Нагрев тела

Теплота нагрева |
Задача 14. Найти количество теплоты, необходимое для нагрева 1 кг железа от 20 до 21° С Удельная теплоемкость с железа выражается зависимостью с=0,1053+0,000142t, где t — температура.
Решение, Количество теплоты Q, необходимое для нагрева, будет функцией температуры, т. е. Q = Q(t). Теплоемкость тела представляет изменение количества теплоты Q при изменении температуры t и определяется как производная . Удельная теплоемкость представляет производную .По условию
Или
Интегрируем это уравнение:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTChap \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 0)
Начальное условие: при t=0 Q = 0. Отсюда, согласно уравнению (1), находим, что С=0.
Тогда
Для определения количества теплоты, необходимого для нагрева 1 кг железа от 20 до 21° С, находим
откуда
Прохождение теплоты через пластинуЗадача 15. Пластина из графита толщиной 10 мм на поверхностях имеет постоянные температуры t1=1300° С и t2=Ю0°С. Найти удельный поток теплоты q, проходящий через графитную пластину с коэфициэнтом теплопроводности
Решение. По закону Фурье
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTChap \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 0)
Где q-удельный поток теплоты, — коэффициент теплопроводности, - скорость изменения температуры.
Подставляя данные задачи в соотношение (1), получим дифференциальное уравнение процесса
которое после интегрирования принимает вид
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTChap \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 0)
Начальное условие: при толщине пластины x=0, t=t1=1300 C. Отсюда
Подставляем значение С в общий интеграл (2):
Дополнительное условие: при х=10 мм t=t2= 100° С, откуда
Распределение температуры внутри ограждающих поверхностей1268095120713500Задача 16. Кирпичная стена толщиной 30 см имеет температуру нa внутренней поверхности 20° С, а на наружной 0°С (рис. 10). Найти зависимость температуры внутри стены от расстояния до ее наружного края и количество теплоты, которое отдает наружу 1 м2 гены в течение суток. .
Решение, Количество теплоты, проходящее через единицу
поверхности в единицу времени, равно , где t — температура,
— расстояние до наружной стены, k коэффициент теплопроводности (для кирпича — 0,2 ккал/м*ч*град).
Температурный градиентхарактеризует интенсивность падения температуры по направлению теплового потока перпендикулярно к поверхности стены'.
Пусть температура внутри стены есть функция расстояния до 1аружной поверхности х, т. е. t=t(x) (рис. 10). Интенсивность шдения температуры по нормали к поверхности стены определяется
производной . Возьмем на расстоянии х от наружной стены слой
толщиной dx с постоянной (внутри этого элементарного слоя) температурой t. Количество теплоты Qi, проходящее через этот слой, будет постоянным и по условию
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTChap \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 0)
Так как поверхность S=1 м2, то
498475613410Общее решение дифференциального уравнения (2) имеет вид
00Общее решение дифференциального уравнения (2) имеет вид
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTChap \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 0)
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTChap \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 0)
Начальное условие: при х=0 t=0, откуда, согласно уравнению (3), С=0.
Тогда искомый закон температуры внутри стены
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTChap \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 0)
Искомый закон температуры
Количество теплоты, которое отдает наружу 1 м2 степы за сутки (24 часа), будет
Q=24Qi = —320 ккал.
Глава IV
ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМУРАВНЕНИЯМ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИЕсли в дифференциальном уравнении первого порядка функции М и N представлены в виде
то уравнение
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTChap \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 0) MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT
примет вид дифференциального уравнения с разделяющимися переменными
Делим уравнение (2) на , откуда
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTChap \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 0)
или
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTChap \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 0)
где переменные x и у разделены.
Общий интеграл уравнения (3)
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTChap \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 0)
Если и f2(x) равны единице, то уравнение (2) вырождается в простейшее дифференциальное уравнение с разделенными переменными, общий интеграл которого получается непосредственным интегрированием:
§ 1. ОХЛАЖДЕНИЕ ТЕЛ
Задача 19. Температура вынутого из печи хлеба в течение 20 мин падает от 100 до 60° С (рис. 12). Температура окружающего воздуха 25° С. Через какое время от момента начала охлаждения температура хлеба понизится до 30° С?
Решение. Скорость охлаждения тела представляет понижение температуры Т в единицу времени т и выражается производ5321301149350
Рис. 12
00
Рис. 12
ной По закону Ньютона скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. Это процесс неравномерный. С изменением разности температур меняется и скорость охлаждения тела.
Дифференциальное уравнение охлаждения хлеба будет
80645880745ния хлеба.
Пусть х — искомое время охлаждения. Тогда, разделяя переменные, получим
00ния хлеба.
Пусть х — искомое время охлаждения. Тогда, разделяя переменные, получим
68580292735где Т — температура хлеба, t — температура окружающего воздуха,
dT
00где Т — температура хлеба, t — температура окружающего воздуха,
dT
68580634365k — коэффициент пропорциональности,
00k — коэффициент пропорциональности,
3726180741045dx
00dx
4305300637540скорость охлажде
00скорость охлажде
Для условий задачи
Ввиду того что
Интегрируя производную получаем
Или
Потенцируем обе части последнего равенства
Так как
То
Произвольную постоянную С определяем из начального условия: при = 0 мин T=100°. Отсюда
Величину ek определяем, исходя из данного дополнительного условия: при =20 мин Т=60°. Получаем
Уравнение охлаждения хлеба в условиях задачи примет вид
Из уравнения (2) определяем искомое время т при температуре хлеба Т =30°:
Окончательно
Итак, после 1 ч 11 мин хлеб охлаждается до температуры 30° С.
§ 5. ДАВЛЕНИЕ ЗЕРНА НА СТЕНКИ ХРАНИЛИЩА
Задача 24. Давление ps зерна на стенки принимается пропорциональным давлению р зерна на горизонтальную площадь ps=kp. Найти закон изменения р и ps с возрастанием глубины h с учетом трения зерна о стенки хранилища.
388937524130
Рис. 16
00
Рис. 16
384175-454850500Решение. Рассмотрим условия равновесия бесконечно тонкого слоя меж-' ду двумя горизонтальными плоскостями на глубине h и (рис. 16). На первую плоскость действует давление р сверху вниз, на вторую — давление p и p+dp снизу-вверх.
Умножая силы р и p+dp на площадь поперечного сечения 5 хранилища, получим силу, действующую вверх:
На слой действует также собственный вес ySdh, где dh — высота слоя.
Кроме этих сил, если открыть нижнее отверстие хранилища, п самом начале движения вследствие давления зерна на стенки возникает направленное вверх сопротивление трения.
Пусть Р — периметр сечения хранилища. Тогда поверхность части стенок, ограничивающей рассматриваемый слой, будет Pdh. Тик как величина dh бесконечно малая, то боковое давление на единицу площади в пределах этого слоя можно принять постоянным.
Полное боковое давление равно kPpdh, а вызванное им трение kPpdh.
Условие равновесия всех действующих сил
MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Chapter 1 Section 1 SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \r 1 \h \* MERGEFORMAT SEQ MTChap \r 1 \h \* MERGEFORMAT MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTChap \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1)
Вводим обозначение . Тогда дифференциальное уравнение (1) после преобразования примет вид
Или
Общее решение этого уравнения
MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Chapter 2 Section 1 SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \r 1 \h \* MERGEFORMAT SEQ MTChap \r 2 \h \* MERGEFORMAT MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTChap \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2)
Начальное условие: при h = 0 р = 0. Отсюда
Или
Найденное значение постоянной интегрирования подставляем в общее решение
Откуда
MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Chapter 3 Section 1 SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \r 1 \h \* MERGEFORMAT SEQ MTChap \r 3 \h \* MERGEFORMAT MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTChap \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3)
Из равенства (3) находим, что
MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Chapter 4 Section 1 SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \r 1 \h \* MERGEFORMAT SEQ MTChap \r 4 \h \* MERGEFORMAT MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTChap \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 4)
Так как и подставляя это значение в равенство (4), после сокращения получим
MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Chapter 5 Section 1 SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \r 1 \h \* MERGEFORMAT SEQ MTChap \r 5 \h \* MERGEFORMAT MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTChap \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 5)
Из соотношений (4) и (5) видно, что давления р и ps возрастают непропорционально глубине h. При любом h величина
Выброс вверхЗадача 32. Ракета запущена вертикально вверх с начальной скоростью v=100 м/сек (рис. 23, а). Сопротивление воздуха замедляет ее движение, сообщая ракете отрицательное ускорение D
Равное –kv2(где v-мгновенная скорость ракеты, а k- аэродинамический коэффициент). Определить время достижения ракетой наивысшего положения.
Решение. Силы, действующие в вертикальном прямолиней- & ном полете на ракету, представлены на рис. 23, б, где F-сила тяги.
Движение ракеты принимаем условно за движение материальной точки М.
Тогда общее ускорение ракеты а при движении вверх будет
MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Chapter 1 Section 1 SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \r 1 \h \* MERGEFORMAT SEQ MTChap \r 1 \h \* MERGEFORMAT MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTChap \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1)
Но
Тогда уравнение (1) принимает вид
MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Chapter 2 Section 1 SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \r 1 \h \* MERGEFORMAT SEQ MTChap \r 2 \h \* MERGEFORMAT MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTChap \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2)
Для интегрирования проводим преобразования уравнения (3):
или
Уравнение (4) интегрируется почленно:
Общее решение уравнения (2)
Для условий задачи, при О v^v0= 100 м/сек, величина
Тогда частное решение
(5)
В момент достижения ракетой высшей точки t=T и мгновенная Скорость v равна нулю. Подставляя в равенство (5) t = T, и=0 и принимая g=9,81 м/сек2, имеем:
Итак, ракета достигнет своего наивысшего положения через прими Т, определяемое зависимостью (6).
Падение вниз при сопротивлении среды,пропорциональном скорости
Задача 33. С некоторой высоты брошено вертикально вниз тело массий т. Найти закон изменения скорости v падения этого тела, если па него действуют сила тяжести и тормозящая сила сопротивлении воздуха, пропорциональная скорости (коэффициент пропорциональности k).
Решение. Задача заключается в определении закона изменения скорости v с течением времени t, т. е. v =f(t)
Из второго закона Ньютона
Где ускорение движущегося тела, F — сила, действующая на тело в направлении движения.
Сила F складывается из двух сил: силы тяжести F1=mg и силы сопротивления воздуха F2=—kv (рис. 24)'.
Итак, уравнение движения
Разделяя переменные, получим
MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Chapter 1 Section 1 SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \r 1 \h \* MERGEFORMAT SEQ MTChap \r 1 \h \* MERGEFORMAT MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTChap \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1)
Интегрируем обе части равенства (1):
Решая последнее уравнение относительно v, имеем
Или
Откуда
Обозначая постоянную величину через С*, придем к уравнению
MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Chapter 2 Section 1 SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \r 1 \h \* MERGEFORMAT SEQ MTChap \r 2 \h \* MERGEFORMAT MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTChap \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2)
Чтобы найти частное решение, используем дополнительное условие: при сбрасывании тела ему придана начальная скорость Уо. Считаем ее неизвестной. Тогда искомая функция v=f(t) должна быть такой, чтобы в начале движения при ^=0 выполнялось условие у = у0. Подставляя t=0, v = v0 в уравнение (2), получаем
Откуда
Итак, искомая функция
Падение вниз при сопротивлении среды, пропорциональном
квадрату скорости
Задача 34. Сила тяжести летчика с парашютом 80 кГ. Сопротивление воздуха при спуске парашюта пропорционально квадрату его скорости v (коэффициент пропорциональности k=400). Определить скорость спуска в зависимости от времени и установить максимальную скорость спуска.
Решение. При спуске действует сила тяжести парашютиста С парашютом P=mg (направлена книзу) и сопротивление воздуха, оказываемое этому спуску F=—kv2 (направлено кверху). Таким образом, равнодействующая сила
Согласно второму закону Ньютона,
Приравнивая равенства (1) и (2), получим дифференциальное уравнение спуска парашютиста:
Найдем общее решение
или
MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Chapter 3 Section 1 SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \r 1 \h \* MERGEFORMAT SEQ MTChap \r 3 \h \* MERGEFORMAT MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTChap \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3)
Начальное условие при t=0 v=0, откуда
и произвольная постоянная
С=1
Закон спуска парашютиста примет при этом искомое выражение (для вычисления скорости парашютиста)
Как видно из уравнения (3), правая часть равенства представляет дробь, всегда меньшую единицы. Предел дроби при t равен 1. Таким образом, максимальное значение скорости
Такой скорости парашютист никогда не достигнет, так как н = нтах при оо. Практически дробь формулы (3) уже при t—2 сек очень мало отличается от единицы, поэтому можно считать, что максимальная скорость достигается парашютистом через 2 сек
§ 3. ТЕМПЕРАТУРА ОХЛАЖДАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА
Задача 95. Найти закон изменения температуры Т охлаждающегося тела массы m и теплоемкости с. Температура окружающей среды t, причемТ>t Когда температура окружающей среды t=0,температура тела равна T1.
Решение. По закону Ньютона бесконечно малое количество теплоты dQ, отданное телом в течение бесконечно малого промежутка времени dt, пропорционально разности температур тела и окружающей среды:
где k — коэффициент пропорциональности. Знак минус указывает, что потеря теплоты dQ — величина отрицательная.
С другой стороны,
MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Chapter 1 Section 1 SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \r 1 \h \* MERGEFORMAT SEQ MTChap \r 1 \h \* MERGEFORMAT MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTChap \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1)
где m — масса тела, с — его теплоемкость.
Предполагая, что теплоемкость есть величина, не зависящая от температуры, после дифференцирования уравнения (1) находим
Следовательно,
Разделяя переменные и интегрируя полученное уравнение, имеем
MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Chapter 2 Section 1 SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \r 1 \h \* MERGEFORMAT SEQ MTChap \r 2 \h \* MERGEFORMAT MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTChap \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2)
Начальное условие про t-0 температура T=T1. Отсюда
Или
MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Chapter 3 Section 1 SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \r 1 \h \* MERGEFORMAT SEQ MTChap \r 3 \h \* MERGEFORMAT MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTChap \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3)
Подставляя найденное значение постоянной интегрирования в общее решение 2 получаем искомый закон
§8. Задача о сигарете
Задача 103. Исследовать вопрос фильтрации дыма (газового потока) через горячую сигарету
Решение. Это задача о фильтрации с подвижным краем. Она может быть обобщега на другие аналогичные модели задач о фильтрации и горении.
Предположим, что:
в продолжение непрерывного вдыхания (т. е. при постоянной скорости воздуха и горящих газов, проходящих.через сигарету, и установившемся коэффициенте горения) в табаке сохраняется постоянная доля а любой его составляющей Z, а оставшаяся часть 1 — а улетучивается в воздух;
относительно фильтрации составляющей Z коэффициент абсорбции (поглощения) табака постоянен и равен Ь> аналогично
при наличии фильтра у наконечника коэффициент абсорбции наконечника также постоянный и равен Р;
скорость изменения длины при сгорании является настолько медленной, что можно пренебречь временем отставания, вызванным конечной скоростью газового потока вдоль сигареты, т. е. отложение доли а определенного количества составляющей Z по длине сигареты от фильтрации проходит непрерывно при сгорании этого количества до наконечника.
Рассмотрим абсорбцию составляющей Z при курении по длине сигареты.
Пусть х — расстояние вдоль сигареты, исчисляемое с любого ее конца. Предположим для простоты, что дым движется вдоль сигареты с постоянной скоростью, и рассмотрим очень тонкий слой сигареты толщиною t, который будет передвигаться при курении (рис. 57). Пусть общий вес составляющей Z в слое, когда он проходит сечение х, будет w(x). Тогда общий вес в сечении х+Ах составит to (х+Ах). Следовательно, из определения коэффициента абсорбции b вес составляющей Z, перемещаемой со слоем, когда он движется от сечения х к сечению х+Ах, составит bwAx.
Поэтому
При получаем
MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Chapter 1 Section 1 SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \r 1 \h \* MERGEFORMAT SEQ MTChap \r 1 \h \* MERGEFORMAT MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTChap \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1)
или после интегрирования
где — значение w при х=0
Так как вес, заключенный между сечениями х и х+ , равен bw , то вес, приходящийся на единицу длины в точке х, будет
MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Chapter 2 Section 1 SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \r 1 \h \* MERGEFORMAT SEQ MTChap \r 2 \h \* MERGEFORMAT MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTChap \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2)
Если в сечении х=Х прекращено курение сигареты, то, очевидно, что это не влияет на результат анализа от сечения х=0 до х=Х и дым идет через сечение х=Х так же, как и раньше.
Вес части составляющей Z, которая проходит через сечение х =Х, может быть найден путем вычисления количества, которое могло бы находиться в интервале от х=Х до бесконечности, если бы сигарета была бесконечно длинной. Таким образом, согласно выражению (2), имеем:
MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Chapter 3 Section 1 SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \r 1 \h \* MERGEFORMAT SEQ MTChap \r 3 \h \* MERGEFORMAT MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTChap \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3)
Аналогично, если сигарета имеет в интервале коэффициент абсорбции b и в интервале коэффициент абсорбции, то, подставляя их в уравнение (3), получим:
где постоянная W определяется из условия непрерывности w в точке x= , т. е.
Вес, приходящийся на единицу длины в сечении будет
MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Chapter 4 Section 1 SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \r 1 \h \* MERGEFORMAT SEQ MTChap \r 4 \h \* MERGEFORMAT MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTChap \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 4) TOC \o "1-5" \h \z
Элементы оглавления не найдены.
Предположим, что сигарета имеет начальную длину l и конец ее сгорает со скоростью v, так что в момент времени t длина сигареты l-vt (рис. 58).
Пусть W(x, t)—вес составляющей Z па единицу длины сигареты в сечении х в момент t, где х измеряется от начального положения с левого (горящего) конца сигареты при t = 0. Вес Z на единицу длины при горящем конце будет W(vt, t).
За время сгорает кусок сигареты длиною v, содержащий vW(vt, t) составляющей Z табака, часть которой avW(vt,t) проходит в сигарету.
Согласно выражению (2), количество, заключенное между сечениями х и х+, будет
MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Chapter 7 Section 1 SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \r 1 \h \* MERGEFORMAT SEQ MTChap \r 7 \h \* MERGEFORMAT MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTChap \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 7)
Поэтому общий вес, сохраненный дисперсией во время t между сечениями х и х+, составляет
MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Chapter 8 Section 1 SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \r 1 \h \* MERGEFORMAT SEQ MTChap \r 8 \h \* MERGEFORMAT MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTChap \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 8)
причем он определяется функцией w(x, t). Общий вес в этом сечении определяется добавлением W(x, 0) к количеству, определяемому зависимостью (7), и в результате должен быть равным W(x, t),
Следовательно, MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Chapter 9 Section 1 SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \r 1 \h \* MERGEFORMAT SEQ MTChap \r 9 \h \* MERGEFORMAT
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTChap \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 9)
Можно получить уравнение, из которого найдется функция W(vt, t), подставляя в уравнение (8) x—v
Имеем: MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Chapter 10 Section 1 SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \r 1 \h \* MERGEFORMAT SEQ MTChap \r 10 \h \* MERGEFORMAT
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTChap \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 10)
запишем MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Chapter 11 Section 1 SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \r 1 \h \* MERGEFORMAT SEQ MTChap \r 11 \h \* MERGEFORMAT
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTChap \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 11)
Уравнение (11) может быть решено дифференцированием. Ограничимся случаем, когда начальная концентрация постоянна— не зависит от х, т.е. W(х,0)=Wo. Тогда дифференциальное уравнение задачи после дифференцирования уравнения (11) будет
Решая это линейное неоднородное уравнение с учетом соотношения (10), находим
где постоянная интегрирования С определяется из начального условия W (0, 0) = W.
Отсюда
Подставляя это выражение в уравнение (8), окончательно получаем
Это выражение не зависит от скорости сгорания v, что принималось в третьей предпосылке.
Вес части составляющей Z, которая будет проходить через конец сигареты при х=Х во время ее курения до сечения х= , получается из уравнения (7), так как t=, с учетом соотношения (12):
При наличии фильтра наконечника в интервале,при
х>1, учитывая соотношение (4), имеем
Таким образом, вес части составляющей, прошедшей через сечение x = Xt равен
Отношение веса части составляющей Z, которая проходит через сечение х=Х при наличии фильтра (14), к аналогичному весу при его отсутствии (13) составляет .Это отношение совпадает с отношением (6) и зависит только от длины фильтра, но не от длины самой сигареты.
Падение тел
Задача 106. Тело массы m падает под действием силы тяжести в среде, оказывающей сопротивление, пропорциональное квадрату скорости падения. Найти закон движения тела.
Решение. Пусть s — расстояние, пройденное телом к моменту t. Тогда движение определяется уравнением
Которое может быть представлено в виде MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Chapter 1 Section 1 SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \r 1 \h \* MERGEFORMAT SEQ MTChap \r 1 \h \* MERGEFORMAT
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTChap \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1)
Где скорость представлена в виде Дифференциальное уравнение является Рикати
Разделяя в нем переменные имеем
Или после сокращения левой части равенства на m
Интегрируя это равенство получаем
MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Chapter 2 Section 1 SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \r 1 \h \* MERGEFORMAT SEQ MTChap \r 2 \h \* MERGEFORMAT MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTChap \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2)
Для вычисления интеграла в левой части уравнения' (2) применяем метод неопределенных коэффициентов, и тогда
MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Chapter 3 Section 1 SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \r 1 \h \* MERGEFORMAT SEQ MTChap \r 3 \h \* MERGEFORMAT
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTChap \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3)
Подставляя найденные значения коэффициентов в интеграл (3), имеем
откуда
Или
Подставляя найденные значения коэфициентов в интеграл (3), имеем
Для краткости обозначим тогда после умножения равенства на находим
Или
Откуда
Где
Потенциируем уравнение (2) получаем
Или
Откуда
И искомая функция MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Chapter 4 Section 1 SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \r 1 \h \* MERGEFORMAT SEQ MTChap \r 4 \h \* MERGEFORMAT
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTChap \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 4)
Где a
Из уравнения (4) очевидно, что при t, стремящемся к бесконечности, скорость v достигает предельного значения
для которого
Следовательно, уравнение (4) записывается в виде
MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Chapter 5 Section 1 SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \r 1 \h \* MERGEFORMAT SEQ MTChap \r 5 \h \* MERGEFORMAT MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTChap \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 5)
Начальное условие: при
Пусть ради краткости записи Тогда постоянная интегрирования С в уравнении (5) принимает значение
Подставляя это значение в уравнение (5), замечаем, что v может быть записана в виде
Принимая. что при t=0 s=0, можем теперь определить s:
Подставляя и в это равенство, окончательно получаем искомый закон движения