Готовая задача по Прикладной механике на тему Определение кинематических характеристик поступательного и вращательного движений твердого тела

Механизм состоит из ступенчатых колес, находящихся в зацеплении и груза, прикрепленного к концу нити, намотанной на одно из колёс (рис. 1). 
По заданному уравнению прямолинейного поступательного движения груза S=f(t) определить скорость, касательное, нормальное и полное ускорение точки М в момент t=t_1. 
Дано: S= 0.1*(10*t^3+8*t)м, R_1=0.15м, R_2=0.1м, R_3=0.6м, R_4=0.5м,  t_1=2c.
Определить: a_1, V_1, a_M^τ, a_M^n  a_M, V_M-?
Решение.
Зная уравнение движения груза 1, определим его скорость как функцию времени
                                    V_1 = S ̇ = 0.1*(10*3*t^2+8*1)= 3*t^2+0.8;
При  t = t_1=2c
                                   V_1 =3*t^2+0.8=3*2*2+0.8=12+0.8=12.8м/с;
Определим ускорение груза как функцию времени
                                   a_1=dV_1/dt= 3*2*t=6*t;
При  t = t_1=2c
                                   a_1=6*2=12м/с^2;
Груз подвешен на нерастяжимом канате, поэтому скорость груза 1 такая же, 
как скорости точек на ободе колеса 2 радиуса R_1, т.е.
                                   V_B=V_1=3*t^2+0.8;
Найдем ω_2 как функцию времени:
                                  ω_2=V_B/R_1= (3*t^2+0.8)/0.15≈20*t^2+5.33;                 (1)
Так как колёса 2 и 3 находятся в зацеплении, то
                                 ω_3*R_2=ω_2*R_3, отсюда
         ω_3=ω_2*R_3/R_2=(20*t^2+5.33)*0.6/0.1≈120*t^2+32;                            (2)
При t = t_1=2c
                       ω_3=120*t^2+32=120*2*2+32=480+32=512с^(-1);
Найдем ε_3 как функцию времени:
                       ε_3=dω_3/dt=2*120*t=240*t;                                                  (3)
При t = t_1=2c
                       ε_3=240*2 =480c^(-2)
Одинаковые знаки у расстояния, скоростей, ускорений, угловых скоростей и 
угловых ускорений показывают, что направления их одинаковые, а движение 
ускоренное.
Определим V_M. Так как V_M=ω_3*R_4, то 
                               V_M=ω_3*R_4= 512*0.5=256м/с;
Hайдём ускорение точки M, используя формулу:
                        a_M^τ=ε_3*R_4;            a_M^n=ω_3^2 *R_4;     
                                  
                             a_M^τ=ε_3*R_4=480*0.5=240м/с^2;
                      a_M^n=ω_3^2 *R_4=512*512*0.5=131072м/с^2;
Полное ускорение точки M определим по формуле
a_M= √(〖(a_M^τ)〗^2+〖(a_M^n)〗^2  )= √(〖(240)〗^2+〖(131072)〗^2  )≈131072.2м/с^2;
Все вектора и направления скоростей и ускорений изображены на рисунке 1.
Ответ: V_M≈256м/с;  a_M^τ≈240 м/с^2; a_M^n≈131072м/с^2;  a_M ≈131072.2м/с^2; 
V_1=12.8м/с;   a_1=12м/с^2.