Численные методы. Интерполирование и приближение функций

ВВЕДЕНИЕ

Численные методы – раздел вычислительной математики, посвященный методам решения математических задач в численном виде.
Основными задачами в прикладной математике для вычислительных методов наибольшее значение имеют: решение систем линейных алгебраических уравнений; интерполирование и приближенное вычисление функций; численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений; численное интегрирование; численное решение систем нелинейных уравнений; приближенное решение нелинейных и трансцендентных уравнений; решение задач оптимизации; численное решение уравнений математической физики (уравнений в частных производных).
Каждый численный метод представляется некоторой последовательностью выполнения арифметических операций над элементами входных данных. Если при любых входных данных численный метод дает решение после выполнения заранее известного числа операций, то такой метод называется прямым. Итерационные методы – это методы последовательных приближений, то есть задается некоторое начальное приближение, и после этого с помощью некоторого алгоритма проводится цикл вычислений, называемый итерацией. Прямые методы: метод Гаусса, метод окаймления, метод пополнения, метод сопряжённых градиентов и др. Итерационные методы: метод простой итерации, метод вращений, метод переменных направлений, метод релаксации и др.
В практических задачах в большинстве случаев найти точное решение не удается, поскольку искомое решение обычно не выражается в привычных для нас элементарных или других известных функциях. Поэтому важное значение приобрели численные методы, особенно в связи с возрастанием роли математических методов в различных областях науки и техники и с появлением высокопроизводительных ЭВМ.
Под численными методами подразумеваются методы решения задач, сводящиеся к арифметическим и некоторым логическим действиям над числами, т.е. к тем действиям, которые выполняет ЭВМ.
В настоящее время решение значительного числа задач упрощается, благодаря использованию программного обеспечения (MathCAD, MathLAB и т.д.), до ввода только входных данных.
Использование таких программных продуктов имеет как положительные так и отрицательные аспекты. Положительной стороной являются сокращение времени и ресурсов на решение ряда задач. Однако использование этих программ без тщательного анализа метода, с помощью которого решается задача, нельзя гарантировать правильный результат. Поэтому для более полного понимания того, как осуществляется расчет различного вида уравнений и их систем, необходимо теоретически изучить методы их решения и на практике их проработать.
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТИ
Основная задача теории погрешностей состоит в оценке погрешности результата вычислений при известных погрешностях исходных данных.
Получить точное значение при решении задачи на машине практически невозможно. Получаемое решение всегда содержит погрешность и является приближенным. Источники погрешности:
погрешность математической модели;
погрешность в исходных данных;
погрешность численного метода;
погрешность округления или отбрасывания.
Погрешность математической модели определяется выбором математической модели. Так для описания падения тела с высоты h0 и имеющего скорость v0 используются уравнения:
h=h0-v0∙t-g∙t22;v=v0+g∙tпри допущении, что тело обладает средней плотностью, значительно превышающей плотность воздуха, а его форма близка к шару. В этом случае можно пренебречь сопротивлением воздуха.
Если учитывать силу сопротивления F(t), действующую на тело массой m, тогда движение тела можно описать с помощью уравнений:
m∙dvvt=m∙g-Ft, dhdt=-v, при t=0, v=v0, h=h0.Погрешность в исходных данных определяется: погрешностью измерения или погрешностью вычислений, с помощью которых они были получены.
Погрешность численного метода определяется точностью выбранного числено метода и вычислительного средства.
Пусть α* – точное (и никогда неизвестное) значение некоторой величины, а α – приближенное значение этой же величины.
Абсолютной погрешностью приближенного значения α называется величина:
∆α=|α-α*|Относительной погрешностью приближенного значения α называется величина:
δα=|α-α*||α|Так как точное значение α*, как правило, неизвестно, чаще получают оценки погрешностей вида:
∆α≥|α-α*|δα≥|α-α*||α|Величины ∆α и δα называют предельной абсолютной и относительной погрешностью соответственно. В вычислениях вместо абсолютной и относительной погрешностей будем использовать предельные погрешности.
Значащими цифрами числа называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева.
Значащую цифру называют верной в широком смысле, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующего этой цифре или верной в узком смысле, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда, соответствующего этой цифре.
Погрешности вычислений:
Абсолютная погрешность суммы или разности нескольких чисел не превосходит суммы абсолютных погрешностей этих чисел
∆a±b≤∆a±∆b.Относительная погрешность суммы
δa+b≤δmax.Относительная погрешность разности
δa-b≤vδmax, где v=a+ba-b.Относительные погрешности произведения и частного
δa∙b=δa+δb,δab=δa+δb.Абсолютная погрешность дифференцируемой функции многих переменных
u=fx1, x2,x3,…,xn,∆u≤i=1n∂f∂xi∙∆xi.
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКЕ И ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУКАХ
ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
В ряде задач возникает необходимость вычисления определенного интеграла от некоторой функции:
I=abf(x)dx (1)где f(x) – подынтегральная функция, непрерывная на отрезке [a,b].
Геометрический смысл интеграла заключается в том, что если f(x)≥0 на отрезке [a,b], то интеграл abf(x)dx численно равен площади фигуры, ограниченной графиком функции y=f(x), отрезком оси абсцисс, прямой x=a  и прямой x=b. Таким образом, вычисление интеграла равносильно вычислению площади криволинейной трапеции.
Задача численного интегрирования состоит в замене исходной подынтегральной функции некоторой аппроксимирующей функцией (обычно полиномом).
Численное интегрирование применяется, когда:
сама подынтегральная функция не задана аналитически, а например, представлена в виде таблицы значений;
аналитическое представление подынтегральной функции известно, но её первообразная не выражается через аналитические функции.
Способы численного вычисления определенных интегралов основаны на замене интеграла конечной суммой:
abf(x)dx≈j=1Ncj∙fxj (2)        где cj – числовые коэффициенты, выбор которых зависит от выбранного метода численного интегрирования, xj – узлы интегрирования (xj∈a,b, j=1,…,N). Выражение (2) называют квадратурной формулой.
Разделим отрезок a,b на N равных частей, то есть на N элементарных отрезков. Длина каждого элементарного отрезка:
h=b-aN (3)Тогда значение интеграла можно представить в виде:
abf(x)dx≈j=1Nxj-1xjfxdx (4)Из этого выражения видно, что для численного интегрирования на отрезке a,b, достаточно построить квадратурную формулу на каждом частичном отрезке [xj-1, xj].
Погрешность квадратурной формулы определяется выражением:
ΨN=abf(x)dx-j=1Ncj∙fxj (5)и зависит от выбора коэффициентов cj и от расположения узлов xj.
Погрешность численного интегрирования определяется шагом разбиения. Уменьшая этот шаг, можно добиться большей точности. Однако увеличивать число точек не всегда возможно. Если функция задана в табличном виде, приходится ограничиваться заданным множеством точек. Повышение точности может быть в этом случае достигнуто за счет повышения степени используемых интерполяционных многочленов.
Формулы Ньютона-Котеса получаются путем замены подынтегральной функции интерполяционным многочленом Лагранжа с разбиением каждого частичного отрезка интегрирования на n равных частей. Получившиеся формулы используют значения подынтегральной функции в узлах интерполяции и являются точными для всех многочленов степени x, зависящей от числа узлов. Точность решения растет с увеличением степени интерполяционного многочлена.
Метод Гаусса не предполагает разбиения отрезка интегрирования на равные промежутки. Формулы численного интегрирования интерполяционного типа ищутся таким образом, чтобы они обладали наивысшим порядком точности при заданном числе узлов. Узлы и коэффициенты формул численного интегрирования находятся из условий обращения в нуль их остаточных членов для всех многочленов максимально высокой степени.
Одним из простейших методов численного интегрирования является метод прямоугольников. На частичном отрезке [xj-1, xj] подынтегральную функцию заменяют полиномом Лагранжа нулевого порядка, построенным в одной точке. В качестве этой точки можно выбрать середину частичного отрезка xj-0,5=xj-0,5h. Тогда значение интеграла на частичном отрезке:
xj-1xjfxdx≈fxj-0,5∙h (6)Подставив это выражение в (4), получим составную формулу средних прямоугольников:
abfxdx≈j=1Nfxj-0,5∙h (7)Графическая иллюстрация метода средних прямоугольников представлена на рис.1(a). Из рисунка видно, что площадь криволинейной трапеции приближенно заменяется площадью многоугольника, составленного из N прямоугольников. Таким образом, вычисление определенного интеграла сводится к нахождению суммы N элементарных прямоугольников.
Формулу (7) можно представить в ином виде:
abfxdx≈j=1Nfxj-1 или abfxdx≈j=1Nh∙fxj (8)Эти формулы называются формулой левых и правых прямоугольников соответственно. Графически метод левых и правых прямоугольников представлен на рис.1(б, в). Однако из-за нарушения симметрии в формулах правых и левых прямоугольников, их погрешность значительно больше, чем в методе средних прямоугольников.
а) средние прямоугольники б) левые прямоугольники в) правые прямоугольники
Рис.1. Интегрирование методом прямоугольников
Метод трапеций.
Если на частичном отрезке [xj-1, xj]  подынтегральную функцию заменить полиномом Лагранжа первой степени:
fx=L1,jx=1hx-xj-1fxj-(x-xj)f(xj-1) (9) то искомый интеграл на частичном отрезке запишется следующим образом:
xj-1xjfxdx≈1hfxjxj-1xjx-xj-1dx-fxj-1xj-1xjx-xjdx=fxj+fxj2h (10)Тогда составная формула трапеций на всем отрезке интегрирования [a, b] примет вид:
abfxdx≈j=1Nfxj+fxj2h=h12f1+fN+f2+…+fN-1 (11)Графически метод трапеций представлен на рис.2. Площадь криволинейной трапеции заменяется площадью многоугольника, составленного из N трапеций, при этом кривая заменяется вписанной в нее ломаной. На каждом из частичных отрезков функция аппроксимируется прямой, проходящей через конечные значения, при этом площадь трапеции на каждом отрезке определяется по формуле (10).
Погрешность метода трапеций выше, чем у метода средних прямоугольников. Однако на практике найти среднее значение на элементарном интервале можно только у функций, заданных аналитически (а не таблично), поэтому использовать метод средних прямоугольников удается далеко не всегда.
 Рис.2. Интегрирование методом трапеций
Метод Симпсона.
В этом методе подынтегральная функция на частичном отрезке [xj-1, xj] аппроксимируется параболой, проходящей через три точки xj-1, xj-0,5, xj, то есть интерполяционным многочленом Лагранжа второй степени:
fx=L2,jx=2h2x-xj-0,5x-xjfxj-1-2x-xj-1x-xjfxj-0,5+x-xj-1x-xj-0,5fxj (12)Проведя интегрирование, получим:
xj-1xjfxdx≈h6(fj-1+4fj-0,5+fj) (13) Это и есть формула Симпсона или формула парабол. На отрезке a,b формула Симпсона примет вид:
abfxdx≈h6f0+fN+2f1+f2+…+fN-1+4f0,5+f1,5+f2,5+…+fN-0,5==h6f0+fN+2j=1N-1fj+4j=0,5N-0,5fj (14)Если разбить отрезок интегрирования a,b на четное количество 2N равных частей с шагом h=b-a2N, то можно построить параболу на каждом сдвоенном частичном отрезке [xj-1, xj] и переписать выражения (12-14) без дробных индексов. Тогда формула Симпсона примет вид:
abfxdx≈h3f0+f2N+2f2+f4+…+f2N-2+4f1+f3+f5+…+f2N-1==h3f0+f2N+2j=2,22N-2fj+4j=1,22N-1fj (15)Графическое представление метода Симпсона показано на рис.3. На каждом из сдвоенных частичных отрезков заменяем дугу данной кривой параболой.
Рис.3. Метод Симпсона
Выше были рассмотрены три схожих метода интегрирования функций – метод прямоугольников, метод трапеций, метод Симпсона. Их объединяет общая идея: интегрируемая функция интерполируется на отрезке интегрирования по равноотстоящим узлам многочленом Лагранжа, для которого аналитически вычисляется значение интеграла. Семейство методов, основанных на таком подходе, называется методами Ньютона-Котеса.
В выражении
abfxdx≈j=1NCjf(xj)Коэффициенты Cj правильнее называть весовыми коэффициентами.
Величину
ΨN=abf(x)dx-j=0NCjf(xj)определяющую погрешность численного интегрирования, называют остатком.
Для семейства методов Ньютона-Котеса можно записать общее выражение:
abf(x)dx≈n∙hCnj=1Ni=0nCinfxi (16)где n – порядок метода Ньютона-Котеса, N – количество частичных отрезков,
h=xj-xj-1n, Cn=i=0nCin, xi=xj+ih.В формулах численного интегрирования Ньютона-Котеса используются равноотстоящие узлы. В случае квадратурных формул Гаусса узлы интегрирования xi на отрезке [xj-1, xj] располагаются не равномерно, а выбираются таким образом, чтобы при наименьшем возможном числе узлов точно интегрировать многочлены наивысшей возможной степени.
abf(x)dx≈b-a2Nj=1Ni=0nCinfxi (17)Узлы xi являются корнями полинома Лежандра степени n, а веса вычисляются интегрированием полиномов Лежандра по формуле
ai=21-xi2[Pn'(xi)]2где Pn' – первая производная полинома Лежандра.
Квадратура Гаусса относится к квадратурам открытого типа. Это означает, что ни один и узлов не совпадает ни с одним из концов отрезка интегрирования a или b.
Веса квадратур Гаусса всегда положительны, и при увеличении числа узлов точность приближения почти всегда возрастает.
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Решение систем линейных алгебраических уравнений является одной из самых распространенных и важных прикладных задач. Система линейных алгебраических уравнений с n неизвестными – это система вида:
a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1…am1x1+am2x2+…+amnxn=bm (18)При решении СЛАУ применяются следующие методы: прямые и итерационные. Прямее методы характеризуются конечными соотношениями (формулами) для вычисления неизвестных. Они дают решении после выполнения заранее известного числа операций. Эти методы сравнительно просты и наиболее универсальны, то есть пригодны для решения широкого класса СЛАУ. Однако прямые методы имеют и ряд существенных недостатков. Как правило, они требуют хранения в оперативной памяти ЭВМ сразу всей матрицы, и при больших ее размерах расходуется много места в памяти. Далее, прямые методы обычно не учитывают структуру матрицы: при большом числе нулевых элементов в разреженных матрицах эти элементы занимают место в памяти машины, и над ними проводятся арифметические действия. Существенным недостатком прямых методов является также накапливание погрешностей в процессе решения, поскольку вычисления на любом этапе используют результаты предыдущих операций. Это особенно опасно для больших систем, когда резко возрастает общее число операций, а также для плохо обусловленных систем, весьма чувствительных к погрешностям. Иногда прямые методы решения СЛАУ называют точными, поскольку решение выражается в виде точных формул через коэффициенты системы. Однако точное решение может быть получено лишь при выполнении вычислений с бесконечным числом разрядов (приточных значениях коэффициентов системы). При использовании ЭВМ вычисления проводятся с ограниченным числом знаков, определенным типом переменных и разрядностью машины. Поэтому неизбежны погрешности в окончательных результатах.
Итерационные методы – это методы последовательных приближений. В них необходимо задать некоторое приближенное решение – начальное приближение. После этого с помощью некоторого алгоритма проводится один цикл вычислений, называемый итерацией. В результате итерации находят новое приближение. Итерации проводятся до получения решения с требуемой точностью. Алгоритмы решения СЛАУ итерационных методов обычно более сложные по сравнению с прямыми методами.
Объем вычисления заранее определить трудно. Однако итерационные методы в ряде случаев предпочтительнее. Они требуют хранения в памяти машины не всей матрицы системы, а лишь нескольких векторов с n компонентами. Иногда элементы матрицы можно совсем не хранить, а вычислять их по мере необходимости. Погрешности окончательных результатов при использовании итерационных методов не накапливаются, поскольку точность вычислений в каждой итерации определяется лишь результатами предыдущей итерации и практически не зависит от ранее выполненных методов. Эти достоинства итерационных методов делают их особенно полезными в случае большого числа уравнений, а также плохо обусловленных систем. Сходимость итераций может быть очень медленной.
Итерационные методы могут использоваться для уточнения решений, полученных с помощью прямых методов. Такие смешенные алгоритмы обычно довольно эффективны, особенно для плохо обусловленных СЛАУ.
Наиболее распространенным среди прямых методов являются метод исключения Гаусса и его модификации. Он основан на приведении матрицы системы к треугольному виду. Это достигается последовательным исключением неизвестных из уравнений системы.
Сначала с помощью первого уравнения исключается x1 из всех последующих уравнений системы. Затем с помощью второго уравнения исключается x2 из третьего и всех последующих уравнений. Этот процесс, называемый прямым ходом метода Гаусса, продолжается до тех пор, пока в левой части последнего (n -го) уравнения не останется лишь один член с неизвестным xn , то есть матрица СЛАУ будет приведена к треугольному виду.
Обратный ход метода Гаусса заключается в последовательном исключении искомых неизвестных: при решении последнего уравнения находится единственное неизвестное xn. Затем, используя это значение, из предыдущего уравнения вычисляем xn-1 и так далее. Последним находим x1 из первого уравнения.
Рассмотрим вопрос о погрешностях решения СЛАУ методом Гаусса. Запишем систему в матричном виде AX=B. Решение этой системы можно представить как X = A-1B . Однако вычисленное по методу Гаусса решение X* отличается от этого решения из-за погрешностей округления, связанных с ограниченностью разрядной сетки машины.
Существуют две величины, характеризующие степень отклонения полученного решения от точного. Одна из них – погрешность ε, равная разности этих значений ε=X-X*. Другая – невязка r, равная разности между правой и левой частями уравнений при подстановке в них решения r=B-AX*.
Рассмотрим итерационный метод, отличающийся простотой и легкостью программирования – метод Гаусса-Зейделя.
Запишем систему n линейных уравнений с n неизвестными
ai,1x1+…+ai,i-1xi-1+ai,ixi+ai,i+1xi+1+…+ai,nxn=bi, i=1,2,…,n.Здесь также будем полагать, что все диагональные элементы отличны от нуля. Тогда в соответствии с методом Гаусса-Зейделя k-ое приближение к решению можно представить в виде
xi(k)=1ai,ibi-ai,1x1(k)-…-ai,i-1xi-1(k)-ai,i+1xi+1(k-1)-…-ai,nxn(k-1). (19)Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока все значения xi(k) не станут близкими к xi(k-1).
Близость этих значений можно характеризовать максимальной абсолютной величиной их разности δ. Тогда при заданной допустимой погрешности ε > 0 критерий окончания итерационного процесса можно записать в виде
δ=max1≤i≤nxi(k)-xi(k-1)<ε. (20)Это критерий по абсолютным отклонениям. Его можно заменить критерием по относительным разностям, то есть условно окончание итерационного процесса записать как (при xi≫1)max1≤i≤nxi(k)-xi(k-1)xi(k)<ε. (21)При выполнении условия (20) или (21) итерационный процесс Гаусса-Зейделя называется сходящимся. В этом случае максимальные разности δ между значениями переменных в двух последовательных итерациях убывают, а сами эти значения стремятся к решению СЛАУ.
Для сходимости итерационного процесса достаточно, чтобы модули диагональных коэффициентов для каждого уравнения системы были не меньше сумм модулей всех остальных коэффициентов
ai,i≥i≠jai,j, i =1,2,…n. (22)Эти условия являются достаточными для сходимости метода, но они не являются необходимыми, то есть для некоторых систем итерации сходятся и при нарушении условия (22).
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ
Пусть дано уравнение
fx = 0, (23)где функция f(x) определена и непрерывна в конечном или бесконечном интервале a < x < b.
Всякое значение ξ, обращающее функцию f(x) в нуль, то есть такое, что f(ξ) = 0, называется корнем уравнения (23) или нулем функции f(x). Предположим, что уравнение (23) имеет лишь изолированные корни, то есть для каждого корня существует окрестность, не содержащая других корней этого уравнения.
Приближенное нахождение изолированных действительных корней уравнения (23) складывается обычно из двух этапов:
Отделение корней, то есть установление возможно тесных промежутков [α, β], в которых содержится один и только один корень исходного уравнения (23).
Уточнение приближенных корней, то есть доведение их до заданной степени точности.
Действительные корни уравнения f(x) = 0 приближенно можно определить как абсциссы точек пересечения графика функции y = f(x) с осью ОХ. На практике часто бывает удобнее уравнение (23) заменить равносильным ему уравнением
φx=ψx, (24)где функции φ(x) и ψ(x) более простые, чем функция f(x). Тогда, построив графики этих функций, искомые корни получим как абсциссы точек пересечения этих графиков.
Метод половинного деления (дихотомии).
Сформулируем без доказательства очень важную для рассмотрения дальнейших вопросов теорему.
Теорема: Если непрерывная функция f(x) принимает значения разных знаков на концах отрезка [α, β], то есть f(α)·f(β) < 0, то внутри этого отрезка содержится по меньшей мере один корень уравнения f(x) = 0, а именно: найдётся хотя бы одно число ξ∈[α, β] такое, что f(ξ) = 0.
Пусть дано уравнение
fx= 0, (25)где функция f(x) определена и непрерывна на интервале [a, b] и f(a)·f(b) < 0. Для нахождения корня уравнения делим отрезок [a, b] пополам:
если f((a + b)/2)=0, то ξ=(a + b)/2 является корнем уравнения (25);
если f((a + b)/2)≠0, то выбираем ту половину отрезка [a, (a + b)/2] или [(a + b)/2, b], на концах которого функция f(x) имеет противоположные знаки. Новый суженный отрезок [a1, b1] снова делим пополам и проводим тот же анализ и т.д.
Очевидно, что закончить уточнение значения корня можно при достижении условия |aj – bj| < ε , где ε > 0 - сколь угодно малое число. Второй способ закончить вычисления - задать максимальное значение невязки: f((aj+bj)/2) < ε.
Метод половинного деления очень прост, здесь нет вычислительной формулы и можно обеспечить практически любую точность. Как недостаток метода можно отметить его медленную сходимость (за один шаг интервал, где находится корень, сужается всего в два раза).
Метод хорд
Пусть дано уравнение
fx= 0, (26)где функция f(x) определена и непрерывна на интервале [a,b] и выполняется соотношение f(a)·f(b) < 0.
Пусть для определенности f(a) < 0, f(b) > 0.Тогда вместо того, чтобы делить отрезок [a, b] пополам, более естественно разделить его в отношении – f(a):f(b). При этом новое значение корня определяется из соотношения
x1=a+h1 (27)Где
h1=-fa-fa+fbb-a=-fafb-fab-a. (28)Далее этот прием применяем к одному из отрезков [a, x1] или [x1, b], на концах которого функция f(x) имеет противоположные знаки. Аналогично находим второе приближение x2 и т.д.
ИНТЕРПЛИРОВАНИЕ И ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ
Приближение функций — нахождение для данной функции f функции g из некоторого определённого класса (например, среди алгебраических многочленов заданной степени), в том или ином смысле близкой к f, дающей её приближённое представление. Существует много разных вариантов задачи о приближении функций в зависимости от того, какие функции используются для приближения, как ищется приближающая функция g, как понимается близость функций f и g. Интерполирование функций — частный случай задачи приближения, когда требуется, чтобы в определённых точках (узлах интерполирования) совпадали значения функции f и приближающей её функции g, а в более общем случае — и значения некоторых их производных.
  Для оценки близости исходной функции f и приближающей её функции g используются в зависимости от рассматриваемой задачи метрики различных функциональных пространств. Обычно это метрики пространств непрерывных функций C и функций, интегрируемых с p-й степенью, Lp, p≥1, в которых расстояние между функциями f и g определяется (для функций, заданных на отрезке [а, b]) по формулам
|f-g|C=maxx∈[a,b]|fx-gx|и|f-g|Lp=ab|fx-g(x)|pdx1/pНаиболее часто встречающейся и хорошо изученной является задача о приближении функций полиномами, т. е. выражениями вида
k=1nakφk(x),где (φ1,…,φn – заданные функции, a a1,…, an – произвольные числа. Обычно это алгебраические многочлены
k=1nakxkили тригонометрические полиномы
a0+k=1n(akcoskx+bksinkx).Рассматриваются также полиномы по ортогональным многочленам, по собственным функциям краевых задач и т.п. Другим классическим средством приближения являются рациональные дроби P(x)/Q(x), где в качестве P и Q берутся алгебраические многочлены заданной степени.
  В последнее время (60—70-е гг. 20 в.) значительное развитие получило приближение так называемыми сплайн-функциями (сплайнами). Характерным их примером являются кубические сплайн-функции, определяемые следующим образом. Отрезок [a, b] разбивается точками a =x0<x0<... <x0= b, на каждом отрезке [xk, xk+1] кубическая сплайн-функция является алгебраическим многочленом третьей степени, причём эти многочлены подобраны так, что на всём отрезке [а, b] непрерывны сама сплайн-функция и её первая и вторая производные. Оставшиеся свободными параметры могут быть использованы, например, для того чтобы сплайн-функция интерполировала в узлах xk приближаемую функцию. Улучшение приближения достигается за счёт увеличения числа узлов xk правильного их расположения на отрезке [а, b]. Сплайн-функции оказались удобными в вычислительной математике, с их помощью удалось решить также некоторые задачи теории функций.
  Приближённые представления функций, а также сами функции на основе их приближённых представлений изучает теория приближений функций (употребляются также названия теория аппроксимации функций и конструктивная теория функций). К теории приближений функций обычно относят также задачи о приближении элементов в банаховых и общих метрических пространствах.
  Теория приближений функций берёт начало от работ П. Л. Чебышева. Он ввёл одно из основных понятий теории — понятие наилучшего приближения функции полиномами и получил ряд результатов о наилучших приближениях. Наилучшим приближением непрерывной функции f (x) полиномами k=1nakφk(x) в метрике С называется величина
En(f)c=minf-k=1nakφkxC,где минимум берётся по всем числам a1,..., an. Полином, для которого достигается этот минимум, называется полиномом наилучшего приближения (для других метрик определения аналогичны). Чебышев установил, что наилучшее приближение функции xn+1 на отрезке [-1, 1] в метрике C алгебраическими многочленами степени n равно 1/2n, а многочлен наилучшего приближения таков, что для него
xn+1-k=0nakxkx=12ncosn+1arccosx.Следующая теорема Чебышева указывает характеристическое свойство полиномов наилучшего приближения в пространстве непрерывных функций: алгебраический многочлен k=0nakxkx, в том и только в том случае является многочленом наилучшего приближения непрерывной функции f в метрике C[-1, 1], если существуют n+2 точки -1≤x1≤x2<...<xn+2≤ 1, в которых разность f (x) — 2k=0nakxk принимает максимальное значение своего модуля с последовательно чередующимися знаками.
С начала 20 в. началось систематическое исследование поведения при n→∞ последовательности En(f) – наилучших приближений функции f алгебраическими (или тригонометрическими) многочленами. С одной стороны, выясняется скорость стремления к нулю величин En(f) в зависимости от свойств функции (т. н. прямые теоремы теории приближений), а с другой — изучаются свойства функции по последовательности её наилучших приближений (обратные теоремы теории приближений). В ряде важных случаев здесь получена полная характеристика свойств функций. Приведём две такие теоремы.
  Для того чтобы функция f   была аналитической на отрезке (т. е. в каждой точке этого отрезка представлялась степенным рядом, равномерно сходящимся к ней в некоторой окрестности этой точки), необходимо и достаточно, чтобы для последовательности её наилучших приближений алгебраическими многочленами выполнялась оценка
En(f)≤Aqnгде q < 1 и А — некоторые положительные числа, не зависящие от n (теорема С. Н. Бернштейна).
ЛИТЕРАТУРА
Алибеков, И.Ю. Численные методы / И.Ю. Алибеков. - М.: МГИУ, 2008. - 220 c.
Ахиезер Н. И., Лекции по теории аппроксимации, 2 изд., М., 1965.
Бахвалов, Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов. - М.: Бином, 2011. - 636 c.
Гончаров В. Л., Теория интерполирования и приближения функций, 2 изд., М., 1954.
Натансон И. П., Конструктивная теория функций, М. — Л., 1949.
Никольский С. М., Приближение функций многих переменных и теоремы вложения, М., 1969.
Тиман А. Ф., Теория приближения функций действительного переменного, М., 1960.
Численные методы / Под ред. Лапчика М.П.. - М.: Academia, 2017. - 608 c.