Слейтера-Поллинга, MS=N-24, где N - число валентных электронов, N = 28 для Co2MnGa, что предполагает полуметаллическое поведение. Мы видим ферромагнитное петлевое отверстие с коническим полем ~35 Oe, рис S2B, вставка. Наконец, мы исследуем зависящее от температуры продольное удельное сопротивление наших образцов ρxx(T) с нулевым магнитным сопротивлением, рис S3. Мы направили ток вдоль направления [100]. Ясно, что соединение демонстрирует металлическое поведение в диапазоне температур с очень низким остаточным удельным сопротивлением: ρxxT~5.6×Ω*cm. Было обнаружено, что коэффициент остаточного удельного сопротивления (RRR) равен ρxx300K/ρxx (2K)=2.6 для наших Co2MnGa монокристаллов. Представлен спектр XPS основного уровня наших Co2MnGa образцов, рис. S4. Мы четко определяем соответствующие уровни ядра, включая пики Ga 3d, Mn 3p и Co 3p, что предлагает высокое качество выборки.
2. Сеть линейных узлов в Co2MnGa Обзор линейных узлов: В основном тексте мы сосредоточились на узле синей линии в Co2MnGa. Здесь мы даем более систематическое введение в полную сеть линейных узлов. Напомним, что линейный узел - это одномерное пересечение пары зон. В то время как узлы линии содержатся в зеркальных плоскостях основной зоны Бриллюэна, им разрешено рассеиваться по энергии. В результате целесообразно построить линейный узел как функцию kx, ky и EB, где kx и ky без потери общности являются двумя осями импульса плоскости зеркала. В Co2MnGa есть три независимых линейных узла, которые мы обозначаем красными, синими и желтыми линейными узлами Разброс дисперсий этих трех узлов линии построен из расчета на рис. S5B-D. Отметим, что энергии помечены относительно уровня Ферми, наблюдаемого в цифрах. Так как в эксперименте мы находим, что уровень Ферми составляет около -0,08 эВ относительно расчета, он пронизает все узлы линии. Далее мы можем свернуть энергетическую ось и построить линейные узлы в пространстве kx, ky, kz. Мы считаем, что, хотя и мы начинаем с трех независимых линейных узлов, каждый из них многократно копируется в зоне Бриллюэна с помощью операций симметрии кристаллической решетки, что приводит к сложной сети линейных узлов. Окончательное расположение узлов линии суммировано в основном тексте на рис. 1E, снова показанном здесь как рис . S5A. Далее, так как мы изучаем поверхность (001), полезно рассмотреть, как узлы линии проецируются на поверхность зоны Бриллюэна. Например, центральный узел красной линии будет проецировать прямо вверх на своей поверхности вокруг Γ, см., Например, основной текст Рис. 2C. Напротив, смежные узлы синей линии будут проецироваться на их сторону, так что на самом деле в проекции поверхности будет «двойной» конус. Более того, эта синяя линия больше не будет отображаться в виде замкнутой кривой на поверхности зоны Бриллюэна. Скорее, он сформирует конечный отрезок линейного узла, как видно из основного текста Рис. 2C (зеленая стрелка). Наконец, мы находим узлы желтой линии в плоскости kx, ky и в плоскости kx, kz, поэтому на поверхности (001) будет двойной узел желтой линии вдоль Γ- M и один узел желтой линии вблизи M-X, см. Рис. S12B.
Кривизна Берри: Далее мы рассчитываем интегрированную кривизну Берри Ω (E) для 21 Co2MnGa, рис. S6A, B. Мы наблюдаем пик при приблизительной энергии узлов линии, показывая, что кривизна Берри определяется вкладом узлов линии. Это говорит о том, что аномальный холловский отклик системы возникает в основном из линейных узлов. Также отметим, что линейные узлы являются по существу магнитными в том смысле, что они удаляются, если мы удаляем магнитную упорядоченность. Действительно, зонная структура без магнитной упорядоченности резко меняется, рис. S7.
В то же время отметим, что в структуре немагнитных зон, вероятно, возникнет новое семейство линейных узлов.
В оставшейся части этого дополнительного раздела мы представляем данные ARPES по каждому из этих узлов линии по очереди. Мы считаем, что узел синей линии наиболее легко наблюдается в наших спектрах с богатой структурой, как уже подробно обсуждалось в основном тексте. Мы также можем продемонстрировать узел желтой линии, хотя мы находим, что спектральная интенсивность слабее, поэтому мы должны полагаться на тщательный анализ кривых распределения импульсов (MDC) и сравнение с расчетами. Наконец, мы можем наблюдать четкие подписи узла красной линии в наших данных, но мы не можем точно определить его пересечение полосы
Дополнительная систематика на узле синей линии: Далее мы представляем некоторые дополнительные данные ARPES на узле синей линии. Мы представляем полную систематическую постоянную энергии поверхности рис. S8A-I. Здесь мы можем более тщательно отслеживать развитие линейного узла в EB. Примечательно, что мы видим, что очаг с отверстиями, показанный в основном тексте на рис. 3D, становится больше c более глубоким EB, рис. S8F-I. Мы считаем, что точка пересечения удаляется от Γ с более глубоким EB. Например, при разрезании вблизи центра узла линии мы обнаруживаем, что пик точки пересечения сдвигается от kx~ 0,45 A -1, рис. S8D, до kx~ 0,46 A -1, рис. S8E (анализ кривой распределения не показано). Этот анализ также подтверждает наше наблюдение за линейным узлом.
Чтобы получить другую перспективу наших данных, мы можем разрезать параллельно узлу синей линии, рис. S9A-I, с местами разрезов, показанными на рис. S9J .В отличие от основного текста на рис. 2, где мы разрезаем перпендикулярно узлу линии, здесь мы разрезаем вдоль узла линии, так что мы встретим разрез EB − kx который содержит весь узел линии, см. Рис. S9K, L. Проходя таким образом через линейный узел, мы видим подход проводимости и валентных зон, рис. S9A-D, касаются друг друга при фиксированном ky ~0A -1 вдоль конечного диапазона kx, рис. S9E, и затем снова двигаются в рознь, рис. S9F-I. Обратите внимание, что в наших данных мы фактически наблюдаем линейный узел немного в стороне от ky ~0A -1, рис. S9E, вероятно, из-за небольшой ошибки в калибровке осей импульса или небольшого смещения образца. Наши параллельные разрезы EB-kx снова демонстрируют узел синей линии.
Мы также можем выполнить числовую аппроксимацию наших спектров ARPES. Мы начинаем с тех же EB - kx, которые обсуждались в основном тексте на рис. 2, и вручную выбираем кривую распределения энергии (EDC), проходящую через центр конуса, как отмечено желтыми стрелками, рис. S10A-E. Мы подгоняем эти EDC к функции следующей формы
I(x)=(C