Линии токов жидкости и вихревые линии

Введение
Гидравлика — наука, изучающая законы равновесия и механического движения жидкостей и разрабатывающая методы применения этих законов для решения различных прикладных задач. Название «гидравлика» произошло от греческих слов «хюдор» - вода и «аулос» - труба, желоб. Вначале в понятие «гидравлика» включалось только учение о движении воды по трубам. В настоящее время почти во всех областях техники применяются различные гидравлические устройства, основанные на использовании гидравлических законов.
Все вещества в природе имеют молекулярное строение. По характеру молекулярных движений, а также по численным значениям межмолекулярных сил жидкости занимают промежуточное положение между газами и твердыми телами. 
Жидкость представляет собой совокупность частиц, заполняющих объем без пустот и разрывов.
Гидродинамика – это раздел гидравлики, в котором рассматриваются законы движения и взаимодействия жидкостей с неподвижными и подвижными поверхностями.
При движении жидкости происходят изменения положения частиц в пространстве и их деформации, т. е. изменения формы и объема.
Если скорость зависит как от координат точек пространства, так и от времени, то такое движение называется нестационарным или неустановившимся.
Если же скорость зависит только от координат точек пространства и не зависит от времени (постоянна по величине и направлению в каждой данной точке), то такое движение называется установившимся, или стационарным.
Различают два вида движения:
-вихревое, при котором кроме поступательного движения происходит вращение частиц жидкости вокруг осей, через них проходящих;
-потенциальное, при котором отсутствует вращательное движение.
Движение частицы жидкости слагается из поступательного движения центра тяжести частицы со скоростью u0, из деформационного движения, обусловленного изменением формы самой частицы со скоростями деформации F и из вращательного движения с угловыми скоростями ωi.
При движении частиц жидкости различают линию тока, элементарную струйку, вихревую линию и вихревую трубку.
В данной работе более подробно рассмотрены линии токов и вихревые линии жидкости.
Линии токов жидкости
Линией тока называется линия, касательная к каждой точке которой в данный момент времени совпадает с направлением вектора скорости (рис. 1). Следовательно, линия тока отражает мгновенную картину движения в различных точках. Так как путь частицы жидкости представляет траекторию ее движения с течением времени, то только в случае установившегося движения линии тока совпадает с траекториями движущихся частиц жидкости.

Рис. 1 Линии тока в поле скоростей
Поверхность, образованная линиями тока, проведенными через все точки бесконечно малого замкнутого контура, называется трубкой тока (рис. 2).

Рис. 2 Трубка тока
Масса жидкости, протекающей внутри трубки тока, называется элементарной струйкой. Таким образом, элементарную струйку можно рассматривать как движущийся бесконечно малый объем жидкости вокруг линии тока. В условиях установившегося движения элементарная струйка обладает свойствами:
-ее форма остается неизменной с течением времени;
-поверхность элементарной струйки является непроницаемой, то есть частицы жидкости не могут войти или выйти через нее;
-вследствие малости поперечного сечения струйки скорости во всех его точках принимаются одинаковыми.

Рис. 3 Элементарная струйка жидкости
Из-за различия скоростей соседние струйки будут скользить одна по другой, но не будут перемешиваться одна с другой.
Живым сечением, или просто сечением потока, называется в общем случае поверхность в пределах потока, проведенная нормально к линиям тока.
Различают напорные и безнапорные течения жидкости. Напорными называют течения в закрытых руслах без свободной поверхности, а безнапорными — течения со свободной поверхностью. При напорных течениях давление вдоль потока обычно переменное, при безнапорном — постоянное (на свободной поверхности) и чаще всего атмосферное. Примерами напорного течения могут служить течения в трубопроводах с повышенным (или пониженным) давлением, в гидромашинах или других гидроагрегатах. Безнапорными являются течения в реках, открытых каналах и лотках.
Расходом называется количество жидкости, протекающее через живое течение потока (струйки) в единицу времени. Это количество можно измерить в единицах объёма, в весовых единицах или в единицах массы, в связи с чем различают объёмный Q, весовой QG и массовый Qm расходы.
Для элементарной струйки, имеющий бесконечно малые площади сечений, можно считать истинную скорость одинаковой во всех точках каждого сечения. Следовательно, для этой струйки объёмный(м3/с), весовой(Н/с) и массовый(кг/с) расходы
; ;
Для потока конечных размеров в общем случае скорость имеет различное значение в разных точках сечения, поэтому расход надо определять как сумму элементарных расходов струек.
Обычно в рассмотрение вводят среднюю по сечению скорость
vср =Q/S, откуда Q= vср S.
Основываясь на законе сохранения вещества, на предположении о сплошности (неразрывности) течения и на указанном выше свойстве трубки тока, заключающемся в ее «непроницаемости», для установившегося течения несжимаемой жидкости можно утверждать, что объемный расход во всех сечениях элементарной струйки один и тот же:
dQ=v1dS1=v2dS2=const (вдоль струйки)
Это уравнение называется уравнением объемного расхода для элементарной струйки.
Аналогичное уравнение можно составить и для потока конечных размеров, ограниченного непроницаемыми стенками, только вместо истинных скоростей следует ввести средние скорости.
Вихревые линии
Если в какой-то области пространства, это означает, что частицы жидкости перемещаются не только поступательно, но при своём движении вращаются вокруг мгновенных осей, проходящих через полюс частицы. Такое движение жидкости называется вихревым.

При этом мгновенная угловая скорость вращения жидкой частицы 
 Векторы угловых скоростей бесконечно малых объёмов жидкости в различных точках потока образуют векторное поле угловых скоростей ω (или векторное поле вихрей вектора скорости rotc). Векторное поле угловой скорости или ротора вектора скорости (вихря) характеризуется следующими геометрическими образами: вихревая линия и вихревая трубка.
По аналогии с полем скоростей и линией тока, существует и вихревая линия, которая характеризует векторное поле.
Это такая линия, у которой для каждой точки вектор угловой скорости сонаправлен с касательной к этой линии.
Вихревые линии во многом ведут себя так же, как и линии тока.
Вихревая линия – линия, касательная к которой в каждой точке в данный момент времени направлена по вектору ротора скорости, т.е.  ||  , где  - элемент вихревой линии. Принимая во внимание, что  =  получаем уравнение вихревой линии:

где  - проекции вектора угловой скорости на оси координат. При установившемся движении вихревые линии в различные моменты времени совпадают друг с другом.

Рис. 4 Вихревая линия
Вихревая трубка – совокупность вихревых линий, проходящих через замкнутую кривую, не являющуюся вихревой линией.

Рис.5 Вихревая трубка
Вихревой шнур – часть жидкости, ограниченная вихревой трубкой.

Рис. 6 Вихревой шнур
2-я теорема Гельмгольца - Поток вектора ротора скорости через любое сечение вихревой трубки в данный момент времени одинаков вдоль всей трубки:

Поток вектора вихря является величиной, характерной для вихревой трубки. Его называют интенсивностью  вихревой трубки:
  
Для элементарной вихревой трубки можно записать следующим образом:
 
Из выражения вытекают два следствия:
1. Сечение вихревой трубки не может стать равным нулю ни в одной точке внутри жидкости.
2. Вихревые трубки не могут начинаться и заканчиваться сечением конечных размеров внутри жидкости.
Вихревые трубки либо образуют замкнутые кольца, либо начинаются и заканчиваются на ограничивающих жидкость поверхностях или свободной поверхности.
Линии тока комбинированного вихря Ранкина
Пусть теперь масса жидкости равномерно вращается с постоянной угловой скоростью ω около направленной вверх оси z и находится только под действием силы тяжести. Тогда имеем:

Дифференцируя и складывая первые два уравнения, получим:

Но по условиям существования потенциала скоростей эта разность должна быть равна нулю (см. у Гельмгольца), поэтому в данном примере потенциала скоростей быть не может. Применим общие уравнения движения и получим частный случай:

Эти уравнения имеют общий интеграл

Из чего следует, что свободная поверхность p=const есть параболоид вращения около оси z, который обращён кверху вогнутостью и имеет 2qω2 параметр. Теперь предположим, что на некотором расстоянии от оси вращения угловая скорость начинает зависеть от расстояния (течение вне ядра у Прандтля). В этом случае

Чтобы существовал потенциал скоростей, правая часть должна равняться нулю. Это возможно, если постоянно ωr2=μ, тогда в любой точке вне ядра скорость равна μr. Тогда при отсутствии внешних сил по закону изменения давления вдоль линии тока имеем

Если действует сила тяжести, а ось z направлена вертикально вверх, то к правой части нужно добавить ещё один член – gz. В этом случае свободная поверхность жидкости представляет собой поверхность, образованная вращением гиперболической кривой x2z=const вокруг оси z. Соединяя решения для ядра вихря и для течения вне ядра, получаем воронку жидкости - комбинированный вихрь Ранкина (рисунок ниже).

Рис.7 Комбинированный вихрь Ранкина
Линии тока жидкости вокруг цилиндра
Пусть теперь бесконечно длинный цилиндр радиуса a движется со скоростью U перпендикулярно к своей оси в неограниченной жидкости, которая в бесконечности находится в покое. Возьмём начало координат на оси цилиндра, а оси x и y в плоскости, перпендикулярной к оси цилиндра, ось x совпадает с направлением скорости U. В этом случае функции линий тока и эквипотенциальных кривых такие:

Графическое изображение линий тока показано на рисунке ниже

Рис.8 Линии тока равномерно движущегося цилиндра
Если сообщить жидкости и цилиндру скорость – U, то получится случай обтекания потоком неподвижного цилиндра. К функциям линий тока и эквипотенциальных кривых добавляются дополнительные слагаемые:

А графическое изображение линий тока становится гораздо проще (рисунок ниже).

Рис. 9 Линии тока жидкости при обтекании неподвижного цилиндра
Вернёмся к случаю, когда движется цилиндр в неподвижной жидкости. Предположим, что наряду с движением цилиндра существует ещё циркуляция вокруг цилиндра с циклической постоянной K. Граничные условия будут удовлетворены, если

Под влиянием циркуляции, наложенной на движение, вызванное цилиндром, скорость жидкости на одной стороне цилиндра увеличивается, а на другой стороне – уменьшается. Если цилиндр двигался прямолинейно с постоянной скоростью, то на одной стороне возникнет уменьшение давления, а на другой стороне произойдет увеличение давления. Тогда для поддержания первоначального движения необходимо приложить силу перпендикулярно к направлению движения (противоположная сила, отклоняющая цилиндр, называется силой Магнуса – примечание автора). На рисунке ниже показаны линии тока. На некотором малом расстоянии от начала они приближаются по виду к концентрическим кругам, так как движение, вызванное цилиндром, здесь мало в сравнении с циклическим движением. В представленном случае , поэтому точка, в которой скорость равна нулю, находится в жидкости. Изменение U приводит лишь к изменению масштаба чертежа по отношению к диаметру цилиндра.

Рис.10 Линии тока равномерно движущегося вращающегося цилиндра
Линии тока при движении вихревой пары
2089226386419Рассмотрим движение вихревой пары в неподвижной жидкости. Два прямолинейных параллельных вихря с противоположным направлением вращения с напряжениями движутся параллельно в плоскости xy с одинаковой скоростью на расстоянии 2а друг от друга в направлении оси y. Обозначим через длины отрезков, соединяющих некоторую точку плоскости xy с точками Чтобы найти относительные линии тока, нужно сообщить этой системе общую скорость, которая равна, но противоположна скорости вихря. Получится следующая функция:

Нулевая линия функции состоит частично из оси y и частично из овала, окружающего оба вихря. Заключённая в этом овале жидкость сопровождает вихревую пару в её движении, в то время как движение вне овала в точности совпадает с движением, которое было бы вызвано твёрдым цилиндром с таким же контуром. Полуоси овала приблизительно имеют длину 2,09 а и 1,73 а.

Рис. 11 Линии тока жидкости при равномерном движении вихревой пары
Устойчивость вихревых дорожек
Пусть существует бесконечный ряд равноотстоящих вихрей с одинаковым вращением, с расстоянием a между вихрями, с координатами (0, 0), (±a, 0), (±2а, 0), …, с одинаковым напряжением (в этом случае каждый вихрь два соседних вихря пытаются сместить, но воздействуют в противоположных направлениях). Для отдалённых точек этот ряд вихрей эквивалентен вихревому слою с равномерным напряжением . Расположение линий тока в этом случае показано на рисунке ниже (линии тока за пределами вихрей направлены в противоположные стороны).

Рис. 12 Линии тока в ряду равноотстоящих вихрей
Если такой ряд вихрей зеркально отразить, то возникнет подвижная система вихрей, движущаяся как целое со скоростью
, где b-расстояние между рядами. Вихри верхнего и нижнего ряда в таком случае будут вращаться в противоположные стороны (рисунок ниже). Средняя скорость в плоскости симметрии равна . Линии тока за пределами вихрей направлены в противоположную сторону и скорость их с увеличением расстояния от вихрей стремится к нулю.

Рис. 13 Система зеркальных рядов вихрей с одинаковым вращением
Если расположение изменено таким образом, что каждый вихрь одного ряда помещён против середины интервала между двумя соседними вихрями другого ряда, то средняя скорость в срединной плоскости не меняется. Изменяется общая поступательная скорость, которая становится равной . Устойчивость этих различных расположений вихревых дорожек в общих чертах была исследована Карманом. Ламб это сделал более подробно. Было доказано, что расположение вихрей в одном ряду является неустойчивым. Расположение двух симметричных рядов вихрей тоже неустойчиво. Расположение несимметричных рядов устойчиво только в случае, когда выполняется соотношение ba=k=0,281.
Рис. 14 Система несимметричных рядов вихрей с одинаковым вращением

Линии тока круговой вихревой нити
Ламб подробно исследовал структуру вихревого кольца. На рисунке ниже показаны некоторые линии тока круговой вихревой нити, соответствующие выведенной им формуле. Здесь ось x одновременно является и осью симметрии.

Рис. 15 Линии тока круговой вихревой нити
Изолированное вихревое кольцо движется без заметного изменения формы параллельно своей прямолинейной оси с приблизительно постоянной скоростью. Эта скорость мала по сравнению со скоростью жидкости в непосредственном соседстве с круговой осью, по направлению совпадает с направлением скорости жидкости в центре кольца.

Список используемых источников
Штеренлихт Д.В. Гидравлика. Учебник для вузов. — М.: Энергоатомиздат, 1984. — 640 с.
Мелешко В. В., Константинов М. Ю. Динамика вихревых структур. – Киев: Наук.думка, 1993. С.244-257 (В.Роджерс. О формировании вращающихся колец воздухом и жидкостями).
Гельмгольц Г. Основы вихревой теории. М.: ИКИ, 2002. 82 с.
Ламб Г. Гидродинамика // ОГИЗ. Государственное издательство техникотеоретической литературы. Москва-Ленинград. 1947.
Яковлев В.В. Особенности вращения. Часть 2. Взгляд независимого аналитика на вращение и на гидродинамические явления Пенза, 2017. - 110 с. - (монография)
Фейнман, Р. Фейнмановские лекции по физике / Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс ; под ред. Я.А. Смородинского. – Москва : Мир, 1965. – Т. 7. Физика сплошных сред. – 284 с.
https://lektsii.org/14-44710.htmlЭнциклопедия по машиностроению XXL https://mash-xxl.info/page/