Лист Мёбиуса

Оглавление

Введение 3
1 Основная часть 5
1.1 Историческая справка 5
1.2 Что такое лист Мебиуса?. 5
1.3 Свойства листа Мебиуса 6
1.4 Применение ленты Мебиуса 7
2 Практическая часть 10
2.1 Изготовление ленты Мебиуса 10
2.2 Проведение эксперимента 10
Заключение 12
Список литературы 13

Введение

В разных городах мира, в парках и музеях можно встретить
удивительные скульптуры, к которым относится и лента Мебиуса. Ее можно
увидеть у входа в Музей истории и техники в Вашингтоне и на памятной
марке, выпущенной в 1967 году, в Бразилии к международному
математическому конгрессу. И монумент высотой более чем в два метра, и
крохотная марка – памятники немецкому математику и астроному Августу
Фердинанду Мебиусу.
В моей работе рассматривается история возникновения понятия лента
Мебиуса, применение листа Мебиуса в жизни, проведение эксперимента с
ним.
 Объектом моего исследования является лента Мебиуса. Тема
 актуальна, так как в настоящее время огромное влияние на различные
области знаний оказывает новая ветвь геометрии – топология. Эта наука
бурно развивается и находит применение в различных областях. Да и мы
настолько привыкли к обилию фантастических фильмов, что никого не
удивляют термины "телепортация", "другое измерение", "многомерное
пространство». Но мы часто не замечаем то, что окружает нас в реальном
мире. Например, ленту Мебиуса.
Я поставил себе цель: изучить свойства ленты, познакомиться со
сферами  её применения. Для ее реализации мне надо решить ряд задач:
 найти литературу о листе Мебиуса;
 изучить историю возникновения ленты Мебиуса;
 выяснить свойства листа Мебиуса;
 показать, что лента Мебиуса нашла применение во многих
привычных для нас сферах жизни.
При этом предметом исследования является обучение умению
изготавливать лист Мебиуса, проверять его свойства, находить применение в
жизни. Это ведёт к более глубокому осмыслению математики как
прикладной науки.
Работая над темой, я использовал следующие методы: анализ, синтез,
наблюдение, эксперимент.
Значимость работы: В Теоретической части обобщить мнения ученых
и выдвинуть личное отношение к данному предмету.
В практической части - доказать гипотезы ученых в виде экспериментов.

1  Основная часть
1.1  Историческая справка

Знаменитый лист Мебиуса придумал в 1858 году немецкий геометр
Август Фердинанд Мебиус, ученик «короля математиков» Гаусса [4] .
Мебиус был первоначально астрономом, как Гаусс и многие другие
математики. В те времена занятия математикой не встречали поддержки,
а  астрономия  давала достаточно денег, чтобы не думать о них, и оставляла
время для собственных размышлений.
Мебиус стал одним из крупнейших геометров XIX века. В возрасте 68
лет ему удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие
односторонних поверхностей, одна из которых - лист Мебиуса.
Удивительным является тот факт, что ленту с одной поверхностью в тот
же самый 1858 год открыл другой ученик Гаусса – талантливый математик
Иоганн Листинг, придумавший термин «топология» и написавший серию
трудов по этому разделу математики. Однако свое название необычная лента
все же получила по фамилии Мебиуса.
На самом деле, лента была открыта давным-давно еще в древнем мире.
Одним из подтверждений служит находящаяся во Франции, в музее города
Арль древнеримская мозаика с такой же перекрученной лентой. На ней
нарисован Орфей, очаровывающий зверей звуками арфы. На фоне
неоднократно изображен орнамент с перекрученной лентой.
В 1858 году Август Фердинанд Мебиус послал в Парижскую академию
наук работу, включавшую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался
рассмотрения своей работы и, не дождавшись, опубликовал ее результаты.

1.2 Что такое лист Мебиуса? [5]

Лист Мебиуса - это простейшая односторонняя поверхность с краем.
Если в любом месте на ленте поставить точку, то ее можно соединить с
любой другой точкой на поверхности ленты, не пресекая края. Таким
образом, получается, что поверхность этого объекта непрерывная.
Сделать ленту Мебиуса очень просто: возьмем ленту ABCD, а после
свернем таким образом, чтобы точки A и D соединились с С и В.

Получается обычная на первый взгляд фигура, которая имеет очень
интересные свойства.

1.3 Свойства листа Мебиуса [3; 4; 8]
Рассмотрим свойства этого топологического объекта.

Односторонность

Все мы привыкли к тому, что у поверхностей всех объектов, с которыми
мы сталкиваемся в реальном мире (например, листок бумаги) две стороны.
Но поверхность ленты Мебиуса односторонняя. Это легко можно проверить
путем закрашивания ленты. Если взять карандаш и начать окрашивать ленту
с любого места, не переворачивая, то в конечном итоге, лента окажется
полностью закрашена.
А вот муравью, ползущему по листу Мебиуса, не придется переползать
через край, чтобы попасть на противоположную сторону, как это видно на
гравюре художника Маурица Эшера «Лента Мебиуса II».

Непрерывность

Непрерывность – это ещё одно топологическое свойство. С
топологической точки зрения круг неотличим от квадрата или треугольника,
потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая
непрерывности. На листе Мебиуса любая точка может быть соединена с
любой другой точкой и при этом муравью на гравюре Эшера ни разу не
придётся переползать через край “ленты”. Разрывов нет – непрерывность
полная.

Связность

Связность, или двухмерность, заключается в том, что при разрезании
ленты вдоль, из нее не получится несколько разных фигур, и она остается
цельной. Чтобы разделить квадрат на две части, нам потребуется только один
разрез. Но вот чтобы располовинить кольцо, потребуется уже два разреза. А
лист Мебиуса? Конечно двусвязен, т. к. если разрезать его вдоль, он
превратится не в два отдельных кольца, а в одну целую ленту.
Количество связей меняется в зависимости от смены количества
оборотов ленты: если один оборот – двусвязен и т.д.
Ориентированность

Свойство, отсутствующее у листа Мебиуса. Так, если бы человек смог
пропутешествовать по всем изгибам листа Мебиуса, то тогда он вернулся бы
в исходную точку, но превратился бы в своё зеркальное отражение.
Ленту Мебиуса иногда называют прародителем символа бесконечности
∞, так как находясь на поверхности ленты Мебиуса, можно было бы идти по
ней вечно. Правда, это не соответствует действительности, ведь символ ∞
использовался для обозначения бесконечности в течение двух столетий до
открытия ленты Мебиуса.

1.4 Применение ленты Мебиуса [2; 4; 9]

Искусство.
     Лист Мебиуса служил вдохновением для скульпторов и для графиков.
Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил
несколько своих литографий этому объекту. Одна из известных — лист
Мебиуса, показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мебиуса.

Техника.
    Существуют технические применения ленты Мебиуса. Полоса ленточного
конвейера выполняется в виде ленты Мебиуса, что позволяет ему работать
дольше, потому что вся поверхность ленты равномерно изнашивается. Также
в системах записи на непрерывную плёнку применялись ленты Мебиуса
(чтобы удвоить время записи).
Генетика.
     Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом
ленты Мебиуса и только поэтому генетический код так сложен для
расшифровки и восприятия. Больше того - такая структура вполне логично
объясняет причину наступления биологической смерти - спираль замыкается
сама на себя и происходит самоуничтожение.
Физика.
    Физики утверждают также, что все оптические законы основаны на
свойствах ленты Мебиуса, в частности отражение в зеркале - это
своеобразный перенос во времени, краткосрочный, длящийся сотые доли
секунды, ведь мы видим перед собой... правильно, зеркального своего
двойника!
Изобретения.
Патентные службы вынуждены были познакомиться с поразительными
свойствами листа Мебиуса — в разное время и в разных странах
зарегистрировано немало изобретений, в основе которых лежит все та же
односторонняя поверхность.
В 1923 году знаменитый американский изобретатель Ли де Форест,
который придумал трехэлектродную лампу — триод, предложил записывать
звук на киноленте без перемены катушек, сразу «с двух сторон». Ему выдали
патент № 1442632.
 Изобрели магнитофон — и сразу же нашлись сообразительные люди,
которые придумали особые кассеты, где магнитная лента соединяется в
кольцо и перекручивается. Ясно, что тогда можно записывать и считывать
подряд с двух дорожек, не снимая кассеты с магнитофона и не меняя их
местами, а значит, время непрерывного звучания увеличивается ровно вдвое.
 В 1969 году советский изобретатель А. Губайдуллин получил авторское
свидетельство № 236278 на бесконечную шлифовальную ленту, работающую
обеими своими сторонами. Он предложил натянуть сделанную из
специального материала ленту Мебиуса на два вращающихся ролика и
покрыть ее крупинками твердого абразива. Понятно, что такая лента служит
вдвое больше обычной.
Ту же идею использовали сотрудники НИИ автоматизации черной
металлургии Г. Буйный и В. Изотов в своем устройстве для магнитной
дефектоскопии (им выдано авторское свидетельство № 259449).
В 1963 году патентное ведомство США зарегистровало целых два
«практически геометрических» изобретения. Некто Джакобс поставил свои
знания топологии на службу химчистки — он придумал самоочищающийся
фильтр, который представляет собой все ту же ленту Мебиуса и беспрерывно
освобождается от впитанной грязи, «работая» при этом обеими своими
сторонами. А Ричард Дэвис, физик из американской корпорации «Сандиа» в
Альбукерке, изобрел электрическое сопротивление, обладающее нулевой
реактивностью.
В 1969 году советский изобретатель Губайдуллин предложил
бесконечную шлифовальную ленту в виде листа Мёбиуса.
В 1971 году изобретатель с Урала Чесноков П.Н. применил фильтр в
виде листа Мёбиуса.
 И это только ничтожная часть примеров использования этой
удивительной поверхности.

2 Практическая часть
2.1 Изготовление ленты Мебиуса

1. Возьмите вытянутую полоску бумаги прямоугольной формы ABCD
2. Сверните лист таким образом, чтобы вершина A совпала с вершиной С, а
вершина B совпала с вершиной D. Склейте концы листа, получившаяся
поверхность будет листом Мебиуса.

2.2 Проведение эксперимента

1 Что получится, если начать чертить линию на листе Мебиуса с
одной стороны, не переходя через край?
Исходный материал – лист Мебиуса.
Постепенно проводим линию, начиная с любого места.
Результат – вернулись в исходную точку.
Это подтверждение того, что лист Мебиуса односторонняя поверхность.

2 Что произойдёт с обычным кольцом, если его разрезать посередине?
Исходный материал – обычное кольцо, склеенное из полоски бумаги.
Результат разрезания кольца посередине – два отдельных обычных
Кольца.
Свойства – длина окружности та же, но кольца в два раза уже исходного.
3 А если лист Мебиуса разрезать посередине (то есть на 2 полоски)?
Исходный материал – лист Мебиуса.
Результат разрезания кольца посередине – одно кольцо
Свойства – кольцо перекручено дважды, оно вдвое длиннее, но в два раза
уже.

4 Каков результат разрезания листа Мебиуса на 3 полоски?
Исходный материал - на обеих сторонах ленты на равном расстоянии от
краев проводим по две пунктирные линии. Склеиваем лист Мебиуса.
Разрезаем по пунктирным линиям (на 3 полоски). Результат разрезания –
получается 2 кольца. Одно из них вдвое длиннее первоначальной ленты и
вдвое перекручено. Оно получилось из краев исходной ленты. Другое - лист
Мебиуса - состоит из центральной части исходного листа Мебиуса.
5 Каков результат разрезания листа Мебиуса на 5 полосок?
Исходный материал – кольцо с двумя перекручиваниями.
Результат разрезания кольца посередине – два кольца, соединенные между
собой.
Свойства – кольца перекручены один раз (лист Мебиуса), длина окружности
та же, но они в два раза уже.
Совершенно неожиданные вещи происходят с бумажной полоской под
названием лист Мебиуса.

Заключение

Занимаясь этой работой, я пришел к выводу, что хотя лист Мебиуса
открыли ещё в XΙX веке, он был актуален и в настоящее время.
Удивительные свойства листа Мебиуса использовались и используются в
технике, в физике, в живописи, в архитектуре. Вдохновлял он на творчество
многих писателей и художников.
В Москве, в  сентябре 2006  года состоялся Фестиваль художественной
математики. С большим успехом были приняты выступления многих
профессоров.
Выводы:
1. прочитав определённую литературу, я познакомился с геометрической
поверхностью - лентой Мебиуса;
2. анализируя собранный материал, я увидел необычность этой ленты;
3. экспериментальным путём я показал, что лист Мебиуса является
односторонней поверхностью, что необычно для трехмерной фигуры;
4. пытался убедить, что лента Мебиуса нашла применение во многих
привычных для нас сферах жизни;
5. считаю правильным, что лист Мебиуса считают символом современной
математики, так как именно он дал толчок новым математическим
исследованиям;

Список литературы
1.  Кордемский «Опыты своими руками», Квант №3, 1974, стр73.
2.  Увлекательная математика. М.: Знание, 2005.
3.  «С математикой в путь», Издательство «Педагогика», 2007 г., с. 42-43
4. М. Гарднер «Математические чудеса и тайны», Издательство «Дрофа»,
2010 г., с.43-48
5. Е.С. Смирнова «Курс наглядной геометрии», Издательство «Дельфин»,
2015 г, стр 63-67
Интернет – ресурсы:
7.  http://www. *****/person/2637, 8.05.2020 г.
8.  http://www. *****/noos/math/listmebiusa/index, 8.05.2020 г.
9.  http://sola. *****/top, 7.05.2020 г.