Роль и место задач оптимизации в экономических расчетах.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 3
1. ПОНЯТИЕ И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ЭКОНОМИКЕ 4
2. КРИТЕРИИ ОПТИМИЗАЦИИ И ЦЕЛЕВАЯ ФУНКЦИЯ 7
3. ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ: СУЩНОСТЬ,
СВОЙСТВА, МОДЕЛИ 10
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 14
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 15

ВВЕДЕНИЕ
Во всевозможных проблемах принятия решений, появляются самые различные задачи оптимизации. Для их решения используют те или другие методы, как точные, так и приближенные. Задачи оптимизации нередко применяются в большем числе случав, в экономических исследованиях. К примеру, можно вспомнить оптимизацию экономического роста государства посредством матрицы межотраслевого баланса В. Леонтьева или микроэкономические задачи установления оптимального объема производства по функции расходов при установленной цене (или в условиях монополии) или сокращении расходов при определенном объеме производства посредством избрания наилучшего соотношения факторов выпуска (ввиду платы за них).
Цель исследования – раскрыть роль и место задач оптимизации в экономических расчетах.
Задачи исследования:
- раскрыть понятие и методы оптимизации в экономике;
- изучить критерии оптимизации и значение целевой функции;
- раскрыть сущность, свойства и модели задач линейного программирования.
Предмет исследования – модели и методы оптимизации в экономике.
Объект исследования - задачи оптимизации в экономических расчетах.
Методологической базой исследования выступает применение системного, сравнительного, структурно-функционального, статистического и стратегического анализа.
Теоретической базой исследования, является список подобранных согласно теме литературных источников: учебные пособия, научные издания, статьи, электронные ресурсы.
1. ПОНЯТИЕ И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ЭКОНОМИКЕ
С практической точки зрения решение задач оптимизации заключается в том, что человек в своей деятельности, направленной на достижение поставленной цели, всегда стремится к лучшему — оптимальному способу действия, если есть возможность выбора из бесконечного множества таких способов, которые приводят к поставленной цели. Чаще всего способы действия, или стратегии, характеризуются какой-либо величиной. И в таком случае задача выбора лучшей из стратегий сводится к нахождению экстремума — максимума или минимума этой величины. Также важно отметить, что математический аппарат при решении задач оптимизации используется не только как инструмент для проведения обычного расчета, но играет важную роль в выборе наиболее эффективного варианта, при котором можно достичь наилучшего результата.
Для решения задач оптимизации экономических и хозяйственных процессов широко применяются методы математического программирования. Они используются для прогнозных оценок, обоснования бизнес-планов. Линейное программирование основывается на разрешении системы линейных уравнений (с переформулировкой в уравнения и неравенства), когда зависимость между исследуемыми феноменами жестко функциональна. Отметим, что вся совокупность экономических задач, кортовые решаются посредством линейного программирования, выделяются многовариантностью решения и некоторыми ограничивающими условиями. Решить данную задачу это получается избрать из всех потенциально допустимых (альтернативных) вариантов наилучший. Значимость и ценность применения в экономике метода линейного программирования заключаются в том, что наилучший вариант избирается из очень большого числа многовариантных предложений.
Методы динамического программирования используются при решении задач оптимизации, в которых целевая функция или границы или и первое, и второе в то же время описываются нелинейными зависимостями. Признаками нелинейности выступают, в частности, наличие переменных, у которых индикатор степени отличается от единицы, а также наличие переменной с индикатором степени, под корнем, под знаком логарифма.
Методы исследования операций предполагают разработку целенаправленных действий (операций), количественную оценку вариантов решений и выбор наилучшего из них.
Среди оптимизационных задач в экономике, могут быть выделены 2 класса задач со особой структурой: транспортная задача и задача о назначениях. Данные задачи применяются для моделирования и оптимизации проблем в экономике различных субъектов, связанных с вырабатыванием наилучшего плана перевозок, наилучшего распределения индивидуальных контрактов на транспортировки, разработки оптимального штатного расписания, определения оптимальной специализации компаний, рабочих участков и станков, оптимального назначения кандидатов на должности, наилучшего применения торговых агентов.
Задачи, решаемые теорией игр, существенно отличаются от классических оптимизационных задач. Главное отличие от традиционной теории оптимизации заключается в том. что в теории игр учитывается взаимодействие сторон и возможность конфликта между ними. В задачах векторной оптимизации решение выбирается при предположении о том. что известны целевая функция, различные способы действия и ограничения.
Любая оптимизация всегда решается при наличии определенных ограничений — условий, ограничивающих динамику переменных решения при выборе максимальной или минимальной целевой функции. Данные ограничения могут диктоваться:
-вторичными целями (в частности, минимизируя риск инвестиционного портфеля, можно одновременно достичь планируемой прибыли не меньше заданной),
- ограниченностью ресурсов, имеющихся в распоряжении (денежных, временных, материальных);
-определенными «правилами игры» (рыночные рамки, нормативные акты, лимитирующие ту или другую характеристику или любые требования ЛПР).
Собственно ограниченность ресурсов вызывает саму проблему экономического предпочтения. Экономическая задача является задачей на условный экстремум или, как ее по-другому именуют, задачей оптимизации при ограничениях. Решением данной задачи будет такая альтернатива, которая при заданных предпочтениях участника экономического процесса выступает самой наилучшей из всех допустимых (удовлетворяющих ограничениям) альтернатив.
2. КРИТЕРИИ ОПТИМИЗАЦИИ И ЦЕЛЕВАЯ ФУНКЦИЯ
Избрание критериев оптимизации выступает весьма важным моментом при подготовке экспериментальных исследований, поскольку они, главным образом, обусловливает полноту описания изучаемого объекта. Под критерием оптимизации будем подразумевать количественную характеристику цели изучения, которая разрешает определить наличествующие связи между входными и выходными параметрами системы. С математической позиции, избрание данных связей допустим только при наличии одного-единственного критерия оптимизации. Все же, как правило, реакция системы на влияние входных параметров многоаспектна, и поэтому в большем числе случаев необходимо решать задачи с немалым числом критериев оптимизации.
Критерии оптимизации ввиду их формы объекта и цели работы могут быть различными. Условно их можно поделить, на экономические, технико-экономические, технологические и статистические.
К экономическим критериям можно отнести экономическую результативность использования технологического процесса обработки, себестоимость выпуска продукции, периода окупаемости инвестиций, уровня рентабельности, расходы на экспериментальные исследования и др. Требуется идти к тому, чтобы критерий оптимизации имел экономическую суть, поскольку в результате его всегда приходится трактовать экономически.
Оптимизационная задача в евклидовом пространстве Rn являет собой отыскание минимального или максимального значения определенной скалярной функции:
u=fx, x∈Ω⊆Rn на определенном множестве G ⊆ Ω.
Данная задача записывается так:
f (x)→min (max), x ∈ G,
Причем, функцию f именуют целевой функцией или критерием оптимальности, множество G – множеством возможных (допустимых) решений задачи, а точки х ∈ G – ее допустимыми точками.
Целевая функция - соотношение, устанавливающее взаимосвязь между критерием (целью), обозначаемым в задачах оптимизации через Z и управляемыми переменными (x1, x2…xn). Символически записывается в виде Z=f(x1, x2…xn).
Функция z = f (x, y) имеет в точке М0 (х0 у0) локальный максимум если существует окрестность точки М0 у для всех точек которой значение f(M0) является наибольшим. Аналогично определяется локальный минимум. Совершенно так же вводится понятие локального минимума и максимума для функции трех и большего числа переменных. Понятия локального минимума и максимума объединяются термином «локальный экстремум».
Линии уровня целевой функции - это линии, на каждой из которых целевая функция постоянна. В линейном программировании целевая функция линейна, и линии уровня - это параллельные прямые (в многомерном случае линейные разнообразия, получаемые движением гиперплоскости, отвечающей нулевому значению целевой функции). Любой линии уровня отвечает свое значение целевой функции. В данной задаче целевая функция - это скалярное произведение (с, х). Определяя разнообразные значения целевой функции, можно получить уравнение для семейства линий уровня (с, х) = const.
При const = 0 это гиперплоскость (в двумерном случае это прямая, проходящая через начало координат, см. рис. 1), при иных константах это линейные разнообразия (в двумерном случае прямые). Вектор с ортогонален всем линиям уровня (линейным многообразиям). Все линии уровня параллельны между собой.
Рис. 1. Линия уровня целевой функции
Итак, избрание критерия оптимизации зависит от данной задачи и может иметь экономический, точностный или надежностный характер. Автономно от направленности критерия, оптимальному решению задачи оптимизации всегда отвечают минимум или максимум его значения. Нередко критерий оптимальности имеет экономическую оценку (производительность, себестоимость изделий, прибыль, рентабельность и др.).
3. ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ: СУЩНОСТЬ, СВОЙСТВА, МОДЕЛИВ общем случае математическая постановка задачи линейного программирования может быть сформулирована в следующем виде:
fx1,x2…..xn→maxx∈∆β, где∆β=∆gkx1,x2…..xn≤=bk; x1,x2…..xn≥0k∈1,2…mПри этом следует принимать во внимание следующие принципиальные предположения о характере целевой функции и левых частей ограничений:
I.Целевая функция fx1,x2…..xn предполагается линейной относительно всех своих переменных, т. е. может быть представлена в форме: fx1,x2…..xn=c1x1+c2x2…cnxn2.Левые части ограничений gkx1,x2…..xn∀k∈1,2…m также являются линейными функциями относительно своих переменных x1,x2…..xn т. е. могут быть представлены в форме:gkx1,x2…..xn=ak1x1+ak2x2…aknxn.
3.Переменные x1,x2…..xn могут принимать свои значения только из множества неотрицательных действительных чисел R+1, т.е. xi∈R+1∀i∈1,2…m.
С учетом сделанных предположений общая задача линейного программирования может быть сформулирована следующим образом.
Требуется отыскать максимум линейной целевой функции n переменных x1,x2…..xn∈R+1:
c1x1+c2x2…cnxn→maxx∈∆βВ математической интерпретации общей задачи линейного программирования отмечены постоянные величины, которые могут принимать произвольные, не обязательно целочисленные значения, обусловливаемые особенностью определенной задачи линейного программирования.
Свойства, которые имеет допустимое множество задачи линейного программирования:
1. Большое число всех допустимых решений системы ограничений задачи линейного программирования является выпуклым, т.е. представляет выпуклый многогранник или выпуклую многогранную область. В последующем будем называть их одним термином — многогранником решений.
2. Если задача линейного программирования имеет оптимальное решение, то линейная функция принимает максимальное значение в одной из угловых точек многогранника решений. Если линейная функция принимает максимальное значение более чем в одной угловой точке, то она принимает его в любой точке, выступающей выпуклой линейной комбинацией этих точек.
Данное утверждение выступает фундаментальным, поскольку оно показывает принципиальный путь решения задач линейного программирования. В самом деле, вместо изучения бесконечного множества допустимых решений для поиска среди них необходимого оптимального решения требуется изучить только конечное число угловых точек многогранника решений.
3. Каждому допустимому базисному решению задачи линейного программирования отвечает угловая точка многогранника решений, и напротив, каждой угловой точке многогранника решений отвечает вероятное базисное решение.
Из последних свойств непосредственно вытекает значимый результат: если задача линейного программирования имеет оптимальное решение, то оно сходится, хотя бы, с одним из ее допустимых основных решений. Это обозначает, что оптимум линейной функции линейного программирования необходимо искать среди итогового числа ее допустимых основных решений.
Модель линейного программирования выступает практически «моментальным снимком» истинного положения, когда параметры модели (коэффициенты целевой функции и неравенств ограничений) подразумеваются неизменными. Конечно, исследовать воздействие динамики параметров модели на полученной оптимальное решение линейного программирования. Данное исследование именуется анализом чувствительности.
Анализ чувствительности базируется на графическом решении задачи линейного программирования. Рассмотри 2 случая: (1) динамика коэффициентов целевой функции и (2) динамика значений констант в правой части неравенств ограничений. В общем виде целевую функцию задачи ЛП с 2-мя переменными можно записать таким образом. Максимизировать или минимизировать z = с1x1 + с2х2.
Динамика значений коэффициентов c1 и с2 приводит к повороту угла наклона прямой z. Графический способ решения задачи линейного программирования представляет, что это может привести к трансформации оптимального решения: оно будет достигаться в иной угловой точке пространства решений. В тоже время, ясно, что наличествуют границы изменения коэффициентов c1 и с2, когда текущее оптимальное решение неизменно. Задача анализа чувствительности и заключается в получении данной информации. В частности, представляет интерес нахождение интервала оптимальности для отношения c1/c2 (или, что-то же самое, для c2/c1); если значение отношения c1/c2 не выходит за границы данного интервала, то оптимальное решение в этой модели сохраняется константным.
Итак, в заключение всему выше изложенному, можно сделать определенные качественные выводы, которые помогут правильной разработке моделей линейного программирования и максимально точно установить определенные значимые понятия.
1. Оптимальное решение любой задачи линейного программирования не может находиться во внутренней точке допустимой области.
2. Лимитирующее ограничение – это ограничение, на линии которого расположено оптимальное решение.
3. Нелимитирующее ограничение – это ограничение, на линии которого нет оптимального решения.
4. Из общего соображения очевидно, что добавление ограничений приведет или к ухудшению оптимального решения, или оставит его константным. Удаление ограничений приведет к совершенствованию оптимального значения или оставит его неизменным.
5. Введение-удаление дополнительных переменных улучшит - ухудшит оптимальное значение, или оставит его константным.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В процессе данного исследования были решены следующие задачи:
- раскрыты понятие и методы оптимизации в экономике;- изучены критерии оптимизации и значение целевой функции;
- раскрыты сущность, свойства и модели задач линейного программирования.
Методы оптимизации – методы нахождения экстремума функции при наличии грант или без границ весьма широко применяются на практике. Это, в первую очередь, оптимальное проектирование (предпочтение оптимальных номинальных технологических режимов, элементов конструкций, структуры технологических цепочек, условий экономической деятельности, роста доходности и т. д.), оптимальное управление построением нематематических моделей объектов менеджмента (минимизации невязок разнообразной структуры модели и истинного объекта) и большое множество иных сторон решения экономических и общественных проблем (в частности, менеджмент запасами, трудовыми ресурсами, транспортными потоками и т. д.).
Итак, использование математических методов в экономике содержится в моделировании изучаемого экономического процесса и использовании к разработанной модели математического метода изучения из надлежащего раздела математики. Данный подход требует учета взаимосвязей и отношений с иными объектами (компаниями, организациями), разработки математических моделей, отображающих количественные индикаторы системной деятельности персонала компании, использования для расчетов электронно-вычислительной техники.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Андык В. С. Автоматизированные системы управления технологическими процессами на ТЭС: учебник для СПО / В. С. Андык. — М.: Издательство Юрайт, 2018. — С. 24.
2. Болтянский, В. Г. Математические методы оптимального управления / В.Г. Болтянский. - М.: Книга по Требованию, 2016. – С. 113-121.
3. Забродина О. М. Включение элементов профессионально ориентированного содержания в курс информатики на примере изучения надстройки «Поиск решения» в Ехсel как средства решения задач оптимизации // Материалы ХЦУ Международной конференции «Научная дискуссия: инновации в современном мире». - Москва: Интернаука, 2016. - С. 25-29.
4. Зайцев М. Г., Варюхин С. Е. Методы оптимизации управления и принятия решений: примеры, задачи, кейсы: учебное пособие/М.Г. Зайцев, С. Е. Варюхин. -5-е изд., испр. и дополи. -М.: Издательский дом «Дело» РАНХиГС, 2017. – С. 22-24.
5. Оптимизация технологических процессов. Часть 1 Метод Лагранжа и численные методы безусловной оптимизации функции одной переменной. Учебное пособие // Составители В.С. Асламова, И.В. Васильев, О.А. Засухина. – Ангарск, АГТА, 2005. – С. 30.
6. Пласкова Н. С. Стратегический и текущий экономический анализ: учебник / Пласкова Н. С. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Эксмо, 2010. — С. 55.
7. Струченков, В. И. Методы оптимизации: основы теории, задачи, обучающие компьютерные программы / В. И. Струченков. - М.-Берлин: Директ-Медиа, 2015. – С. 26-28.
8. Просветов, Г. И. Задачи с параметрами и методы их решения / Г.И. Просветов. - М.: Альфа-пресс, 2014. – С. 308.314.
9. Соколов, А. В. Методы оптимальных решений. В 2 томах. Том 1. Общие положения. Математическое программирование / А.В. Соколов, В.В. Токарев. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2014. – С. 98-101.
10. Дубина И.Н. Основы теории экономических игр: учебное пособие. Кнорус, 2013. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://books.google.ru/books?id=ebRFAQAAQBAJ&pg=PA44&dq (дата обр. 27.09.2020)
11. Задачи оптимизации производства. Моделирование затрат. Оптимизация производства. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://ieml-math.narod.ru/lect/OPT.pdf (дата обр. 27.09.2020)