Что такое доверительный интервал и какие способы его задания вам известны

Содержание

Введение 3
1. Что такое доверительный интервал и какие способы его задания вам
известны 4
2. Систематически погрешности и определение их в результатах измерении 7
3. Методы обнаружения и исключения систематических погрешностей 11
Заключение 19
Список литературы 20

Введение
Качество средств и результатов измерений принято характеризовать, указывая их погрешности.
Погрешность результата измерения — это разница между результатом измерения и истинным (или действительным) значением измеряемой величины [1].
Систематическая погрешность — составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или закономерно меняющаяся при повторных измерениях одной и той же физической величины (ФВ) [2].
Ее отличительный признак заключается в том, что данная погрешность может быть предсказана, обнаружена и благодаря этому почти полностью устранена введением соответствующей поправки.
Систематическая погрешность считается специфической, «вырожденной» случайной величиной, обладающей некоторыми, но не всеми свойствами случайной величины, изучаемой в теории вероятностей и математической статистике.
Ее свойства, которые необходимо учитывать при объединении составляющих погрешности, отражаются теми же характеристиками, что и свойства «настоящих» случайных величин: дисперсией (средним квадратическим отклонением) и коэффициентом взаимной корреляции [2].
Целью данной работы является изучение систематических погрешностей.
В соответствии с поставленной целью в работе будут решены следующие основные задачи:
- дать определение понятию доверительный интервал;
- рассмотреть систематические погрешности и определение их в результатах измерении;
- изучить методы обнаружения и исключения систематических погрешностей.
1. Что такое доверительный интервал и какие способы его задания вам известныДоверительный интервал — это интервал, построенный с помощью случайной выборки из распределения с неизвестным параметром, такой, что он содержит данный параметр с заданной вероятностью.
Пусть  - выборка из некоторого распределения с плотностью , зависящей от параметра , который может изменяться в интервале . Пусть  - некоторая статистика и  - функция распределения случайной величины , когда выборка  имеет распределение с плотностью . Предположим, что  есть убывающая функция от параметра . Обозначим  квантиль распределения , тогда  есть возрастающая функция от . Зафиксируем близкое к нулю положительное число  (например, 0,05 или 0,01). Пусть . При каждом  неравенства:
выполняются с вероятностью , близкой к единице. Перепишем неравенства (1) в другом виде:
Обозначим ,  и запишем (2) в следующем виде:
Интервал  называется доверительным интервалом для параметра , а вероятность  - доверительной вероятностью.
Чем шире доверительный интервал, тем больше доверительная вероятность.
Для того чтобы по заданной доверительной вероятности установить границы доверительного интервала необходимо иметь плотность распределения или закон распределения статистики, применяемой для оценивания неизвестного значения характеристики случайной величины.
Однако известно, что при объёме выборки большем 25 распределение любой статистики очень близко к нормальному распределению.
Границы доверительного интервала устанавливают так, чтобы в его пределах оказались значения оцениваемой характеристики, наиболее близкие к среднему значению плотности распределения или закона распределения, а «хвосты», содержащие достаточно удалённые и, как правило, маловероятные значения, оказались вне границ. Причём суммы вероятностей значений в каждом из «хвостов» должны быть равными друг другу.
Если оценка среднего имеет нормальное или близкое к нормальному распределение, то границы доверительного интервала могут быть определены прямо через величину среднеквадратической ошибки оценки , на основании свойств нормального распределения. Делается это следующим образом.
Пусть вычислены оценка среднего и её среднеквадратическая ошибка . Истинное неизвестное математическое ожидание случайной величины будет находиться в доверительном интервале от – до + с доверительной вероятностью 0,682 .
Если выбрать доверительный интервал вдвое шире, т.е. по двукратной ошибке, его границами будут значения от –2 до +2. Доверительная вероятность при таком интервале составляет 0,955, т.е. больше, чем при предыдущем интервале, определённом по однократной ошибке.
Доверительная вероятность в пределах трёхкратной ошибки, т.е. от –3 до +3, будет 0,997 , а значит, практически все выборочные данные, 99,7 %, попадут в этот интервал. Это свойство нормального распределения носит название «правило трёх сигм».
Чем больше доверительная вероятность, тем выше надёжность результата. Однако при этом увеличивается и доверительный интервал, который желательно иметь как можно уже.
Помимо задания доверительного интервала по одно-, двух- и трёхкратной ошибке существует ещё один способ задания: по доверительной вероятности. Обычно используются следующие значения доверительной вероятности: 0,90 , 0,95 и 0,99. Ширины доверительного интервала в этом случае составляют соответственно  1,65,  1,96 и  2,58 от выборочного среднего . А вероятности ошибки: 0,10, 0,05 и 0,01 (10 %, 5 % и 1 %).
Результатом оценивания является:
либо значение оценки неизвестной характеристики случайной величины (например, её математического ожидания) и среднеквадратическая ошибка оценки ;
либо две границы доверительного интервала, накрывающего неизвестное значение интересующей характеристики случайной величины с заданной (указываемой) доверительной вероятностью.
2. Систематически погрешности и определение их в результатах измерении
Систематическая погрешность представляет собой определенную функцию влияющих факторов, состав которых зависит от физических, конструктивных и технологических особенностей средства измерения (СИ), условий их применения, а также от индивидуальных качеств наблюдателя.
В метрологической практике при оценке систематических погрешностей должно учитываться влияние следующих основных составляющих процесса измерения:
1)Объект измерения - перед измерением он должен быть достаточно хорошо изучен с целью корректного выбора его модели. Чем полнее модель соответствует объекту, тем точнее могут быть получены результаты измерения.
2)Субъект измерения - его вклад в погрешность измерения необходимо уменьшать путем подбора операторов высокой квалификации и соблюдения требований эргономики при разработке СИ.
3)Метод и средство измерений - их правильный выбор чрезвычайно важен и производится на основе априорной информации об объекте измерения. Чем больше априорной информации, тем точнее может быть проведено измерение. Основной вклад в систематическую погрешность вносит, как правило, методическая погрешность.
4)Условия измерения - обеспечение и стабилизация нормальных условий являются необходимыми требованиями для минимизации дополнительной погрешности, которая по своей природе, как правило, является систематической [3].
В зависимости от характера измерения систематические погрешности измерения подразделяются на постоянные, прогрессивные, периодические и погрешности, изменяющиеся по сложному закону [1].
Постоянные погрешности - погрешности, которые длительное время сохраняют свое значение, например, в течение времени выполнения всего ряда измерений. Они встречаются наиболее часто.
К постоянным относятся погрешности большинства мер (гирь, концевых мер длины), погрешности градуировки шкал измерительных приборов, погрешность от постоянного дополнительного веса на чашке весов и др.
Прогрессивные погрешности - непрерывно возрастающие или убывающие погрешности.
К ним относятся, например, погрешности вследствие износа измерительных наконечников, контактирующих с деталью при контроле ее прибором активного контроля, постепенный разряд батареи, питающей СИ и др.
Периодические погрешности - погрешности, значение которых является периодической функцией времени или перемещения указателя измерительного прибора.
Обычно эти погрешности встречаются в угломерных приборах с круговой шкалой. Также примером может служить погрешность, обусловленная суточными колебаниями напряжения силовой питающей сети, температуры окружающей среды и др.
Погрешности, изменяющиеся по сложному закону, происходят вследствие совместного действия нескольких систематических погрешностей.
Источниками возникновения систематических погрешностей измерения
могут быть СИ (инструментальная погрешность), метод измерения, изменения условий измерения и погрешность отсчета оператором показаний по шкалам СИ, диаграммам регистрирующих приборов (субъективная погрешность).
Постоянные инструментальные систематические погрешности обычно выявляют посредством поверки СИ.
Поверка средства измерений - установление органом государственной метрологической службы пригодности СИ к применению на основании экспериментально определяемых метрологических характеристик и подтверждения их соответствия установленным обязательным требованиям.
Поверка СИ производится путем сравнения показаний поверяемого прибора с показаниями образцового СИ. Обнаруженные постоянные инструментальные систематические погрешности исключаются из результата измерения с помощью введения поправки.
Погрешность метода измерений - составляющая систематической погрешности измерений из-за несовершенства принятого метода измерений, эта погрешность обусловлена:
-отличием принятой модели объекта измерения от модели, адекватно описывающей его свойство, которое определяется путем измерения;
-влиянием способов применения СИ. Это имеет место, например, при измерении напряжения вольтметром с конечным значением внутреннего сопротивления. В таком случае вольтметр шунтирует участок цепи, на котором измеряется напряжение, и оно оказывается меньше, чем было до присоединения вольтметра;
-влиянием алгоритмов (формул), по которым производятся вычисления результатов измерений. Вследствие упрощений, принятых в уравнениях для измерений, нередко возникают существенные погрешности, для компенсации действия которых следует вводить поправки. Иногда погрешность метода называют теоретической погрешностью;
-влиянием других факторов, не связанных со свойствами используемых СИ [3].
Отличительной особенностью погрешностей метода является то, что они не могут быть указаны в документации на используемое СИ, поскольку от него не зависят; их должен определять оператор в каждом конкретном случае. В связи с этим оператор должен четко различать фактически измеряемую им величину и величину, подлежащую измерению.
Погрешность (измерения) из-за изменения условий измерения - это составляющая систематической погрешности измерения, являющаяся следствием неучтенного влияния отклонения в одну сторону какого-либо из параметров, характеризующих условия измерении, от установленного значения.
Этот термин применяют в случае неучтенного или недостаточно учтенного действия той или иной влияющей величины (температуры, атмосферного давления, влажности воздуха, напряженности магнитного поля, вибрации и др.); неправильной установки средств измерений, нарушения правил их взаимного расположения и др.
Субъективная (личная) погрешность измерения обусловлена погрешностью отсчета оператором показаний по шкалам СИ, диаграммам регистрирующих приборов. Она вызвана состоянием оператора, его положением во время работы, несовершенством органов чувств, эргономическим свойствами СИ.
3. Методы обнаружения и исключения систематических погрешностейПри проведении измерений стараются в максимальной степени исключить или учесть влияние систематических погрешностей.
Это может быть достигнуто следующими путями:
- устранением источников погрешностей до начала измерений. В большинстве областей измерений известны главные источники систематических погрешностей и разработаны методы, исключающие их возникновение или устраняющие их влияние на результат измерения. В связи с этим в практике измерений стараются устранить систематические погрешности не путем обработки экспериментальных данных, а применением СИ, реализующих соответствующие методы измерений;
- определением поправок и внесением их в результат измерения;
- оценкой границ неисключенных систематических погрешностей [2].
Постоянная систематическая погрешность не может быть найдена методами совместной обработки результатов измерений. Однако она не может исказить ни показатели точности измерений, характеризующие случайную погрешность, ни результат нахождения переменной составляющей систематической погрешности.
Постоянные систематические погрешности не устраняются при многократных измерениях. Они могут быть обнаружены лишь путем сравнения результатов измерений с другими, полученными с помощью более высокоточных методов и средств. Иногда эти погрешности можно устранить специальными приемами проведения процесса измерений.
Наличие существенной переменной систематической погрешности искажает оценки характеристик случайной погрешности и аппроксимацию ее распределения. Поэтому она должна обязательно выявляться и исключаться из результатов измерений.
Для устранения постоянных систематических погрешностей применяют следующие методы.
Метод измерении замещением, являющийся разновидностью метода сравнения с мерой. Сравнение осуществляется замещением измеряемой величины мерой с известным значением величины, причем так, что при этом в состоянии и действии всех используемых СИ не происходит никаких изменений [3].
Пример: при измерении электрических параметров, таких как: сопротивление, емкость, индуктивность, объект подключается в измерительную цепь. В большинстве случаев при этом пользуются нулевыми методами (мостовым, компенсационным и др.), при которых производится электрическое уравновешивание цепи. После этого, не меняя схемы, вместо измеряемого объекта включают меру переменного значения (магазин сопротивлений, емкости, индуктивности и т.д.) и, изменяя их значение, добиваются восстановления равновесия цепи. В этом случае способом замещения исключается остаточная неуравновешенность мостовых цепей, влияния на цепь магнитных и электрических полей и др.
Метод противопоставления, также являющийся разновидностью метода сравнения с мерой, при котором измерение выполняется дважды и проводится так, чтобы в обоих случаях причина постоянной погрешности оказывала на результат наблюдений разные, но известные по закономерности воздействия [3].
Пример. Измерить сопротивление с помощью одинарного моста методом противопоставления.
Сначала измеряемое сопротивление Rx уравновешивают известным сопротивлением R1, включенным в плечо сравнения моста. При этом Rx = R1R3/R4, где R3, R4 — сопротивления плеч моста. Затем резисторы Rx и R1 меняют местами и вновь уравновешивают мост, регулируя сопротивление резистора R1. В этом случае Rx = R1R3/R4.
Из двух последних уравнений исключается отношение R3/R4. Тогда
Rx = /R7RT .
Метод компенсации погрешности по знаку (метод изменения знака систематической погрешности), предусматривающий измерение с двумя наблюдениями, выполняемыми так, чтобы постоянная систематическая погрешность входила в результат каждого из них с разными знаками [3].
Пример. Измерить ЭДС потенциометром постоянного тока, имеющим паразитную термоЭДС.
При выполнении одного измерения получаем ЭДС E1. Затем меняем полярность измеряемой ЭДС и направление тока в потенциометре. Вновь проводим его уравновешивание — получаем значение Е2. Если термоЭДС дает погрешность Е и Е1 =ЕХ + Е, то Е2 = ЕХ - Е. Отсюда Ех= (Е1 + Е2)/2. Следовательно, систематическая погрешность, обусловленная действием термоЭДС, устранена.
Метод рандомизации — наиболее универсальный способ исключения неизвестных постоянных систематических погрешностей. Суть его состоит в том, что одна и та же величина измеряется различными методами (приборами) [3].
Систематические погрешности каждого из них для всей совокупности являются разными случайными величинами. Вследствие этого при увеличении числа используемых методов (приборов) систематические погрешности взаимно компенсируются.
Для устранения переменных и монотонно изменяющихся систематических погрешностей применяют следующие приемы и методы.
Анализ знаков неисправленных случайных погрешностей. Если знаки неисправленных случайных погрешностей чередуются с какой-либо закономерностью, то наблюдается переменная систематическая погрешность. Если последовательность знаков «+» у случайных погрешностей сменяется последовательностью знаков «-» или наоборот, то присутствует монотонно изменяющаяся систематическая погрешность. Если группы знаков «+» и «-» у случайных погрешностей чередуются, то присутствует периодическая систематическая погрешность [3].
Графический метод. Он является одним из наиболее простых способов обнаружения переменной систематической погрешности в ряду результатов наблюдений и заключается в построении графика последовательности неисправленных значений результатов наблюдений. На графике через построенные точки проводят плавную кривую, которая выражает тенденцию результата измерения, если она существует. Если тенденция не прослеживается, то переменную систематическую погрешность считают практически отсутствующей [3].
Метод симметричных наблюдений. Применяется для исключения прогрессирующего влияния какого-либо фактора, являющегося линейной функцией времени (например, постепенного прогрева аппаратуры, падения напряжения в цепи питания, вызванного разрядом аккумулятора и т.д.). Такая функция может быть изображена в виде графика, на котором по оси абсцисс отложено время, а по оси ординат - прогрессивная погрешность [3].
Способ симметричных наблюдений заключается в том, что в течение некоторого интервала времени выполняется несколько измерений одной и той же величины постоянного размера и за окончательный результат принимается полусумма отдельных результатов, симметричных по времени относительно середины интервала. Рекомендуется использовать данный способ, когда не очевидна возможность существования прогрессивной погрешности.
Кроме того, существуют ещё специальные статистические методы устранения систематических погрешностей результатов наблюдений:
- способ последовательных разностей - критерий Аббе (применяется для обнаружения погрешности, изменяющейся во времени);
- дисперсионный анализ - критерий Фишера (является наиболее эффективным и достоверным, поскольку позволяет не только установить факт наличия погрешности, но и проанализировать источники ее возникновения);
- критерий Вилкоксона (применяется, если закон распределения результатов измерений неизвестен) [3].
Рассмотрим подробнее некоторые из них.
Способ последовательных разностей (критерий Аббе) состоит в следующем. Дисперсию результатов наблюдений можно оценить двумя способами: обычным:
и вычислением суммы квадратов последовательных (в порядке проведения измерений) разностей (хi+1 - xi)2:
Если в процессе измерений происходило смещение центра группирования результатов наблюдений, т.е. имела место переменная систематическая погрешность, то 2[х] дает преувеличенную оценку дисперсии результатов наблюдений. Это объясняется тем, что на 2[х] влияют вариации х . В то же время изменения центра группирования х весьма мало сказываются на значениях последовательных разностей di = (хi+1 - xi), поэтому смещения х̅ почти не отразятся на значении Q2[x].
Отношение v = Q2[x]/2[x] является критерием для обнаружения систематических смещений центра группирования результатов наблюдений. Критическая область для этого критерия (критерия Аббе) определяется как P(v < vq) = q, где q = 1- Р — уровень значимости, Р — доверительная вероятность. Если полученное значение критерия Аббе меньше v при заданных q и n, то гипотеза о постоянстве центра группирования результатов наблюдений отвергается, т.е. обнаруживается переменная систематическая погрешность результатов измерений.
Дисперсионный анализ (критерий Фишера). В практике измерений часто бывает необходимо выяснить наличие систематической погрешности результатов наблюдений, обусловленной влиянием какого-либо постоянно действующего фактора, или определить, вызывают ли изменения этого фактора систематическое смещение результатов измерений.
В данном случае проводят многократные измерения, состоящие из достаточного числа серий, каждая из которых соответствует определенным (пусть неизвестным, но различным) значениям влияющего фактора. Влияющими факторами, по которым производится объединение результатов наблюдений по сериям, могут быть внешние условия (температура, давление и т.д.), временная последовательность проведения измерений и т.п.
После проведения N измерений их разбивают на s серий (s > 3) по nj результатов наблюдений (snj = N) в каждой серии и затем устанавливают, имеется или отсутствует систематическое расхождение между результатами наблюдений в различных сериях. При этом должно быть установлено, что результаты в сериях распределены нормально. Рассеяние результатов наблюдений в пределах каждой серии отражает только случайные влияния, характеризует лишь случайные погрешности измерений в пределах этой серии.
Характеристикой совокупности случайных внутрисерийных погрешностей будет средняя сумма дисперсий результатов наблюдений, вычисленных раздельно для каждой серии, т.е.
где - результат i-го измерения в j-й серии.
Внутрисерийнаядисперсия 2вс характеризует случайные погрешности измерений, так как только случайные влияния обусловливают те различия (отклонения результатов наблюдений), на которых она основана. В то же время рассеяние Xj различных серий обусловливается не только случайными погрешностями измерений, но и систематическими различиями (если они существуют) между результатами наблюдений, сгруппированными по сериям. Следовательно, усредненная межсерийная дисперсия
где, выражает силу действия фактора, вызывающего систематические различия между сериями.
Таким образом, характеризует долю дисперсии всех результатов наблюдений, обусловленную наличием случайных погрешностей измерений, а — долю дисперсии, обусловленную межсерийными различиями результатов наблюдений.
Первую из них называют коэффициентом ошибки, вторую — показателем дифференциации. Чем больше отношение показателя дифференциации к коэффициенту ошибки, тем сильнее действие фактора по которому группировались серии, и тем больше систематическое различие между ними.
Критерием оценки наличия систематических погрешностей в данном случае является дисперсионный критерий Фишера . Критическая область для критерия Фишера соответствует P(F > Fq) = q.
Значения Fq для различных уровней значимости q, числа измерений N и числа серий s приведены в приложении 1, где k2= N—s, k1 = s — 1. Если полученное значение критерия Фишера больше Fq (при заданных q, N и s), то гипотеза об отсутствии систематических смещений результатов наблюдений по сериям отвергается, т.е. обнаруживается систематическая погрешность, вызываемая тем фактором, по которому группировались результаты наблюдений.
Исключение систематических погрешностей путем введения поправок. В ряде случаев систематические погрешности могут быть вычислены и исключены из результата измерения. Для этого используются поправки. Поправка Сj —величина, одноименная измеряемой, которая вводится в результат измерения хi = хi + j + Cj с целью исключения составляющих систематической погрешности j. При Cj = - j j-я составляющая систематической погрешности полностью устраняется из результата измерения. Поправки определяются экспериментально или в результате специальных теоретических исследований. Они задаются в виде таблиц, графиков или формул. Введением одной поправки устраняется влияние только одной составляющей систематической погрешности [3].
Заключение
Целью данной работы являлось изучение систематических погрешностей.
В соответствии с поставленной целью в работе были решены следующие основные задачи.
Дано определение понятию доверительный интервал, рассмотрены способы его задания.
Рассмотрены виды систематических погрешностей - постоянные, прогрессивные, периодические и погрешности, изменяющиеся по сложному закону.
Установлены источники возникновения систематических погрешностей – средства измерения, метод измерения, изменения условий измерения и погрешность отсчета оператором показаний по шкалам средства измерения, диаграммам регистрирующих приборов.
Также изучены способы обнаружения и устранения систематических погрешностей.
Для устранения постоянных систематических погрешностей применяют: метод измерении замещением, метод противопоставления, метод компенсации погрешности по знаку, метод рандомизации.
Для устранения переменных и монотонно изменяющихся систематических погрешностей применяют: анализ знаков неисправленных случайных погрешностей, графический метод, метод симметричных наблюдений, статистические методы устранения систематических погрешностей результатов наблюдений; исключение систематических погрешностей путем введения поправок.
Список литературы1. Лифиц И. М. Стандартизация, метрология и подтверждение соответствия: учебник для бакалавров. - М.: Издательство Юрайт, 2013. - 411 с.
2. Сергеев А. Г. Метрология, стандартизация и сертификация: учебник/ А. Г. Сергеев, В. В. Терегеря. - М. : Издательство Юрайт, 2011. - 820 с.
3. Сергеев А.Г., Крохин В.В. Метрология: Учеб. пособие для вузов. - М.: Логос, 2001. - 408 с.