Слоистые композиты

СЛОИСТЫЕ КОМПОЗИТЫ

В предыдущих главах было показано, как по известным свойствам компонентов
рассчитать свойства композита. При этом, безусловно, подразумевалось, что
разные по свойствам компоненты можно комбинировать так, что композит
приобретает новые свойства. Однако почти не затрагивался вопрос о том, в каком
виде лучше всего изготовить композит, наилучшим образом приспособленный для
практического применения.
Обратимся к конкретному случаю и рассмотрим волокнистые композиты. Один
из способов изготовления этих материалов состоит в пропитке смолой хаотически
ориентированных коротких волокон, образующих рыхлый слой, напоминающий
войлок. Для оценки жесткости такого композита можно применять метод,
рассмотренный в разд. 4.4. Армирование короткими волокнами очень
распростанено, однако существует другой широко применяющийся
технологический способ, который состоит в последовательной укладке
пропитанных связующим однонаправленных монослоев, образующих в результате
слоистый композит. В таком материале при условии, что в каждом монослое
волокна выпрямлены и ориентированы в одном направлении высокие прочностные
и жесткостные свойства волокон реализуются лучше, чем в композите с хаотически
ориентированной короткой арматурой.
Существуют два основных способа изготовления слоистых композитов. Один
основан на так называемой «мокрой» намотке волокнами, тогда как другой состоит
в прессовании и отверждении предварительно пропитанных связующим монослоев
волокнистой арматуры. Управляя последовательностью укладки слоев, можно
получить слоистые композиты с различной ориентацией армирующих волокон,
обладающие в плоскости укладки изотропными или анизотропными свойствами.
Именно в возможности придания материалу анизотропии, оптимальной для
каждого частного случая его применения в конструкции, и заключается главное
преимущество волокнистых композитов. В следую

# Гл. V. Слоистые композиты
щей главе мы углубим этот вопрос. В данной главе на некоторых
примерах только покажем те возможности, которыми располагает
конструктор при проектировании изделий из слоистых композитов.
Начнем с рассмотрения задачи об отыскании последовательности
слоев, обеспечивающей получение композита с изотропными
свойствами в плоскости укладки. Здравый смысл подсказывает, что
для этого каждый последующий слой должен укладываться так,
чтобы быть повернутым в плоскости относительно предыдущего на
некоторый фиксированный угол. Однако только здравого смысла
недостаточно для определения минимального числа слоев, укладка
которых указанным способом образует изотропный в плоскости
слоистый композит. Ответ на этот вопрос будет довольно
неожиданным.
Для успешного применения слоистого композита в конструкциях
необходимо прежде всего знать его свойства. Информации
о характеристиках монослоя теперь уже недостаточно. Поскольку
первоначально область применения слоистых композитов
ограничивалась конструкциями типа тонкостенных пластин и
оболочек, начнем с определения свойств, характеризующих
поведение слоистых композитов именно в тонкостенных
конструкциях. Вначале эта задача будет решена методами,
характерными для классической теории тонкостенных однородных
пластин.
Известно, что при нагружении слоистых композитов
проявляются некоторые специфические эффекты, не характерные
для однородных сред. В связи с этим в главе обсуждается и более
сложная теория слоистых сред, свободная от некоторых
упрощающих предположений классической теории. Изучение
слоистых оболочек выходит за рамки наших задач.
Начнем с обсуждения основных характеристик монослоя и их
взаимосвязей с некоторыми свойствами слоистого композита.
5.1. ПОВОРОТ КООРДИНАТНЫХ ОСЕЙ
Для дальнейшего изложения полезно располагать правилами,
позволяющими определять деформативные свойства композита в
повернутой системе координат. Очевидная причина этого
заключается в особенности структуры слоистого композита, слои
которого повернуты один относительно другого на различные углы.
Начнем с повторения упругих соотношений напряжение —
деформация из разд. 1.1:

a U = Cijki*ki' (1.1)

В разд. 1.1 были введены матричные обозначения

°i — Cil R j, (1.2)

6.1. ПОВОРОТ КООРДИНАТНЫХ ОСЕЙ #

(1.3)

С.,

(1-
4)

где Gi и Ei определены через Оц и е/у в разд. 1.1.
В разд. 1.1 обсуждались различные типы симметрии сред. В
данной главе нас интересует конкретный вид (1.2) для сред,
обладающих симметрией относительно плоскости, а также для
ортотропных сред. Если ось координат хг перпендикулярна
плоскости симметрии материала, последний характеризуется 13
независимыми константами:

С,з 0 0 Ci6
CJJ 0 0 ^26
С 33 0 0 Об
Qs 0
С 55 0
Об

С1
2
С2
2

При наличии трех взаимно перпендикулярных плоскостей
симметрии материал называется ортотропным и характеризуется
девятью независимыми константами:
С\
г
Оз 0 0 0
С2
2
Оз 0 0 0
Оз 0 0 0
Си 0
Os
0
0
Об
Запишем соотношения, обратные (1.1):

et — SijOj. (1.5)
Для ортотропии вид матрицы Si/ идентичен виду матрицы Сц
(1.4). Запишем S,-/ для ортотропного материала таким же
образом, как и в разд. 3.1 для трансверсально изотропного:

# Гл. V. Слоистые композиты

(1.6
)

1_
М|2
I *12 *а п А г\
Ей Е„ Ец и и и
"21
Е 22
1
Ей
_ Р23
Ej2
0 0 0

Е-зэ у 32
"*33
1
E33
0 0 0

0 0 0 I
/*23
0 0

0 0 0 0 1
/*13
0

0 0 0 0 0

6.1. ПОВОРОТ КООРДИНАТНЫХ ОСЕЙ #

(1.7)

где

(1.11)

Из симметрии матрицы S;/ следует, что
v </£ / = i
(суммирование по повторяющимся индексам i, j не
производится). Еще раз напомним, что в обозначении
коэффициентов Пуассона Vi/ первый индекс относится к
направлению приложенной деформации, а второй — к
направлению связанного с ней изменения поперечных размеров.
Для плоского напряженного состояния имеем
3 = 033=^0, 04 = 023 = 0, сг 5 = а 31 = О,
в результате чего в зависимости напряжение — деформация

остаются четыре независимые константы.
Соотношение, обратное (1.8), имеет вид
*цЕп 0 ■
а \ 1 - 1 “ V \2 V 2\ € |
°2 v 12^22 £-22 0 * (1-9)
1 — *12*21 1 “ V \2 V 2\ е 2
*6 0 0 Ml2 Ч

Взаимосвязь между компонентами в (1.9) и константами Си по
(1.2) легко установить, полагая <тз = 0. Это приводит к
следующему результату:

0
\
Qu Q12 0 e,
а
2
= 0-
2\
Q22 0 1 (1.10)
0 0 Qbb ч

Qu = Сц — С13/С33, Q12 = Q21 — С12 — С13С23/С33, Q22
—С22 — С23/С33. <3бб = Сев.
V
Ей
I
12
(1.8) 0
1
М|2
°2

'22

■
' е 1
ч =
ч
. .
21
^2
2

6.1. ПОВОРОТ КООРДИНАТНЫХ ОСЕЙ #

-
а х -
<У
2
-О
б-
Преобразование тензоров

Как уже отмечалось, в данной главе будет рассматриваться в
основном ортотропный композит. Однако нам придется обратиться и к
способу описания свойств среды с одной плоскостью симметрии в
случае поворота системы координат относительно одной из осей,
перпендикулярной плоскости симметрии. Закон преобразования
тензора Сцы в (1.1) имеет вид

Сцы — a im a in a ko a ip^mnop' 0*12)

Примем, что Г, 2', 3' — новые оси системы координат 1, 2, 3,
повернутой относительно оси 3; тогда
Сц ~ tn С\\ -\- 2т 2 п 2 (С12 4" 2С<зб) 4тп (/Ti 2 Ci6 -f- пС^ь) Н~
С\2 = т п (Сц-\-С22—4Сбб)—2тп {jn — п ) (Ci6 — С2б)~}~(^ ~\~п ) С12»
Ci3 = tn^C\s п 2 Сгз -\"-2tnnCss>
С[(, = т 2 (т 2 - 3п 2 ) Cu>—mn[rnCn —пС-п—(гп - л 2 ) (С 12 +2С 6 6)] +
-fn 2 (Зт 2 — п 2 ) С 26 ,
С22 = п Сц -f* 2/я п (С 12 ~Ь 2Сбб) — 4тп -}- г?С\ъ) -f- т?С 2 ь С23 = пС 1з -j-
/л 2 Сгз — 2/7г/гСзб, (1-13)
С 26 — т 1 (т — 3 п) С 2 б — тп \jiCu — пгС<п +
, + (т 2 - /г 2 ) (С 12 + 2С № )] + п 2 (Зт 2 - д 2 ) С 16 ,
Сзз = С33,
Сзб = (т 2 — и 2 ) С30 + тп (С23 — С 13 ),
/ 2 2
С44 = /и С44 — 2тпС^ *•{- л Ск»
С45 = (/w 2 — /i 2 ) С45 + тп (С44 — С55),
С55 = т 2 Сьо Н~ 2mnCis + п 2 Сц,
Сев =т 2 /г 2 (Сц + С22 — 2С12) + 2/тт(/тг 2 —/г 2 )(Сг2—Cie)+(m 2 —/г 2 ) 2 Сбб,
где т = cos 0, п — sin 0 и 0 — угол поворота.
Теперь необходимо получить формулы преобразования для
соотношений напряжение — деформация при плоском напряженном
состоянии. Для ортотропного материала, обладающего только одной
плоскостью симметрии, совпадающей с плоскостью 1, 2 системы
координат, соотношения напряжение — деформация (1.10) можно
обобщить следующим образом:
■Qn Q12 Qi 6 ‘
Q21 Q22 Q26 11 ®2 |. (114)
-Фб1 Q62 Q66

# Гл. V. Слоистые композиты

Qij преобразуются к виду
где

Qij — Сц — С <3 С/з/Сзз. (115)
Наличие компонент Qi6 = Q6i, Q26 = Q62 в (1.14) отражает
взаимодействие между касательными или нормальными напряжениями
и деформациями. Компоненты Q,/ и Сц подчиняются при повороте
системы координат одному и тому же закону преобразования (1.13) как
компоненты тензора четвертого ранга. Следуя работе [5.1],
преобразования (1.13) можно записать в очень компактной форме, что и
будет сделано для Q,y. С учетом следующих тождеств:
ш 4 == ‘/в (3 + 4 cos 20 -f cos 40), т 3 п = '/в ( 2 sin 20 + sin 40),
т 2 п 2 = 7$(1 — cos 48), mn 3 =‘/в (2 sin 20
— sin 40), (1.16)

Qu u t u 2 2 U 6 v 3 Uy I
QI2 Ui -2 U 6 U7
cos
2 в Qn U< 0 0 -Vi sin
20
QU 0 0 -U 3 -U 7 cos
46

2&; 6 0 2U 6 -V2
2U-
J
-2U 3 sin
49

2Q2
6
0 2U 6 -u 2 —
2U-
J

2
U 3
n* = */ 8 (3 — 4 cos
20 + cos 40)

где
6^i == ! /e (3Qu + 3Q22 2Q t 2 + 4фбб), U 2 = V* (Qu — Q22)*
= l /e (Q11 "b Q22— 2Q|2 — 4Q 6e ), Uf = Ve(Qn "b Q22 + 6Q12 — 4Qee),
(1.18)

= x k (Q11 + Q22 — 2Q 12 + 4Q 66 ), U 6 = l / 2 (Q 16 + Q26).

U7 == V2 (Qi6 — Огв).

Отметим ряд инвариантных свойств. Непосредственно из (1.17)
следует, что

Q;,+<&+2Q: 2 =Q U +Q 22 4-*Q 12 ,
Q' Q' —Q Q (1.19)
^66 V12 — '<66 'МГ

Эти инварианты совпадают с приведенными в [5.2].

Макроскопически изотропные свойства *

Представим теперь, что слоистый композит образован регулярной
последовательностью ортотропных слоев. На данном этапе рассмотрим
только жесткость такого композита в плоско-

5.1. ПОВОРОТ КООРДИНАТНЫХ ОСЕЙ

Ап —— —
м

A "-N
сти. Изгибные характеристики обсудим в следующем разделе.
Предположим, что три или более одинаковых слоя уложены
последовательно каждый с поворотом относительно предыдущего на
некоторый одинаковый угол. Равнодействующие напряжений для
такого слоистого композита записываются в виде, подобном (1.14):
А 12 ^1б“| Г е 1 ”1 ^22 ^26 || 82 |, (1-20) ■^62 -^66 J L е 6 J
где
AI/=E (Qi/)/thn> (1*21)

ft-i

a hk — толщина k-ro слоя. Рассмотрим для примера член /4ц.
Запишем (1.21) в виде

-41, = Е (Qu)* ht (1.22)
k-\

и определим значение константы А' п в направлении i. Примем, что
оси координат 1, 2 совпадают с главными направлениями
ортотропии рассматриваемого слоя. Из (1.17) тогда следует, что
(Qn)* = U b + U 2 cos 20* + U 3 cos 40 fef (1.23)
где 0ft — угол между осью 1 слоя k и осью Г слоистого композита.
Обозначим общую толщину пакета слоев через Л; тогда hu=h/N,
если все слои одинаковы по толщине. Из (1.22) и
(1.23) получим
( N N .
| tfi-f t/ 2 £cos20* + £/ 3 £c O s40* I. I fe-i ft-i )

Пусть теперь любое направление по отношению к
оси 1' будет задано углом ф. Тогда свойство слоистого
композита в направлении, повернутом относительно Г на угол ф,
выражается следующим образом:
f N N
h
I Uy 4- Ui У COS 2 (0ft -ф) + ^зУ cos 4 (0ft ~ ф)} . (1.24)
I 6~i jfc-i j
Используя тригонометрические тождества, перепишем

(1.24) в виде

Теперь угол между слоями в jV-слойном пакете равен я/JV, и типичная
сумма, входящая в (1.25), имеет вид

N
У' cos 20 fe = cos ~ cos —- + • • • + cos 2я.
k-i

Эту сумму можно записать и иначе:

cos х + cos 2х 4- ... + cos Nx = ~ ~ J • < |26 >
Используя в (1.26) обозначение x — 2n/N, получим в результате

N
2 cos 20 fe = 0. (1.27)
ft«=i

Таким же образом все другие суммы в (1.25) равны нулю для N ^ 3, и
Ли в (1.25) оказывается не зависящим от ф:

An —-jj- U\. (1.28)
Аналогично А'ц = const и не зависит от ориентации осей 1', 2\ Легко
показать, что полученный результат не справедлив для N — 2. Таким
образом, видно, что укладка трех и более одинаковых слоев каждого со
сдвигом на одинаковый угол n/N относительно предыдущего дает
слоистый композит, обладающий изотропными свойствами в плоскости
укладки. На практике композит такого типа называют
квазиизотропным, поскольку изотропия упругих свойств в плоскости
укладки, как будет показано в следующем разделе, не обязательно
сопровождается изотропией свойств, характеризующих сопротивление
композита изгибу. Напомним еще раз на основании результатов,
полученных в разд. 4.4 для композитов с хаотически ориентированными
волокнами, что изотропия упругих свойств в плоскости определяется
выражениями (4.22) и (4.23). Эти формулы применимы также и для
рассматриваемого здесь квазиизотропного слоистого композита,
составленного из трех или более слоев, уложенных под одинаковыми
углами один относительно другого.

5.2. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
СЛОИСТЫХ ПЛАСТИН

Определив правила преобразования упругих констант монослоя при
переходе от одной системы координат к другой, повернутой на
некоторый угол, перейдем к рассмотрению слоистых сред. Изложим
далее полную теорию изгиба и растяжения слои-

# Гл. V. Слоистые композиты

6.2. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СЛОИСТЫХ ПЛАСТИН
стых пластин. Эта теория основана на тех же допущениях, что и
классическая теория однородных пластин, и совпадает с ней в частном
случае.

Определяющие соотношения

Рассмотрим k-й слой слоистого композита, находящийся в условиях
плоского напряженного состояния. Зависимости напряжение—
деформация этого слоя, записанные сокращенно:

[<*]* = IQlft I е ]*» (2.1)
имеют развернутый вид (1.14). Согласно гипотезе Кирхгофа — Лява,
уравнения перемещения слоя приводятся к виду
u = Uq(x, у) —2—^ у) ,
V = v 0 (x,y)-z2^I, (2-2)
w = w Q {x, у),

где координата z нормальна к педеформированной срединной плоскости
слоистого композита. Соотношения (2.2) — не более чем обычное
требование, вытекающее из гипотезы плоских сечений при изгибе. Из
соотношений между деформациями и перемещениями следует
ди 0 d 2 w 0 е * х ~~ дх Z ~W r ' г УУ~
_ __ 1 (ди 0 , ди 0 \
ех у--2(.-дГ+-дГ)

Деформации записываются в виде

ду 0
ду

d 3 W Q
ду 2

(2.3)

d 2 w 0
дх ду — z

1 ху 1
дх 1 ду dz
да УУ
ду
+ да ху
дх
+ da yz
dz

&*Ж
*
л.
+ &*
Ж
Х
+ da zy

Определим равнодействующие нормального и касательного
напряжений:

А/2

(*,. N ,y) - \ MS. С «SI* < 2 - 6 >

—А/2

И

А/2

(0„Q,)- J [og. ojg]*, (2.7)

-А/2

где 2 = 0 на срединной плоскости пластины и h — общая толщина
пластины. Изгибающие моменты определяются выражением

А/2

(М х , М х) ) = 5 [ojg, о®, о»>]гйг. (2.8)

-А/2
Выписав уравнения равновесия, получим
Ягг Ягт /)гт

(2.9) (2.10) (2.11)
Эти уравнения после интегрирования
по 2 дают
dN x dN xu Л

+ = < 2Л2 > дн г „

^- + -^ = 0, (2.13)
дО, dQ„
ТГ+Т^+«“ 0 - (2Л4)

где ? в„ (А) _ „„(—§•). (2.15)
и касательные напряжения на верхней и нижней плоскостях
пластины стремятся к нулю. Теперь, умножив уравнение равновесия
(2.9) на 2 и проинтегрировав, получим

# Гл. V. Слоистые композиты
Б.2. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СЛОИСТЫХ ПЛАСТИН
Подынтегральное выражение в (2.16) можно записать в виде

д
(2<Т<«) - О®.

дг дг
Как и ранее, предположим, что

Ст«>| =0,
** \яш± hn *
и запишем (2.16) с использованием (2.7) в виде

Окончательно взяв производные от (2.17) и (2.18) и подставив их в
(2.14), получим

Эти результаты совпадают с соответствующими результатами
теории однородных пластин, за исключением определений
равнодействующих для напряжений (2.6) — (2.8).
Наш следующий шаг состоит в выражении основных уравнений
равновесия через перемещения. Подставив в выражения
равнодействующих (2.6) и (2.8) соотношение (2.1), записанное в
развернутом виде (1.14), получим

Ч. А п Вп Вп в
^21 ^22 Л 26 в 21 В22 В
:
^61 ^62 *66 в 61 В62 в
(
в 12 В,6 Я, 1 ^12 D
^21 Вп В 26 Z> 2 | &22 D
В "
в 62 Вы, А*, &Ь
2
А

4
6
*
2
6

^2
6
■*
66
г°
X
X
•
&

дМ
XV
(2.17) +

(2.18)

ду дх
дх ду
Подобным же образом найдем, что
дМ дМ
JL *v

-Q x = 0.

Q y = 0.

дМ л

д г М х
дх 2

д 2 М

д*^
ду 2
ху
+ 2 + 7 = 0. (2.19)
дх ду

Ч '
я,
N
ху
М*
м у
м„
ху

(2.20) (2.21)

где
А/2

(.A ll ,B ll ,D„)= 5 off (1. г, г 2 )*.

-А/2
Теперь следует заметить, что в общем случае
совместное действие изгиба и растяжения в (2.20)
отражается компонентами матрицы Вц. В
классической теории подобного взаимодействия
нет. Ниже будет рассмотрен частный случай, когда
члены Вц

# Гл. V. Слоистые композиты
стремятся к нулю и эффекты взаимодействия отсутствуют.
Преобразования Л,/, В,;/, Dij, связанные с поворотом системы
координат. подобны уже определенным для Q t /.
Чтобы записать уравнение равновесия через перемещения в
развернутом виде, подставим (2.20) в (2.12), (2.13), (2.19).
Полученные в результате уравнения имеют вид
■^П^О. хх “Г 2/4ieMo, ху Ч" ^66^0, уу Н~ ^1б у 0, XX + Ml2 + Л 66 ) у 0. ху "Ь
-^Зб^О, уу B\\W t ххх 3Bigty, jcjcy (Sj2 - 1 - 2B G q) Ю, B-2§W t ууу’ === ^>
. (2.22) Л16% ха: + (^12 + Лбб) Ио, + ^26«0, у у + Л 6 б о 0, хх + 2Л 2б 1>о, Х у +
+ ^22^0. уу — В l6 W, *** — (BJ2+2566) — ЗВ 26 Ш xyy ~B 22 W, ууу=О,
(2.23)

Ai®, **** + 4Di 6 re\ + 2 (D,2 + 2£ 66 ) ш, xxyy + 4D 2 ^w, xyyy +
-J- D 22 W, yyyy BuUq, ххх ЗД)бЙо, xxy {В\2~\~У'Вуь) Mo, xyt j B 2 qUq 1 y y y
— B\qVQ' xxx —{B\2 + 2/? 66 ) Vo, xxy—3B 2 qVQ' Xyy —B 22 v 0i yyy — +<7. (2.24
Теперь у нас есть три уравнения с неизвестными функциями
перемещения и 0 (х,у), v 0 (x,y), w(x,y). Эти уравнения, как уже было
отмечено, связывают мембранные (в плоскости) и изгиб- ные
эффекты. Граничные условия, соответствующие рассматриваемой
теории, включают определение одной функции из каждой из
следующих пар: и„ или jV„, u t или N n t, w >n или M„, w или Mnt,t + Qn,
где n и t — нормальная и касательная координаты вдоль кромки
пластины.
Теперь перейдем к рассмотрению некоторых частных случаев.

Частные случаи

Изотропный монослой. Для изотропного монослоя имеем

Fh
^11 — Л, A i2 = vA, Л 22 = А,
А к ~ Лге = 0, Л 6 б = (1 v).4, В// = 0,
Fh 3 _ •
= 12 (i — v 2 ) = D 12 = VD, D 22 = D,
Я, 6 = А> 6 = 0, D 66 = (l-v)D.

Здесь взаимодействие между изгибными и мембранными эффектами
отсутствует.
Ортотропный монослой. Для пластины, состоящей из одного
ортотропного слоя,

Qtfh*
Aij—Qijfi, Вц — Q, Dij =—\2~‘

5.3. ЦИЛИНДРИЧЕСКНИ ИЗГИБ
Как и в предыдущем случае, взаимодействия между изгибными и
мембранными эффектами нет.
Ортотропный монослой — частный случай. Система координат
относительно главных осей ортотропии ориентирована так, что А16 =
А26 = £>16 = £*26 = 0- Поскольку £>16 == 0, D 2G = 0, взаимодействие
между эффектами цилиндрического изгиба и кручения пластины
отсутствует.
Симметричный слоистый композит. Если пакет слоев уложен так,
что существует полная симметрия в толщинах отдельных слоев в их
свойствах и ориентации относительно срединной плоскости
пластины, то из (2.21) следует, что Вц = 0, и нет взаимодействия
между мембранными и изгибными эффектами. У такого слоистого
композита константы А16, Л 2 6, £*16 и D 26 в зависимости от укладки
слоев могут быть равны нулю. Например, для слоистого композита с
продольно-поперечным армированием, у которого ортотропные слои
уложены под углом 90°, А\ъ = A 2 q =
— Z)i6 = £>26 = 0, если плоскости zx и yz совпадают с плоскостями
симметрии материала. С другой стороны, для косоугольно
армированного композита это условие не выполняется и члены,
содержащие константы Л 2 6, £>i6 и D 2 e, не равны нулю.
Асимметричные слоистые композиты. Безусловно, гораздо
удобнее заниматься расчетом и проектированием симметричных
слоистых пластин, однако иногда требования к конструкции диктуют
необходимость применения слоистых композитов асимметричного
строения. В этом случае не используются какие-либо упрощения, и
приходится применять уравнение (2.20) в полной форме.
Несмотря на то что классическая теория пластин дает очень
хорошие результаты при решении задач нагружения однородных
пластин, ее применимость для анализа поведения слоистых
композитов не столь очевидна. Для оценки границ применимости
классической теории необходимо сравнить полученные с ее помощью
решения с точными. Как будет показано в следующем разделе, такие
точные решения существуют.

5.3. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЙ ИЗГИБ

Рассмотрим симметричный слоистый композит, составленный из
N ортотропных слоев, плоскости симметрии которых параллельны
плоскости координат. Предположим, что композит находится в
плоском деформированном состоянии, когда деформация в
направлении оси у отсутствует. Задача, таким образом, становится
одномерной по координате х. Подобные одномерные

# Гл. V. Слоистые композиты

Г Сп ^ 13 ^ f 81 1
о"з j === I С31 С33 0 ] 83 I ’

L О О C« J le= J (3.1)
задачи называют задачами о цилиндрическом изгибе. Точное
трехмерное решение для них получено Пагано [5.3] на основе
обобщения рецхения Тимошенко и Гудьера [5.4].

Точное решение
В условиях плоской деформации

®2 ®ou ®uz ®хи О
соотношение напряжение — деформация имеет вид
С у О
"зз О Сад -*

м ’*u Я13 0 ‘
J 83
!
И Rzi Язз 0
U 5
>

- 0 0 ^?55
-

где ei = e X x, ез = е гг и е 5 — е г х. Выражение, обратное этому, имеет вид

'3
3 С11С44 - cf
3 '11^33
Сц

R
is
^55

^п^зз

Рассмотрим задачу о нагружении слоистого композита нормальными
напряжениями по верхней плоскости при условии, что другие
поверхностные нагрузки отсутствуют. Примем, что
W-A/2 ^0 Sln I ’ лх
а гх 1 г _ Л /2 О,
--Л/2 а гх (*■=»—А/2 — О’

Конечно, при этом необходимо выполнить условие непрерывно* сти
напряжений и перемещений на поверхностях раздела слоев.
Выберем локальную систему координат в срединной плоскости
каждого слоя. Пусть для t-го слоя

а х1 = ?1 (*) sin • °8 = — тзг // (*) sin ’

ZX

-С 1
3

(3.2)

где

Rn =
R33 — с и с зз — С\ г

(3.3)

1
'55 ■13

'гг

(3.4)

’гг ! г - -Л/2

(3.5;

5.3. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЙ ИЗГИБ #

Шц
т 2{ (3.10)
где fi(z) — неизвестная функция, которую следует определить, а
штрих обозначает производную по г. Уравнения равновесия имеют
вид

®хх, х Ч - °гх, г ~ 0, О г2 , 2 -J- Cf zx> х = 0. (3.6)
Подставляя (3.5) в (3.6), можно найти, что последние удовлетворяются
тождественно, кроме одного уравнения совместности:

о d* R zx д 2 е гг | д 2 е Х х /о -тч
z dzdx ~ дх 2 дг 8 ‘ J)
Доказательство того, что это уравнение сводится к следующему виду:

/Вд/Г (г) - [2^ + 2^|з] я 2 /'' (г) + едя 4 /, (г) = 0, (3.8)
где Я = п/1, оставим читателю в качестве упражнения.
Найдено, что решение уравнения (3.8) относительно fi(z) имеет
вид

4
fi (г) = £ АЦ exp (ntjiZi), I = 1, 2, ..., N, (3.9)

где

H4W- :;}=-(W

2/ад + 2ед б 1= [ а 2-4/?</>ед« (з.п)
' c i = 2R\»

и где Ац—константы, подлежащие определению.
Ниже записаны напряжения (3.12) и перемещения (3.13),
соответствующие решению (3.9): •

4

eg = sin Яде I АцП&ц exp (m,,*,),

4
Я 2 sin Ял; 2 Л у , exp (m/,z,) t (3.12)
/ 1
4

aj£ = — Я cos Я*£] exp (my/Z,); cos A*
„(0 = i*LJL ^ л у< [Я$Я 2 - exp /-i
= sin Я* £ Л„ exp (m/,2,).

6 Зак. 1162

# Гл. V. Слоистые композиты

(3.14)
Выражения, соответствующие (3.12) и (3.13), даны в [5.3] для случая,
когда плоскость yz является плоскостью трансверсаль- ной изотропии,
а не просто плоскостью ортотропии.
Условие непрерывности на поверхности раздела слоев вместе с
граничными" условиями на поверхности пластины (3.4) дают систему
4М уравнений относительно 4JV неизвестных констант Aji. Полученная
система линейных алгебраических уравнений легко разрешима с
помощью ЭЦВМ. Перед тем как показать некоторые частные
результаты для задачи цилиндрического изгиба, необходимо получить
соответствующие решения на основании классической теории,
изложенной в разд. 5.2.

Гипотеза Кирхгофа — Лява

Из уравнений (2.22) и (2.24) имеем разрешающие уравнения
классической теории:
A\\Uo, хх — B\\Wо, ххх = О»
D n w 0
I ХХХХ
В\\Щ
» XXX Я7
где
А/2

{A lu B lu D u )= \ Сц(1, z, г 2 ) dz. (3.15)

-ft/2
Для q — q^ziVi'kx из (3.14) получим

“»“(w^T? cosU ' "“А"' (ЗЛ6)

Имеется единственная не равная нулю компонента деформации е хх :

Ъ ХХ == «0. Х 2®0, хх

решение для которой имеет вид

sin кх - (3.17)
Напряжение а х 1 получается при умножении (3.17) на Си- Гипотезы,
положенные в основу классической теории, не позволяют
определить а гх и а гг \ однако, зная о**, эти напряжения можно найти
прямым интегрированием уравнений равновесия.

Пример

Рассмотрим теперь пример, позволяющий сопоставить точное
решение задачи о цилиндрическом изгибе с решением на основании
классической теории. Допустим, что монослой обладает

6J. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЙ ИЗГИБ

f { h 1 1 i i ' n n
-20 45 -JO -5-0,14- 5 10 15 20
Рис. 5.1. Эпюра нормальных напряжений при изгибе
трехслойного композита [5.3]; l/h —4.
Обозначения: ; теория упругости;
классическая
теория.

-I
и

Рис. 5.2. Распределение по сечению безразмерного
перемещения в плоскости в трехслойном
слоистом композите [5.3]; l/h — 4. Обозначения:
теория упругости;
классическая теория. -

следующими свойствами:
-5^- = 25, 4F = 0,5, v„ = v rr = 0,25, -^ = 0,2,
где индексы L и Т относятся соответственно к продольному

направлению (направлению волокон) и к направлению,

# Гл. V. Слоистые композиты

f
t

Рис. 5.3. Эпюра нормальных напряжений при изгибе
однослойного композита [5.3]; l/h = 4.
Обозначения: теория упругости;

классическая теория.

перпендикулярному волокнам. Приведенные характеристики монослоя
позволяют рассчитать константы Q. Напряжения и перемещения в
задаче удобно представить в приведенном виде:
На рис. 5.1 и 5.2 показано распределение напряжений о хх и
перемещений ио для симметричного трехслойного композита, у
которого направление L совпадает с направлением х для наружных
слоев, а направление Т параллельно х во внутреннем слое. В этом
примере l/h = 4; таким образом, длина волны синусоидально
изменяющейся нагрузки в восемь раз больше толщины пластины.
Очевидно, что при такой длине волны классическая теория дает
неадекватное решение. Для отношения l/h = = 10 ошибка в
определении максимального изгибного напряжения составляет
приблизительно 14%. По мере возрастания l/h величина ошибки
непрерывно убывает. Из рис. 5.1 видно, что разрыв в свойствах
композита в направлении, перпендикулярном к плоскости, вызывает
разрыв и в нормальных напряжениях при изгибе. Это, как видно из
рис. 5.2, приводит к значительному искажению формы поперечного
сечения. Далее будет показано, что такие эффекты характерны для
слоистых композитов, а не для однородных пластин.
На рис. 5.3 представлены результаты расчетов для однослойной
пластины с заданными свойствами, в которой волокна
ориентированы в направлении х и l/h~\. Очевидно, задача об одио-

й °~ hq 0
Е т и 0 (0, г)

5А. УТОЧНЕННАЯ ТЕОРИЯ
родной пластине не является для классической теории столь же
критической в смысле достоверности получаемых результатов, как
рассмотренная задача о трехслойной пластине. При заданной длине
волны синусоидально изменяющейся нагрузки классическая теория
описывает поведение слоистого композита значительно хуже, чем
поведение однородной пластины. Следует, однако, помнить, что
приведенные результаты относятся лишь к частному случаю, когда
композит составлен из трех слоев. При увеличении в композите
числа слоев с изменяющейся от слоя к слою ориентацией волокон
классическая теория при неизменном отношении l/h дает все более
улучшающиеся оценки напряженного состояния.
5.4. УТОЧНЕННАЯ ТЕОРИЯ

В предыдущем разделе показано, что на уровне гипотез
классической теории пластин описать поведение слоистых
композитов труднее, чем поведение однородных пластин. Это
побуждает нас исследовать возможности использования более
совершенной теории для моделирования поведения слоистых
композитов. Применительно к исследованию однородных пластин
существует довольно много теорий более высокого порядка
сложности, чем классическая. К числу наиболее сложных можно,
наверное, отнести теорию, предложенную Ло, Кристенсеном и By
[5.5]. Эти же авторы предложили вариант уточненной теории,
моделирующей слоистый композит [5.6]. В данном разделе
приведены некоторые результаты ее применения.
Поскольку мы рассматриваем слоистые композиты, обратимся до
описания уточненной теории к хорошо известной теории,
учитывающей межслойные сдвиговые деформации. Кинематические
уравнения для этой теории имеют вид

и = и° (*, у) + zt\> х (х, у),
v = v°(x, y) + z$ y {x, у), (4.1)
w = w° (х, у).

Заметим, что эти уравнения в точности совпадают с
соответствующими уравнениями классической теории (2.2).
Подобная ситуация на первый взгляд может показаться
парадоксальной, однако объясняется очень просто. В классической
теории члены у\>х и уравнений (4.1) функционально зависят от
w°(x, у), как показано в (2.2). Предположение о форме if, и ф у
является ограничением теории (учитывающей деформации
межслойного сдвига), которое упрощает ее до уровня классической
теории. Несмотря на возросшую общность теории, полученные с ее
помощью оценки распределения изгибных напряжений для