Расскажите об истории теоремы Пифагора

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ......................................................................................................... 2
1 Египет .............................................................................................................. 4
2 Вавилон........................................................................................................... 5
3 Греция .....................................................................………………………… 7
4 Китай ..............................................................................…………………… 9
5 Индия................................................................................................................. 12
6 Иные доказательства теоремы Пифагора ....................................................... 13
6.1 Доказательство через подобные треугольники ....................................... 13
6.2Доказательство через равнодополняемость ........................................ 14
6.3 Доказательство Леонардо да Винчи...................................... 15
ЗАКЛЮЧЕНИЕ .................................................................................................. 17
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ ........................................ 18

ВВЕДЕНИЕ
Теорема Пифагора одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника: сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы. Соотношение в том или ином виде предположительно было известно различным древним цивилизациям задолго до нашей эры; первое геометрическое доказательство приписывается Пифагору.
Согласно преданию, Пифагор родился на острове Самос приблизительно в 580 году до н.э. в семье Мнесарха, резчика по драгоценным камням. [1] Отца Пифагора звали Мнесарх, а мать – Партения (Партенида, Пифиада). Если верить легендам, в один день молодожены отправились в свадебное путешествие и решили посетить город Дельфах. В городе им встретился оракул, пророчивший им рождение сына в скором времени. Предание гласило, что ребенок станет непростым человеком, прославится мудростью, обликом, великими делами.
Немного времени спустя первая часть пророчества сбылась – родился мальчик, получивший имя в честь жрицы Аполлона Пифии. [2]
Первым учителем мальчика был Гермодамас, который обучил его основам музыки и искусства. Чтобы развить память, учитель заставлял Пифагора учить наизусть песни из “Одиссеи” и “Илиады”. Именно Гермодамас привил мальчику любовь ко всему живому, природе и тайнам, которые она скрывает.
Пифагор решил отправиться продолжать образование в Египте у жрецов по совету учителя спустя несколько лет. В Египте молодой человек обучался, что позволило ему стать вскоре одним из самых образованных людей мире. [3]
В настоящее время выделяются два аспекта учения Пифагора. Во-первых, это научных метод познания мира. Второй аспект – религиозно-мистический. Научные успехи ученого широко известны во всем мире, так как и труды его учеников приписываются к школе пифагореизма. Религиозный аспект же, в большинстве своем, остался лишь в сознании античных автором. Несмотря на это, великие открытия Пифагора-математика нашли свое применение в разные времена и по всему миру. Не все работы Пифагора удалось сохранить.
Великий мастер и мудрец практически ничего не записывал, а в основном занимался устным обучением желающих познать тонкости той или иной науки. Информация о знаниях философа передавалась в последствие его последователями – пифагорейцами.
Пифагор стал родоначальником учений о Числах, Музыке небесных сфер и Космосе, создал основу монадологии и квантовой теории строения материи. Ему приписаны одни из важнейших открытий в области таких наук, как математика, музыка, оптика, геометрия, астрономия, теория чисел, теория суперструн (Земного монохорда), психология, педагогика, этика. Всех своих учеников - пифагорейцев, великий ученый научил простой тактике, которая была очень выгодна для него: сделал открытия – припиши их своему учителю.
Наиболее известное открытие представляет собой теорему Пифагора. Треугольник с прямым углом, а также его особенности изучались задолго до Пифагора. Есть две полярных точки зрения на этот вопрос. По одной версии Пифагор первым нашел полноценное доказательство теоремы, а по другой - доказательство не принадлежит авторству Пифагора. Рассмотрим историю создания данной теоремы в различных культурах.
1. Египет
Кантор, известный немецкий исследователь истории математики, пола-гает, что в Египте еще во времена правления царя Аменемхета I, примерно в 2300 годах до нашей эры люди знали о равенстве Пифагора.
Именно так и называли жители этот прямоугольный треугольник, у которого были стороны с целыми числами – египетский треугольник. Однако, невозможным является извлечение каких-либо фактов и доказательств знакомстве с теоремой Пифагора. Вероятнее всего, египтяне знали о треугольнике с целочисленными сторонами и прямым углом. Но это было не раньше середины I тысячелетия до нашей эры, во время, когда возникли первые греческие знания о методе построения прямого угла у египтян. [4]
соответствии с рисунком 1 представлен египетский треугольник.
Рисунок 1 – Египетский треугольник
Суть в том, что строителям пирамид в древнем Египте был необходим метод построения прямого угла. Было придумано решение. Строители брали длинную веревку, разбивали ее на 12 равных частей, соединяя границы соседних, после чего веревки соединялись. Далее ее натягивали три человека, чтобы получался треугольник. Расстояние между сторонами должны были быть равными 3, 4 и 5 частям веревки. Тогда и получался треугольник с прямым углом, в котором стороны 3 и 4 являются катетами, а сторона 5 является гипотенузой.
Возможно, многие задаются вопросом: почему же треугольник будет прямоугольным? И их ответом может послужить ссылка на теорему Пифагора. Но посмотрим с другой стороны. Теорема Пифагора утверждает, что треугольник с прямым углом тогда, когда сумма квадратов двух сторон равна квадрату третьей. В данном случае используется обратная теорема. Египетский треугольник предполагает: если сумма квадратов двух сторон равна квадрату третьей, то треугольник прямоугольный. [5]
2. Вавилон
Немногим больше стали известны сведения о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимом ко времени Хаммураби, т. е. к 2000 г. до н. э., приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника.
Исходя из этого источника можно сделать предположение, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере в некоторых случаях. [6]
Однако в древнем Вавилоне, в отличие от Египта, жители еще в середине II тысячелетия знали о равенстве x2 + y2 = z2. Также существует таблица, из которой четко понятно, что вавилонянам были известны многие “пифагоровы тройки” целых чисел, которые удовлетворяют равенству x2 + y2 = z2, в том числе совсем нетривиальные (например, 72, 65, 97 или 3456, 3367, 4825).
Однако, нам ничего не известно о способах и методах поиска этих чисел. Ранее теорему Пифагора использовали, чтобы рассчитать радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности, диагональ квадрата, сторон правильных n-угольников. Известно о сохраненных задачах, решение которых требовало использование данной теоремы. К примеру, для опреде-ления длины шеста. Шест был прислонен к стене, после чего начинал накло-няется, из-за чего верхний конец его опускался на 3 локтя, а нижний отходил на 6.
На рисунке 2 представлена задача о шесте.
Рисунок 2 – Задача о шесте
Математик Ван-дер-Варден из Голландии, с одной стороны, используя сегодняшний уровень знаний о вавилонской и египетской математике, и с дру-гой, основываясь на тщательном изучении греческих источников, пришел к таким выводам: “Заслуга первых греческих математиков: Фалеса, Пифагора пифагорейцев – не открытие математики, а ее обоснование и систематизация. Основанные на расплывчатых представлениях вычислительные рецепты они смогли превратить в точную науку”.
3. Греция
Вполне вероятно, что в Греции теорему Пифагора впервые доказал сам Пифагор или кто-то из пифагорейцев.
Греческая математика, в отличие от математики восточных стран, стремилась найти четкое доказательство. Первому греческому математику Фалесу последующая традиция приписывает доказательство таких фактов, как равенство полукругов, равенство вертикальных углов, равенство углов при основании равнобедренного треугольника. Полагаясь на эти сведения, можно сделать вывод, что основное новшество Фалеса состояло в самой идее доказательства, казалось бы, очевидных утверждений с математической точки зрения, а именно в демонстрации логических связей математических фактов. Сравнивая с данным подходом, нетрудно догадаться, что теорема Пифагора демонстрирует неочевидность, и тот, кто ее доказал, продемонстрировал ценность нового математического подхода, позволяющего доказывать новые результаты. [7]
Неизвестно, как впервые была доказана теорема Пифагора. Рассмотрим доказательство, приведенное в “Началах” Евклида. Российские школьники прошлых времен, изучающих геометрию по Евклиду, в шутку называли это доказательство “пифагоровы штаны”.
Классическое доказательство Евклида направлено на установление равенства площадей между прямоугольниками, образованными из рассечения квадрата над гипотенузой высотой из прямого угла с квадратами над катетами.
Конструкция, используемая для доказательства следующая: для прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C, квадратов над катетами ACED и BCF G и квадрата над гипотенузой ABIK строится высота CH и продолжающий её луч s, разбивающий квадрат над гипотенузой на два прямоугольника AHJK и BHJI. Доказательство нацелено на установление равенства площадей прямоугольника AHJK с квадратом над катетом AC; равенство площадей второго прямоугольника, составляющего квадрат над гипотенузой, и прямоугольника над другим катетом устанавливается аналогичным образом.
Равенство площадей прямоугольника AHJK и ACED устанавливается через конгруэнтность треугольников ACK и 4ABD, площадь каждого из которых равна половине площади прямоугольников AHJK и ACED со-ответственно в связи со следующим свойством: площадь треугольника равна половине площади прямоугольника, если у фигур есть общая сторона, а высота треугольника к общей стороне является другой стороной прямоугольника. Конгруэнтность треугольников следует из равенства двух сторон (стороны квадратов) и углу между ними (составленного из прямого угла и угла при A).
Таким образом, доказательством устанавливается, что площадь квадрата над гипотенузой, составленного из прямоугольников AHJK и BHJI, равна сумме площадей квадратов над катетами. [8]
соответствии с рисунком 3 представлен рисунок к данному доказательству.
Рисунок 3 – Чертеж Евклида
Нескольким авторам, в числе которых философ А. Шопергауэр, доказательство Евклида показалось не совсем наглядным, в отличие от индийского. С другой стороны, евклидово доказательство преобладает рядом преимуществ, а именно показывает, каким именно частям квадрата гипотенузы равновелики квадраты катетов. Помимо этого, изучение доказательств Евклида дает возможность рассматривать равенство и равновеликость фигур как в очевидных, так и в неочевидных случаях. Это приносит пользу, если речь идет о более сложных задачах.
Изложение Евклида построено в виде строго логических выводов теорем из системы определений, постулатов и аксиом. В первых четырех книгах рассматривается геометрия на плоскости. Исходя из наиболее простых свойств линий и углов, мы приходим здесь к равенству треугольников, ра-венству площадей, теореме Пифагора, построению квадрата, равновеликого заданному прямоугольнику, к золотому сечению, кругу и к правильным многоугольникам. Греческая геометрия поистине полная в том, что касается элементарных свойств плоских фигур. Достаточно сказать, что со времени Евклида была открыта лишь малая толика интересных элементарных теорем о треугольниках и кругах. [9]

4. Китай
древнекитайском "Трактате об измерительном шесте который датируется II в. до н.э. утверждается, что китайцы имели представление о свойствах египетского треугольника еще в XII веке до нашей эры, а общий вид теоремы был известен им к VI веку до нашей эры. [10]
Комментарии данной книги указывают на доказательство, основанное на чертеже, который представлен на рисунке 4:
Рисунок 4 – Доказательство теоремы, Китай
Данный чертеж показывает, что квадрат (a + b)2 больше гипотенузы в квадрате c2 на четыре прямоугольных треугольника c катетами a и b, т. е. на 2ab:
(a + b)2 = c2 + 2ab.
Отсюда можно сделать вывод о том, что гипотенуза в квадрате равна большому квадрату, который меньше на 2 прямоугольника с соответствующими сторонами a и b, то есть соответствует закрашенной фигуре. В свою очередь, данная фигура равна сумме квадратов со сторонами a и b.
Этот чертеж также демонстрирует иное доказательство. Квадрат гипотенузы больше, чем маленький квадрат в центре (a b)2, на те же четыре треугольника, или на два прямоугольника:
c2 = (a b)2 + 2ab.
Это нас снова приводит к той же закрашенной фигуре, равной сумме квадратов катетов [11].
Рисунок 5 – Доказательство теоремы, Китай
Теореме Пифагора в Древнем Китае дали название правила “гоу-го”. В переводе "гоу"значит "крюк а "гу"переводится как "связка"или "ребро". Эти термины обозначали соответственно горизонтальный и вертикальный катеты. Гоу – меньший катет, гу – больший. Рассмотрим пример задачи, решаемой с помощью теоремы Пифагора. Задача эта приведена в классическом китайском трактате “Математика в девяти книгах” (II в. до н. э.).
Имеется водоем со стороной в 1 чжан (10 чи). В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его. Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша? [12]
Рисунок 6 – Доказательство теоремы, Китай
Сам трактат не предоставляет решение к этой задаче, а дает только правило, которое поможет вычислить правильный ответ. Правило гласит: “Половину стороны водоема умножь самое на себя, надводную часть в 1 чи умножь самое на себя, вычти это из первого, остаток раздели на удвоенную надводную часть камыша, получишь глубину воды. Прибавь количество чи надводной части, получишь длину камыша”. То есть, в алгебраических обозначениях, если сторона водоема равна 2a (10 чи), а надводная часть b (1 чи), то глубина водоема равна (a2 b2)=2b, а длина камыша (((a2 b2)=2b) + b).
Решение Пусть глубина водоема x чи. Тогда длина камыша (x + b) чи. По теореме Пифагора квадрат этой длины равен сумме квадратов глубины водоема и расстояния от центра до берега, т. е.
(x + b)2 = x2 + a2, откуда
x2+2bx + b2 = x2 + a2,
2bx + b2 = a2,
= (a2 b2)=2b,
в полном соответствии с ответом, данным в трактате “Математика в девяти книгах”.
При подстановке конкретных чисел (a = 5; b = 1) получаем x = (25 1)=2 = 12 (чи), а длина камыша, соответственно, x + b = 13 (чи).
5. Индия
Комментарии к священным книгам("Ведам "Шулва-сутра"), которыми руководствовались при построении алтарей и храмов, говорят о том, что индейцы знали о теореме уже в VII–V вв. до нашей эры. Строительство должно было придерживаться нескольких правил. В основе священных храмов лежат конкретные геометрические фигуры, а также храмы должны были ориентироваться по сторонам света. Для построения прямых углов строители использовали теорему Пифагора, как и в Египте, а также квадраты с площадью, кратной данному квадрату. Чтобы построить такой квадрат, который равновелик двум другим, в большом квадрате был построен квадрат поменьше. Далее вершины квадратов соединяли, находили гипотенузу треугольника, у которого в роли катетов выступали стороны данных квадратов. [13]
Книга "Венец астрономического учения"приводит доказательство индийского математика XII в. Бхаскары по теореме Пифагора. Таким образом, из чертежа, который похож на китайский, и состоит доказательство теоремы.
В Индии, в отличие от Греции, главным в математическом доказательстве была наглядная убедительность, а не логическая строгость.
Тот же Бхаскара приводит и ряд задач на применение теоремы Пифагора, похожих на задачи “Математики в девяти книгах”. Среди них и задача о водоеме – в индийском варианте в ней вместо камыша фигурирует лотос. [14]Рисунок 7 – Построение квадрата
6. Иные доказательства теоремы Пифагора
Научная литература содержит более 400 доказательств данной теоремы, что можно объяснить фундаментальным значением ее для математики, а также элементарностью полученного в итоге результата. Доказательства направлены на алгебраическое использование соотношений элементов треугольника (таков, например, популярный метод подобия), метод площадей, существуют также различные экзотические доказательства (например, с помощью дифференциальных уравнений).
6.1 Доказательство через подобные треугольники
Доказательство, которое использует технику подобия треугольников, но при этом почти непосредственно выводится из аксиом, не задействуя понятия площади фигуры, является одним из самых популярных в научной литературе. В нём для треугольника ABC с прямым углом при вершине C со сторонами a; b; c, противолежащими вершинам A; B; C соответственно, проводится высота CH, при этом (согласно признаку подобия по равенству двух углов) возникают соотношения подобия: ABC ACH и ABC CBH, из чего непосредственно следуют соотношения:
При перемножении крайних членов пропорций выводятся равенства:1384300-3682991384300-368299
a2 = c |HB|; b2 = c|AH|, покомпонентное сложение которых даёт требуемый результат:
a2 + b2 = c (|HB| + |AH|) = c2 , a2 + b2 = c2
Рисунок 8 – Доказательство через подобие
6.2 Доказательство через равнодополняемость
данном доказательстве теоремы используются четыре одинаковых прямоугольных треугольника с катетами a; b и гипотенузой c, расположенные так, чтобы образовывать квадрат со стороной a + b и внутренний четырехугольник со сторонами длиной c. Внутренний четырехугольник в этой конфигурации является квадратом, так как сумма двух противоположных прямому острых углов 90, а развёрнутый угол 180. Площадь внешнего квадрата равна (a + b)2, он состоит из внутреннего квадрата площадью c2 и четырех прямоугольных треугольников, каждый площадью ab/2, в результате из соотношения (a + b)2 = 4(ab/2) + c2 при алгебраическом преобразовании следует утверждение теоремы.
Рисунок 9 – Доказательство через равнодополняемость
6.3 Доказательство Леонардо да Винчи
Доказательство Леонардо да Винчи имеет отношение к методу площадей. Постановка задачи звучит так: пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C и квадраты ACED, BCF G и ABHJ. На стороне HJ последнего во внешнюю сторону строится треугольник, конгруэнтный ABC, причем он отражен относительно высоты к гипотенузе, а также относительно самой гипотенузы (то есть JI = BC и HI = AC). Прямая CI разделяет построенный на гипотенузе квадрат на две равные части, так как треугольники ABC и 4JHI равны по построению. Доказательство устанавливает конгруэнтность четырёхугольников CAJI и DABG, площадь каждого из которых, как оказалось, равной сумме половин площадей квадратов на катетах и площади исходного треугольника с одной стороны, а с другой стороны равен площади квадрата на гипотенузе, деленной пополам, в сумме площадью исходного треугольника. Таким образом, половина суммы площадей квадратов над катетами равна половине площади квадрата над гипотенузой, что равносильно геометрической формулировке теоремы Пифагора.
Рисунок 10 – Доказательство Леонардо да Винчи
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Теорема Пифагора была известна практикам еще за 600 лет до появления этого великого математика. Тем не менее его заслуги перед наукой необычайно велики. Философ из Древней Греции Евдрем в своем "Перечне математиков"упоминал Пифагора следующим образом: "Как передают, Пифагор превратил занятие этой отраслью знания (геометрией) в настоящую науку, рассматривая её основы с высшей точки зрения и исследуя её теории менее материальным и более умственным образом". Распространенной версией ухода из жизни мудреца считается его гибель при случайных обстоятельствах во время стычки в Метапонто. На момент кончины Пифагору было 80-90 лет. [15]