Математическая модель климатической камеры

Аннотация: в данной статье рассмотрены основные аспекты работы климатической камеры. Произведены расчёты основных показателей и выведены новые значения параметров камеры. Кроме того, в работе приведены различные вычисления для климатической камеры, которые имеют зависимость от изменений основных параметров данного оборудования.
Ключевые слова: климатическая камера, математическая модель, моделирование, система охлаждения, влажность, температура.
На сегодняшний день климатические камеры входят в число самого необходимого оборудования для проведения каких-либо исследований и испытаний. Это определено тем, что именно с их помощью можно определить основные характеристики того или иного рассматриваемого объекта, а также с точностью диагностировать его параметры и показатели.
Климатическая камера представляет собой камеру, позволяющую моделировать агрессивное влияние окружающей среды. Данное оборудование предполагает наличие высокоточного измерительного прибора для контроля влажности и температуры воздуха. Климатические камеры используются в самых разных отраслях: машиностроение, промышленность, научная деятельность и др.
Основным назначением климатической камеры является наиболее приближенное отражение действительности посредством моделирования окружающей среды и её воздействий на растения и узлы приборов, которые применяются для поддержания необходимого микроклимата.
К основным функциям, которые выполняются в результате работы климатической камеры, относятся следующие:
Термические и климатические испытания.
Исследование изменения эксплуатационных параметров при изменениях окружающей среды.
Материаловедческие температурные и влажностные испытания.
Исследование биологических и природных процессов.
Поскольку климатические камеры выполняют значимые функции и диагностируют точные показатели, к качеству управления микроклиматом в данном оборудовании предъявляются высокие требования.
Одним из самых необходимых условий, способствующих удовлетворению высоких требований, является наличие адекватных математических моделей, которые учитывают пространственную распределенность параметров климатических камер и описывают влияние управляющих воздействий на параметры микроклимата.
Ниже рассмотрена климатическая камера, используемая для проведения исследовательских работ в кабинете.
Для задания температуры внутри климатической камеры обычно применяются термоэлектрические нагреватели (ТЭН) и одно- или двухкаскадная компрессорная система охлаждения. Для регулирования влажности используют электрический испаритель и конденсационный способ осушения с отбором влаги от одного из змеевиков системы охлаждения. Измерения температуры в климатической камере производится при помощи термопар. При измерении влажности в пределах от 10% до 98% при температуре воздуха от +5 °С до +90 °С наиболее часто используется психрометрический способ измерения, а также датчики влажности емкостного типа.
Для полноценного рассмотрения показателей климатической камеры необходимо привести расчёты основных параметров, воздействующих на оборудование.
Относительную влажность воздуха измеряют числом, показывающим, сколько процентов составляет абсолютная влажность от плотности водяного пара, необходимой для насыщения воздуха при имеющейся у него температуре. График зависимости абсолютной влажности насыщенного воздуха от температуры представлен на рисунке 1.
Исходя из приведенной зависимости можно заключить, что при изменении температуры воздуха внутри камеры его относительная влажность также изменяется. При этом абсолютная влажность воздуха остается неизменной.

Рис. 1. Зависимость абсолютной влажности насыщенного воздуха от температуры
44831094170500Для учета данной особенности можно воспользоваться аппроксимацией значений абсолютной влажности насыщенного воздуха при температурах от минус 50 °С до +100 °С. Эта зависимость имеет следующий вид:
где t°k – температура воздуха в камере, ρ0(t°k) – абсолютная влажность, необходимая для насыщения воздуха при данной температуре.
19685071183500В свою очередь, относительная влажность воздуха определяется по такой формуле:
где ρк – абсолютная влажность воздуха в камере, ϕк – относительная влажность воздуха в камере.
449580119761000Используя аналитические зависимости (1) и (2), а также показания датчика температуры, можно в процессе работы камеры оценить на какую величину изменится относительная влажность воздуха при изменении его температуры на некоторую величину ∆t°k.
где ∆ϕˆк – аналитическое изменение относительной влажности, ρ(t°10) и ρ(t°20) – абсолютные влажности, необходимые для насыщения воздуха при начальной и конечной температурах.
Стоит указать, что зависимость (3) можно использовать в случае изменения температуры воздуха в камере при неизменной абсолютной влажности, вызванной включением ТЭНа камеры или теплопередачей через стенки. При понижении температуры в камере, вызванной включением системы охлаждения, необходимо учитывать, что вместе с понижением температуры воздуха происходит уменьшение его абсолютной влажности за счет конденсации влаги на холодной поверхности змеевиков охлаждения.
406400242252500Скорость отбора влаги при включении системы охлаждения зависит от многих факторов: скорости движения воздуха в камере, площади и материала поверхности змеевиков охлаждения, разности температур воздуха и поверхности змеевиков и многих других. Эту зависимость очень сложно описать исходя из теоретических предпосылок, однако можно получить экспериментально, аппроксимировав ее функцией, зависящей только от разности температур воздуха и охлаждающей поверхности, так как другие параметры остаются в процессе работы неизменными [5].
где dρк /dt – скорость отбора влаги, а ∆°tосуш = t°охл – t°к – разность температур змеевика охлаждения и воздуха в камере.
350520104711500Используя (4), а также учитывая инерционность системы охлаждения, получаем аналитическую зависимость изменения относительной влажности воздуха в камере при включении системы охлаждения.
где ρк н – абсолютная влажность воздуха в начальный момент времени, t°охл (t) и t°к (t) – температуры змеевиков охлаждения и воздуха в камере, tн и tк – начальное и конечное время диагностирования.
36258596901000Текущую температуру змеевика охлаждения можно получить с дополнительного датчика температуры, а также исходя из аналитической зависимости конвективной передачи между средой и поверхностью.
где αохл – коэффициент теплоотдачи от воздуха к змеевику охлаждения, Sохл, сохл и mохл – соответственно площадь, теплоемкость и масса змеевика охлаждения, Qхл – отдаваемое хладогену количество теплоты.
Исходя из имеющихся элементов климатической камеры и полученных зависимостей (1)-(5), можно построить структурную схему диагностирования технического состояния датчика относительной влажности, которая представлена на рисунке 2 [4].
6362704762500
Рис. 2. Структурная схема диагностирования датчиков климатической камеры
В процессе работы климатической камеры в блок принятия решения поступает информация о текущем ∆ϕк и расчетном ∆ϕˆк приращениях относительной влажности и на основании разности этих сигналов вырабатывается диагноз о техническом состоянии датчика. При этом необходимо использовать режимы работы камеры и тестовые воздействия на исполнительные элементы, приводящие к изменению температуры воздуха в камере и существенно не влияющие на его абсолютную влажность.
Рассмотрим также и такой параметр климатической камеры как температура. Получим аналитическое выражение для передаточной функции канала управления температурой T(x,t) внутренней воздушной среды климатической камеры, где х — расстояние от системы воздушного обогрева, а t — переменная времени (рисунок 3).
9829804889500Рис. 3. Система обогрева климатической камеры
21272534988500Функция T(x, t) удовлетворяет уравнению температуропроводности:
(7)
где a2 — коэффициент температуропроводности воздуха с учетом конвекции и воздушных потоков; fT(x,t) — плотность температурных источников в точке с координатой х в момент времени t.
51117529527500Решим данное уравнение (7) при следующих граничных условиях:
(8)
где q(t) — заданная функция времени; l — пространственная протяженность помещения.
Граничные условия (8) имеют место, когда в одном из торцов помещения располагается нагревательная установка, поддерживающая при х = 0 температуру q(t). Причем теплообмен с окружающей средой через стену, где выполняется равенство х = l, считается отсутствующим [3].
32702552959000Применив к уравнению (7) одностороннее преобразование Лапласа по времени, получим:
(9)
где T(x,s) и fT(x,s) — изображения по Лапласу функций T(x,s) и fT(x,s) соответственно; s — размерная комплексная переменная, с-1.
32702556959500После применения к граничным условиям (8) указанного преобразования они принимают следующий вид:
(10)
где q(s) — изображение по Лапласу функции q(s).
Примем во внимание, что передаточная функция системы управления температурой внутренней воздушной среды климатической камеры определяется выражением
64960522352000 (11)
Где Wgt(x,s) — передаточная функция, отвечающая каналу передачи q(t) → T(x,s).
Продифференцировав с учетом выражения (11) уравнение (9) и граничные условия (10) по q(s), получим следующее уравнение:
4806957620000 (12)
которому отвечают следующие граничные условия:
4806957556500 (13)
Решение уравнения (12) имеет вид
4806957556500 (14)
где А и В — неизвестные постоянные, значения которых можно определить, воспользовавшись граничными условиями (7).
48069534988500В результате получим линейную систему из двух уравнений:
(15)
Решив систему (15) и подставив полученные значения А и В в выражение (14), имеем [1]:
762005905500 (16)
Таким образом, получено выражение (16) для передаточной функции, описывающей динамические свойства канала управления температурой внутренней воздушной среды климатической камеры.
56769039687500Выполнив в равенстве (16) замены,

представим его в следующем виде:
27622516573500 (17)
Отметим, что параметр χ в выражении (17) является безразмерным, а величина t имеет размерность времени — секунды.
Полученное выражение (17) для передаточной функции канала управления температурным полем T(х, t) в климатической камере можно использовать для выполнения различных практических расчетов, например, выбора оптимального расположения датчиков температуры, для настройки соответствующих регуляторов и др.
Упростим выражение (17), заменив его передаточной функцией объекта с сосредоточенными параметрами, так как выражения для передаточных функций таких объектов гораздо проще получить на основе экспериментальных исследований.
Примем во внимание, что
48069513081000 (18)
где ch (x) — функция гиперболического косинуса.
Сопоставив выражения (17) и (18), получим:
43815017462500 (19)
Гиперболический косинус можно разложить в бесконечное произведение:
2501908572500 (20)
20066060198000Воспользовавшись выражением (20), числитель и знаменатель передаточной функции (19) представим в следующем виде:
350520176212500 (21)
(22)
где n — целое положительное число, а функция G(x) задана выражением
4267209525000 (23)
Поскольку при больших значениях n выполняется приближенное равенство
2451104762500 (24)
то с учетом равенств (21)…(24) выражение (19) представим в виде
3625856858000 (25)
где значения постоянных времени vk, zk и θn задаются следующими равенствами:
(26)
4908554445000 (27)
Для суммирования бесконечного ряда в выражении (27) воспользуемся приведенным в работе результатом:
2006606985000 (28)
Тогда с учетом (28) имеем:
231140000 (29)
Принимая во внимание равенства (27) и (29), установим, что
2317754381500 (30)
Рассмотрим применение передаточных функций вида (25) при расчете параметров настройки регуляторов температуры воздуха в климатических камерах.
Отметим, что значения временных постоянных в выражении для передаточной функции канала управления температурой (25) можно установить, воспользовавшись для этого равенствами (26) и (30), если известно значение постоянной времени t. Для ее экспериментального определения достаточно получить представленную на рисунке 4 кривую разгона (переходную характеристику) объекта h(t), включив на некоторое время систему обогрева климатической камеры [2].
10972804635500
Рис. 4. Кривая разгона объекта управления
По начальному участку кривой разгона, где h(t) << 1, установим значение постоянной времени транспортного запаздывания ~ 4 c.
Применив формулу (30), для искомой величины t получим следующее выражение:
492760-190500 (31)
28067073406000Однако в этом выражении значение целочисленной величины n остается неизвестным. Для его нахождения воспользуемся требованием:
(32)
которое при фиксированном значении θn позволяет определить то минимальное значение n , начиная с которого это требование выполняется.
Отметим, что неравенство (32) выражает тот факт, что звено транспортного запаздывания при моделировании динамики линейных стационарных объектов служит для интегрированного описания бесконечного множества быстро затухающих процессов в системах управления.
Подставив выражения (26) и (30) в неравенство (32), установим, что, начиная с искомого значения n = nmin, должны выполняться все неравенства вида:
-47625444500 (33)
После нахождения n, согласно выражению (31), определяется значение величины τ, а затем в соответствии с равенствами (26) устанавливаются значения постоянных времени zk и vk , k = 0, n.
Располагая адекватной математической моделью динамики теплообменных процессов в климатической камере, заданной в виде передаточной функции (25), ее можно использовать для расчета таких значений параметров настройки регуляторов температуры, при которых обеспечивается высокое качество управления указанными процессами.
Таким образом, работа климатической камеры имеет зависимость от множества различных параметров и показателей, которые активным образом воздействуют на неё. Тем не менее, имея расчёты по основным параметрам климатической камеры, можно вывести любые необходимые условия для её работы.
Список использованных источников
Кулик А.С. Сигнально-параметрическое диагностирование систем управления. – Х.: Гос. аэрокосмический ун-т «ХАИ»; Бизнес Информ, 2000. – С. 15
Мироновский Л.А. Функциональное диагностирование динамических систем. – М.: СПб.: МГУ-ГРИФ, 1998. – 256 с.
Нарожный В.В. Обеспечение активной отказоустойчивости модифицированных бортовых измерительных устройств: Дис... канд. техн. наук: 05.13.03. – Х., 2000. – С. 65-68
Нарожный В.В., Кулик Т.В., Таран А.Н. Малогабаритный отказоустойчивый анализатор-измеритель качества внешней жидкой среды. – 2002. – Вип. 34. – С. 193-196
Писарец А.М., Якшин А.С. Диагностирование датчиков технических систем // Датчики и системы. – 2007. – №6. – С. 12