Основы теории вероятностей

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 3
1. Возникновение теории вероятностей 4
2. Основные понятия и свойства вероятности 6
3. Алгебра событий 9
4. Байесовская вероятность 10
Заключение 16
Список литературы 17

ВВЕДЕНИЕ
Выбранная мной тема для реферата – основы теории вероятностей. Данную тему я считаю интересной и актуальной. Актуальность темы заключатся в том, что в настоящее время вероятностные и статистические методы глубоко проникли в различные области науки, они используются в физике, экономике, в вычислительной технике, медицине и т.д.
При изучении каких-либо явлений производят наблюдения и опыты. Результаты регистрируются в виде значений наблюдаемых величин. При измерении одной и той же величины несколько раз результаты незначительно, но отличаются друг от друга. Можно сказать, что результат измерения есть величина случайная. Но в основе массовых случайных событий лежат детерминированные закономерности.
Случайное событие невозможно точно предсказать заранее. Теория вероятностей – математическая наука, которая изучает случайные события и их закономерности, а также случайные величины и действия над ними. Как пример можно привести подбрасывание монеты: определить однозначно результат выпадения орла или решки нельзя, но при многократном подбрасывании выпадает примерно одинаковое число орлов и решек. Основную ценность имеют те результаты теории вероятностей, которые позволяют утверждать, что вероятность наступления какого-либо события А весьма близка к единице (вероятность ненаступления события А очень мала).
Еще один пример: повсюду около нас летают молекулы воздуха. Какие-то из них обладают высокой, другие средней, третьи – низкой скоростью. Конечно, угадывать скорость отдельно взятой молекулы не имеет смысла, но массовый учёт их находит широкое применение в прикладных, также в теоретических исследованиях в физике, математике и других науках. За многими, казалось бы, обыденными фактами и событиями кроются серьёзные вероятностно-статистические расчёты.
Возникновение теории вероятностейОкунемся немного в историю и проследим, откуда берет начало теория вероятностей как математическая наука. Ещё в древности люди заметили, что имеются явления, которые обладают особенностью: при малом числе наблюдений над ними не наблюдается никакой правильности, но по мере увеличения числа наблюдений всё более явно проявляется определенная закономерность. Корни теории уходят в средние века, возникновение ее ученые относят к первым попыткам математического анализа азартных игр, таких как орлянка, кости, рулетка [ REF _Ref43380875 \r \h 1].
Первоначально к теории относились как к неким эмпирическим фактам, свойствам реальных событий. Численные оценки вероятностей упоминаются в письменных источниках, начиная с XVI в. Ученые-математики считают, что рождение теории вероятностей как науки произошло в 1654 г. В это время знаменитые французские математики независимо друг от друга Блез Паскаль и Пьер Ферма опубликовали решение задачи о разделе ставки, известной с раннего средневековья. Вкратце это действие можно описать так: два игрока играют в некую игру, в которой их шансы победить одинаковы. При этом они договариваются, что тот, кто первым выиграет шесть партий, получит весь приз. В силу каких-либо обстоятельств игра прекращается до того, как один из игроков выиграл шесть партий (например, один выиграл 5, а второй 3 партии). Как справедливо следует разделить приз? Известные математики предлагали разные ответы: и 5:3, и 2:1 и т.д. Однако правильный ответ в данном конкретном случае гласит, что справедливым является раздел в отношении 7:1 [ REF _Ref43409704 \r \h 2].
В Италии в середине XVI в. Джероламо Кардано написал книгу по теории вероятностей, но опубликованную гораздо позже, только 100 лет назад. Теорию развивал и Христиан Гюйгенс – нидерландский математик, механик, физик.  В его работе (1657 г) вводятся основные понятия теории вероятностей: понятие вероятности как величины шанса; математическое ожидание для дискретных случаев, в виде цены шанса, используются теоремы сложения и умножения вероятностей (не сформулированные явно) [ REF _Ref43455209 \r \h 3].
В XVIII в. — начале XIX в. теория вероятностей получает развитие в работах А. Муавра (Англия, 1718 год), П. Лаплас (Франция), К. Гаусса (Германия) и С. Пуассона (Франция). В связи с потребностями развивающихся наук (геодезии и астрономии) теория вероятностей начинает применяться в теории ошибок наблюдений, также в теории стрельбы. Закон распределения ошибок по сути предложил Лаплас сначала как экспоненциальная зависимость от ошибки без учёта знака (в 1774 год), затем как экспоненциальную функцию квадрата ошибки (в 1778 году). Последний закон обычно называют распределением Гаусса или нормальным распределением (рис. 1). Бернулли (1778 год) ввёл принцип произведения вероятностей одновременных событий. Бернулли предложил классическое определение вероятности случайного события как отношение числа равновероятных исходов, связанных с этим событием, к общему числу исходов. Адриен Мари Лежандр (1805) разработал метод наименьших квадратов.
Рисунок 1. Нормальное распределение – распределение Гаусса.
В результате работы применение вероятностных методов в прикладной статистике значительно расширилось. В науке стало возможным применять методы математического анализа. Были первые попытки применения теории вероятностей в физике. К концу XIX века появляются статистическая физика. Во второй половине XIX в. и в XX веке русские советские математики (А.Н. Колмогоров, П. Л. Чебышёв, А. М. Ляпунов и А. А. Марков) продолжали изучать и развивать эту науку. Среди них по праву первое место можно отдать А.Н. Колмогорову, построившему аксиоматическое обоснование теории вероятностей. Знаменитая его работа "Основные понятия теории вероятностей" (1933 г.) открыла новый исторический этап в развитии этой науки [ REF _Ref43455160 \r \h 4].
Наука продолжала развиваться. В XX веке в физике была создана теория микромира, а в биологии - теория наследственности, которые во многом основаны на вероятностных методах. Карл Пирсон разработал алгоритмы математической статистики, широко и повсеместно применяемые для анализа прикладных измерений, проверки гипотез и принятия решений. Новыми областями применения теории вероятностей стали теория информации и теория случайных процессов. Философские споры о том, что такое вероятность и в чём причина её устойчивости, продолжаются [ REF _Ref43455160 \r \h 4].
Основные понятия и свойства вероятностиПриведем основные понятия теории вероятностей.
Событие – это факт, который может произойти или не произойти в результате каких-либо действий (испытания, опыта).
Выделяют следующие виды событий:
достоверные – точно произойдут;
невозможные – никогда не произойдут;
случайные – могут произойти, либо не произойти.
Несколько случайных событий: А1, А2, А3…Аn образуют полную группу событий, если каждое из них может произойти в результате данного опыта. Пример: выпадение чисел 1,2,3,4,5,6 –полная группа событий для бросания одного кубика.
Случайные события в свою очередь различают:
равновероятные – имеют равные возможности произойти.
совместные – могут произойти одновременно в результате данного эксперимента;
несовместные – это равновозможные события такие, что появление одного из них исключает появление остальных;
противоположные – это равновозможные несовместные события, образующие полную группу событий.
Конкретный результат испытания – элементарное событие. Совокупность конкретных результатов называют пространством элементарных событий.
Вероятностью случайного события A называется отношение числа n несовместимых равновероятных элементарных событий, составляющих событие A, к числу всех возможных элементарных событий N:
РА=nNСтатистической вероятностью события А называется предел, к которому стремится его относительная частота W(A), при неограниченном увеличении числа испытаний.
РА=limn→∞mn=limn→∞W(A)0≤РА≤1Рассмотрим свойства вероятности:
1) вероятность невозможного события (пустого множества Ø) равна нулю:
РØ=0Это следствие того, что каждое событие можно представить как сумму этого события и невозможного события, что в силу аддитивности и конечности вероятностной меры означает, что вероятность невозможного события должна быть равна нулю.
2) если событие A включается («входит») в событие B, то есть A⊂ B, то есть наступление события A влечёт также наступление события B, то:
РА≤РВЭто следует из неотрицательности и аддитивности вероятностной меры, так как событие B, возможно, «содержит» кроме события A ещё какие-то другие события, несовместные с A.
3) вероятность каждого события A находится от 0 до 1, то есть удовлетворяет неравенствам:
0≤РА≤1Первая часть неравенства (неотрицательность) утверждается аксиоматически, а вторая следует из предыдущего свойства с учётом того, что любое событие «входит» в X, а для X аксиоматически предполагается {P} {X}=1.
4) вероятность наступления события  B\A, где  A⊂ B, заключающегося в наступлении события  B при одновременном ненаступлении события A, равна:
РВ\А=РВ-РАЭто следует из аддитивности вероятности для несовместных событий и из того, что события A и B\А являются несовместными по условию, а их сумма равна событию B.
5) вероятность события A, противоположного событию A, равна:
РA=1-РАЭто следует из предыдущего свойства, если в качестве множества B использовать всё пространство X и учесть, что P{X}=1.
6) Теорема сложения вероятностей: вероятность наступления хотя бы одного из (то есть суммы) произвольных (не обязательно несовместных) двух событий A и B равна:
РА+В=РА+РВ-РАВЭто свойство можно получить, если представить объединение двух произвольных множеств как объединение двух непересекающихся — первого и разности между вторым и пересечением исходных множеств:  A+B=A+(B\(AB)). Отсюда учитывая аддитивность вероятности для непересекающихся множеств и формулу для вероятности разности множеств, получаем требуемое свойство.
Алгебра событийСуммой двух событий А и В называется событие А+В. Это событие состоит в том, что или наступит какое-то одно: А или В, или оба события наступят одновременно. В том случае, если события несовместны, последний вариант, соответственно, отпадает.
Правило распространяется и на большее количество слагаемых, например, событие А1, А2, А3, …, Аn состоит в том, что произойдёт хотя бы одно из событий, а если события несовместны – то одно и только одно событие из этой суммы.
Произведением двух событий  А и В  называют событие АВ. Оно состоит в совместном появлении этих событий, другими словами, умножение АВ означает, что при неких обстоятельствах наступит и одно событие А, и второе событие В. Аналогичное утверждение справедливо и для большего количества событий. Например, произведение А1, А2, А3, …, Аn подразумевает, что при определённых условиях произойдёт каждое из этих событий [ REF _Ref43466774 \r \h 7].
Пример. Проведем испытание: один раз бросим игральную кость.
Рассмотрим события: А1 ={выпало четное число очков}, А2 ={выпало нечетное число очков}, А3 ={выпало три очка} и А4 = {выпало пять очков}. Указать события, которые будут являются совместными, несовместными, несовместными и т.п.
Решение:
События А2 и А3 являются совместными, т.к. они могут произойти одновременно, в случае, если выпадет три очка.
Несовместные события - А3 и А4.
Попарно несовместные события - А1, А2 и А4 . События А2, А3 и А4 - не являются попарно несовместными, потому что, например, А3 и А4 могут произойти одновременно.
События А1, А2, А3 и А4 образуют полную группу, поскольку А1 ∪ А2 ∪ А3 ∪ А4 = Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
События А1, А2, образуют полную группу несовместных событий, поскольку А1 ∪ А2 = Ω, а А1 ∩ А2 = ∅.
События А1, А3 и А4 не образуют полную группу, так как А1 ∪ А3 ∪ А4 = {2, 3, 4, 5, 6} ≠ Ω, поскольку может выпасть одно очко.
Байесовская вероятностьОдной из основных теорем элементарной теории вероятностей является теорема (формула) Байеса . Она позволяет определить вероятность какого-либо события при условии, что произошло другое статистически взаимозависимое с ним событие. Можно сказать, что с помощью теоремы Байеса мы имеем возможность взять в расчёт как ранее известную информацию, так и данные новых наблюдений и более точно пересчитать вероятность. Формула Байеса может быть выведена из основных аксиом теории вероятностей, в частности из условной вероятности. Сложность ее заключается в том, что для её практического применения требуется большое количество вычислений и расчётов. Именно поэтому байесовскую вероятность стали активно использовать только после революции в компьютерных и сетевых технологиях, с появлением нейронных сетей.
Томаса Байеса (1702—1761) — английский математик и священник, автор теоремы. Он первым предложил использование своей формулы для корректировки убеждений, основываясь на обновлённых данных. Его работа «An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances» («Очерки к решению задач в учении о случае») была опубликована в 1763 году, уже после смерти автора. Она была значительно отредактирована и обновлена Ричардом Прайсом, после чего работа Байеса была принята и прочитана в Королевском обществе. Однако эти идеи не предавались публичной огласке до тех пор, пока не были вновь открыты и развиты Лапласом, который опубликовал современную формулировку теоремы в своей книге «Аналитическая теория вероятностей» (1812 г).
Сэр Гарольд Джеффрис писал: «Теорема Байеса «для теории вероятности, то же, что теорема Пифагора для геометрии».
При появлении теоремы Байеса вероятности, используемые в теореме, подвергались ряду вероятностных интерпретаций. В одной из таких интерпретаций говорилось, что вывод формулы напрямую связан с применением особого подхода к статистическому анализу. Если использовать байесовскую интерпретацию вероятности, то теорема показывает, как личный уровень доверия может кардинально измениться вследствие количества наступивших событий. В этом заключаются выводы Байеса, которые стали основополагающими для байесовской статистики. Однако теорема используется не только в байесовском анализе, но и активно применяется для большого ряда других расчётов [ REF _Ref43466743 \r \h 9].
Были проведены психологические эксперименты, которые показали, что люди достаточно часто неверно оценивают реальную (математически верную) вероятность события, так как основываются на полученном опыте (апостериорная вероятность), игнорируя вероятность предположения (априорная вероятность). Результаты экспериментов показали, что правильный результат по формуле Байеса может сильно отличаться от интуитивно ожидаемого.
Разберем более подробно теорему и приведем ее доказательство.
Формула Байеса в общем виде:
РАВ=РВАР(А)Р(В)где
Р (A) — априорная вероятность гипотезы A;
РАВ — вероятность гипотезы A при наступлении события B (апостериорная вероятность);
РВА — вероятность наступления события B при истинности гипотезы A;
P(B) — полная вероятность наступления события B.
Доказательство теоремы:
Формула Байеса вытекает из определения условной вероятности. Вероятность совместного события AB можно выразить через условные вероятности:
РАВ=РАВРВ=РВАР(А)Следовательно, можно записать:
РАВ=РАВР(В)=РВАР(А)Р(В)Теорема доказана.
Для того, чтобы вычислить  P(B) в задачах и статистических приложениях  обычно применяются формулы полной вероятности события, зависящего от нескольких несовместных гипотез, образующих суммарную вероятность 1.
РВ=i=1NР(Аi)РВАiЗдесь вероятности под знаком суммы уже известны или допускают экспериментальную оценку.
В этом случае формула Байеса можно записывать следующим образом:
РАjВ=Р(Аj)РBАji=1NР(Аi)РВАiФизический смысл теоремы заключается в том, что возможно по известному факту события вычислить вероятность того, что оно было вызвано данной причиной.
События, отражающие действие «причин», в данном случае называют гипотезами, они — предполагаемые события, которые влекут за собой данное событие. Очевидно, что вероятность справедливости гипотезы называют априорной (насколько вероятна причина вообще), а условную — с учётом факта произошедшего события — апостериорной (насколько вероятна причина оказалась с учётом данных о событии).
Рассмотрим пример применения формулы Байеса.
Задача. На склад поступило 2 партии товаров: первая – 6000 штук, вторая – 8000 штук. Средний процент нестандартных единиц в первой партии составляет 20%, а во второй – 10%. Наудачу взятая со склада единица товара оказалась стандартной. Найдем вероятность того, что она: 1) из первой партии, 2) из второй партии.
В первом решении будем использовать формулу полной вероятности. То есть, вычисления подразумевают, что испытание ещё не произведено и событие «единица оказалась стандартной» пока не наступило.
Будем рассматривать две гипотезы:
В1 – наудачу взятое изделие будет из 1-й партии;
В2 – наудачу взятое изделие будет из 2-й партии.
Всего: 6000 + 8000 = 14000 изделий на складе. По классическому определению:
РВ1=600014000=0,4РВ2=800014000=0,6Контроль: РВ1+РВ2=0,4+0,6=1 Рассмотрим зависимое событие: А – наудачу взятое со склада единица товара будет стандартной.
В первой партии 100% – 20% = 80% стандартных изделий, поэтому:
РВ1А=80100=0,8 0,8 – вероятность того, что наудачу взятая единица товара будет стандартным при условии, что оно принадлежит 1-й партии.
Аналогично, во второй партии 100% – 10% = 90% стандартных изделий
РВ2А=90100=0,90,9 – вероятность того, что наудачу взятое на складе изделие будет стандартным при условии, что оно принадлежит 2-й партии.
По формуле полной вероятности:
РА= РВ1РВ1А+РВ2РВ2А=0,*0,8+0,6*0,9=0,860,86 – вероятность того, что наудачу взятое на складе изделие будет стандартным.
Во втором решении используем формулу Байеса. Пусть наудачу взятая со склада единица оказалась стандартной. Это прямо прописано в условии, и то, что событие А произошло – это факт.
По формулам Байеса:
1) РАВ1=РВ1РВ1АРА=0,4*0,80,86=0,37 0,37 – вероятность того, что выбранная стандартная единица принадлежит 1-й партии;
2) РАВ2=РВ2РВ2АРА=0,6*0,90,86=0,63 0,63 – вероятность того, что выбранная стандартная единица принадлежит 2-й партии.
После второго решения события по-прежнему образуют полную группу:
РАВ1+РАВ2=1Ответ: 1) 0,37; 2) 0,63 
На рисунке 2 представлена диаграмма, которая отображает смысл теоремы Байеса и применима к пространству событий, образованного непрерывными случайными величинами X и Y. Нужно отметить, что по теореме Байеса для каждой точки в области существуют определенные требования. Эти требования на практике могут быть представлены в параметрическом виде, с помощью обозначения плотности распределения как функция от x и y [ REF _Ref43466715 \r \h 10].
Рисунок 2. Диаграмма, отображающая смысл теоремы Байеса
ЗаключениеВ заключении своей работы хотелось бы отметить, что в моей работе были рассмотрены основные понятия теории вероятностей, свойства вероятности, приведена теорема Байеса, а также ее доказательство. Описана также история возникновения теории вероятностей.
Подводя итоги, можно сказать, что возникновение данной теории не было случайным явлением для науки, а скорее было вызвано необходимостью дальнейшего развития технологии и кибернетики, поскольку создание, к примеру, искусственного интеллекта и нейронных сетей невозможно без использования вероятностей. Ученые говорят, что процессы управления, где бы они ни протекали – в живых организмах, в машинах или в обществе, - происходят по одним и тем же законам.
Функция – одно из важнейших понятий математики. До возникновения теории вероятностей почти всегда речь шла об однозначной функции, у которой одному значению аргумента соответствует только одно значение функции, соответственно, функциональная связь между ними четко определенна. Однако в реальной жизни зачастую происходят случайные события, и многие из них имеют не определенный характер связей. Как уже говорилось выше, задача раздела математики теория вероятностей – это как раз поиск закономерностей в случайных явлениях. Теория вероятностей - инструмент для изучения скрытых и неоднозначных связей различных явлений во многих отраслях науки, техники и экономики: позволяет достоверно вычислить колебания спроса, предложения, цен, кредитоспособность и другие экономические показатели. Теория вероятности является основой такой науки как статистика. Теория игр построена на формулах этого раздела математики.
Список литературыЛейнартас Е. К., Яковлев Е. И. Элементы теории вероятностей: методическое пособие. — 2006.Андронов, А.М.; Копытов, Е.А.; Гринглаз, Л.Я. Теория вероятностей и математическая статистика; СПб: Питер - Москва, 2004. - 461 c.Майстров Л. Е. Развитие понятия вероятности. — М.: Наука, 1980.Гнеденко Б. В. и Хинчин А. Я., Элементарное введение в теорию вероятностей, 3 изд., К. - Л.,2008.Битнер Г.Г. Теория вероятностей; Феникс - Москва, 2012. - 336 c.
Большакова Л.В. Теория вероятностей для экономистов; Финансы и статистика - Москва, 2009. - 208 c.
Горлач Б.А. Теория вероятностей и математическая статистика; Лань - Москва, 2013. - 320 c.Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика; Юрайт - Москва, 2013. - 480 c.
Кочетков Е.С., Смерчинская С.О. Теория вероятностей в задачах и упражнениях; Форум - Москва, 2008. - 480 c.Крупин В.Г., Туганбаев А.А. Теория вероятностей; Факториал Пресс - Москва, 2006. - 128 c.