Методы решения линейных уравнений

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение……………………………………………………………….…3
Теоретические основы систем линейных уравнений…………..5
Методы решения систем линейных уравнений…………………8
Метод Гаусса…………………………………………………..….8
Метод Крамера……………………………………………………9
Матричный метод……………………………………….…....….10
Пример решения системы линейных уравнений….…………...11
Заключение……………………………………………….……………..15
Список использованной литературы…………………………………..17

Введение
Линейная алгебра, численные методы – раздел вычислительной математики, посвященный математическому описанию и исследованию процессов численного решения задач линейной алгебры.
Одной из важнейших и наиболее распространённых задач вычислительной математики является задача решения систем линейных алгебраических уравнений. К ним часто приходят при исследовании самых различных проблем науки и техники, в частности, приближенное решение дифференциальных уравнений обыкновенных и в частных производных сводится к решению алгебраических систем. Число неизвестных n может достигать нескольких десятков, сотен и даже тысяч. К решению систем линейных уравнений сводятся такие группы задач:
задачи механики (статические, теплотехнические);
задачи из геодезии, связанные с построением карт на основании данных геодезической съемки;
системы линейных уравнений - основной аппарат при нахождении значений коэффициентов в эмпирических формулах;
задачи приближенного решения уравнений, имеющих большое распространение в высшей математике;
системы линейных уравнений широко используются в области физики и смежных с ней наук: теории относительности, атомной физике, при составлении прогнозов погоды и т.д.
Актуальность выбранной темы обусловлена недостаточной изученностью при широкой практике применения математических методов.
Целью работы является изучение основных методов решения систем математических уравнений.
Для реализации поставленной цели необходимо решить следующие основные задачи:
Изучить теоретические основы систем линейных уравнений;
Рассмотреть основные методы решения данных уравнений:
Метод Гаусса;
Метод Крамера;
Матричный метод;
Продемонстрировать применение данных методов на примере.
Основным объектом исследования является сиситемы линейных алгнебраических уравнений (далее – СЛАУ). Соответствующий предмет работы – методы решения данных систем.
Различным теоретико-методологическим и практическим аспектам бизнес-планирования посвящены работы многих российских исследователей, таких, как: Красс М.С., Кремер Н.Ш., Лизунова Н.А. и т.д.
Методологической, теоретической и эмпирической основой исследования являются положения, сформулированные в трудах отечественных и зарубежных ученых, посвященные теоретическим и прикладным проблемам линейной алгебры.
Информационную базу исследования составляют научные труды российских и зарубежных авторов и методические материалы по исследуемой теме.
Теоретические основы
систем линейных уравнений
Матрица – это прямоугольная таблица чисел, которая содержит m строк и n столбцов. Размер таблицы: m×n . [2, 124 c.]
А= a11…a1ma21…a2m………an1 … anm (1),
где aij – коэффициенты матрицы;
i – Номер строки;
j – Номер столбца.
СЛАУ имеет вид:
a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2…am1x1+am2x2+…+amnxn=bm (2),
где xn - неизвестные;
aij – коэффициенты при неизвестных;
bi – свободные члены.
Коэффициенты и свободные члены могут быть любыми действительными числами.
Решение СЛАУ – это совокупность значений неизвестных xn, обращающая каждое уравнение системы в тождество. При это система может быть нескольких видов (см. рис.1.) [1, 62 c.]
Если 2 системы имеют одно и то же множество решений, то они являются равносильными (эквивалентными).
Любая СЛАУ может быть представлена в виде матричного уравнения:
AX = B (3),
Где А – матрица, которая состоит из неизвестных;
В – матрица-столбец свободных членов;
Х – матрица-столбец неизвестных.
А = a11…a1ma21…a2m………an1 … anm Х= x1x2…xn B= b1b2…bn (4)
Рис.1. Виды СЛАУ
Матрица А – матрица системы. Также существует A – это расширенная матрица системы (см. формула (5)).
A= a11 a12 …a1n b1a21 a22 …a2n b2…am1 am2…amn bm (5)
Однородная СЛАУ – система, в которой свободные члены являются 0. Априори данный вид систем является совместной.
a11x1+a12x2+…+a1nxn=0a21x1+a22x2+…+a2nxn=0…am1x1+am2x2+…+amnxn=0 (6)
Если число уравнений в СЛАУ совпадает с количеством неизвестных, то данная система записывается в следующем виде:
a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2…an1x1+an2x2+…+annxn=bn (7)
Определитель, или детерминант квадратной матрицы порядка n имеет обозначения:D=detA= deta11 a12 …a1na21 a22 …a2n …am1 am2…amn= a11 a12 …a1na21 a22 …a2n …am1 am2…amn (8)
Квадратная матрица А называется вырожденной, если ее определитель равен нулю, и невырожденной, если ее определитель не равен нулю. Если А – квадратная матрица, то обратной по отношению к А называется матрица, которая при умножении на А (как справа, так и слева), дает единичную матрицу.
Обозначив обратную через А-1, запишем А-1А=АА-1=Е, где Е – единичная матрица.
При условии 𝐷 = |𝐴| ≠ 0 обратная матрица находится по формуле:
A-1= A11DA21DAn1DA12DA22DAn2DA1nDA2nDAnnD (9)
Для нахождения обратной матрицы используют следующую схему:
1. Находят определитель матрицы А.
2. Находят алгебраические дополнения всех элементов 𝑎𝑖𝑗 матрицы А и записывают новую матрицу.
3. Меняют местами столбцы полученной матрицы (транспортируют матрицу).
4. Умножают полученную матрицу на 1/D. [3, 104 c.]
Минором Mij элемента aij определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.
Методы решения систем линейных уравнений
Метод Гаусса
Метод Гаусса является классическим методом решения СЛАУ. Считается, что автор данного – немецкий математик Карл Фридрих Гаусс [8]. Однако стоит отметить, что первое упоминание данного способа относится к китайскому трактату «Математика в 9 книгах», датированному в X век до н. э. — II век до н. э. [10]
Метод Гаусса применяется для решения СЛАУ с произвольным числом неизвестных и уравнении. Его суть заключается в последовательном исключении неизвестных. [4, 354 c.]
Пусть дана произвольная система линейных уравнений (см. формула (2)).
Для решения данной системы приведем ее к эквивалентной ей системе с треугольной или ступенчатой матрицей.
Для этого выпишем матрицу из коэффициентов при неизвестных системы с добавлением столбца свободных членов, т. е. расширенную матрицу системы:
A= a11 a12 …a1n b1a21 a22 …a2n b2…am1 am2…amn bm (10)
Путем различных последовательных элементарных преобразований (умножение и деление коэффициентов и свободных членов на одно и то же число; сложение и вычитание строк; перестановка строк) приведем матрицу A к треугольному или ступенчатому виду:
b11 b12 … b1r… b1n c1 b21… b2r… b2n c2… brr… brn cr ( r≤n) (11),
где все диагональные элементы brr отличны от нуля, а элементы, расположенные ниже диагональных, равны нулю.
Полученной матрице соответствует более простая система уравнений:
b11x1+b12x2+…+b1rxr+b1nxn=c1b22x2+…+b2rxr+b2nxn=c2…brrxr+brnxn=cr(12)
Процедуру преобразования исходной системы к треугольному или трапецеидальному виду называют прямым ходом метода Гаусса.
Если в полученной системе r = n, то она имеет треугольный вид. Из последнего уравнения находим xn, из предпоследнего уравнения находим xn-1 и так далее, и, наконец, из первого уравнения находим x1.
Описанный процесс называют обратным ходом метода Гаусса. При r = n система имеет единственное решение.
Если же r < n, то в результате обратного хода r неизвестных можно выразить линейно через остальные (n – r) неизвестных. Эти r неизвестных будут базисными, а остальные (n – r) - свободными. В результате получим общее решение системы. Чтобы получить какое-нибудь частное решение, достаточно придать свободным неизвестным некоторые числовые значения.
При r < n система имеет бесконечное множество решений.
Таким образом, Метод Гаусса используется для решения систем линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Метод удобен для решения систем с большим числом уравнений и основан на алгебраических преобразованиях.
. Метод Крамера
Метод Крамера или правило Крамера - способ решения СЛАУ, в которых число уравнений и количество неизвестных равны. Метод создан швейцарским математиком Габриэлем Крамером. [9]
Система n линейных уравнений с n неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда имеет решение и притом единственное. Оно находится следующим образом: значение каждого из неизвестных равно дроби, знаменателем которой является определитель системы, а числитель получается из определителя системы заменой столбца коэффициентов при искомом неизвестном на столбец свободных членов. [6. 74 c.]
Пусть дана СЛАУ следующего вида (см. формулу (8)).
Если в определителе системы заменить поочередно столбцы коэффициентов при хn на столбец свободных членов, то получим n определителей (для n неизвестных).
∆1= b1 a12 …a1nb2 a22 …a2n …bn an2…ann ∆2= a12 b1…a1n a22 b2 …a2n …an2 bn…ann ∆n= a11 a12… b1 a21 a22… b2 …an1 an2… bn (13)
Если определитель матрицы системы не равен нулю, система имеет единственное решение и это решение находится по формулам:
х1 = 1 / , х2 = 2 / , …, хn = n / (14)
Если определитель матрицы системы равен нулю, то возможны два случая:
система не имеет решений, при условии, что хотя бы один из определителей 1 , 2 , …, n отличен от нуля;
система имеет бесконечное множество решений, при условии, что все определители 1 , 2 , …, n равны нулю.
Таким образом, рассмотренный метод Крамера применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных. Метод удобен для решения систем двух или трех уравнений. Метод основан на вычислении определителей n-го порядка. Для применения данного метода необходимо находить алгебраические дополнения элементов матрицы.
Матричный метод
Матричный метод используется для решения систем, в которых число неизвестных равняется числу уравнений. [7, 32 c.]
Матричный метод основывается на решении матричных уравнений.
Пусть дана произвольная СЛАУ по формуле (2). В виде матричного уравнения данная система имеет вид (см. формулу (4)).
Систему уравнений можно представить в виде матричного уравнения: AX=B.
Выполним преобразование: A-1 AX = A-1 B, так как А-1 А = Е, то ЕХ = А-1 В, где А-1 – обратная матрица к матрице А, Е – единичная матрица.
Решение матричного уравнения AX=B имеет вид:
Х = А-1 В (15)
Чтобы решить матричное уравнение, нужно:
1) Найти обратную матрицу А-1;
2) Найти произведение обратной матрицы А-1 на матрицу-столбец свободных членов В, т. е. А-1 В.
3) Пользуясь определением равных матриц, записать ответ. [5, 41 c.]
Таким образом, матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных. Метод удобен для решения систем двух или трех уравнений. Метод основан на решении матричных уравнений. Для применения данного метода необходимо находить обратную матрицу.
Итак, матричный метод и метод Крамера применимы только к тем системам линейных уравнений, в которых число неизвестных равняется числу уравнений. Недостатком матричного метода и метода Крамера является их большая трудоемкость, связанная с нахождением обратной матрицы и вычислением определителей матриц. Метод Гаусса является самым универсальным и наименее трудоемким методом решения систем с произвольным числом линейных уравнений и неизвестных. Достоинством метода Гаусса является то, что он позволяет однозначно установить, совместна система или нет, а в случае совместности найти ее решения (единственное или бесконечное множество).
Пример решения системы линейных уравнений
Для примера решим следующую СЛАУ изученными методами:
5x-y-z=0x+2y+3z=144x+3y+2z=16При использовании метода Гаусса необходимо составить расширенную матрицу системы и выполним необходимые
преобразования.
514 -123 -132 01416 →145 23-1 32-1 14160→→100 2-5-11 3-10-16 14-40-70→100 2-50 3-106 14-4018Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:
x+2y+3z=14-5y-10z=406z=18Отсюда получаем: z = 3; y = 2; x = 1.При использовании метода Крамера необходимо вычислить определитель системы и определители при неизвестных.
∆ = 5-1-1123432=5 4-9+2-12-3-8=- 30∆x =0-1-114231632=28-48-42-32= -30∆y =50-111434162=528-48-16-56=-60∆z =5-1012144316=532-42+16-56= -50-40=-90Найдем x, y, z по формулам Крамера:
x = x / = 1; y = y / = 2; z = z / = 3.
При применении матричного метода необходимо составить матрица по формуле (4).
A= 5-1-1123432 X=xyz B=01416Найдем обратную матрицу А-1 и вычислим определитель системы.
∆ = 5-1-1123432=5 4-9+2-12-3-8=- 30Найдем миноры определителя системы и вычислим элементы обратной матрицы:
М11 = -5; М12 = 10; М13 = -5;
М21 = 1; М22 = 14; М23 = 19;
М31 = -1; М32 = 16; М33 = 11;
а11-1= 530; а12-1= 130; а13-1= 130;
а21-1= -1030; а22-1=- 1430; а23-1= 1630;
а31-1= 530; а32-1= 1930; а33-1=- 1130;
Обратная матрица будет иметь вид:
A-1= 16130130-13-715815161930-1130Находим матрицу Х:
X=xyz= A-1B=16130130-13-715815161930-1130×01416= 0+1430+16300-9815+128150+26630-17630=123Ответ: (1,2,3)
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В представленной работе проведено исследование теоретических основ и практических результатов применения различных методов решения систем линейных алгебраических уравнений в задачах экономического содержания.
В процессе выполнения работы были решены следующие задачи:
1) изучены теоретические основы основных методов решения систем линейных алгебраических уравнений: матричного, Крамера и Гаусса;
2) рассмотрены примеры решения систем линейных уравнений изученными методами;
3) рассмотрены практические задачи экономического содержания, сводящиеся к составлению и решению систем линейных уравнений;
4) определена эффективность использования изученных методов решения систем линейных уравнений в экономических задачах.
Изучив основные методы решения систем линейных алгебраических уравнений, проанализировав их преимущества и недостатки, оценив эффективность их использования в экономических задачах, можно сделать следующие выводы.
Методы матричный и Крамера имеют определенные алгоритмы решения, основанные на действиях с матрицами и определителями. Данные методы применимы только к тем системам линейных уравнений, в которых число неизвестных равняется числу уравнений. С увеличением числа уравнений системы повышается трудоемкость ее решения, что связано с нахождением обратной матрицы и вычислением определителей матриц.
Метод Гаусса основан на преобразовании расширенной матрицы системы. Данный метод имеет более универсальное применение и используется для систем с произвольным числом линейных уравнений и неизвестных. Он менее трудоемкий по сравнению с матричным методом и методом Крамера. Для решения систем с большим числом уравнений и неизвестных целесообразно использовать современные вычислительные средства. Выбор метода решения систем линейных уравнений в прикладных задачах экономического содержания зависит от сложности полученной математической модели.
Если система содержит не более трех уравнений и их число равно числу неизвестных, то для решения системы можно использовать любой из изученных методов. Если число уравнений системы не равно числу неизвестных, то в этом случае необходимо использовать метод Гаусса.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
Красс М. С., Чупрынов Б. П. Математика для экономистов: учебное пособие. — СПб.: Питер, 2015. – 245 с.
Кремер Н. Ш. Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям. — М.:ЮНИТИ-ДАНА, 2010. – 324 с.
Лизунова Н.А. Матрицы и системы линейных уравнений. – М.: Наука, 2017. – 214 с.
Малугин, В. А., Рощина Я. А. Линейная алгебра для экономистов: учебник, практикум и сборник задач для академического бакалавриата — М.: Издательство Юрайт, 2015. – 748 с.
Малоземов В.Н. Линейная алгебра без определителей. Квадратичная функция: учеб. пособие. - СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2017. – 80 с.
Михалеев А.В. Алгебра матриц и линейные пространства. – М.: Инфра, 2016. – 345 с.
Слуцкий Л.Б. Линейные уравнения и линейные выражения. - М.:Инфра, 2015. – 48 с.
Иоганн Карл Фридрих Гаусс [Электрон. ресурс]:Википедия. ru.wikipedia.org, 2004-2016. Режим доступа: World Wide Web. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B0%D1%83%D1%81%D1%81,_%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%BB_%D0%A4%D1%80%D0%B8%D0%B4%D1%80%D0%B8%D1%85 (дата обращения: 14.05.2020).
Габриэль Крамер [Электрон. ресурс]:Википедия. ru.wikipedia.org, 2004-2016. Режим доступа: World Wide Web. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D1%80,_%D0%93%D0%B0%D0%B1%D1%80%D0%B8%D1%8D%D0%BB%D1%8C (дата обращения: 14.05.2020).
Математика в девяти книгах [Электрон. ресурс]:Википедия. ru.wikipedia.org, 2004-2016. Режим доступа: World Wide Web. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D0%B2_%D0%B4%D0%B5%D0%B2%D1%8F%D1%82%D0%B8_%D0%BA%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%D1%85 (дата обращения: 14.05.2020).