Контрольная работа по Математике на тему: "Математический анализ"

Задание 1 . Решите систему уравнений:

А) методом Крамера;  Б) методом  Гаусса ;  В) методом обратной матрицы.

  { 3x₁ + x₂  - x₃ = -5
  {  -2x₁ + 2x₂ + x₃ = -1
  { x₁ - x₂ + 3x₃ = 11

Задание 2:  Вычислить пределы функций:

a) lim x→ ∞ x⁴ + 3x + 1 / 3x⁴ + 5

б) lim x→ 3  2x²  - 5x - 3/ x² -5x + 6

в)  lim x→ 2  x² -4 / √6x+ 4 - 4
 

Задание 3 .  Найти производные функций. В пункте в) найти вторую производную:

а)  y = sinx / xcosx
б) y = ln (tg2x)
в) y = arctgx

Задание 4:  Исследовать функцию и построить ее график:

y  = x⁴  - 5x² + 4

 

Задание 5: Найти неопределенные интегралы и вычислить определенный интеграл:

а)  ∫ x² + 2x / ³√x²  * dx
б)  ∫ e ^2sinxcosxdx
в)  ∫ ₀^√П/2 xdx /cos²x²

Задание 6: Решить дифференциальные уравнения:

а)  6xdx - 6ydy = 3x² ydy - 2xy² dx
б) y' + y/x = xe^x; y(1) = e
в)y" + y' - 2y = 0

Задание 7: Найти область сходимости степенного ряда:

∑∞_n=1 (n+1)²xⁿ / 2ⁿ
 

Задание 8: Решите задачу:

1. Сколько способов назначить 4 дежурных, если в группе учится 30 человек?
    

   Итоговый тест.
   1. Дана последовательность a_n  = (-1)ⁿ2ⁿ / n +1 

Расположите элементы последовательности в порядке возрастания их порядковых номеров.

1. • -2
   • -1
   • 4/3
      

2. Установите соответствие между общим членом ряда  и его четвертым членом

1.   a_n = n /n+1                              4/5                      

2.  a_n =  1 - 1/n                              4/3

3.  a_n =  2n / 2+ n                           3/4
 

3. Четвертый член числового ряда  ∑∞_n=1 (-1)ⁿ/ 2n -1 равен

• -1/5
• -1/9
• -1/7

           1/7

 

4. Абсолютная погрешность округления числа 1,8 до целых равна

• 0
• 0,1
• 0,2

         -0,2

5. Измерены величины А=250,6±0,1    В=0,5±0,1    С=7,1±0,1     Д=35,2±0,1

Большая относительная погрешность получена при измерении величины

• В
• С
• А

  6. Множества А=(4;7;13) и В=(0;2;4;6;8;10;12;14) пересекаются.

  Количество элементов множества, являющегося пересечением множеств А и В равно…

• 1 число
• 2 числа
• 3 числа
   

  7. Вычислите lim x→ ∞  1 -2x² + 3x / 4 - 3x  +x²

• ∞
• ¼
• -2
• 0

8. Укажите два промежутка, которому принадлежат значения предела lim x→0  x²  - 2x/ x

• [-3;3 ]
• [-2; 1)
• (-2; 0 ]
• (0;3 ]
   

  9. Укажите пару (x;y), находящихся в отношении y=cos x.

• (1;1)
• (0;-1)
• (1;0)
• (0;1)

  10. Выберите истинное утверждение:

• Множество рациональных чисел является подмножеством множества иррациональных чисел.
• Множество целых чисел является подмножеством множества действительных чисел.
• Отрезок [1;12] является подмножеством промежутка (1;10 ].
• Интервал (-4;0) является подмножеством отрезка [-3;-1 ].

  11. Даны множества А={1;2;3;4;8;12} и В={0;2;4;6;8;10}. Установите соответствие между следующими подмножествами и необходимыми для их получения операциями над множествами А и В:

  1.{2;4;8 }                                  А-В(разность)

  2.{ 0;1;2;3;4;6;8;10;12}           А⋃В(объединение)

  3.{1;3;12}                                   А⋂В(пересечение)
  
   

  12. Функция y = x² e^x. Найдите производную.

• y' = 2xe^x +x²e^x
• y' = 2xe^x
  
   

  13. Функция y= sin 8x. Найдите производную.

• y= 8sin 8x
• y' = 8cos8x
• y' = cos8x

  14. Дана функция y = x³ - 3x - 4. Укажите соответствие между производными функции в соответствующих точках и их значениями.

• 1. y'(0)                       9
  2. y'(1)                        -3
  3. y'(2)                       0

     15. y" для y = x² - 3x - 1 имеет вид:

• y" = 2
• y" = 1
• y" = 0
   

  16. y=Cx+4 является решением дифференциального уравнения y' =  -1, если С=…

• 1
• -1
• 0

  17. Дифференциальным уравнением в частных производных будет уравнение

• xdy = ydx
• y * qu / qx + x* qu / qy = 0

• y' = -x / y
  
   

  18. Дифференциальное уравнение cosy dx - x² dy = 0 сводится к уравнению

• cosydx = x² dy
• dx/ x²  = dy / cosy
   

  19. Решением дифференциального уравнения  y' =x = 0 является функция

• y = x² /2       
• y = 1
• y = x

  20. Установите соответствие между дифференциальными уравнениями и их решениями

• 1. y' + y = 0                     y = (C1+ C2x)e^-x
  2. y" + 2y' + y = 0           y=  C1e^x + C2e^-x
  3. y" -y = 0                      y = C1cosx + C2 sinx

     21. Установите соответствие между (x;y) и угловыми коэффициентами касательных к функции у=x³

1) (-3;-27)                                  3

2) (1;1)                                        12

3) (2;8)                                       27

 

22. Если общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами будет функция y = C1e^2x + C2e^3x, то корни характеристического уравнения имеют вид:

• • k1 = 2+3i; k2 = 2- 3i
  • k1 = 2; k2 = 3

    23. В результате подстановки y = u(x) * v(x) уравнение y' - y = e^x примет вид:

  • u'v' - uv = e^x

  1. u'v + u(v' - v) = e^x
      

     24. Установите соответствие между f и f'.

  • 1. f=x+sin x                  f=1-cos x

f=1+sinx                   f=1+cosx
3. f=x-sin x                   f=cos x

25. Общее решение уравнения y" = 2sinx имеет вид:

1. y = -2cosx + C
2. y = 2sinx + C1 + C2

y = -2sinx+ C1x+ C2

26. Общее решение уравнения y" - 5y' + 6y = 0 имеет вид:

• y = C1e^3x + C2e^2x
• y = C1e^-3x + C2e^-2x
• e^3x( C1cos2x + C2sin2x)

27. Если  ∫ f(x)dx  = x² /2 + C, то функция f(x) равна

• 2x
• x
• x/2

  28. Множество первообразных для функции y=2x имеет вид:

• 2
• x²+C
• x²

  29. Вычислите  ∫ ³_-1 (2x + 2)dx

• 14
• 16
• 12

  30. В результате подстановки  t=3x+2 интеграл  ∫ dx/ √3x+ 2 сводится к виду  

• 3∫dt / t²      
• 1/3 ∫ dt / √t²
• 1/3 ∫dt /t²
   

  31. Вычислите ∫²₁ 4x³dx.

• 36
• 15
• x⁴

  32. ∫^П₀ (3sinx + x)dx = 

• 3 ∫^П₀(sinx + x)dx
• ∫_П⁰ (3sinx + x)dx

• 3 ∫^П₀ sinxdx + ∫^П₀xdx
  
   

  33. Приближенное значение интеграла ∫⁵₀xdx, вычисленное по формуле прямоугольников  ∫^b_a f(x)dx ≈ h(f(x₀) + f (x₁) + ....f(x₄)) , где h=1, x=a+ih, i=0,1,2,3,4, равно числу

• 10
• 15
• 12,5

  34. Установите соответствие между рядами и их названиями

• 1. ∑∞_n=1 1/ n² +4                       знакочередующийся
  2. ∑∞_n=1 (-1)ⁿ⁺¹/ 2ⁿ                     знакоположительный
  3. ∑∞_n=1  xⁿ / 2n+ 3                     степенной
      

     35. По цели сделано 10 выстрелов, зарегистрировано 7 попаданий. Относительная частота попадания в цель равна

1. 0,5

2. 0,3

3. 0,7

36. Если вероятность попадания в мишень 0,3, то вероятность промаха равна

1. 0,7
2. 1,3
3. 0,5

​​​​​​​