Точные науки как основа научного знания

Введение

Основная масса знаний приобретается людьми в процессе повседневной практики и через системы обучения. Но в обществе уже давно существует особый социальный институт, основное предназначение которого - добывать систематизированное, теоретическое, концептуальное и обоснованное знание. Таким институтом выступает наука.
Наука — общественное явление, социальный институт и отрасль культуры. Это сфера человеческой деятельности по добыванию и теоретической систематизации объективно истинных знаний о бытии. Наука включает в себя научное сознание своих субъектов, учреждения науки и научные отношения. Научные отношения есть единство научного общения, поведения и деятельности его субъектов.
Научное сознание состоит из научных знаний, системы эмоций и чувств, волевых состояний и ценностных ориентаций, возникающих и появляющихся в процессе добывания знаний и их систематизации.
Специфичность предмета математики (науки о формах и отношениях, взятых в отвлечении от содержания) ставит ее как и философию, в особую позицию естествознанию, а в последние десятилетия - и к обществознанию. Речь идет о том, что их сближает внимание к общим аспектам познавательного процесса, поскольку они раскрывают: математика - лежащие в фундаменте всего естествознания методы и алгоритмы количественной обработки информации, философия - общую стратегию научного поиска.
Целью данной работы является изучение понятия точные науки как основа научного знания.
1. Возникновение и становление математического знания. Математика как язык наукиКарл Гаусс, в своё время, назвал математику царицей всех наук, отдавая ей особое место в сфере человеческого знания. Действительно, совершенно непохожая на другие науки, она скорее служит для них языком или методом изучения. Являясь, пожалуй, самой строгой из всех наук, она не имеет собственного строгого и общепринятого определения. На протяжении всей своей истории, преобразуясь сама, преобразовывалось и понятие о математике. Учёные, в течении всего развития математики, смогли составить скорее не определения математики, а набор афоризмов характеризующий её или представления о ней.
«Математика — это язык, на котором написана книга природы»(Г. Галилей)
«Математика – это наука о необходимых заключениях»(Б. Пирс)
«Математика – это строгий язык, служащий для перехода от одних опытных суждений, к другим»(Н. Бор)
«Математика – это иерархия формальных структур»(Н. Бурбаки)
«Математика — это наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира»(А. Колмогоров)
— это лишь малая часть суждений, показывающая разнородность представлений о математике. Помимо вопроса определения математики, интересными и дискуссионными являются вопросы о её природе(основаниях), её методологии, целях и связи с реальным миром. Ответы на них также неоднозначны и значительно изменялись со временем, создавая различные философские течения.Первым этапом становления математики как отдельной науки стала идея доказательства, дедуктивного вывода, основоположниками которой были древнегреческие математики. Появление математики как систематической науки сильнейшим образом повлияло на философское мышление того времени, что отразилось в мистификации математики в учениях Пифагора. Пифагореизм можно считать первым философским течением об основании математики, полно выражающемся в тезисе Пифагора «всё есть число». Пифагорейцы считали математику началом всех начал, основой всего сущего. Математические истины они считали врождёнными, полученными душой в более совершенном мире – мире идей.
Первый кризис математики(несоизмеримость отрезков) нанёс удар по философии пифагореизма, разрушая гармонию математики. Широкая и, в определённом смысле, полная критика пифагореизма была дана Аристотелем. Математика, по Аристотелю, — это не знание об идеальных сущностях, существующих независимо от вещей, но знание отвлечённое от вещей. Однако пифагореизм ещё долго влиял(в некотором роде, до сих пор влияет) на философское осмысление математики. Основным вкладом древнегреческих математиков стало привнесение в математику строгости, особенно выраженной в «Началах» Евклида.
Следующей значительной эпохой в развитии математики стал период «возрождения». С новыми потребностями науки, в первую очередь механики, появились новые идеи, которые сейчас относятся к дифференциальному и интегральному исчислению. Математика стала рассматриваться как знание вторичное, опытное, зависящее от некоторых внешних реальностей. Эта эпоха сопровождалась вторым кризисом математики, а именно отсутствием «строгости древних» в обосновании дифференциального исчисления. На практике, оно давало результаты, но использование актуальных бесконечно малых в доказательствах было слишком эвристичным. В частности, Лейбниц, для обоснования дифференциального исчисления, вводил противоречивое понятие «неархимедовой величины». В отсутствии строгого обоснования, стали образовываться различные метафизические и натурфилософские объяснения дифференциала.
Следующий этап индуцировали неевклидовы геометрии(третий кризис математики). Несоотносимые с реальным миром, они стали ударом по классическому эмпиризму прошлой эпохи. Неевклидовы геометрии стали предметом бурных дискуссий и долго не принимались многими математиками, однако именно они послужили точкой бифуркации в развитии математики, создав абсолютно новый взгляд на неё. Теперь наиболее важным признаком математической теории стала непротиворечивость, а не соотнесение с опытом. Хотя поначалу были попытки метафизического объяснения неевклидовых геометрий, позже, во многом силами Пуанкаре, Дедекинда, Кантора, Гильберта, была признана равноправность математических объектов связанных и не связанных с опытом и интуицией. Такое видение математики нашло своё отражение во всей последующей её философии.
Различные философско-математические течения отличаются в основном методами обоснования математики. Одним из таких течений является логицизм, появившийся в духе развития формальной математической логики. Его основной задачей была попытка свести основу математики – арифметику к логическим тавтологиям. Её апологет Г.Фреге не сомневался в том, что логика даёт достаточную базу для выяснения истинного смысла всех математических понятий. Однако оказалось, что логические обоснования если даже и не ведут к парадоксам, то всё же необходимо должны привлекать дополнительные предположения, находящиеся вне законов логики. В идее логического обоснования математики лежали, в первую очередь, идеи об особенности логики(формальной логики), её первичности, однако, это утверждение является достаточно сомнительным. Пуанкаре охарактеризовал логицизм как «безнадёжную попытку свести бесконечное к конечному».
Другим течением стал интуиционизм. Его основным пунктом стала вера в то, что некоторые объекты математики безусловно ясны, и оперирование с ними не может привести к противоречию. Появившись в большой мере как противовес логицизму, он по сути являлся лишь модификацией эмпиризма. Отказываясь от многих полученных раньше принципов, он существенно обеднил математику, что послужило одной из причин отказа от него.
На основе критического пересмотра всех полученных к тому времени программ обоснования математики, Гильберт предложил свой путь, который стал известен как формализм. Основная философская предпосылка этого течения заключалась в том, что обоснование математики есть лишь обоснование её непротиворечивости. Процедура обоснования, предложенная Гильбертом, состояла, во-первых, в формализации теории в символьном виде схемы аксиом и правил вывода, и во-вторых, в доказательстве её непротиворечивости исходя только из её формальной структуры. Однако и это течение оказалось несостоятельным. Две теоремы математической логики Курта Гёделя совершили переворот в обосновании математики. В частности, вторая теорема гласит, что доказательство непротиворечивости любой достаточно богатой формальной теории невозможно средствами самой этой теории, что делает невозможным процедуру обоснования Гильберта. Таким образом любая формальная теория может быть обоснована только лишь другой теорией, что приводит к обязательному существованию необоснованной теории или замкнутого круга теорий, обосновывающих друг друга.
2. Современные проблемы точных наук: строгость и неопределенность, аксиоматическая «неполнота», статус доказательности, математическая логикаВозникающие неопределённости стали специализироваться по наукам: в математике, логике, физике, химии, биологии и т.д., а также неопределённости, возникающие на стыках наук. Воистину был прав математик и философ Рене Декарт: «Но как только я окончил курс учения, завершаемый обычно принятием в ряды учёных, я совершенно переменил своё мнение, ибо так запутался в сомнениях и заблуждениях, что, казалось, своими стараниями в учении достиг лишь одного: всё более и более убеждался в своём незнании».
А что же такое неполнота? Когда исследователь сталкивается в ходе своей научной работы с ситуацией, которую он не может однозначно объяснить с позиции своего знания, то это значит, что его личное знание неполное, оно несёт в себе некоторую неполноту. А когда к такому выводу приходит не один человек, а уже целое научное сообщество (или его прогрессивная часть), то можно говорить о том, что неполно уже само научное знание, аппарата его системы аксиом не хватает, чтобы преодолеть возникшую неопределённость. Таким образом, можно утверждать, что неполнота научного знания есть прямая причина тех неопределённостей, что возникают в умах исследователей, а, в свою очередь, всякая неразрешимая в рамках конкретной науки неопределённость является тем маркером, индикатором, который сообщает нам, что эта система знаний неполна. Неполнота личного знания, как правило, ликвидируется за счёт повышения уровня собственной компетентности (поиск и чтение дополнительной научной литературы, общение с более компетентными в данной области науки коллегами и пр.). Ликвидировать же глобальную неполноту научного знания куда труднее, ведь для этого необходимо сделать нестандартные шаги: либо ввести в науку качественно новые положения (принципы, постулаты, аксиомы), либо пересмотреть старые, уже ставшие догмами, а ещё чаще - необходимо сделать оба шага.
В ходе всех этих размышлений нас должен посетить очень важный вопрос: возможно ли справиться со всеми неопределённостями, таящимися в естественных и точных науках? Ведь сегодня мировая наука сильна, как никогда, более того, сейчас почти при каждой её ветви открыта своеобразная философская часовня (такие дисциплины, как философия математики, логики, физики, биологии и т.д.). Наука активно переплетается с философией. Казалось бы, теперь, когда к решению вопросов той или иной области науки помимо профессиональных учёных присоединились ещё и профессиональные философы науки, все неопределённости должны быть найдены и преодолены. Ответ, однако, будет отрицательный. Уже сегодня научное сообщество и философы науки приходят к выводу, что пока научное знание способно развиваться и совершенствоваться, это как раз и будет означать, что на каждой исторической ступеньке своей эволюции это знание обладает некоторой неполнотой, а как было отмечено выше, неполнота непременно влечёт неопределённость.
Аксиоматический метод — это такой способ построения математической теории, при котором в основу кладутся некоторые положения, принимаемые без доказательства (аксиомы), а все остальные выводятся из них чисто логическим путем. При радикальном применении этого подхода математика сводится к чистой логике, из нее изгоняются такие вещи, как интуиция, наглядные геометрические представления, индуктивные рассуждения и так далее. Исчезает то, что составляет суть математического творчества.
Как мы помним из школы, математические доказательства, аксиомы и теоремы появились в Древней Греции. Аксиоматическое построение геометрии было канонизировано в книге, по которой обучались математике многие поколения, — в «Началах» Евклида. Впрочем, в те времена понятие аксиомы понималось по-иному, чем теперь. До сих пор в школьных учебниках иногда говорится, что аксиомы — это очевидные истины, принимаемые без доказательства. В XIX веке это понятие сильно изменилось, потому что ушло слово «очевидные». Аксиомы перестали быть очевидными, они по-прежнему принимаются без доказательства, но могут быть в принципе совершенно произвольными утверждениями. За этим небольшим, на первый взгляд, изменением стоит достаточно радикальная смена философской позиции — отказ от признания одной-единственной возможной математической реальности. Главную роль в таком изменении, безусловно, сыграла история возникновения неевклидовой геометрии, которая произошла в XIX веке благодаря работам таких ученых, как Н. И. Лобачевский и Я. Бойяи.
Многие математики критикуют аксиоматический метод за то, ради чего он был создан: он избавляет математику от смысла. Потому что сначала мы избавляем математику от разных геометрических представлений, от интуиции. Переходя к формальной аксиоматической теории, мы, в общем-то, и логику изгоняем из математики. И в результате от содержательного доказательства остается лишь скелет, состоящий из формальных символов. Преимущество последнего ровно том, что мы не знаем, что такое «смысл» и «интуиция», но зато точно знаем, что такое манипуляции с конечными строками символов. Это и позволяет нам построить точную математическую модель сложного явления — доказательства — и подвергнуть ее математическому анализу.
Физиками, химиками и другими представителями так называемых точных наук, часто принимается, что степень доказательности выводов в «естественных науках» намного выше, чем в гуманитарных науках, таких, как, например, психология. Действительно, когда физик измеряет что-то вроде веса стального бруса, то получается чрезвычайно точная величина.
Любой ученый, в любом месте, применяя надлежащее оборудование, способен повторить этот результат. Естественные науки часто имеют дело с очень небольшими ошибками измерения, что приводит ученых к хорошо доказанным выводам о реальности проявления наблюдаемых эффектов. Вспомним, что стабильность измерений приводит к формированию общего мнения о реальности эффекта.
Напротив, когда физиолог пытается измерить некоторые аспекты человеческого поведения, или социолог проводит анализ деятельности общества, то измерительные инструменты - анкетные опросы, обзоры, и психофизиологические измерения требуют применения статистического аппарата, чтобы получить надежный вывод из полученных результатов. Это происходит из-за того, что случайные вариации, или «шум» в живущих системах бывают всегда значительны.
Таким образом, разные уровни точности и надежности измерений - первичный базис для различий между точными и, так называемыми, гуманитарными науками. Но сейчас становится ясным, что принятые различия между разными науками сильно преувеличены. Применяя мета-анализ, физиолог Лэрри Хеджес из университета Чикаго обнаружил удивительный результат: некоторые эксперименты в гуманитарных науках настолько же воспроизводимы как и в естественных науках.
Математическая логика — это раздел современной формальной логики , в котором логические выводы исследуются посредством логических исчислений на основе математического языка, аксиоматизации и формализации. В качестве другого названия современного этапа в развитии логики используется также термин «символическая логика». Иногда термин «математическая логика» употребляется в более широком смысле, охватывая исследование свойств дедуктивных теорий, именуемое металогикой или метаматематикой. В целом, определение «математическая логика» подчёркивает её сходство с математикой, основывающееся, прежде всего, на методах построения логических исчислений на основе строгого символического языка, аксиоматизации и формализации. Они позволяют избежать двусмысленной и логической неясности естественного языка, которым пользовалась при описании правильного мышления традиционная логика, развивавшаяся в рамках философии.
Математические методы дали логике такие преимущества, как высокая точность формулировок, возможность изучения более сложных, с точки зрения логической формы, объектов. Многие проблемы, исследуемые в математической логике, вообще невозможно было сформулировать с использованием только традиционных методов. Применение в логике математических методов становится возможным тогда, когда суждения формулируются на некотором точном (формализованном) языке. Такие точные языки имеют две составляющие: синтаксис и семантику . Синтаксисом называется совокупность правил построения объектов языка (обычно называемых формулами). Семантикой называется совокупность соглашений, описывающих наше понимание формул (или некоторых из них) и позволяющих считать одни формулы верными, а другие — нет.
3. Математизация как принцип целостности естествознания. Проблема единства физики и современной математикиПостоянно углубляющаяся математизация всех разделов естественных наук, и особенно физики — лидера естествознания всех научных веков, одна из важнейших культурных особенностей цивилизации, без которой просто нельзя представить себе современное естествознание. Введение в естествознание новых, все более абстрактных математических дисциплин — единственный пока что способ придать вновь открываемым и уже известным законам природы достаточно универсальный, всеобщий характер.   Наиболее полная и последовательная математизация в естествознании была впервые осуществлена в физике (точнее, в механике) Ньютоном. Чтобы сформулировать полную систему законов механического движения, Ньютону (и независимо от него Лейбницу) пришлось создать новый раздел математики — дифференциальное и интегральное исчисление.   Триумф ньютоновой механики в точном, однозначном объяснении множества экспериментальных данных астрономии, инженерного дела, баллистики и т. п. (после чего и появилось понятие о точных науках). Это стало предпосылкой появления концепции механистического естествознания, как исторически первой программы установления теоретического единства механистической науки (путем сведения всех ее явлений к простым, сложным или специфическим механическим перемещениям).   В начале XX века еще более грандиозную, чем Ньютон, математизацию физики совершил великий немецкий физик Альберт Эйнштейн.
Огромной заслугой Альберта Эйнштейна и немецкого математика Германа Минковского перед методологией физики считается то, что они, не опираясь, по существу, ни на какие новые опытные данные, а исходя только из методологического анализа основных понятий классической механики, пришли к логическому выводу о необходимости замены евклидова пространства на новое пространство. Изменение метрического типа пространства, в которое “погружены” все интересующие нас объекты, пространства, в котором разворачиваются все физические события нашего мира, является необходимым для более точного описания даже простейшего — равномерного и прямолинейного механического движения. Как известно, этот тип нового пространства получил впоследствии название псевдоэвклидова, или пространства (или мира) Минковского.
Следующий шаг проведения в жизнь программы “геометризации” физики — в так называемой “общей теории относительности”, был в этом плане совершенно последовательным: привлечь для характеристики гравитационных состояний физических объектов другие новые пространства. Ими оказались римановы, произвольно “искривленные”, в окрестности каждой точки, локальные пространства. Здесь Эйнштейн уже во всей полноте использовал идею великих математиков XIX в. (Клиффорда в первую очередь, и Римана) о том, что наиболее общим типом изменения абстрактных математических структур физической теории является не только вариация траекторий движения материальных точек, но также и изменение метрических свойств объемлющего их пространства.
Экспериментальное подтверждение общей теории относительности вызвало к жизни в 20-е гг. прошлого века еще более фантастические надежды — “свести” и электромагнитные взаимодействия к изменениям метрики объемлющего физические объекты пространства (попытка немецкого физика Теодора Калуцы, а затем немецкого математика Феликса Клейна и др.).   Однако надежды не оправдались: природа оказалась “устроенной” гораздо более богато и разносторонне, чем это предполагали даже величайшие умы человечества. Ни самому А. Эйнштейну, ни таким его маститым последователям, как Э. Шредингер, В. Паули, Г.. Веблен, Т. Калуца, П. Бергман и другим, не удалось свести только к изменениям пространственной метрики ни электромагнетизм, ни тем более открытые позднее сильные (ядерные) — мезонные и слабые (распадные) — лептонные взаимодействия.
Нам представляется, что шаги, сделанные Эйнштейном в направлении геометризации физической науки, необратимы. Мы должны тщательно проанализировать причины неудач А. Эйнштейна и идти дальше и глубже. Ведь математизация физики XX в. значительна прежде всего тем, что в ней базовые математические структуры геометрии, алгебры и анализа стали существенными компонентами самих основных физических понятий.
Ошибка, точнее личная неудача, Эйнштейна кроется не здесь: она содержится, по мнению большинства современных исследователей, в ограничении себя рассмотрением изменения только метрических структур геометрии. Изменения пространственной метрики хорошо описывают изменения гравитационных состояний физических объектов, но ниоткуда не следует, что та же самая метрика должна нести ответственность за такие качественно весьма и весьма отличные от тяготения физические явления, как электромагнетизм или, тем более новые, взаимодействия физики элементарных частиц.
Математика квантовой теории как концептуальная база современного естествознания. Квантовая теория только потому и оказалась концептуальной базой теоретического синтеза естественнонаучных дисциплин, что такие ее понятия, как состояние, наблюдаемое, оператор и другие, “вобрали” в себя в особо “плотном” виде все наиболее существенные черты и характеристики самых различных объектов исследования физики, химии, а теперь и биологии.
Оказалось возможным, с единой точки зрения, не просто качественно описать, но и количественно, предсказательно, прогнозно, хотя и с вероятностной точностью, рассчитать процессы благодаря введению в физическую теорию принципиально новых математических структур бесконечномерного гильбертова пространства. С позиций методологии, квантовая теория для нас ныне — это не больше чем реализация эйнштейновской программы “геометризации” физики, но только не с помощью произвольно искривленных конечномерных римановых пространств, а уже с использованием не менее абстрактных и необычно “устроенных” математических объектов — бесконечномерных гильбертовых пространств.
Что же касается проблемы единства естественнонаучного знания, то действительно, огромные достижения квантовой механики в установлении концептуального синтеза теоретической физики и теоретической химии уже в 30-е годы породили очень большие иллюзии относительно простоты и легкости построения наиболее общей и единой естественнонаучной теории нашего времени. Ученые полагали, что достаточно будет более или менее точно согласовать друг с другом теорию относительности и квантовую механику — либо в форме релятивистки инвариантной записи основных квантовых уравнений, либо путем построения особой релятивисткой квантовой теории поля — и последняя автоматически окажется также и общей теорией элементарных частиц и, тем самым, столь же автоматически, осуществит наиболее глубокий синтез всех существующих физических теорий, а на их основе и всего естественнонаучного знания.
Проблема единства физики и современная математика. Надо сказать, что до сих пор вся физика была теорией локально-тривиальных расслоенных пространств определенных типов — одно из самых глубинных и “очевидных” убеждений ученых состояло в том, что, по крайней мере, локально всякую физическую величину можно определить как произведение дифференциалов других величин (например, работа — ее дифференциал, это произведение силы на дифференциал пути и т. п.). Теперь, по-видимому, в теории элементарных Частиц от этих интуитивно “очевидных” представлений придется отказаться, а вместе с ними отказаться и от очень многих “стандартных” способов построения физических теорий (с помощью лагранжианов, вариационных принципов и т. п.)
Очень ярким примером теорем типа “не ходить”, убедительно демонстрирующим достаточно далеко зашедший процесс взаимной конфронтации понятийных систем в современной физике, являются теоремы Пенроуза-Хокинга об обязательном появлении во всякой физической реализации вселенных Эйнштейна-Фридмана геодезических, имеющих или начало в какой-то точке, или конец в некоторой другой точке, или то и другое вместе.
Р. Пенроуз и С. Хокинг смогли показать, что четырехмерные многообразия (СТО и ОТО), являющиеся решениями уравнений Эйнштейна в таких условиях, всегда обладают свойством геодезической неполноты, проще говоря, на них всегда возможно совершенно беспричинное и ничем не обусловленное появление (или исчезновение, или и то и другое вместе) материальных корпускул (черные и белые дыры).
Если теперь добавить к теоремам о геодезической неполноте результаты других авторов о том, что решения Эйнштейна, в общем случае, оказываются связанными с очень патологическими, в математическом плане, объектами, например, так называемыми “нехаусдорфовыми пространствами” (в которых существуют точки, которые никакими окрестностями нельзя отделить от некоторых подмножеств и в которых все пределы могут стать существенно неоднозначными), то станет ясно, что уже сейчас вполне разумно поставить вопрос о возможных последствиях и итогах таких конфронтационных ситуаций в самом общем виде: к чему все это вместе взятое может привести в конце концов? И эта только начало современного перечня глубоких концептуальных конфликтов в естествознании.
Результатом всех предшествующих конфронтацией была своя особенная математико-концептуальная модернизация физической науки. Так, конфронтация классической механики, электродинамики и статистической физики в области учения о строении атома была разрешена в форме создания новых, квантовых понятий, немыслимых без теории гильбертовых пространств, которая была создана всего за два с половиной десятилетия до разработки квантовой механики.
Конфронтация классической электродинамики и классической механики в области оптики быстродвижущихся сред и гравитационных явлений разрешилась формированием новых понятий общей и специальной теории относительности, существенно использующих тензорные алгебру и анализ, разработанные только за три десятилетия до их использования Эйнштейном в физике. Конфронтация механики Ньютона — Галилея и нового экспериментального материала по электромагнитным явлениям завершилась выявлением существенно новых понятий физики поля, опиравшихся на разработанные совсем незадолго до этого векторный анализ и теорию уравнений в частных производных. Наконец, конфронтация программ построения теории механических движений Ньютона и Декарта разрешилась формированием системы понятий классической механики, существенно опирающихся на параллельно разрабатывавшийся Ньютоном (и независимо от него Г. Лейбницем) совершенно новый математический аппарат дифференциального и интегрального исчислений.

Заключение

При изучении вопросов данной темы следует помнить, что когда начинают говорить о науке, часто упоминают о том, что «матерью» всех наук является математика. Действительно, возникнув в глубокой древности, математическое знание стало образцом познавательной деятельности, благодаря своей строгости, точности и однозначности. Математика имеет дело с абстрактными объектами, которые нельзя воспринять на уровне чувственности и это позволяет ей обретать независимость от эмпирического познания. Многие философы видели в этом свойстве математики возможность непредвзятого описания истины и говорили о том, что математика оперирует априорными синтетическими суждениями, то есть не зависит от нашего опыта, но при этом дает возможность прироста нового знания.
Занимая такое особое место среди наук, со временем математика становится не просто образцовой наукой, но получает статус языка науки. Она дает возможность различному знанию быть выраженным в форме абстракции и формализации.
Конечно, математика не всегда имела современный вид, она прошла длительную историю своего формирования от простого счета и арифметики до теорий множеств и высшей математики. На этом пути развития возникало множество проблем и вопросов, которые остаются нерешенными до сих пор.

Список использованной литературы

1. Александрова Н.В. История математических терминов, понятий и значений: словарь-справочник / Н.В. Александрова. – М.: УРСС, 2008.
2. Вилейтнер Г. Хрестоматия по истории математики / Г. Вилейнер. – М.: URSS, 2010.
3. Волошинов А.В. Математика и искусство / А.В. Волошинов. 2-е изд. –М.: Просвещение, 2000.
4. Катречко С.Л. Трансцендентальная философия математики // Вестник Московского университета. Сер. 7. Философия. 2008. № 2.
5. Колмогоров А.И. Математика в ее историческом развитии / А.И. Колмогоров. – М.: Наука, 2007.
6. Петров Ю.П. История и философия науки. Математика. Вычислительная техника. Информатика: учеб. пособие. – СПб.: БХВ-Петербург, 2012.
7. Серебряков А.В. Элементарный курс математической логики / А.В. Серебряков. – Саратов: СГТУ, 2011.
8. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа Т.1. / Г.М. Фихтенгольц. – М.:, 2005.