Элементы теории вероятности

Содержание

Введение 3
1.Случайные события 4
2.Описание случайных событий 5
3.Случайные величины 7
4.Функция и плотность распределения случайной величины 9
5. Числовые характеристики случайных величин 11
6. Законы распределения случайных величин 13
Список литературы: 15

Введение
Теория вероятностей - математическая наука, позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных каким-либо образом с первыми.
Утверждение о том, что какое-либо событие наступает с вероятностью, равной, например, ½, ещё не представляет само по себе окончательной ценности, так как мы стремимся к достоверному знанию. Окончательную познавательную ценность имеют те результаты теории вероятностей, которые позволяют утверждать, что вероятность наступления какого-либо события «А» весьма близка к единице или (что то же самое) вероятность не наступления события «А» весьма мала. В соответствии с принципом "пренебрежения достаточно малыми вероятностями" такое событие справедливо считают практически достоверным. Ниже (в разделе Предельные теоремы) показано, что имеющие научный и практический интерес выводы такого рода обычно основаны на допущении, что наступление или не наступление события «А» зависит от большого числа случайных, мало связанных друг с другом факторов. Поэтому можно также сказать, что теория вероятностей есть математическая наука, выясняющая закономерности, которые возникают при взаимодействии большого числа случайных факторов.
Случайные события
Все события, за которыми люди наблюдают или сами создают их, делятся на:
достоверные события;
невозможные события;
случайные события.
Достоверные события наступают всегда, когда создан определенный комплекс обстоятельств. Например, если работаем, то получаем за это вознаграждение, если сдали экзамены и выдержали конкурс, то достоверно можем рассчитывать на то, что включены в число студентов. Достоверные события можно наблюдать в физике и химии. В экономике достоверные события связаны с существующим общественным устройством и законодательством. Например, если мы вложили деньги в банк на депозит и выразили желание в определенный срок их получить, то деньги получим. На это можно рассчитывать как на достоверное событие.
Невозможные события определенно не наступают, если создался определенный комплекс условий. Например, вода не замерзает, если температура составляет плюс 15 градусов по Цельсию, производство не ведется без электроэнергии.
Случайные события при реализации определенного комплекса условий могут наступить и могут не наступить. Например, если мы один раз подбрасываем монету, герб может выпасть, а может не выпасть, по лотерейному билету можно выиграть, а можно не выиграть, произведенное изделие может быть годным, а может быть бракованным. Появление бракованного изделия является случайным событием, более редким, чем производство годных изделий.
Описание случайных событийОжидаемая частота появления случайных событий тесно связана с понятием вероятности. Закономерности наступления и ненаступления случайных событий исследует теория вероятностей.
Если комплекс нужных условий реализован лишь один раз, то получаем недостаточно информации о случайном событии, поскольку оно может наступить, а может не наступить. Если комплекс условий реализован много раз, то появляются известные закономерности. Например, никогда невозможно узнать, какой кофейный аппарат в магазине потребует очередной покупатель, но если известны марки наиболее востребованных в течение длительного времени кофейных аппаратов, то на основе этих данных, возможно организовать производство или поставки, чтобы удовлетворить спрос.
Знание закономерностей, которым подчинены массовые случайные события, позволяет прогнозировать, когда эти события наступят. Например, как уже ранее отмечено, заранее нельзя предусмотреть результат бросания монеты, но если монета брошена много раз, то можно предусмотреть выпадение герба. Ошибка может быть небольшой.
Методы теории вероятностей широко используются в различных отраслях естествознания, теоретической физике, геодезии, астрономии, теории автоматизированного управления, теории наблюдения ошибок, и во многих других теоретических и практических науках. Теория вероятностей широко используется в планировании и организации производства, анализе качества продукции, анализе технологических процессов, страховании, статистике населения, биологии, баллистике и других отраслях.
Случайные события обычно обозначают большими буквами латинского алфавита A, B, C и т.д.
Случайные события могут быть:
несовместными;
совместными.
Современная теория вероятностей предпочитает, где только возможно, оперировать не случайными событиями, а случайными величинами, для которых был разработан более гибкий и универсальный математический аппарат.
Случайные величины
Случайная величина - это величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, заранее не известно, какое именно.
Случайными величинами являются, например, количество очков, выпадающих при бросании игрального кубика, число посетителей аптеки в течение случайно взятого дня, температура больного в наугад выбранное время суток, рост случайно выбранного студента и тому подобное.
Случайные величины принято обозначать прописными буквами латинского алфавита - Х, У, Z и т.д., а их возможные значения - соответствующими строчными буквами с числовыми индексами. Например, значения случайной величины Х обозначают следующим образом: ^, х2, х3, ....
Пример: Если Х - количество очков, выпадающих при бросании игрального кубика, тогда данная случайная величина принимает следующие значения X = {1,2,3,4,5,б}, где х3 = 1, х2 = 2 и т.д. Таким образом, значения случайной величины образуют полную группу событий.
Случайные величины бывают:
а)непрерывные - значения которых непрерывно заполняют какой-либо промежуток (например: давление крови человека, температура его тела или состав крови);
б)дискретные - принимающие отдельные друг от друга значения (например: число звонков на станцию скорой помощи в течение часа или количество очков, выпадающих при бросании игрального кубика).
Каждое свое значение случайная величина может принимать с разной вероятностью.
Основная задача теории вероятностей, оперирующей случайными величинами, - это определение закона распределения случайной величины, то есть установление соответствия между возможными значениями случайной величины и вероятностью наблюдения этих значений.
Формы закона распределения случайной величины
Ряд распределения - это таблица, где перечислены возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности.
Данная форма закона распределения используется только для дискретных случайных величин, так как перечислить все значения непрерывной случайной величины просто невозможно, да и вероятность наблюдения каждого из ее значений близка к нулю.
Ряд распределения
X x1 x2 x3 x4
P p1 p2 p3 p4
Графическим изображением ряда является многоугольник распределения.
Функция и плотность распределения случайной величины
Функция распределения случайной величины F(x), равна вероятности того, что случайная величина Х в результате эксперимента примет значение, меньшее х. То есть F(x) = P(X < x).
Данную форму закона распределения случайной величины можно использовать как для непрерывной, так и для дискретной случайной величины.
Для дискретной случайной величины F (х ) находится следующим образом:
Свойства функции распределения случайной величины:
Функция распределения удовлетворяет неравенству: 0 < F(х) < 1.
Функция распределения является неубывающей функцией, то есть, если х < х,, то F(хх) < F(х2).
Вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет значение, лежащее в интервале (а,Ь), равна приращению функции распределения на этом интервале, то есть P(p < X < а) = F(а) - F(Д)
Следует отметить, что функция распределения случайной величины не позволяет (как многоугольник распределения) наглядно представить, какие из своих значений непрерывная случайная величина принимает с большей вероятностью, а какие с меньшей. Для этого используется функция плотности распределения случайной величины f(x), являющейся дифференциальной кривой от функции F(x), то есть f (х) = F'(х).
График функции f(x) называется кривой распределения. Из графика следует, что свои значения, лежащие в интервале (а,Ь), случайная величина принимает с большей вероятностью, чем какие-либо другие значения
Свойства плотности распределения случайной величины f(x):
Плотность распределения случайной величины является неотрицательной функцией, так как несет
смысл вероятности, то есть f (х) > 0.
Вероятность того, что в результате испытания непрерывная случайная величина примет значение, лежащее в интервале (а,Ь), равна определенному интегралу в пределах от а до Ь, от плотности распределения этой случайной величины, и равна площади криволинейной трапеции S то есть
Определенный интеграл в пределах от -от до а от плотности распределения случайной величины равен функции распределения этой величины или площади криволинейной трапеции
Условие нормировки, то есть определенный интеграл от -от до +от от плотности распределения
случайной величины равен единице, то есть
5. Числовые характеристики случайных величинОднако в ряде случаев нет необходимости характеризовать случайную величину полностью, исчерпывающим образом. Поэтому были разработаны числовые характеристики случайной величины, отражающие основные особенности ее распределения.
Математическое ожидание М(Х) - это центральная точка, вокруг которой рассеяны все значения случайной величины Х.
Математическое ожидание дает представление о среднем значении случайной величины. Размерность математического ожидания совпадает с размерностью самой случайной величины: [M (Х )] = [ X].
Найти математическое ожидание случайной величины Х можно по следующим формулам:
Дисперсия D(X) - это характеристика степени разброса случайной величины относительно ее среднего значения. Она находится как математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: D(X)=M(X—M(X ))2.
Размерность дисперсии D(X) равна размерности случайной величины, возведенной в квадрат: [D(X)] = [X2].
Свойства дисперсии:
D(X + Y) = D(X) + D(Y), где Х и У - случайные величины.
D(CX) = C2D(X), где С - постоянная величина.
D(X) = M (x2) - (M (x))2.
Наряду с дисперсией в качестве числовой характеристики степени разброса возможных значений случайной величины относительно ее математического ожидания часто используют среднее квадратическое отклонение, размерность которого совпадает с размерностью случайной величины.
Математическое ожидание и дисперсия являются основными числовыми характеристиками случайной величины. Однако для уточнения вида распределения случайной величины могут использоваться и дополнительные характеристики. Такие как асимметрия, эксцесс, мода и медиана.
6. Законы распределения случайных величин
Равномерное распределение.
Если плотность распределения случайной величины не изменяется в определенном интервале ее значений и обращаются в ноль вне его, то говорят, что случайная величина распределена равномерно. Тогда ее плотность распределения и функция распределения будут иметь вид:
Список литературы:
Матальцкий М. А. «Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы». 2012 г.
Попов В. А. «Теория вероятностей случайные величины». 2013 г.
Сотников В. Н. «Теория вероятностей. Учебное пособие для СПО». 2017 г.
Успенский В. А. «Колмогоровская сложность и алгоритмическая случайность» 2014 г.
Шведов А. С. «Теория вероятностей и математическая статистика. Промежуточный уровень» 2016 г.