Математическое моделирование в экономике

Введение
Математическое моделирование на протяжении многих веков было одним из важнейших инструментов научного познания окружающего мира. Но только в середине двадцатого века, из-за распространения компьютеров, он вышел за рамки научных изучений и стал широко применяться в повседневной практике. Это разрешило с помощью математического моделирования решить несколько ранее не решаемых технических и естественнонаучных задач. Без математического моделирования невозможно реализовать космический полет, построить современный сверхзвуковой самолет, спроектировать ядерный реактор и обеспечить его безопасную эксплуатацию. В этом и состоит актуальность данной работы.
У каждого специалиста свое понятие о предмете математического моделирования, но основное - это употребление математики для решения определенных задач. Математическое моделирование иногда называют интеллектуальным ядром математики. Ведь без моделирования невозможно обрабатывать и передавать информацию и использовать компьютерные системы.
Целью данной работы является определение особенностей применения методов математического моделирования в экономических исследованиях. В связи с этим в работе поставлены следующие основные задачи:
- охарактеризовать сущность методов математического моделирования;
- рассмотреть методы математического моделирования в экономике;
- выявить особенности применения методов математического моделирования в экономике.

1. Сущность методов математического моделирования
Математическая модель - это формализация осваиваемого процесса и его описание в виде количественных соотношений, то есть выявление существенных признаков и свойств процессов и объекта исследования и их описание с помощью математических уравнений и формул.[1, с. 23]
После того, как модель построена, то есть математическая форма записана, мы можем либо использовать известные математические методы для ее изучения, либо, если таковых нет, разработать новые.
Математические модели были построены давно. Модель движения абсолютно твердого тела под действием указанных сил можно назвать старой, но используется каждый день. Он основан на трех законах Ньютона.
Как начать строить модель? Отправной точкой является некая эмпирическая реальная картина процесса, которая ставит перед исследователем задачу, в которой необходимо дать ответы на поставленные вопросы. Но прежде всего, необходимо установить, в чем заключается задача. Процесс формирования проблемы, которую можно описать математически, часто бывает длительным и требует многих навыков и информации, которые могут не иметь отношения к математике. Как правило, математикам нужно обращаться к нематематикам. После построения и улучшения модели она проверяется. Схема, представленная на рисунке 1, показывает основные этапы построения конкретных моделей.

Рисунок 1. Основные этапы математического моделирования
Охарактеризуем данные этапы математического моделирования. [3, с. 63]
Этап 0-1. При понимании и постановке проблемы на физическом уровне явления схематизируются и идеализируются, т. е. выделяются их существенные особенности. Некоторые характеристики явления могут быть значительными, важными, другие - незначительными.
Этап 1-2. После определения важнейших факторов следующим шагом является перевод необходимых нам данных на язык математических понятий и величин - создание системы определения параметров явления, формирование отношений и уравнений между величинами и параметрами. Это самая сложная часть процесса моделирования. Здесь исследователю часто приходится полагаться на фундаментальные физические законы, такие как законы сохранения массы и энергии, изменения количества движения, электромагнетизм, теорию излучения, а также на принципы теории вероятностей, вариационные принципы и т. д. Аналоги подобных законов существуют в биологии и экономике, где они принимают форму различных балансовых соотношений.
Этап 2-3. Затем строятся элементы модели. Обычно он представляет собой систему зависимостей в виде дифференциальных, интегральных и иных уравнений, аналитически описывающих изучаемое явление. Математические модели обязаны воспроизводить основные особенности задач и в то же время быть достаточно наглядными и удобными для дальнейшего использования. Н. Е. Жуковский однажды сказал, что хороший механик составляет такие уравнения, которые можно решить.
Этап 3-4. Во время построения моделей и после необходимо проверять адекватность модели явлению и логическую непротиворечивость или правильность постановок задачи. Таким образом, вы можете применять очень простое и эффективное правило физического измерения всех членов уравнения, составленного в соответствии с законами сохранения или в соответствии с правилами баланса. Если задача сводится к знакомому уравнению из математической физики, то ее следует изучать на корректность с учетом рассматриваемых начальных и граничных условий. Кроме этого, все устанавливающие параметры и значения рассматриваемого явления должны быть включены в математическую постановку задачи.
4-5 этап. Здесь разрабатываются или употребляются популярные методы решения, просчитывается проблема или проводится качественный анализ.
5-6 этап. Достоверность модели проверяется по результатам решения теоретической задачи, и результаты сравниваются с реальностью. Затем модель уточняется (циклы 6-2). Постановка задачи уточняется, а затем изменяется дизайн ее элементов. Надо подчеркнуть, что модель может отражать реальность, но не сама реальность. Глубина отображения реальности моделью зависит от целей, поставленных исследователем.
Таким образом, математическая модель - это формализация осваиваемого процесса и его описание в виде количественных соотношений, то есть выявление существенных признаков и свойств процессов и объекта исследования и их описание с помощью математических уравнений и формул.
2. Методы математического моделирования в экономике
При помощи оперативных исследований и построения математической модели анализируется ситуация и выбираются оптимальные решения для управления ею или обосновываются предложенные решения. В экономике использование методов математического моделирования к месту при решении сложных задач или когда решение проблемы обусловливается большим количеством факторов, которые по-разному влияют на ее решение. В этом случае могут возникнуть серьезные последствия из-за необдуманного и научно необоснованного решения. Математические методы и модели в экономике помогают заранее выбрать оптимальные или близкие к ним решения по определенным параметрам. Такое решение будет иметь научную основу, а это значит, что лицо, получающее решение, не будет сомневаться в его эффективности при образовании окончательного заключения. Но на практике не может быть решений, которые в любом случае можно было бы назвать наилучшими. Любые решения, приобретенные с помощью математического моделирования, являются оптимальными по одному или нескольким параметрам, предлагаемым поставщиком задачи и исследователем.
Важнейшими принципами построения математических моделей в экономике выступают [6]:
- Необходимость согласования точности и деталей модели с точностью исходных чисел, которыми располагает исследователь, и с необходимыми последствиями.
- Отображение в математической модели важнейших свойств изучаемого экономического явления, а также отсутствие желания упрощать модель.
- Математические модели не могут быть целиком адекватны истинным явлениям, поэтому для изучения необходимо строить различные модели с использованием разных математических методов. Получение аналогичных результатов означает окончание исследования. Если итоги существенно различаются, задание следует пересмотреть.
- Все сложные системы подвергаются небольшим внутренним и внешним влияниям, поэтому математическая модель должна быть стабильной и способной сохранять свою структуру и свойства при таких влияниях.
В зависимости от числа критериев эффективности математические модели делятся на однокритериальные и многокритериальные, включающие несколько критериев.
В зависимости от учета неизвестных факторов математическая модель может стать детерминированной, стохастической или моделью, включающей части неопределенности.
Для стохастических моделей неизвестные факторы - это случайные величины с известными функциями распределения и разнообразными статистическими характеристиками (дисперсия, математическое ожидание, стандартное отклонение и т. д.). Данные модели в экономике распределяются на [5, с. 198]:
- стохастически программируемые модели, целевая функция или ограничения которых показаны случайными величинами;
- модели теории случайного процесса, целью которых выступает изучение процессов, состояние которых во всяком временном интервале является случайной величиной;
- модели массового обслуживания, которые исследуют многоканальные типы систем, которые обслуживают различные требования.
Для моделирования экономических обстановок, которые имеют зависимость от случайного набора факторов и не могут быть подтверждены статистическими числами, вы можете применять модель с частям неопределенности.
В моделировании, применяемом к теории игр, проблема может быть представлена ​​как игра, в которой несколько игроков преследуют разные цели, например, организация или предприятие на конкурентном рынке.
В имитационной модели показание реального процесса объединено с машинным временем, и оно отслеживает итоги случайного влияния на него (например, организацию производственных процессов).
Детерминированные модели не принимают во внимание неизвестные факторы. В зависимости от ограничений и типа целевой функции детерминированные модели подразделяются на группы: линейные, нелинейные, динамические и графические.
В линейной модели существует линейность между целевой функцией и ограничениями и управляющими переменными.
Нелинейные модели включают те модели, в которых существует нелинейность либо целевой функции, либо любого из ограничений (всех ограничений) на управляющие переменные.
Использование графических моделей целесообразно, когда задача может быть представлена ​​в виде графической структуры.[5, с. 124]
Таким образом, математические методы и модели в экономике помогают заранее выбрать оптимальные или близкие к ним решения по определенным параметрам. Такое решение будет иметь научную основу, а это значит, что лицо, получающее решение, не будет сомневаться в его эффективности при образовании окончательного заключения. В зависимости от числа критериев эффективности математические модели делятся на однокритериальные и многокритериальные, включающие несколько критериев.
3. Особенности применения методов математического моделирования в экономике
Проникновение математики в экономическую науку объединено с преодолением существенных трудностей. Отчасти в этом была «вина» математики, которая развивалась в течение нескольких столетий в основном в связи с потребностями физики и техники. Но основные причины по-прежнему лежат в природе экономических процессов, в специфике экономической науки.
Большинство объектов, осваиваемых экономической наукой, можно охарактеризовать кибернетическим понятием «сложная система».
Сложность системы находится числом элементов, включенных в нее, отношениями между этими элементами и отношениями между системой и окружающей средой. [4] Экономика государства имеет все признаки очень сложной системы. Он сочетает в себе огромное количество элементов и отличается разнообразием внутренних связей и связей с другими системами (природная среда, экономика других стран и т. д.). В народном хозяйстве действуют между собой технологические, природные, социальные процессы, объективные и субъективные факторы. Сложность экономики иногда анализировала как оправдание невозможности ее моделирования, исследования с помощью математики. Но эта точка зрения в корне неверна. Вы можете моделировать объект любой природы и любой сложности. И именно сложные объекты наиболее интересны для моделирования; вот где моделирование может дать результаты, которые нельзя получить другими методами изучения.
Потенциальная возможность математического моделирования любых экономических объектов и процессов, конечно, не обозначает, что это успешно осуществимо при заданном уровне экономических и математических знаний, существующей определенной информации и компьютерных технологий. Хотя невозможно указать абсолютные пределы математической формализации экономических проблем, всегда будут неформализованные проблемы, а также ситуации, когда математическое моделирование недостаточно эффективно.
Долгое время основным препятствием для практического применения математического моделирования в экономике является наполнение разрабатываемых моделей конкретной и качественной информацией. Точность и полнота первичной информации, реальные возможности ее сбора и обработки во многом определяют выбор типов применяемых моделей. С другой стороны, исследования по экономическому моделированию выдвигают новые требования к информационной системе.
В зависимости от моделируемых объектов и назначения моделей используемая в них исходная информация имеет существенно разный характер и происхождение. Его можно разделить на две категории: о прошлом развитии и текущем состоянии объектов (экономические наблюдения и их обработка) и о будущем развитии объектов, включая данные об ожидаемых изменениях их внутренних параметров и внешних условий (прогнозы). Вторая категория информации - это результат независимых исследований, которые также могут быть выполнены посредством моделирования.
Методы экономических наблюдений и применение результатов данных наблюдений разработаны экономической статистикой. Потому стоит отметить только конкретные проблемы экономических наблюдений, объединенные с моделированием экономических процессов.[3]
В экономике много процессов: для них характерны закономерности, которые не обнаруживаются на основе одного или нескольких наблюдений. Следовательно, моделирование экономики должно основываться на массовом наблюдении.
Другая проблема возникает из-за динамизма экономических процессов, изменчивости их параметров и структурных связей. В результате необходимо постоянно отслеживать экономические процессы и постоянно получать новые данные. Поскольку наблюдения за экономическими процессами и обработка эмпирических данных обычно занимают довольно много времени, при построении математических моделей экономики необходимо корректировать исходную информацию.
Знание количественных соотношений экономических процессов и явлений основано на экономических измерениях. От точности измерений во многом зависит точность конечных результатов количественного анализа посредством моделирования. Следовательно, нужным условием эффективного использования математического моделирования выступает улучшение экономических показателей. Использование математического моделирования обострило вопрос измерения и количественного сравнения разнообразных аспектов и явлений социально-экономического формирования, надежности и полноты полученных данных, а также их защиты от преднамеренных и технических искажений.
В ходе моделирования происходит взаимодействие «первичных» и «вторичных» экономических показателей. Любая модель национальной экономики основана на обусловленной системе экономических показателей (продуктов, ресурсов, элементов и т. д.). В то же время одним из значимых итогов народнохозяйственного моделирования выступает получение новых (вторичных) экономических показателей - экономически аргументированных цен на продукцию разнообразных отраслей, оценок результативности использования разнокачественных природных ресурсов и показателей социальной полезности товары. Но на эти измерители могут влиять недостаточно обоснованные первичные измерители, что принуждает разработать специальный метод настройки первичных измерителей для бизнес-моделей.
С точки зрения «интересов» экономического моделирования наиболее актуальными проблемами улучшения экономических показателей выступают: оценка итогов интеллектуальной деятельности (особенно в области научно-технических разработок, информационной индустрии), построение обобщенных показателей социально-экономическое развитие, измерение эффектов обратной связи (воздействие экономических и социальных механизмов на результативность производства).
Понимание неопределенности экономического развития важно для методологии экономического планирования. В изучениях по экономическому прогнозированию и планированию распознают два типа неопределенности: «истинная», обусловленная характеристиками экономических процессов, и «информационная», связанная с неполнотой и неточностью доступной информации об данных процессах.[1] Истинную неопределенность не следует путать с объективным существованием разнообразных вариантов экономического формирования и возможностью сознательного выбора среди них эффективных. Речь идет о принципиальной невозможности точно выбрать единственный (оптимальный) вариант.
Есть две основные причины неуверенности в экономическом развитии. Во-первых, ход запланированных и управляемых процессов, а также внешние влияния на данные процессы невозможно точно предсказать из-за действия случайных факторов и ограничений человеческого знания в каждый момент. Это особенно верно для прогнозирования научно-технического прогресса, социальных потребностей и экономического поведения.
Во-вторых, национальное планирование и управление не только не комплексны, но и не всемогущи, а присутствие множества независимых хозяйствующих субъектов с особыми интересами не разрешает точно прогнозировать результаты их взаимодействия.
Неполнота и неточность сведений об объективных процессах и экономическом поведении увеличивают истинную неопределенность.
На первых стадиях изучения экономического моделирования использовались в основном детерминированные модели. В этих моделях предполагается, что все параметры точно известны. Но детерминированные модели неправильно понимаются в механическом духе и отождествляются с моделями, в которых отсутствуют все «степени выбора» (возможности выбора) и которые имеют единственное приемлемое решение. Классическим представителем жестко детерминированных моделей является модель оптимизации национальной экономики, которая используется для определения наилучшего варианта экономического развития среди множества приемлемых вариантов.
В итоге накопления опыта применения строго детерминированных моделей были созданы реальные возможности для благополучного использования более совершенной методологии моделирования экономических процессов, учитывающей стохастичность и неопределенность.
Есть два основных направления исследований. Во-первых, усовершенствован метод применения жестко-детерминированных моделей: многовариантные расчеты и модельные эксперименты с вариациями конструкции модели и ее исходных данных; исследование устойчивости и надежности полученных решений, выявление зоны неопределенности; включение в модель резервов, применение приемов, повышающих адаптивность экономических решений к вероятным и непредвиденным ситуациям. Во-вторых, широкое распространение получают модели, которые напрямую отражают стохастику и неопределенность экономических процессов и используют соответствующий математический аппарат: теория вероятностей и математическая статистика, теория игр и статистические решения, теория массового обслуживания, стохастическое программирование и теория случайных процессов.
Таким образом, основным препятствием для практического применения математического моделирования в экономике является наполнение разрабатываемых моделей конкретной и качественной информацией. Моделирование экономики должно основываться на массовом наблюдении. Еще одна проблема возникает из-за динамизма экономических процессов, изменчивости их параметров и структурных связей. В результате необходимо постоянно отслеживать экономические процессы и постоянно получать новые данные и т.д.

Заключение
В заключение работы можно сделать следующие выводы.
Под моделированием понимается процесс построения, изучения и применения моделей. Оно тесно связано с такими категориями, как абстракция, аналогия, гипотеза и др. Процесс моделирования обязательно включает и построение абстракций, и умозаключения по аналогии, и конструирование научных гипотез.
Процесс моделирования включает три элемента: 1) субъект (исследователь), 2) объект исследования, 3) модель, опосредствующую отношения познающего субъекта и познаваемого объекта.
Проникновение математики в экономическую науку связано с преодолением значительных трудностей, лежащих в природе экономических процессов и специфике экономической науки
Сложность экономики иногда рассматривалась как обоснование невозможности её моделирования, изучения средствами математики. Но такая точка зрения в принципе неверна. Моделировать можно объект любой природы и. любой сложности, И как раз сложные объекты представляют наибольший интерес для моделирования; именно здесь моделирование может дать результаты, которые нельзя получить другими способами исследования.
Потенциальная возможность математического моделирования любых экономических объектов и процессов не означает, разумеется, её успешной осуществимости при данном уровне экономических и математических знаний, имеющейся конкретной информации и вычислительной технике. И, хотя нельзя указать абсолютные границы математической формализуемости экономических проблем, всегда будут существовать неформализованные ещё проблемы, для которых математическое моделирование недостаточно эффективно.

Список использованной литературы
Власенко В. Д. В58 Математическое моделирование: учеб. пособие / В. Д. Власенко. – Хабаровск: Изд-во Хабар. гос. техн. ун-та, 2004. – 74 с.
Звягин Л. С. Математическое моделирование комплексных экономических процессов / Л. С. Звягин. — Текст : непосредственный // Экономика, управление, финансы : материалы IV Междунар. науч. конф. (г. Пермь, апрель 2015 г.). — Пермь : Зебра, 2015. — С. 23-29.
Моделирование экономических процессов: Учебник / Под ред. М.В. Грачевой, Ю.Н. Черемных. - М.: Юнити, 2013. - 543 c.
Моделирование экономических процессов: Учебник / Под ред. М.В. Грачевой, Ю.Н. Черемных . - М.: Юнити, 2015. - 543 c.
Радковская Е.В. Математические методы в современных экономических исследованиях/ Е.В. Радковская. – Журнал Вестник Югорского государственного университета. – 2015. – 37-40с.
Редькина Л.А. Применение методов математического анализа в моделировании экономических процессов // Международный студенческий научный вестник. – 2018. – № 3-1.;