Эссе на тему: "Логические операции между понятиями дискретной математики"

Логические операции предоставляют теоретическую базу для многих областей математики, в частности дискретной математики и информатики. Они практически применимы в сфере компьютерных наук, таких как проектирование вычислительных машин, искусственный интеллект, определение структур данных для языков программирования и т.д.
Логика высказываний связана с утверждениями, которым могут быть присвоены значения истинности «истина» и «ложь». Смысл заключается в том, чтобы проанализировать эти утверждения по отдельности или в совокупности. Связанные высказывания образуют предложение, которое является совокупностью декларативных утверждений, имеющих либо значение истины «истина», либо значение истины «ложь».
Пропозициональное предложение состоит из пропозициональных переменных и связок. Обозначаются пропозициональные переменные заглавными буквами (A, B и т. Д.). Связки соединяют пропозициональные переменные.
Можно привести примеры таких предложений:
«Человек – смертный», возвращается истинное значение «ИСТИНА».
«12 + 9 = 3 – 2», возвращает значение истинности «ЛОЖЬ».
А вот в следующем примере нельзя сказать, является утверждение истинным или ложным: «А меньше 2». 
Данное выражение не будет предложением, и более того, если мы не дадим конкретное значение A, мы не сможем сказать, является ли утверждение истинным или ложным.
В логике высказываний, как правило, определены три основные операции: конъюнкция, дизъюнкция, отрицание, так же логический ноль 0 и логическая единица 1 — константы. Есть так же операции: импликация, эквивалентность, сложение по модулю два (сумма Жегалкина), штрих Шеффера, стрелка Пирса (рис.4 таблицы истинности этих логических операций).
Рассмотрим более подробно основные логические операции.
Логическая операция конъюнкция, устанавливает в соответствие каждым двум высказываниям новое высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.
Для этой операции можно записать таблицу истинности (рис.1).

Рис.1Таблица истинности логической операции конъюнкция.
Приведём в пример такое предложение для иллюстрации конъюнкции: «За окном льёт дождь и солнце светит». В этом предложении два равноправных логических выражения, связанных связкой И.В свою очередь высказывания могут быть истинными (условно обозначим 1) или ложными (условно обозначим 0), и как показано в таблице 1 лишь в одном случае предложение будет истинно, когда оба высказывания будут равны единице.
Дизъюнкция является логической операцией, которая каждым двум высказываниям ставит в соответствие новое высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны.
Таблица истинности для логической операции дизъюнкция представлена на рисунке 2.

Рис.2Таблица истинности логической операции дизъюнкция.
Можно привести пример дизъюнкции: «Я уеду завтра в Питер или я уеду завтра в Москву». Если оба утверждения будут ложными, то предложение будет ложным, и я никуда не поеду. В других трёх случаях возможны варианты либо Питер, либо Москва, и как не парадоксально оба варианта одновременно могут быть истинны.
Отрицание (Инверсия) тоже является логической операцией. Эта операция унарна, в ней каждому высказыванию ставится в соответствие новое высказывание, значение которого противоположно исходному. На рисунке 3 изображена таблица истинности логической операции отрицание.

Рис.3Таблица истинности логической операции отрицание.

Рис.4 Таблицы истинности эквивалентность, сложение по модулю два (сумма Жегалкина), штрих Шеффера, стрелка Пирса.
Есть такое понятие в алгебре логики, двойственные функции, это когда одна функция вытекает из другой заменой каждой операции конъюнкции на операцию дизъюнкции, и наоборот.
Принцип двойственности гласит, что для любого истинного утверждения двойственное утверждение, полученное путем взаимного объединения союзов в пересечения (и наоборот) и взаимного изменения универсального множества в нулевое множество (и наоборот), также верно. Если дуальным каким-либо утверждением является само утверждение, оно называется самодвойственным утверждением.
Приведём пример двойственного значения: (A capB) cupC равно (A cupB) capCМы можем преобразовать любое предложение в две нормальные формы:
Конъюнктивная нормальная форма;
Дизъюнктивная нормальная форма.
Составной оператор находится в конъюнктивной нормальной форме, если он получен путем операции И среди переменных (включая отрицание переменных), связанных с ИЛИ. С точки зрения операций над множествами, это составное утверждение, полученное Intersection среди переменных, связанных с Unions. Приведём пример: (P cupQ) cap(Q cupR).
Составной оператор находится в дизъюнктивной нормальной форме, если он получен путем операции ИЛИ среди переменных (включая отрицание переменных), связанных с AND. С точки зрения операций над множествами, это составное утверждение, полученное объединением среди переменных, связанных с пересечениями. Приведём пример: (A landB) lor(A landC) lor(B landC landD)
Логика предикатов имеет дело с предикатами, которые являются предложениями, содержащими переменные. Под предикатом подразумевают всё, сказанное об объекте. Объект может "гулять", "быть красным", "не гулять" - все эти характеристики объекта и являются предикатами. Предикаты, так же, как и высказывания, принимают два значения «истина» и «ложь» (1 и 0), поэтому к ним применимы все операции алгебры логики.
На практике предикат применяют в программировании, как определённую функцию, с помощью которой некие элементы являются либо "истинными", либо "ложными". Зачем программисту предикаты? Все знают, что в программах бывают ошибки (bugs). Существуют специальные теории, посвященные тому, как лучше их находить и исправлять (debugging дословно означает "выведение клопов").
Как правило, нахождение ошибки — очень нетривиальная задача, так как ее последствия могут сказываться совершенно в другом месте программы и быть весьма неожиданными. При этом часто забывается тот очевидный факт, что ошибку гораздо легче предотвратить при написании программы, нежели найти и исправить потом.
Язык предикатов можно применить для того, чтобы строго сформулировать постановку задачи и доказать правильность конкретной программы. Пример предикатов: пусть E (x, y) обозначает «x = y»; пусть X (a, b, c) обозначает «a + b + c = 0»; пусть M (x, y) обозначает «x женат на y».
Логические операции позволяют формировать простые и сложные высказывания. Любое сложное высказывание можно записать в виде логического выражения, содержащего логические переменные, знаки логических операций и скобки. Логические операции в логическом выражении выполняются в следующей очерёдности: инверсия, конъюнкция, дизъюнкция, затем все остальные операции по порядку.
Список использованных источников.
Гринченков Д.В., Кущий Д.Н. Логика высказываний и булевы алгебры: учебное пособие / ЮжноРоссийский государственный политехнический университет (НПИ) имени М. И. Платова.-Новочеркасск: ЮРГПУ (НПИ), 2016. – 82 с. [Электронный ресурс] Режим доступа: http://fitu.npi-tu.ru/assets/fitu/povt/files/RP/POSOBIYA/logika-vyiskazyivanij-i-bulevyi-algebryi-v5.pdf, свободный (дата обращения 19.05.2020).
Агарева, О. Ю. А23 Математическая логика и теория алгоритмов [Текст] : учеб. пособие / О. Ю. Агарева, Ю. В. Селиванов. — М. : МАТИ, 2011. — 80 с. [Электронный ресурс] Режим доступа: http://www.rstu.ru/metods/books/matlog2011.pdf, свободный (дата обращения 19.05.2020).