Напряжения от действия сосредоточенной силы (Основная задача)

СОДЕРЖАНИЕ

Напряжения от действия сосредоточенной силы (Основная задача) 2
Пример №1 6
Пример №2 7
Список использованных источников 8

Напряжения от действия сосредоточенной силы (Основная задача)Рассмотрим действие вертикальной сосредоточенной силы N (Рисунок 1), приложенной в точке О к горизонтальной плоскости, являющейся поверхностью линейно-деформируемого полупространства, однородного в глубину и в сторону [1]. От действия силы N во всех точках полупространства возникает сложное напряженное состояние. Задача заключается в определении всех шести составляющих напряжений: az, ах, Gy, axz, Gxy, ayz — в декартовой системе координат.
Рисунок 1 - Схема к определению напряжений при действии сосредоточенной силы
Эта задача впервые была решена профессором Ж. Буссинеском (1885).
Берем точку М, определенную полярными ординатами Лир. Под действием силы Лоточка М перемещается в направлении радиуса R на величину dR.
Чем дальше от точки приложения силы N будет расположена точка М, тем меньше будет ее перемещение. При R = <*> перемещение точки М будет равно нулю, dR = 0. При одном и том же значении R для различных величин угла р перемещения точек будут неодинаковы.
Наибольшее перемещение получит точка, расположенная на оси Z, т.е. при р = 0 (Рисунок 2). С увеличением угла р перемещения по направлению радиуса R уменьшаются, при р = 90° будут равны нулю.
Рисунок 2 - Схема распределения напряжений по полушаровой поверхности с радиусом R
Приняв как постулат, что оЛ прямо пропорционально cosp и обратно пропорционально Л2, можно записать зависимость
где А — коэффициент, определенный из условия равновесия.
Условие равновесия составляется согласно рис. 6.15 исходя из равенства внутренних и внешних сил.
Тогда можно записать
Подставив в формулу, получим формулу Буссинеска:
Это общая формула векторного напряжения в любой точке пространства от действия сосредоточенной нагрузки в однородных грунтах [3].
Решение задачи о распределении напряжений от действия вертикальной сосредоточенной силы, приложенной нормально к ограничивающей поверхности полупространства, получено в виде (Рисунок 3):
где R2 = z2 + х2 + у2.
Рисунок 3 - Схема приложения сосредоточенной силы при пространственной задаче
Перемещения, параллельные осям координат:
• оси X
• оси Y
• оси Z
Вблизи точки приложения силы (полушар радиусом 0,3—0,5 м) напряжения достигают чрезвычайно большого значения и массив грунта претерпевает пластические деформации. Эта область полупространства обычно исключается из рассмотрения [2].
В практике для расчета вертикальных сжимающих напряжений az используется следующая формула:
где К — значения, которые зависят от отношения r/z  К изменяется от 0,477 до 0, определяется по формуле
либо используются графики (Рисунок 4) или таблицы, которые приводятся в справочниках.
Пример №1 Определить вертикальное сжимающее напряжение в точке М от действия сосредоточенной силы N, приложенной к поверхности грунтового основания, если известно: N = 25,0 кН, точка М находится на глубине 3 м от поверхности и на расстоянии 2 м в сторону от действия силы (Рисунок 5).
Решение. 1. Определяем отношение r/z — 2/3 = 0,67. По таблице справочника или по графику (Рисунок 4) находим К — 0,1889.
2. По упрощенной формуле Ж. Буссинеска определяем вертикальное сжимающее напряжение:
о. = ^4 = 0,1889^ = 0,524 кПа.
Z 3-
Рисунок 4 - График для определения коэффициента К
Пример №2 Условие: при z = 5 м; г= 2 м (Рисунок 6).
Рисунок 5 - К основной формуле
Рисунок 6 - К примеру 6.4
Решение. . r/z = 2/5 = 0,4, следовательно, по рисунку 4 К= 0,3294.
По этим двум примерам можно сделать вывод, что вертикальное сжимающее напряжение зависит от места положения точки; например, с увеличением глубины (место положения точки М) и с удалением от оси напряжения уменьшаются.
Список использованных источниковАбуханов А. З. Механика грунтов [Текст] : учебное пособие для вузов / А. З. Абуханов. - 2-е изд., испр. и доп. - М.: ИНФРА-М, 2017. - 336 с. - (Высшее образование. Бакалавриат).
Заручевных, И.Ю. Механика грунтов в схемах и таблицах: Учебное пособие / И.Ю. Заручевных, А.Л. Невзоров. - М.: АСВ, 2015. - 164 c.
Постников, М.М. Механика грунтов, основания и фундаменты (включая специальный курс инженерной геологии): Учебник КПТ / М.М. Постников. - СПб.: Лань КПТ, 2016. - 416 c.