Задачи кручения тонкостенных труб: методы расчета касательных напряжений

Введение

Кручение - это вид деформации, при котором в поперечных сечениях стержня появляется только фактор внутренней силы - крутящий момент (мы всегда будем размещать ось вдоль оси стержня). Кручение на практике часто встречается в различных элементах машин и конструкций. Кручение прямой балки происходит при нагружении ее внешними крутящими моментами (парами сил), плоскости действия которых перпендикулярны ее продольной оси.

Помимо кручения, элементы машин и конструкций иногда испытывают изгиб и растяжение (сжатие). Такие сложные случаи нагружения будут рассмотрены позже, но здесь мы ограничимся рассмотрением только одного кручения. Торсионные стержни (стержни) часто называют валами.
Если прямой стержень находится в состоянии покоя или равномерно вращается, то алгебраическая сумма всех внешних крутящих моментов, приложенных к стержню, равна нулю.
При расчете валов в некоторых случаях значения внешних крутящих моментов определяются величиной потребляемой (передаваемой) мощности и скоростью вращения вала.
1 Основные понятия. Крутящий момент Под кручением понимается такой вид деформации, когда в сечениях балки действует только крутящий момент Mk (другое обозначение T, Mz), а остальные силовые факторы (нормальные и поперечные силы и изгибающие моменты) отсутствуют.
Или другое определение кручения называется деформацией, которая возникает, когда пара сил действует на стержень, расположенный в плоскости, перпендикулярной его оси.
Кручение возникает в валах, винтовых рессорах, в элементах пространственных конструкций и т. д.
Деформация кручения наблюдается, если прямая балка нагружена внешними моментами (парами сил М), плоскости действия которых перпендикулярны ее продольной оси.
В чистом виде крутильные деформации встречаются редко; обычно присутствуют другие факторы внутренней силы (изгибающие моменты, продольные силы).
Стержни круглого или кольцевого сечения, работающие на кручение, называются валами.
Внешние крутящие моменты передаются на вал в местах установки на него шкивов, шестерен, где поперечная нагрузка смещена относительно оси вала.
Будем рассматривать прямой брусок только в состоянии покоя или равномерного вращения. В этом случае алгебраическая сумма всех приложенных к стержню внешних крутящих моментов будет равна нулю.
При расчете балок, испытывающих деформацию кручения на прочность и жесткость при статической нагрузке, необходимо решить две основные проблемы. Это определение напряжений (от Mk), возникающих в стержне, и определение угловых смещений в зависимости от внешних крутящих моментов.
При расчете валов мощность, передаваемая на вал, обычно известна, и необходимо определить значения внешних крутящих моментов. Внешние крутящие моменты, как правило, передаются на вал в местах приземления на него шкивов, шестерен и т. д.
2 Кручение тонкостенных стержнейМеталлические двутавры, швеллеры, уголки относят к стержням открытого профиля. В свою очередь тонкостенными считаются стержни, соотношение ширины полок которых к толщине b/t > 5-10, а также соотношение высоты стенок к толщине h/s > 5-10. Касательные напряжения в таких стержнях линейно распределены по толщине стенок таких стержней за исключением небольших участков у коротких сторон (см. рис. 1):

Рисунок 1
Металлические профили имеют достаточно сложное с геометрической точки зрения поперечное сечение. Тем не менее любое сложное сечение можно условно рассматривать как несколько простых прямоугольников:

Рисунок 2
На основании этого допущения задача о кручении тонкостенных стержней открытого профиля (незамкнутых профилей) решается приближенно, но с достаточной степенью точности с использованием следующих формул:
тmax = Mkδ/Ik (1)
φ = Mkl/IkG (2)
При этом момент инерции и момент сопротивления при кручении определяются, как сумма моментов простых прямоугольников:
Ik = ηα∑b3ihi (3)
где α - безразмерный коэффициент, определяемый  по таблице 1.
bi и hi - наименьший и наибольший размеры рассматриваемого прямоугольника. При кручении, как уже говорилось в статье про кручение стержней прямоугольного профиля (см. ссылку на таблицу), размеры относительно главных осей инерции значения не имеют. η - поправочный коэффициент, учитывающий особенности прокатных профилей.
Для уголков η = 1 (1.1)
Для швеллеров η = 1.12
Для тавров η = 1.15
Для двутавров η = 1.2
В тонкостенных стержнях открытого профиля длина контура может обозначаться как s (не путать с толщиной стенок прокатных профилей, показанной на рисунке 2), а толщина - δ. Тогда
Ik = ηα∑δ3isi (2)
Например, для швеллера 12П с толщиной стенки s = 0.48 см, толщиной полок t = 0.78 см, шириной b = 5.2 см и общей высотой h = 12 см, момент инерции при кручении составит примерно (принято значение а =  1/3 для всех прямоугольников):
Ik = 1.12(0.7835.2·2 + 0.483(12 - 0.78·2))/3 = 2.273 см4.
Тонкостенные трубы круглого сечения и профилированные металлические трубы можно отнести к тонкостенным стержням замкнутого профиля. Если толщина стенки значительно меньше диаметра трубы (при круглом сечении) или одного из размеров сечения, то значение касательных напряжений по толщине стенки для упрощения расчетов можно принимать постоянным:

Рисунок 3
Тогда по формуле Бредта
т = Mk/2δω (3)
где δ - толщина стенки в том месте, где определяются касательные напряжения; ω - площадь ограниченная срединной линией тонкостенного профиля. 
Если толщина стенки по длине замкнутого профиля не одинакова, то максимальные напряжения возникают на участках с наименьшей толщиной:
тmax = Mk/2δminω (4)
При этом углы закручивания (относительный и полный) составляют:
θ = (Mk/4ω2G)ds/δ (5)
φ = (Mkl/4ω2G)ds/δ (6)
где s - длина замкнутого контура, ds - элемент длины, l - длина элемента.
При постоянной толщине стенки по всей длине контура:
θ = Mks/4ω2Gδ (7)
φ = Mkls/4ω2Gδ (8)
Для круглой тонкостенной трубы с расстоянием R от оси симметрии (центра тяжести) до срединной линии и постоянной толщиной стенки:
ω = пR2; ds/δ = 2пR/δ (9)
При расчете квадратных и прямоугольных профильных труб следует учитывать, что в углах касательные напряжения будут отличаться от вычисленных по формуле Бредта тем больше, чем меньше радиус закругления углов. При этом во внутренних волокнах касательные напряжения будут больше расчетных, а в наружных - меньше. Тем не менее для таких профильных труб определяющими будут касательные напряжения в местах, наиболее близких к центру тяжести сечения.

ЗаключениеВ связи с неоднозначным подходом к проблеме возникновения крутящих моментов в колонне труб, возникающим без приложения сосредоточенных моментов, автор излагает свое видение этой проблемы. Показано, что возникновение крутящих моментов в колонне труб и штанг, расположенных в скважинах с пространственной кривизной, происходит аналогично тому, как это происходит в винтовых цилиндрических пружинах, при приложении растягивающих или сжимающих сил.
Если мы рассмотрим колонну стержней в вертикальной скважине и мысленно проведем линию по образующей колонны стержней, то линия относительно оси колонны будет в том же азимутальном направлении. Если эту колонку поместить в пространственно искривленную лунку, мысленно проведенная линия примет форму винта с углом закрутки ϕ.
Таким образом, в скважинах с пространственной кривизной на колонну насосных штанг действуют крутящие моменты, причем наибольшие крутящие моменты возникают в зоне кривизны ствола скважины.
Следует отметить, что возникающие в колонне штанг крутящие моменты не могут быть непосредственной причиной возникновения манжет при их нормальном завинчивании. Однако это не означает, что в процессе спуска колонны труб и штанг не следует пренебрегать наличием и направлением крутящих моментов.

Список использованной литературы1. Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных тел. М.: Изд-во МГУ, 1976.
2. Лехницкий С.Г. Кручение анизотропных и неоднородных стержней. М.: Наука, 1971.
3. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. 2-е изд. М.: Изд-во МГУ, 1979.
4. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966.
5. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1976.
6. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во МГУ, 1984.
3 Построение эпюр крутящих моментовДля определения напряжений и деформаций вала необходимо знать значения внутренних крутящих моментов Mk  (Mz) в поперечных сечениях по длине вала. Диаграмму, показывающую распределение значений крутящих моментов по длине бруса, называют эпюрой крутящих моментов. Зная величины внешних скручивающих моментов и используя метод сечений, мы можем определить крутящие моменты, возникающие в поперечных сечениях вала.
В простейшем случае, когда вал нагружен только двумя внешними моментами (эти моменты из условия равновесия вала ΣMz=0 всегда равны друг другу по величине и направлены в противоположные стороны), как показано на рис. 5.1, крутящий момент Mz в любом поперечном сечении вала (на участке между внешними моментами) по величине равен внешнему моменту |M1|=|M2|.

Рис. 5.1
 
В более сложных случаях, когда к валу приложено несколько внешних моментов, крутящие моменты Mk  в поперечных сечениях различных участков вала неодинаковы.
На основании метода сечений крутящий момент в произвольном поперечном сечении вала численно равен алгебраической сумме внешних скручивающих моментов, приложенных к валу по одну сторону от рассматриваемого сечения.
При расчетах на прочность и жесткость знак крутящего момента не имеет никакого значения, но для удобства построения эп. Mk примем следующее правило знаков: крутящий момент считается положительным, если при взгляде в торец отсеченной части вала действующий на него момент представляется направленным по ходу часовой стрелки (рис.5.2).
В технике употребляется терминология « винт с правой нарезкой» или «…с левой нарезкой…», причем правый винт наиболее распространен, являясь стандартом. Полезно заметить, что при навинчивании гайки на правый винт мы прикладываем положительный момент Mкр , а при свинчивании гайки – отрицательный.

Рис. 5.2
 
При наличии распределенной моментной нагрузки m (рис.5.3) крутящие моменты МК связаны дифференциальной зависимостью

из которой вытекает следующая формула:

где  – крутящий момент в начале участка.
Согласно формуле (5.2) на участках с равномерно распределенной нагрузкой m крутящий момент изменяется по линейному закону. При отсутствии погонной нагрузки (m = 0) крутящий момент сохраняет постоянное значение  (МК = МКо = const). В сечениях, где к валу приложены сосредоточенные скручивающие моменты, на эпюре МК возникают скачки, направленные вверх, если моменты направлены против часовой стрелки, либо вниз – при обратном направлении моментов.

Рис. 5.3
 
На рис. 5.4, а изображен стержень, жестко защемленный в правом концевом сечении, к которому приложены три внешних скручивающих момента.

Рис. 5.4
 
В нашем случае крутящие моменты в их поперечных сечениях удобно выражать через внешние моменты, приложенные со стороны свободного конца бруса.
Это позволяет определять крутящие моменты, не вычисляя реактивного момента, возникающего в заделке.
Крутящий момент Mz1 в сечении I численно равен M1=200 нм и, согласно принятому правилу знаков, положителен.
Крутящий момент Mz2 в сечении II численно равен алгебраической сумме моментов M1 и M1, т.е. Mz2 =200-300=-100 нм, а его знак зависит от соотношения этих моментов.
Аналогичным образом вычисляется крутящий момент Mz3 в сечении III: Mz3 =200-300+500=400 нм.
Изменение крутящих моментов по длине вала покажем с помощью эпюры крутящих моментов. На рис. 5.4, б показана такая эпюра для стержня, изображенного на рис. 5.4, а.
Каждая ордината эп. Mk в принятом масштабе равна величине крутящего момента, действующего в том поперечном сечении бруса, которому соответствует эта ордината.
В сечении, в котором к брусу приложен внешний скручивающий момент, ордината эпюры изменяется скачкообразно на величину, равную значению этого момента.
Следует учитывать, что наибольший внешний скручивающий момент, приложенный к брусу, не всегда равен наибольшему крутящему моменту, по которому ведется расчет бруса на прочность и жесткость.