Свойства множества натуральных чисел

Введение

Теория множеств была построена к концу ХIX в. Она заняла в математике центральное место как логическая основа всех существовавших в то время математических дисциплин. В наше время теория множеств проникает также в другие науки, как гуманитарные, так и естественные, в самые различные области научных исследований.
В математике нет определения понятия множества, как нет определения понятия точки, прямой. Понятие множества выделилось из представлений о совокупности, собрании, классе, семействе предметов.
Понятие множества принадлежит к числу основных, неопределяемых понятий математики. Оно не сводится к другим, более простым понятиям. Поэтому его нельзя определить, а можно лишь пояснить, указывая синонимы слова «множество» и приводя примеры множеств: множество – набор, совокупность, собрание каких-либо объектов (элементов), обладающих общим для всех их характеристическим свойством.
Глава 1. История чисел и вычисленийИз истории возникновения счета и чиселУчиться считать люди начали в незапамятные времена, а учителем у них была сама жизнь.
Древние люди добывали себе пищу главным образом охотой. На крупного зверя – бизона или лося – приходилось охотиться всем племенем: в одиночку ведь с ним и не справишься. Чтобы добыча не ушла, ее надо было окружить, ну хотя бы так: пять человек справа, семь сзади, четыре слева. Тут уж без счёта никак не обойдешься! И вождь первобытного племени справлялся с этой задачей, Даже в те времена, когда человек не знал таких слов, как «пять» или «семь», он мог показать числа на пальцах рук.
Есть и сейчас на земле племена, которые при счёте не могут обойтись без помощи пальцев. Вместо числа пять они говорят «рука», десять – «две руки», а двадцать – «весь человек», – тут уж присчитываются числа на пальцах рук. В Африке есть племя, где и в наше время люди считают «один», «два», «три», а дальше «много».
Лет сорок назад и в нашей стране были ещё народности, которые умели считать только на пальцах. Вот как рассказывает об этом писатель Сёмушкин:
«Проезжая однажды мимо стойбища чукчей, я заметил на склоне небольшое стадо оленей. Я насчитал 128 оленей. Когда я спросил хозяина, сколько у него оленей, он ответил:
– Мы не считали. Но если хоть один олень пропадет из стада, глаза мои узнают сразу.
А можешь ты посчитать?
Если тебе нужно, посчитаю. Долго буду считать. Поезжай пока в ярангу, а потом я принесу счёт.
В яранге мы успели попить чаю, закусить, переговорить с хозяином обо всём, а часа через два пришел наш «подсчётчик». Он назвал число – 128. Старик хозяин крайне удивился такому множеству оленей.
Наверно, ты ошибся. Так много оленей никогда у нас не было.
Старик решил проверить.… Для этого он разулся и через три часа сообщил, что подсчёт произведён правильно (он помнил каждого оленя). Для подсчёта не хватило своей семьи из пяти человек, и пришлось пригласить ещё двух человек из соседней яранги…».
Так люди начинали учиться считать, пользуясь тем, что дала им сама природа, – собственной пятернёй.
Предметы считать просто; один, два, три, четыре.… Измерить небольшое расстояние тоже несложно. Надо только иметь какую-нибудь мерку. Даже теперь мы нередко меряем расстояние по способу первобытных людей – считаем шаги.
Гораздо труднее найти мерку для времени. Тут ни пальцы, ни шаги не помогут: время можно измерять только временем. А мерка? Мерку надо было искать в природе.
Самыми древними «часами», которые к тому же никогда останавливались и не ломались, оказалось солнце. Утро, день, вечер, ночь. Не очень уж точные мерки, но поначалу первобытному человеку этого было достаточно. Потом люди научились определять время более точно: днём – по солнцу, а ночью – по звёздам.
Звёзды были для людей не только первыми часами, но и первым компасом.
А как разделить год? Весь год – это целых 365 дней, очень большая и не всегда удобная мера времени. На помощь пришла луна. Люди заметили, что от полнолуния до полнолуния проходит почти ровно тридцать суток. Так появилась ещё одна мера времени – месяц. Понятно, почему и по-русски и на многих других языках слово «месяц» означает и луну, и отрезок времени. Потом месяц стали делить ещё на четыре части. Из этих четвертушек месяца родились наши недели.
Для того чтобы считать дни нужны большие числа: десятки, сотни и даже тысячи. Тут, конечно, никаких пальцев для счёта хватить не могло! Да и считая предметы, их можно было перекладывать, пересчитывать несколько раз. А в счёте времени ошибаться нельзя. Прошедший день исчез, его не вернёшь, не присоединишь к другим.
Как же считали дни люди в те времена, когда они и писать не умели?
Додумались. Ведь можно было каждый день делать зарубку на палке и потом зарубки эти сосчитать. Так началась первая на земле запись прожитых дней. Только делали её не пером, а топором. Именно таким деревянным календарём пользовался на необитаемом острове Робинзон Крузо. Через каждые тридцать дней, то есть каждое новолуние, он делал на своём календаре зарубку подлиннее. Получалась отметка месяца. Из месяцев складывался год.
Несколько десятков лет назад учёные-археологи обнаружили стойбище древних людей. В нём они нашли волчью кость, на которой 30 тысяч лет тому назад какой-то древний охотник нанес пятьдесят пять зарубок. Видно, что, делая эти зарубки, он считал по пальцам. Узор на кости состоял из одиннадцати групп по пять зарубок в каждой. При этом первые пять групп он отделил от остальных длинной чертой. Позднее в Сибири и других местах были найдены сделанные в ту же далёкую эпоху каменные орудия и украшения, на которых тоже были чёрточки и точки, сгруппированные по 3, по 5 или по 7.
Некоторые народы – например индейцы в Северной Америке – вместо зарубок на палке завязывали узлы на шнуре или верёвке.
Так люди постепенно учились считать до сотен и тысяч и даже «записывать» эти числа с помощью палки или верёвки.
Постепенно росли знания людей, и чем дальше, тем больше увеличивалась потребность в умении считать и мерить. Скотоводам приходилось пересчитывать свои стада, а при этом счёт мог идти уже сотнями и тысячами. Земледельцу надо было знать, сколько земли засеять, чтобы прокормить себя до следующего урожая, А время посева? Ведь, если посеять не вовремя, урожая не получишь!
Счёт времени по лунным месяцам уже не годился. Нужен был более точный календарь. К тому же людям всё чаще приходилось сталкиваться с большими числами, запомнить которые трудно или даже невозможно. Нужно было придумать, как их записывать.
Около пяти тысяч лет назад люди додумались до того, что числа можно записывать не просто зарубками-единицами, а по разрядам: отдельно единицы, отдельно десятки, отдельно сотни. Это было очень важным открытием. Считать и записывать числа теперь стало гораздо легче.
В древнем Вавилоне считали не десятками, а шестидесятками. Число шестьдесят играло у них такую же роль, как у нас десять. Вавилоняне пользовались всего двумя цифрами. Вертикальная чёрточка обозначала одну единицу, а угол из двух лежачих чёрточек – десять. Эти чёрточки у них получались в виде клиньев, потому что вавилоняне писали острой палочкой на сырых глиняных дощечках, которые потом сушили и обжигали.
Вавилонская запись чисел была не очень удобной. Скучное занятие – рисовать много клинышков или уголков подряд, чтобы записать число двумя знаками. А если число было большое, то нередко происходила путаница, потому что специального значка для обозначения разряда 60 не было. И например, число 3600 изображалось, как и единица, вертикальным клином. Вот тут и разберись!
Очень интересная система счёта была у народа майя, который жил в Центральной Америке (там, где сейчас государство Мексика). Около двух тысяч лет назад индейцы майя были гораздо культурнее, чем народы, жившие в то время в Европе.
Майя считали двадцатками – у них была двадцатеричная система счёта. Числа от 1 до 20 обозначались точками и чёрточками. Если под числом был нарисован особый значок в виде глаза, это значило, что число надо увеличить в двадцать раз. Получались уже не единицы, а двадцатки, второй разряд. Если глаз был нарисован дважды, то число надо было дважды умножить на двадцать. Это был третий разряд – четырёхсотки. Выходит, что изображение глаза играло у майя ту же роль, что у нас цифра нуль. Только они рисовали глаз не рядом с числом, а под ним.
Китайцы, как и египтяне, пользовались десятичной системой счёта. Кроме цифр от 1 до 9 там есть ещё значки для 10, 100 и 1000. Если справа от цифры стоит значок «10», – значит, цифру надо умножить на 10, Получаются десятки, второй разряд.
Любопытны были различные методы обозначения чисел, придуманные египтянами и вавилонянами, греками и римлянами. Но у всех этих методов был один недостаток: по мере увеличения чисел нужны были всё новые и новые знаки. И когда один из величайших древнегреческих математиков Архимед научился называть громадные числа, никто из купцов, чиновников или военачальников не обратил на это внимания. А метод Архимеда был и впрямь замечателен. Он просто называл обычную единицу единицей чисел первых, а мириаду мириад, то есть 100000000, – единицей чисел вторых. Мириаду мириад чисел вторых он назвал единицей чисел третьих и так вел счёт до мириады мириад чисел мириадо-мириадных.
Чтобы представить себе, каким громадным было это число, достаточно сказать, что по-нашему оно записывается в виде единицы с 800000000 нулями. Но и здесь не остановился великий ученый. Мириаду мириад чисел мириадо-мириадных он назвал единицей чисел второго периода и, продолжая идти вперёд, дошёл до чисел мириадо-мириадного периода. Насколько велико это число, сказать почти невозможно. Если записать его обычным почерком на бумажной ленте, то эта лента окажется во много тысяч раз длиннее, чем расстояние от Земли до Солнца! Чтобы записать, сколько нулей в числе Архимеда, надо написать цифру 8 и поставить после неё 16 нулей.
Но хотя названия громадных чисел у Архимеда уже были, обозначать их он ещё толком не умел. Не хватало ему самой малости. Архимед, один из гениальнейших математиков, не додумался до…нуля!
Впервые нуль был придуман вавилонянами примерно две тысячи лет назад. Но они применяли его лишь для обозначения пропущенных разрядов. Писать нули в конце записи числа они не догадались. Да к тому же их система счисления была, как мы знаем, шестидесятичной, и поэтому их открытие оказалось незамеченным народами, считавшими в десятичной системе счисления. Может быть, к идее о нуле для десятичной системы счёта пришли счётчики на абаке, знавшие, что иногда не приходится не класть камешки в какую-нибудь канавку на доске? Может быть, это сделали александрийские купцы? Но обычно считают, что это замечательное достижение было сделано в Индии полторы тысячи лет тому назад.
Нуль был присоединён к девяти цифрам, и появилась возможность обозначать этими девятью цифрами любое число как бы велико оно не было.
Индийцы очень обрадовались этой возможности, и в их легендах есть повествования о битвах, в которых участвовало такое количество обезьян, что для его обозначения надо было написать после единицы ещё 23 нуля! Столько обезьян не поместится во всей Солнечной системе.
И самое главное, запись таких гигантских чисел стала довольно короткой. Ведь если бы живший тридцать тысячелетий тому назад древний человек имел представление о миллионе и захотел бы изобразить это число с помощью зарубок на волчьих костях ему пришлось бы истребить 20 тысяч волков. А для записи миллиарда не хватило бы волков во всех европейских лесах. Теперь же вся запись умещалась в одной строке!
Надо сказать, что хотя введение обозначения нуля оказалось чрезвычайно полезным для математики, первоначально некоторые «учёные» встретили это нововведение враждебно. «Зачем обозначать то, чего нет!» Но полезность нового открытия скоро стала ясна всем.
Как же в древности пользовались люди своим умением считать? Для чего им была нужна математика?
+Народам-земледельцам, для того чтобы прожить и прокормиться, нужно было знать гораздо больше, чем кочевникам-скотоводам. Жизнь заставляла их учиться быстрее. Поэтому у земледельческих народов математика из набора отдельных простейших правил постепенно стала превращаться в науку.
Глава 2. Свойства множества натуральных чиселМножество натуральных чисел и его свойстваВ математике принято, говоря не об отдельном натуральном числе n, а обо всех натуральных числах сразу, использовать термин множество натуральных чисел и обозначать это множество буквой N (лат. naturalis – естественный, природный). Рассмотрим некоторые его свойства.
1. Возьмём наугад какое-нибудь натуральное число, например 6, и запишем все его делители: 1, 2, 3, 6. Для каждого из этих чисел запишем,
сколько у него делителей. Так как у 1 только один делитель (само это число), у 2 и 3 по два делителя, а у 6 имеем 4 делителя, то получаем числа 1, 2, 2, 4. У них есть замечательная особенность: если возвести эти числа в куб и сложить ответы, получится в точности такая же сумма, которую мы получили бы, сначала сложив эти числа, а потом возведя сумму в квадрат. Иными словами, 13+23+23+43= (1+2+2+4)2.
И в самом деле, оба выражения равны 81.
Может быть, всё дело в том, что мы взяли число 6? Попробуем другое число, например 12. Здесь уже больше делителей: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Записывая число делителей для каждого из этих чисел, получаем: 1, 2, 2, 3, 4, 6. Проверим, выполняется ли равенство 13+23+23+33+43+63=(1+2+2+3+4+6)2.
Подсчёты показывают, что и слева, и справа ответ один и тот же, а именно 324.
Какое бы число мы не взяли, подмеченное нами свойство будет выполняться.
2. Возьмем любое четырёхзначное число, например 2519, и расставим его цифры сначала в порядке убывания, а потом в порядке возрастания: 9521 и 1259. Из большего числа вычтем меньшее: 9521–1259=8262. С полученным числом проделаем то же самое: 8622–2268=354. И ещё один такой же шаг: 6543–3456=3087. Далее, 8730–0378=8352, 8532–2358=6174. Сделаем ещё один шаг: 7641–1467=6174. Снова получилось 6174.
Вот теперь мы «зациклились»: сколько бы раз мы теперь мы ни вычитали, ничего, кроме 6174, не получим. Может быть, дело в том, что так было подобрано исходное число 2519? Оказывается, оно здесь не при чём: какое бы четырёхзначное число мы не взяли, после не более чем семи шагов обязательно получится это же число 6174.
3. Возьмём любое число (хоть тысячезначное), записанное в десятичной системе счисления. Возведём все его цифры в квадрат и сложим. С суммой проделаем то же самое. Оказывается, после нескольких шагов мы получим либо число 1, после чего иных чисел не будет, либо 4, после чего имеем числа 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20 и снова получим 4. Значит цикла не избежать и здесь.
Что мы знаем о множестве N – множестве натуральных чисел?
Во-первых, это множество упорядочено. Это означает, что о любых двух неравных натуральных числах всегда можно сказать, что одно из них меньше другого. Например, 3 меньше 5, 1000 меньше 10000 и т.д.
Во-вторых, множество N ограничено снизу. Это значит, что в нём есть число, меньше которого натуральных чисел уже не существует. Что это за число? Конечно, 1. Меньших натуральных чисел не бывает.
В-третьих, множество N не ограничено сверху, иначе говоря, не существует самого большого натурального числа.
Мы часто пишем: 1, 2, 3, …! Но что таится за этими тремя точками? Попробуем представить себе, что же кроется за этим многоточием. Возьмём полоску и будем писать на ней 1, 2, 3, 4, 5, 6, …. Даже если взять полоску длиной в один километр, то, когда мы всю её испишем, процесс писания не окончится. Поэтому возьмём полоску побольше. Например, равную расстоянию от Бреста до Владивостока. Чтобы всю её заполнить числами, придётся несколько лет идти с запада на восток. Но всё равно, хотя написанные числа будут очень большими, за каждым из них идет следующее, Даже полоска, опоясывающая земной шар, не вместит всех натуральных чисел.
Значит – на первый взгляд – бесконечен должен быть и запас знаков для их обозначения. А в действительности мы обходимся всего лишь десятью знаками цифрами (1,2,3,4,5,6,7,8,9,0)!
Простота и удобство десятичной системы не только в краткости записи и удобной форме произнесения любых чисел. Важной и полезной особенностью этой системы является возможность хорошей организации вычислений.
Ученый Леонард Эйлер придумал обозначать множества чисел кругами и они получили название «круги Эйлера».
Один из величайших математиков петербургский академик Леонард Эйлер за свою долгую жизнь (он родился в 1707 году, а умер в 1783 году) написал более 850 научных работ. В одной из них и появились эти круги. А впервые он их использовал в письмах к немецкой принцессе. Эйлер писал тогда, что «круги очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». Позднее аналогичный прием использовал ученый Венн и его назвали «диаграммы Венна». Наряду с кругами применяются прямоугольники и другие фигуры.
Достаточно ли множества N для человека? Конечно, нет, так как не всегда можно выполнить вычитание во множестве натуральных чисел. Существуют и отрицательные числа, то есть числа … –3, –2, –1, каждое из которых противоположно какому-нибудь натуральному. Границей между натуральными числами и целыми отрицательными числами служит число 0, а все они вместе (натуральные, нуль и целые отрицательные) составляют новое числовое множество Z (от первой буквы немецкого слова zahl – число) – множество целых чисел. Натуральные числа, противоположные им (отрицательные) числа и ноль называются целыми числами.
Обходиться только натуральными числами неудобно. Например, ими нельзя вычесть большее из меньшего. Для такого случая были введены отрицательные числа: китайцами – в Х в. до н.э., индийцами – в VII веке, европейцами – только в XIII веке.
Положительные количества в китайской математике называли «чен», отрицательные – «фу»; их изображали разными цветами: «чен» – красным, «фу» – черным. Такой способ изображения использовался в Китае до середины XII столетия, пока Ли Е не предложил более удобное обозначение отрицательных чисел – цифры, которые изображали отрицательные числа, перечеркивали черточкой наискось справа налево.
В V–VI столетиях отрицательные числа появляются и очень широко распространяются в индийской математике. В Индии отрицательные числа систематически использовали в основном так, как это мы делаем сейчас.
В Европе к идее отрицательного количества достаточно близко подошел в начале XIII столетия Леонардо Пизанский, однако в явном виде отрицательные числа применил впервые в конце XV столетия французский математик Шюке.
Современное обозначение положительных и отрицательных чисел со знаками «+» и «–» применил немецкий математик Видман, однако еще в ХVI столетии много математиков (например, Виет) не признавали отрицательных чисел.
Наглядно представить себе дробь может каждый: для этого достаточно посмотреть на разрезанные арбуз, пирог или на огород, разделённый на грядки. Но представить себе число –5 труднее. Ведь нельзя ни отмерить-5 метров ткани, ни отрезать –500 грамм хлеба. Зачем же нужны такие странные числа с ещё более странными правилами действий над ними?
Дело в том, что существует много вещей, которые могут как увеличиваться, так и уменьшаться.
Если на товар большой спрос, на фабрике увеличивают план по его выпуску, а если товар вышел из моды, то план приходится уменьшать. При обработке детали на станке её масса уменьшается, а если к ней приваривают другую деталь, то масса увеличивается. Увеличивается и уменьшается с течением времени температура воздуха и т.д.
Положительные и отрицательные числа как раз и служат для описания изменений величины. Если величина растёт, то говорят, что её изменение положительно, а если она убывает, то изменение называют отрицательным. А можно толковать положительные и отрицательные числа и по-иному. Например, можно считать, что положительные числа выражают имущество, а отрицательные – долг. Если у кого-то в кармане 8 рублей, но он должен из них 5 рублей отдать, то располагать он может только тремя рублями. Поэтому считают, что 8+(–5)= 3. Если же, наоборот, у него в кармане только 5 рублей, а должен он 8 рублей, то после того, как отдана вся наличная сумма, останется ещё три рубля долга. Это и выражают равенством 5+(–8)= –3.
Примерно так толковали числа индийские математики, которые столкнулись с ними при решении уравнений. По–видимому, такие числа и рассматривал и греческий математик Диофант, живший в III веке нашей эры.
Ещё раньше с отрицательными числами столкнулись китайские ученые. Это было примерно во II веке до нашей эры. Более точно сказать трудно, так как император Ши Хуан Ди, разгневавшись на учёных, повелел все научные книги сжечь, а их авторов и читателей казнить. Содержание этих книг дошло до нас лишь в отрывках, откуда известно, что китайцы не знали правила знаков при умножении положительных и отрицательных чисел. Впервые его сформулировали индийские учёные.
+Надо сказать, что именно это правило является самым таинственным во всей теории. Объяснить, почему при умножении отрицательного числа на положительное получается отрицательное, несложно. Для этого достаточно заменить умножение на натуральное число сложением и увидеть, что, например, (–7) х3= –7+(–7)+(–7)= –21. Труднее объяснить, почему это остаётся верным при умножении положительного числа на отрицательное, – ведь что значит, например, взять число 6 слагаемым – 3 раза? Даже самые крупные математики XVIII века давали здесь на редкость туманные объяснения. Английский поэт У.Г. Оден с огорчением воскликнул:
«Минус на минус – всегда только плюс.
Отчего так бывает, сказать не берусь».

ЗаключениеПотребность в счете, измерениях, и желании проследить за изменением количественной характеристики, послужило толчком в зарождении математики и основными математическими действиями над числами. История показывает, как тяжел был путь выбора наиболее удобного варианта действий над числами. И не в последнюю очередь от этого зависит дальнейшее распространение и развитие математики как науки.
Теория множеств, хотя и является одной из наиболее молодых отраслей математики, оказала огромное влияние на развитие математики и стала фундаментом целого ряда новых математических дисциплин. Хотелось бы отметить, что некоторые вопросы теории множеств должны быть включены в программы средней школы. Несмотря на высокую степень абстракции, усвоение теории множеств не представляет особых трудностей, так как не требует предварительной подготовки.

Список используемой литературы

Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976.
Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин.– 7-е изд.- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.
Математическая энциклопедия, том V, М, «Советская энциклопедия», 1985.
Михелович Ш.Х. Теория чисел. М, «Высшая школа», 1967.
Френкель А. и Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М., 2006.
Френкель, А. Основание теории множеств / А. Френкель, И. Бар-Хиллел – М.: Мир, 1966.