Евклид. Начала

СОДЕРЖАНИЕ
Введение……………………………………………………………………….…3
Известная нам часть биографии Евклида…………………………….....4
Суть и структура «Начал» Евклида…………………………………..….5
«Начала». Книга IV.………………………………………………………7
Заключение…………………………………………………………………...…11
Список литературы…………………………………………………………..…12

ВВЕДЕНИЕ
Евклид – древнегреческий ученый и философ. Он жил и работал в III веке до нашей эры. По различным историческим источникам его деятельность происходила в Александрии (Эллинистический Египет, Древние Афины). Его называют «отцом геометрии».
Евклид занимался изучением теории чисел, принципами и законами геометрии. «Начала» - главный труд его жизни. Эта книга является кульминацией античной математики, она как бы подводит итог 300-летнему развитию этой науки. Считается, что это, возможно не первый подобный труд, но первый, который сохранился да наших дней. Эта книга явилась основой для всех последующих исследований в области математики, оказав огромное влияние на развитие этой науки вплоть до Новейшего Времени. Еще в древности на нее опирались в своих исследованиях по математике и механике такие известные ученые как Архимед и Аполоний Пергский. Более чем две тысячи лет она оставалась базовым учебником по геометрии. Эта книга переведена на множество языков мира, имеет большое количество переизданий. На русский язык «Начала» Евклида издавались, начиная с XVIII века.
На основе «Начал» Евклида основывается школьная математика, берет начало высшая математика. Версия, которую мы можем изучать в наши дни, написана в 3 томах, состоит из 13 книг (I-XIII). В дошедших до наших дней рукописях к этим 13 книгам присоединяются еще две.
Помимо «Начал» известны также его другие труды: «О делении фигур», «Конические сечения», «Поризмы». Так же он является автором работ по астрономии, оптике, музыке. В музее естественной истории Оксфордского Университета выставлена статуя Евклида. К первой книге «Начал» имеются комментарии Прокла (410-485 гг. до н.э.), античного философа-неоплатоника. В основном на основе этих комментариев и строится наше представление о биографии Евклида.
ИЗВЕСТНАЯ НАМ ЧАСТЬ БИОГРАФИИ ЕВКЛИДА
Датой рождения древнегреческого ученого принято считать примерно 325 г. до нашей эры. Точный год его рождения не известен. В то время правителем Афин был Птолемей 1.
По предположениям арабских авторов, Евклид происходил из богатой семьи. Есть вариант того, что он мог родиться в Тире. Архимед в своих рукописях, дошедших до наших дней, рассказывает о жизни Евклида. По этим рукописям можно предположить, что Евклид являлся сыном греческого ученого. Я думаю, еще ребенком Евклид начал увлекаться естественными науками.
Известно, что учителем Евклида был Платон (427-347 гг. до н.э.), который в свою очередь являлся учеником Сократа. В то время учиться в платоновской школе (Афины) могли позволить себе только достаточно состоятельные люди.
Уже во времена Платона и пифагорейцев знание геометрии, теории чисел, астрономии было необходимым для последующего изучения философии. Считалось, что, не зная этих наук, невозможно всерьез заниматься философией. Царь Птолемей I создал Мусейон, так называемый храм муз. Здесь были прекрасные ботанические сады, места для занятий, для философии и искусств. Царь сделал это конечно для того, чтобы привлечь внимание к своему государству, собрать лучшие умы в одном месте. Птолемей как-то спросил Евклида, есть более короткий путь к геометрии, нежели «Начала», на что Евклид ответил, что «нет царского пути к геометрии» (из рукописей Архимеда).
В зрелом возрасте Евклид основывает математическую школу в Александрии и пишет главный труд своей жизни – «Начала».
Дата смерти считается 265 г. до н.э., другие исследователи говорят, что он умер между 275 и 270 гг. до н.э.
СУТЬ И СТРУКТУРА «НАЧАЛ» ЕВКЛИДА
Оригинал «Начал» написан на греческом языке (новогреческом) примерно за 300 лет до нашей эры. Но оригинальный текст до наших дней не сохранился. Во время раскопок античных городов были найдены фрагменты «Начал» на папирусе. На их основе в XIX веке Гейбергом, датским филологом и историком науки, был реконструирован текст «Начал».
В своем реферате я рассматриваю издание 1948-1950 гг., перевод Д. Д. Мордухай-Болтовского, в редакции книги помогали профессора М.Я. Выгодский и И.Н. Веселовский.
Книга содержит теории, лежащие в области стереометрии, планиметрии, теорию чисел, включает элементы теории пределов. В этом труде систематизируется вся изученная до этого времени геометрия, рассматриваются принципы и законы построения фигур (треугольников, прямоугольников, параллелограммов, окружностей), производится сравнение из площадей и других свойств. Текст «Начал» является предметом многочисленных дискуссий ученых-математиков, к нему составлено множество комментариев.
Разберемся немного в структуре и сути рассматриваемого нами математического произведения. Начинается каждая книга с математических определений. В «Началах» все предложения выводятся одно за другим, как по цепочке, они следуют друг из друга, опираясь на утверждения, приведенные в начале книги.
В книге I изучаются треугольники и параллелограммы, их свойства. Она содержит 23 математических определения, затем следуют постулаты. Здесь главной темой становится теорема Пифагора для прямоугольных треугольников, доказательство этой теоремы Евклидом стало наиболее распространенным доказательством данной теоремы. В книге I имеется очень любопытный V постулат, гласящий «если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых». Возможно, он дал начало развития неевклидовой геометрии в Новом времени.
Книга II посвящена «геометрической алгебре». Как и III, и IV книги, она основана на трудах пифагорейцев, раскрывает теоремы геометрии окружностей. В III и IV книгах излагается геометрия окружностей, а также вписанных и описанных многоугольников.
В V книге вводится общая теория пропорций, или общая теория отношений, разработанная Евдоксом Книдским, а в VI книге она прилагается к теории подобных фигур. Шестой книгой заканчивается первый том, в котором рассматриваются одноплоскостные фигуры.
VII—IX книги посвящены элементарной теории чисел и так же восходят к пифагорейцам. Предполагается, что автором VIII книги был Архит Тарентский. В этих книгах рассматриваются свойства простых чисел, их делимость, пропорции, геометрическая прогрессия и суммы прогрессий, бесконечность простых чисел и строительство совершенных чисел; доказывается бесконечность множества простых чисел. Также в седьмой книге Евклид предлагает своей алгоритм нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного.
В X книге - самой объёмной и сложной части Начал, строится классификация иррациональностей. Предполагается, что её автором является Теэтет Афинский.
Книги XI - XIII – это теория пространственной геометрии или стереометрии. XI книга содержит основы стереометрии. В XII книге с помощью метода исчерпывания доказываются теоремы об отношениях площадей кругов, а также объёмов пирамид и конусов. Наконец, в XIII книге рассматривается построение пяти правильных многогранников, доказывается то, что существует именно пять правильных многогранников.
Читая книгу, я пользовалась объяснениями автора некоторых обозначений в книге. Например, числа в круглых скобках ( ) указывают номер соответствующего комментария, кроме того, в них даются ссылки на нужные предложения начал, на котором базируется доказательство в рассматриваемом месте. Переводчик также указывает на то, что в оригинальном тексте Евклидом не пронумерованы чертежи, нумерация дана уже при переводе, так же, как и соответствующие ссылки. Д. Д. Мордухай-Болтовский писал свой перевод «Начал», опираясь на сделанный ранее перевод Гейберга. В квадратных скобках [ ] помещены слова, принадлежность которых Евклиду Гейберг подвергает сомнению, но и не может прямо исключить их из текста. Добавления переводчика, необходимые для понимания в каких-то местах слишком сжатого текста Евклида, помещены в угловатые скобки < ˃. В кавычках « » помещены термины, означающие буквальный перевод специфической для нашего понимания научной терминологии Евклида (например, «прямая из центра» означает радиус). Звездочкой *) или ссылкой 1), 2) и т.д. обозначаются ссылки на подстрочные примечания.
Следует отметить, что Евклидом использовалось понятие только конечного отрезка, и вообще длины. В настоящее же время прямая понимается как линия бесконечной длины. Возможно, по этой причине постулат параллельности у Евклида сформулирован столь громоздко.
«НАЧАЛА». КНИГА IV
Эта книга рассматривается принципы вписывания и описывания окружностей и многоугольников. Содержит 7 математических утверждения. Я хотела бы привести их в своем реферате:
Говорят, что прямолинейная фигура вписывается в прямолинейную фигуру, если каждый из углов вписываемой фигуры касается стороны той, в которую она вписывается.
Подобным же образом говорят, что фигура описывается около фигуры, если каждая сторона описываемой касается каждого угла той, около которой она описывается.
Говорят, что прямолинейная фигура вписывается в круг, если каждый угол вписываемой касается обвода круга.
Говорят, что прямолинейная фигура описывается около круга, если каждая сторона описываемой касается обвода круга.
Подобным же образом говорят, что круг вписывается в фигуру, если обвод круга касается каждой стороны фигуры.
Говорят, что круг описывается около фигуры, если обвод круга касается каждого угла фигуры, около которой он описывается.
Говорят, что прямая вставляется в круг, если концы ее находятся на обводе круга.
В 7 определении слово «вставляется» отмечено звездочкой, и внизу сноска, что оно буквально в переводе с греческого значит прилаживается, приспосабливается.
Далее идут предложения. Их в пятой книге 16. Затем идет доказательство и чертеж. Заканчивается это все следствием, которое начинается со слов «значит, …».
Приведу для рассмотрения предложения 4.
Предложение 4.
В данный треугольник вписать круг.
Пусть данный треугольник будет АВС; потребуется в треугольник АВС вписать круг.
Построим чертеж 1. Я выполнила его в графическом редакторе.
Чертеж 1.
Рассечем пополам углы АВС и АСВ прямыми BD и CD (предложение 9 книги 1), и пусть они встретятся друг с другом в точке D (постулат 5 из книги 1); из D проведем к прямым АВ, ВС, СА перпендикуляры DE, DI, DH. Обращаю внимание на то, что идет ссылка на 1 книгу, предложение 9, в котором рассматривается, как прямолинейный угол рассечь пополам. А также ссылка на как раз тот самый любопытный 5 постулат из 1 книги.
И поскольку угол АВD равен СВD, прямой же угол ВED равен прямому ВID, то вот два треугольника ЕВD, IВD, имеющих два угла, равные двум углам, и одну сторону, равную одной стороне, стягивающую один из равных углов, а именно общую их <сторону˃ ВD; значит, и остальные стороны они будут иметь равные остальным (предложение 26, книга 1); значит, DE равна DI.
В предложении же 26 первой книги говорится о том, что если два треугольника имеют два угла, равных двум угла, каждый каждому, и одну сторону, равную одной стороне, либо заключающейся между равными углами, либо стягивающей один из равных углов, то они будут иметь и остальные стороны равными остальным сторонам и оставшийся угол оставшемуся углу.
Вернемся к нашему чертежу. Значит, три прямые DE, DI и DH равны между собой; значит, круг, описанный из центра D раствором одним из DE, DI, DH, пройдет и через остальные точки и коснется прямых АВ, ВС, СА вследствие того, что углы при точках E, I, H прямые. Действительно, если бы он их пересекал, то прямая, проведенная под прямыми углами к диаметру круга в конце его, попала бы внутрь круга; что, как доказано, невозможно (предложение 16 книги 3); значит, круг, описанный из центра D раствором одним из DE, DI, DH, не пресечет прямых АВ, ВС, СА; значит, он коснется их и будет кругом, вписанным в треугольник АВС; пусть он будет вписан как IHE.
Значит, в данный треугольник АВС вписывается круг EIH, что и требовалось сделать.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Хотелось бы подвести итоги своему реферату. Я внимательно изучила труд Евклида «Начала», переведённый на русский язык, также ознакомилась с биографией древнегреческого ученого и философа, привела пример и доказательство из книги IV.
Хотелось бы еще обратить внимание на то, что Д. Д. Мордухай-Болтовский в предисловии «Начал» пишет, что он старался быть «как можно ближе к греческому тексту, порой в ущерб гладкости изложения». То есть постарался сохранить оригинальность текста насколько это возможно. Свой перевод он ориентировал не только на преподавателей математики, но и на исследователей, которым интересен сам Евклид.
Я считаю, что «Начала» - гениальный труд великого человека. Позднее писали свои труды Декарт, Ньютон, Спиноза, опираясь на «Начала» Евклида. До XX века в университетах считалось обязательным изучение труда древнегреческого ученого.
Я думаю, совсем не исключено, что в дальнейшем будут еще переводы и переиздания данного математического трактата, т.к. он имеет актуальность и ценность во все времена, содержит когда-то давно выведенные геометрические и алгебраические истины.
Конечно, с течением времени делается много новых открытий, и наука никогда не стоит на месте, но существуют незыблемые постулаты и основы, которые изучаются, переводятся, дорабатываются веками. Одним из таких произведений являются «Начала» Евклида.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Начала Евклида. Перевод с греческого и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского при редакционном участии И. Н. Веселовского и М. Я. Выгодского. М.-Л.: ГТТИ, 1949—1951.
https://ru.wikipedia.orghttps://calculator888.ru/blog/biografiya/evklid.htmlhttps://docviewer.yandex.ru/viewhttps://bookree.org/reader?file=623149&pg=125