Метод двух узлов

1. Метод двух узлов
Метод узловых потенциалов базируется на первом законе Кирхгофа. В основе метода узловых потенциалов лежат следующее положение. Токи в ветвях определяются не абсолютными величинами, а их разностью, поэтому потенциал одного из узлов можно выбирать произвольно (либо принять равным нулю) такой узел называется базисным. Расчеты выполняются по первому закону Кирхгофа, в результате которого определяются потенциалы узлов, а затем по обобщенному закону Ома находятся токи в ветвях.
В электротехнической практике часто встречаются схемы, содержащие только два узла. Для расчета таких схем специально создан метод, получивший название метода двух узлов. Этот метод по существу является частным случаем метода узловых потенциалов.
На рисунке 1 приведена обобщенная схема электрической цепи постоянного тока с двумя узлами a и b. Схема состоит из m ветвей, часть или все из которых содержат источники ЭДС. В общем случае в некоторых ветвях могут быть и источники тока.
В методе двух узлов за искомое принимают напряжение Uab между узлами a и b схемы. Если при этом один из двух узлов, например, узел b заземлить и принять его потенциал равным нулю (φb = 0), как и в методу узловых потенциалов, то потенциал φa второго узла будет равен напряжению Uab.

Рисунок 1 — Обобщенная схема электрической цепи постоянного тока с двумя узлами
Воспользуемся методом узловых потенциалов и составим уравнение полученное из первого закона Кирхгофа (сумма токов, сходящихся в узле равна нулю) с использованием проводимостей ветвей G и источников ЭДС E относительно потенциала φa:
.
Решая это уравнение относительно Uab = φa, получаем:
,
где в числителе берется алгебраическая сумма произведений проводимостей Gn = 1/Rn и ЭДС En для ветвей, содержащих источники ЭДС. (Для ветвей без источников произведение GnEn обращается в ноль). Члены суммы берутся со знаком плюс, если стрелка источника ЭДС направлена к узлу a, и со знаком минус, если стрелка направлена от узла a. При наличии в части ветвей схемы идеальных источников тока алгебраическая сумма произведений GnEn будет содержать также токи идеальных источников тока Ik. Выбор знака для источника тока такой же, как и для источника ЭДС. Знаменатель формулы Uab представляет собой арифметическую сумму проводимостей всех ветвей цепи. Причем в этой сумме проводимости ветвей, содержащих идеальные источники тока, равны нулю, т.к. внутреннее сопротивление источника тока равно бесконечности.
После того, как напряжение Uab между двумя узлами найдено, можно определить ток в любой ветви схемы по обобщенной формуле закона Ома для участка цепи с источником ЭДС
,
где знак ЭДС выбирается исходя из направления ЭДС в n-й ветви.
2. Применение метода двух узлов для цепей переменного тока
2.1. Задача
Определить токи в цепи, показанной на рисунке 2.1, а также активную, реактивную и полную мощности цепи.
Построить векторную диаграмму токов и напряжений.

Рисунок 2.1 — Схема расчетной цепи
Исходные данные к расчету (параметры расчетной цепи): В; А; Гц; Ом; мГн; мкФ.
2.2. Решение
Перейдем к комплексной схеме расчетной цепи, изображенной на рисунке 2.2.

Рисунок 2.2 — Комплексная схема расчетной цепи
Перейдя от временных величин к комплексным (комплексным амплитудам и сопротивлениям) расчет цепи методом двух узлов производится по тем же формулам, что и для цепей постоянного тока.
Комплексные величины, обозначенные на рисунке 2.2, определим следующим образом:
А;
В;
Ом.
Ом.
Ом.
Ом.
Узел b заземлим и примем его потенциал равным нулю (φb = 0), потенциал φa второго узла a будет равен напряжению Uab.
Запишем формулу расчета Uab = φa:
В.
В знаменателе не учитывается проводимость ветви с источником тока, поскольку она равна нулю, так как внутреннее сопротивление источника тока является бесконечным.
Подставляя численные значения в формулу расчета разности потенциалов между двумя узлами, получаем следующее:
В.
Рассчитаем токи в ветвях.
Зная разность потенциалов между узлами a и b, и сопротивления ветвей, по закону Ома определим токи ветвей:
А.
А.
А.

Рисунок 2.3 — Результат моделирования схемы в программе Electronic Workbench
В таблице 1.1 представлены результаты расчета токов.
Показания амперметров в модели (см. рисунок 2.3) соответствуют модулю рассчитанных токов, сведенных в таблицу 1.1.
Таблица 1.1 — Результаты расчета токов

14,127 А14,127 А15,244 АИсходя из результатов моделирования (см. рисунок 2.3) можно сделать вывод о верности расчета токов в ветвях и разности потенциалов между двумя узлами цепи.
Рассчитаем активную, реактивную и полную мощность цепи.
Комплексная мощность источника:
ВА.
Токи со звездочкой обозначают комплексно сопряженные величины этим токам.
Активная мощность источника: Вт.
Реактивная мощность источника: вар.
Комплексная мощность нагрузки:
ВА.
Активная мощность нагрузки: Вт.
Реактивная мощность нагрузки: вар.
Баланс электрических мощностей соблюдается.
Построим качественно векторную диаграмму токов и напряжений (без точных отметок длины и углов, а лишь приблизительное взаимное расположение векторов на комплексной плоскости). Векторная диаграмма изображена на рисунке 2.4. Углы векторов были определены в системе MathCAD с помощью встроенной функции arg, что позволило построить векторную диаграмму.

Рисунок 2.4 — Векторная диаграмма токов и напряжения