Расчёт амплитудного спектра радиоимпульсов PAGEREF

1. ЗаданиеНа входе полосового фильтра действуют периодические радиоимпульсы (рис. 1.1) с параметрами:tИ– длительность импульсов, ТИ – период следования, TH – период несущей частоты,UmH – амплитуда несущего колебания, имеющего форму гармонического
uн(t) = UmHcos(нt).

Рисунок 1.1
Требуется рассчитать двусторонне нагруженный пассивный полосовой фильтр и активный полосовойRC-фильтр для выделения эффективной части спектра радиоимпульсов, лежащей в полосе частот от (fН 1/tИ) до (fН + 1/tИ) (главный «лепесток спектра»). График модуля спектральной функции U(f) = U(jf) радиоимпульса приведён на рис. 1.2.

Рисунок 1.2
Спектр имеет дискретный характер, поэтому частотыfП1 и fП2, границы полосы пропускания фильтров определяются крайними частотами в главном «лепестке спектра». ЧастотыfЗ1 и fП2 полосы задерживания (непропускания) фильтра определяются частотами первых дискретных составляющих, лежащими слева от (fН 1/tИ) и справа от (fН + 1/tИ). Конкретное определение численных значений всех частот показано в типовом примере расчётаLC-фильтра.
Исходные данные для расчёта приведены в таблицах 1.1 и 1.2. Сопротивления генератора радиоимпульсовRГ и сопротивление нагрузкиRH пассивного фильтра одинаковы: RГ = RH = R. Для вариантов 01÷25 и 51÷75 R = 600 Ом, для вариантов 26÷50 и 76÷99 R = 1000 Ом. Характеристика фильтра аппроксимируется полиномом Чебышева.
Таблица 1.1
№ варианта TH, мкс tИ, мкс TИ, мкс А, дБ АПОЛ, дБ
98 20 100 290 3 20
Таблица 1.2
Вариант UmH, В
98 14
В соответствии с номером варианта также записываем значение сопротивления генератора радиоимпульсов и сопротивления нагрузки:
RГ = RH = R = 1000 Ом.
В ходе выполнения курсовой работы необходимо:
1. Рассчитать и построить график амплитудного спектра радиоимпульсов;
2. Определить частотыfП2и fЗ2 и рассчитать превышение амплитуды частотыfП2 над амплитудой частотыfЗ2 в децибелах в виде соотношения
A = 20lg(UmП /UmЗ)
на входе фильтра;
3. Рассчитать минимально допустимое ослабление фильтра в полосе задерживанияAmin = AПОЛA.
4. Рассчитать порядокmНЧ-прототипа требуемого фильтра.
5. Получить выражение для передаточной функции НЧ-прототипа при аппроксимации его характеристики полиномом Чебышева.
6. Осуществить реализацию двухсторонне нагруженного полосового фильтра.
7. Осуществить реализацию полосового ARC-фильтра;
8. Привести ожидаемую характеристику ослабления полосового фильтра в зависимости от частоты, т.е.A = K(f).
9. Рассчитать ослабление ARC-фильтра на границах полосы пропускания и полосы непропускания (задерживания).
10. Привести схему ARC-полосового фильтра.

2. Расчёт полосового LС-фильтра2.1. Расчёт амплитудного спектра радиоимпульсовПрежде чем приступить непосредственно к расчёту фильтра, необходимо определить частотный состав сигнала, поступающего на вход фильтра, т. е. рассчитать и построить график амплитудного спектра периодических радиоимпульсов, взяв за основу рисунок 1.2. Для этого сначала находим несущую частоту:
fН = 1/ТН = 1/(20106) = 50000 Гц = 50 кГц.
Затем рассчитываем частоты нулей огибающей спектра. Они зависят от длительности импульса:
fН + 1/tИ = 50000 + 1/(100106) = 60000 Гц = 60 кГц;
fН + 2/tИ = 50000 + 2/(100106) = 70000 Гц = 70 кГц;
fН + 3/tИ = 50000 + 3/(100106) = 80000 Гц = 80 кГц;
fН 1/tИ = 50000 1/(100106) = 40000 Гц = 40 кГц;
fН 2/tИ = 50000 2/(100106) = 30000 Гц = 30 кГц;
fН 1/tИ = 50000 3/(100106) = 20000 Гц = 20 кГц.
Максимальное значение огибающей в виде напряжения, соответствующее частоте fH находим по формуле:
Um0=Umн∙tи2∙Tи=14∙100∙10-62∙290∙10-6 ≈2,416В.(2.1)
Зная максимальное значение и расположение нулей по оси частот, построим огибающую дискретного спектра периодических радиоимпульсов в виде штрихпунктирной кривой в масштабе по оси частот (рис. 2.1).
Внутри огибающей должны находиться спектральные составляющие или гармоники спектра с частотамиfi, где i – номер гармоники. Они располагаются симметрично относительно несущей частоты, зависят от периода следования импульсов и находятся по формуле:
fi = fHifИ = fHi(1/TИ).
Учитывая, что:fИ = 1/ТИ = 1/(290106) = 3448,3 Гц 3,448 кГц,рассчитываем частоты гармоник, лежащих справа отfH:
f1 = fН + 1fИ = 50 + 13,448 = 53,448 кГц;
f2 = fН + 2fИ = 50 + 23,448 = 56,896 кГц;
f3 = fН + 3fИ = 50 + 33,448 = 60,344 кГц;
f4 = fН + 4fИ = 50 + 43,448 = 63,792 кГц;
f5 = fН + 5fИ = 50 + 53,448 = 67,24 кГц;
f6 = fН + 6fИ = 50 + 63,448 = 70,688 кГц;
f7 = fН + 7fИ = 50 + 73,448 = 74,136 кГц;
f8 = fН + 8fИ = 50 + 83,448 = 77,584 кГц;
f9 = fН + 9fИ = 50 + 93,448 = 81,032 кГц;
f10 = fН + 10fИ = 50 + 103,448 = 84,48 кГц
и т. д.
Частоты гармоник, лежащих слева отfH, будут:
f1 = fН 1fИ = 50 13,448 = 46,552 кГц;
f2 = fН 2fИ = 50 23,448 = 43,104 кГц;
f3 = fН 3fИ = 50 33,448 = 39,656 кГц;
f4 = fН 4fИ = 50 43,448 = 36,208 кГц;
f5 = fН 5fИ = 50 53,448 = 32,76 кГц;
f6 = fН 6fИ = 50 63,448 = 29,312 кГц;
f7 = fН 7fИ = 50 73,448 = 25,864 кГц;
f8 = fН 8fИ = 50 83,448 = 22,416 кГц;
f9 = fН 9fИ = 50 93,448 = 18,968 кГц
f10 = fН 10fИ = 50 103,448 = 15,52 кГц
и т. д.
Амплитуды напряжения i-ых гармоник находим по формуле:
Umijω=2∙UmнTи∙ωiωi2-ωн2∙sinK∙π∙ωiωн,(2.2)
гдеK– количество периодов несущих колебаний косинусоидальной формы в импульсе. В нашем случае, равно:
K=tиTн=100∙10-620∙10-6=5.Из анализа рисунка 2.1 видим, что главный «лепесток спектра» занимает диапазон частот от(fН 1/tИ) до (fН + 1/tИ), а левый и правый «лепестки» – диапазоны от(fН 2/tИ) до (fН 1/tИ) и от (fН + 1/tИ) до(fН + 2/tИ) соответственно. В нашем случае главный «лепесток» расположен от частоты 40 кГц до частоты 60 кГц, левый – от 30 кГц до 40 кГц, а правый – от 60 кГц до 70 кГц. По формуле (2.2) рассчитываем остальные амплитуды, учитывая при этомi = 2fi иH = 2fH:
Um1f=Um-1f=2∙14290∙10-612∙3,14∙53,448∙10353,448∙1032-50∙1032∙sin4∙3,14∙53,448∙10350∙103≈≈2,03 В;Um2f=Um-2f=2∙14290∙10-612∙3,14∙56,896∙10356,896∙1032-50∙1032∙sin4∙3,14∙56,896∙10350∙103≈≈0,98 В;Um3f=Um-3f=2∙14290∙10-612∙3,14∙60,344∙10360,344∙1032-50∙1032∙sin4∙3,14∙60,344∙10350∙103≈≈0,09 В;Um4f=Um-4f=2∙14290∙10-612∙3,14∙63,792∙10363,792∙1032-50∙1032∙sin4∙3,14∙63,792∙10350∙103≈≈0,58 В;Um5f=Um-5f=2∙14290∙10-612∙3,14∙67,24∙10367,24∙1032-50∙1032∙sin4∙3,14∙67,24∙10350∙103≈≈0,4 В;Um6f=Um-6f=2∙14290∙10-612∙3,14∙70,688∙10370,688∙1032-50∙1032∙sin4∙3,14∙70,688∙10350∙103≈≈0,1 В;Um7f=Um-7f=2∙14290∙10-612∙3,14∙74,136∙10374,136∙1032-50∙1032∙sin4∙3,14∙74,136∙10350∙103≈≈0,37 В;Um8f=Um-8f=2∙14290∙10-612∙3,14∙75,8∙10375,8∙1032-50∙1032∙sin4∙3,14∙75,8∙10350∙103≈≈0,043 В;Um9f=Um-9f=2∙9310∙10-612∙3,14∙81,032∙10381,032∙1032-50∙1032∙sin4∙3,14∙81,032∙10350∙103≈≈0,1 В;Um10f=Um-10f=2∙14290∙10-612∙3,14∙84,48∙10384,48∙1032-50∙1032∙sin4∙3,14∙84,48∙10350∙103≈≈0,28 В.Далее на графике зависимости U(f) (рис. 2.1) отражаем значения найденных амплитуд в виде дискретных составляющих внутри огибающей спектра.
-216535212090 2,8
0
0,7
2,1
30 40 50 60 70 80 f, кГц
fH
U(f)




1,4
00 2,8
0
0,7
2,1
30 40 50 60 70 80 f, кГц
fH
U(f)




1,4

Рисунок 2.1 – Амплитудный спектр заданной последовательности импульсов2.2. Формирование требований к полосовому фильтруУчитывая, что амплитуды спектральных составляющих (есть ли вообще спектральные составляющие на указанных частотах?) на частотах 40 кГц и 60 кГц равны нулю (наблюдаются минимумы по огибающей спектра), принимаем за эффективную часть спектра, которую нужно выделить полосовым фильтром, диапазон частот от fП1 = f-2 = 43,104 кГц до fП2 = f2 = 56,896 кГц. Следовательно, эти величины будут определять частоты границы полосы пропускания фильтра fП1 и fП2 соответственно (рисунок 2.2, б). Граничную частоту полосы непропусканияfЗ2выбираем равной первой гармонике спектра сигнала, находящейся после частоты(fН + 1/tИ) = 60 кГц. Этой частотой является частотаf3 = 60,344 кГц. Следовательно,fЗ2 = f3 = 60,344 кГц.

Рисунок 2.2 – Требования к ФНЧ и полосовому фильтру
Используя понятие центральной частоты или средней геометрической частоты ПП и ПН:
f0=fп2∙fп1=fз2∙f31,(2.3)
находим значениеfЗ1– граничной частоты ПН слева.
Используя формулу (2.3) находим центральную частоту ПП:
f0=fп2∙fп1=43,103∙56,896=49,522 кГц.Тогда граничная частота полосы пропускания будет:
f31=f02fз2=49,522260,344=40,641 кГц.Минимально-допустимое ослабление фильтра в ПН зависит от разницы амплитуд гармоникf2и f4 спектра сигнала на выходе фильтра, выраженной в децибелах и заданной величиной АПОЛ – полного ослабления:
Апол = A + Amin, (2.4)
где А – исходная разница амплитуд второй и третьей гармоник в
децибелах, равная: A'=20∙lgUm2Um3=20∙lg0,9820,0876 21 дБ.Исходя из этого, находим из формулы (2.4) значение Аmin:
Amin=АполA' = 2021 = 1 дБ.
Таким образом, требования к полосовому фильтру сводятся к следующему:
fП2 = 56,896 кГц; fП1 = 43,104 кГц;
fЗ2 = 60,344 кГц; fЗ1 = 40,641 кГц;
Amin = 1дБ; Amax = A = 3 дБ;
RГ = RH = R = 1000 Ом.
Аппроксимацию передаточной функции выполняем с помощью полинома Чебышева.
2.3. Формирование передаточной функции НЧ-прототипаНаходим граничные частоты ПП и ПН НЧ-прототипа:
fП.НЧ = fП2fП1 = 56,89643,104 = 13,792 кГц;
fЗ.НЧ = fЗ2fЗ1 = 60,34440,641 = 19,70 кГц.
Далее находим значения нормированных частот:
П = П.НЧ / П.НЧ = 1,
Ωз=ωз.нчωп.нч=2∙π∙fз.нч2∙π∙fп.нч=fз.нчfп.нч=19,70313,792≈1,274.Требования к НЧ-прототипу могут быть проиллюстрированы рисунком 2.3.

Рисунок 2.3 – Требования к НЧ-прототипу
Найдём коэффициент неравномерности ослабления фильтра в ППε из рассмотрения формулы:
A() = 10lg(1 + 22()), (2.5)
где () – функция фильтрации.
ПриА = А и = 1 функция фильтрации имеет значение(1) ==Tm(1) = 1, поэтому:
ε=100,1∙∆A-1=100,1∙3-1=0,998.Порядок фильтра Чебышева находится также из рассмотрения формулы (2.5), но приA = Amin и = З, т.е. ослабление рассматривается в полосе непропускания. А в ПН полином ЧебышеваTm() ==ch(macch()), равен:
m≥arch100,1∙Amin-1ε2archΩз.(2.6)
Подставляя все значения формулу (2.6), получаем:
m≥arch100,1∙(-1)-10,9982arch1,274≈j0,454.Расчётное значение порядка фильтра получилось комплексным.
Примечание. При достаточно точных расчетах значение m во всех вариантах задания должно лежать в пределах 2 <m< 3. Если так не получилось необходимо обратиться за консультацией на кафедру.
Решим задачу анализа зависимости значений m от значения Аmin путем логических рассуждений (логические рассуждения не являются источником методики, логика у каждого может быть разная), построим график (рис. 2.4). Выделим участок, где m принимает значения от 2,5 (почему именно 2,5, а не 2?) до 3 (штрих-пунктирная синяя и пунктирная красная линии (предполагается цветная печать курсовой работы?).

Рисунок 2.4 Зависимости значений m от значения Аmin
Возможны значения Amin от 10,5 дБ до 13 дБ, чтобы при округлении m получилось число равное 3.
Для получения порядка фильтра m = 3, необходимо чтобы Amin было равно 12 дБ (почему именно 12дБ, а не 11, 11,5 или 12,5, например?). Тогда
Апол = Amin + A' = 12 + 21 = 33 дБ.
То есть для того, чтобы m 3 в задании на курсовую работу АПОЛ нужно увеличить до 33 дБ. Логические рассуждения НЕ являются основанием для изменения исходных данных курсовой работы.
Полагаем АПОЛ = 33 дБ.
Исходя из этого, находим из формулы (2.4) значение Amin:
Amin=33-21=12 дБ.Подставляя все значения формулу (2.6), получаем:
m≥arch100,1∙12-10,9982arch1,274=2,8.Расчётное значение порядка фильтра округляем до целого числа в большую сторону: m = 3.
Пользуясь таблицей 2.1, находим полюсы нормированной передаточной функции НЧ-прототипа.
Таблица 2.1
Полюсы передаточной функции НЧ-прототипа
A,дБПорядокm = 3
p1 p2,3
3,0 –0,29862 –0,14931 ∓j0,903813

p1=σ1=-0,29862;p2=σ2∓jΩ2=–0,14931∓j0,903813.(2.7)
Из этих значений видно, что полюсы расположены в левой полуплоскости комплексной переменнойp.
Формируем нормированную передаточную функцию НЧ-прототипа в виде:
Hp=H0νp=1ε∙2m-1∙1νp,(2.8)
где (p) – полином Гурвица, который можно записать через полюсы:
νp=p-p1∙p-p2∙p-p3=p-σ1∙p2-2σ2p+σ22+Ω22==p+0,29862∙p2+2∙0,14931∙p+0,1493132+0,9038132.Производя вычисления, получим:
Hp=10,998∙23-1p+0,29862∙p2+2∙0,14931∙p+0,14931432+0,9038132==0,251p3+0,59724∙p2+0,928345∙p+0,251.В результате записываем нормированную передаточную функцию:
Hp=0,251p3+0,5972∙p2+0,928345∙p+0,251.(2.9)
2.4. Реализация LC-прототипаДля получения схемы НЧ-прототипа воспользуемся методом Дарлингтона, когда для двусторонне нагруженного фильтра (рисунок 2.4) составляется выражение для входного сопротивленияZВХ(p) в виде:
Zвх1p=1∙νp-hpνp+hp.(2.10)
Полином(p) выбираем из знаменателя выражения (2.9), аh(p) находим по формуле:
hp=12m-1 ∙Tmp=p3+0,75∙p.Таким образом, выражение для входного сопротивления принимает вид:
ZBX1(p) =
=p3+0,59724∙p2+0,928345∙p+0,251-p3+0,75∙pp3+0,59724∙p2+0,928345∙p+0,251+p3+0,75∙p==0,59724∙p2+0,178345∙p+0,2512∙p3+0,59724∙p2+1,678345∙p+0,251.(2.11)
Формула (2.11) описывает входное сопротивление двухполюсника (согласно схеме, приведённой на рисунке 2.5, фильтр, нагруженный на сопротивлениеRH, действительно является двухполюсником).

Рисунок 2.5 – Общая схема проектируемых фильтров
А если известно выражение для входного сопротивления, то можно построить схему двухполюсника, воспользовавшись, например, методомКауэра. По этому методу, формула дляZBX(p) разлагается в непрерывную дробь путем деления полинома числителя на полином знаменателя. При этом степень числителя должна быть больше степени знаменателя. Исходя из последнего, преобразуем выражение для сопротивления (2.11) в выражение для проводимости:
Yвх1p=1Zвх1p=2∙p3+0,59724∙p2+1,678345∙p+0,2510,59724∙p2+0,178345∙p+0,251.(2.12)
После этого производим ряд последовательных делений. Вначале числитель делим на знаменатель:
– 2p3 + 0,59723p2 + 1,67834p + 0,251 0,59723p2 + 0,178345p + 0,251
2p3 + 0,59723p2 + 0,84053p 3,34874p (1)
0,83781p + 0,251 Затем первый делитель делим на первый остаток:
– 0,59724p2 + 0,178345p + 0,251 0,83781p + 0,251
0,59724p2+0,178927p0,71286p (2)
0,251 Второй делитель делим на второй остаток:
– 0,83781p + 0,251 0,251
0,83781 3,33789p (3)
0,251 Третий делитель делим на третий остаток:
– 0,251 0,251
0,251 1 (4)
0 В результате, было получено четыре результата деления, которые отражают четыре нормированных по частоте и по сопротивлению элемента схемы в виде значений их проводимостей:
pC; 1/(pL); 1/R.
Из анализа первого результата деления следует, что он отражает ёмкостную проводимость, поэтому все выражение (2.12) можно записать в виде цепной дроби:
Yвх1p=p∙C1н+1p∙L2н+1p∙C3н+1Rнор.(2.13)
По формуле (2.13) составляем схему (рисунок 2.6), на которой:
C1H= 3,34874; L2H = 0,71286; C3H = 3,33789; RГ.Н = RН.Н = RНОР = 1.

Рисунок 2.6 – Принципиальная схема НЧ-прототипа
Далее денормируем элементы схемы НЧ-прототипа, используя соотношения:
L=Lн∙Rгωн;C=CнRг∙ωн;R=Rнор∙Rг,(2.14)
Где:Н= П.НЧ – нормирующая частота;
RГ – нормирующее сопротивление, равное внутреннему сопротивлению источника сигнала.
Используя соотношения (2.14) и значенияНи RГ получаем реальные значения элементов схемы НЧ-прототипа:
C1=C1нRг∙ωн=C1нRг∙2∙π∙fп.нч=3,348741000∙2∙3,14∙13792≈38,643 нФ,L2=Lн∙Rгωн=Lн∙Rг2∙π∙fп.нч=0,713∙10002∙3,14∙13792≈8,226 мГн,C3=C3нRг∙ωн=C3нRг∙2∙π∙fп.нч=3,337891000∙2∙3,14∙13792≈38,518 нФ,RГ = RН = RНОРRГ = 11000 = 1000 Ом.
Таким образом, элементы НЧ-прототипа имеют значения:
С1НЧ = 38,643нФ;
L2НЧ = 8,226 мГн;
С3НЧ = 38,518 нФ;
RГ.НЧ = RГ.НЧ = 1000 Ом.
2.5. Реализация пассивного полосового фильтраИз теории фильтров известно, что между частотами НЧ-прототипа и частотамиПФ полосового фильтра существует соотношение:
ωпф=ωпф-ω02ωпф,(2.15)
где 0 = 2f0.
На основании (2.15) индуктивное сопротивление НЧ-прототипа заменяется сопротивлением последовательного контура с элементами:
Lпф.1=Lнч и Cпф.1=1ω02∙Lнч,(2.16)
а емкостное сопротивление НЧ-прототипа заменяется сопротивлением параллельного контура с элементами:
Cпф.2=Cнч и Lпф.2=1ω02∙Cнч.(2.17)
Тогда, на основании схемы ФНЧ, изображённой на рис. 2.5 может быть построена схема полосового фильтра так, как это показано на рис. 2.7.

Рисунок 2.7 – Принципиальная схема полосового LC-фильтра
Элементы этой схемы рассчитываются по формулам (2.16) и (2.17):
L1=1ω02∙C1нч=14∙π2∙f02∙C1н=14∙3,142∙495222∙38,643∙10-9≈≈0,267 мГн,L3=1ω02∙C3нч=14∙π2∙f02∙C3н=14∙3,142∙495222∙38,518∙10-9≈≈0,268 мГн,C1 = С1НЧ = 38,643 нФ;
C3 = С3НЧ = 38,518 нФ;
L2 = L2НЧ = 8,226 мГн;
C2=1ω02∙L2нч=14∙π2∙f02∙L2нч=14∙3,142∙495222∙8,226∙10-3≈≈1,256 нФ.Таким образом, элементы пассивного полосового фильтра имеют следующие значения:
C1 = 38,643 нФ;
C2 = 1,256 нФ;
C3 = 38,518 нФ;
L1 = 0,267 мГн;
L2 = 8,226 мГн;
L3 = 0,268 мГн.
На этом расчёт полосового LC-фильтра закончен.

3. Расчёт активного полосового фильтра3.1. Расчёт полюсов ARC-фильтраТребования к полосовому ARC–фильтру остаются теми же, что и к полосовому LC-фильтру. Поэтому на этапе аппроксимации синтеза ARC-фильтра можно воспользоваться результатами расчета LС–фильтра, полученными в разделах 2.1 – 2.3. При этом, воспользуемся не самой нормированной передаточной функцией (2.9), а только ее полюсами (2.7). С помощью них рассчитаем полюсы денормированной передаточной функции ПФ по формуле:
pi,j пф=∆ω2∙σi+jΩi∓∆ω2∙σi+jΩi2-ω02,(3.1)
где = 2(fП2fП1);
pi = i + i – полюсы передаточной функции НЧ-прототипа;
0 = 2f0.
Вначале находим:
= 2(fП2fП1) = 23,14(5689643104) 8,666105 рад/с;
∆ω2=8,666∙1052≈4,333∙104радс,ω02=2∙π∙f02=2∙3,14∙495222≈9,682∙1010рад2с2.Затем сами полюсы:
p1,2 пф=4,333∙104∙-0,29862∓ ∓ 4,333∙104∙-0,2986262-9,682∙1010=-12939∓j310888;p3,4 пф=4,333∙104∙–0,14931+j∙0,90381∓∓4,333∙104∙–0,14931+j∙0,903812-9,682∙1010;p3 пф = 7277+j352707;
p4 пф = 5661j274385;
p5,6 пф=4,333∙104∙–0,14931-j∙0,90381∓∓4,333∙104∙–0,14931-j∙0,903812-9,682∙1010;p5 пф = 7277j352707;
p6 пф = 5661 + j274385.
Расчёт показывает, что вместо трех полюсов нормированной передаточной функции НЧ-прототипа получается шесть полюсов передаточной функции ARC полосового фильтра, причем денормированной. Их значения представляем в виде таблицы 3.1.
Таблица 3.1
Полюса передаточной функции ARC-фильтра
Номера полюсов ПолюсыH(p)
104 ∓j104
1, 2 1,294 31,0888
3, 5 0,7277 35,2707
4, 6 0,5661 27,4385
3.2. Формирование передаточной функцииУчитывая, что ARC-фильтры обычно строятся из каскадно-соединенных звеньев второго порядка, целесообразно передаточную функцию таких фильтров формировать из произведения сомножителей тоже второго порядка. Они имеют вид:
Hp=a1∙pp2+b1∙p+b0.Тогда вся передаточная функция рассчитываемого фильтра будет равна:
Hp=a11∙pp2+b11∙p+b10∙a21∙pp2+b21∙p+b20∙a31∙pp2+b31∙p+b30.(3.2)
Коэффициенты в числителе имеют одинаковую величину. Рассчитываем её по формуле:
a11=a21=a31=∆ωm2m-1∙ε=86658323-1∙0,998=5,463∙104.Коэффициенты знаменателя выражения (3.2) находим по формулам:
bi1=2∙αi и bi0=αi2+ωi2,(3.3)
где i∓ji = pi– значения полюсов по таблице 3.1.
Производим дальнейшие расчёты:
b11 = 21 = 212939 = 25878;
b10=α12+ω12=129392+3108882=9,682∙1010;b21 = 23 = 27277 = 14555;
b20 = 145552 + 3527072 = 1,2451011;
b31 = 25 = 25661 = 11323;
b30 = 56612 + 2743852 = 7,5321010.
Значения всех рассчитанных коэффициентов сводим в таблицу 3.2.
Таблица 3.2
Значения коэффициентов передаточной функции
Номер сомножителя,i Значения коэффициентов
i1 bi1 bi0
1 5,463104 25878 9,6821010
2 5,463104 14555 1,2451011
3 5,463104 11323 7,5321010
Подставляя найденные коэффициенты в формулу (3.2) получаем передаточную функцию ARC-фильтра:
Hp=5,463∙104∙pp2+25878∙p+9,682∙1010∙5,463∙104∙pp2+14555∙p+1,245∙1011∙∙5,463∙104∙pp2+11323∙p+7,532∙1010.(3.4)
3.3. Расчёт элементов схемы фильтраВ качестве типовой выбираем простейшую схему ПФ на одном операционном усилителе (ОУ) (рис. 3.1). Если составить эквивалентную схему, заменив ОУ ИНУНом, то, используя любой из методов анализа цепей, можно получить передаточную функцию, описывающую работу схемы на рис. 3.1, в виде:
Hp=U2pU1p=1R1∙C4∙pp2+C3+C4R5∙C3∙C4∙p+1R5∙C3∙C4∙1R1+1R2.(3.5)

Рисунок 3.1 – Принципиальная схема активного полосового фильтрана
операционном усилителе
Из формулы (3.5) видно, что рассмотренная схема является схемой второго порядка. Следовательно, для реализации функции (3.4) потребуется три подобных схемы или три звена, соединенных каскадно. Расчёт элементов этих схемR1, R2, R5, C3, C4 ведётся путём сравнения идентичных коэффициентов в формулах (3.4) и (3.5).
Для первого звена ПФ берутся коэффициенты из первого сомножителя (3.4):
1R1∙C4=5,463∙104C3+C4R5∙C3∙C4=258781R5∙C3∙C4∙1R1+1R2=9,682∙1010.(3.6)
В системе (3.6) пять неизвестных и только три уравнения. Система нерешаема. Поэтому необходимо задаться некоторыми значениями, например, ёмкостей конденсаторовC3 и C4 (в ходе настройки фильтра при его изготовлении принято использовать переменные сопротивления, т.к. переменных конденсаторов с большой ёмкостью нет вообще).
Если принятьC3 = C4 = 1 нФ, то, решая (3.6), получим:
1R1∙1∙10-9=5,463∙1041∙10-9+1∙10-9R5∙1∙10-9∙1∙10-9=258781R5∙1∙10-9∙1∙10-9∙1R1+1R2=9,682∙1010⇒R1=18,305 кОм,R2=135 Ом, R5=77,286 кОм.Таким образом, для первого звена значения сопротивлений будут следующие:
R1 = 18,305 кОм; R2 = 135 Ом;R5 = 77,286 кОм.
Составляя аналогичную систему для второго звена при тех жеC3 = C4 = 1 нФ, получаем:
1R1∙1∙10-9=5,463∙1041∙10-9+1∙10-9R5∙1∙10-9∙1∙10-9=145551R5∙1∙10-9∙1∙10-9∙1R1+1R2=1,245∙1011⇒R1=18,305 кОм,R2=59 Ом,R5=137,41 кОм.Таким образом, для второго звена значения сопротивлений будут следующие:
R1 = 18,305 кОм; R2 = 59 Ом;R5 = 137,41 кОм.
Составляя аналогичную систему для третьего звена:
1R1∙1∙10-9=5,463∙1041∙10-9+1∙10-9R5∙1∙10-9∙1∙10-9=113231R5∙1∙10-9∙1∙10-9∙1R1+1R2=7,532∙1010⇒R1=18,305 кОм,R2=75,5 Ом,R5=176,63 кОм.Таким образом, для второго звена значения сопротивлений будут следующие:
R1 = 18,305 кОм; R2 = 75,5 Ом;R5 = 176,63 кОм.
Рассчитанные сопротивления не соответствуют стандартным номиналам резисторов. Поэтому для сопротивленийR1 и R5 в каждом звене берём постоянные резисторы из ряда Е24 с номиналом, ближайшим к рассчитанному значению:
для первого звена
R1 = 18 кОм; R5 = 75 кОм;
для второго звена
R1 = 18 кОм; R5 = 130 кОм;
для третьего звена
R1 = 18 кОм; R5 = 180 кОм.
СопротивлениеR2 берём составным, из последовательно соединенных постоянного и переменного резисторов, что позволит осуществлять общую настройку фильтра. Номиналы переменных резисторов выбираем из ряда Е6:
для первого звена
R22 = 33 Ом;
для второго звена
R22 = 15 Ом;
для третьего звена
R22 = 22 Ом.
Тогда резисторыR21 должны иметь значения:
R21 = R2 R22 = 135 33 = 102 Ом;
R21 = R2 R22 = 59 15 = 44 Ом;
R21 = R2 R22 = 75,5 22 = 53,5 Ом.
Окончательные значения резисторовR21 согласно ряду Е24, равны:
для первого звена
R21 = 110 Ом;
для второго звена
R21 = 47 Ом;
для третьего звена
R21 = 56 Ом.
4. Проверка результатов расчётаПроверка расчетов может быть выполнена в двух вариантах. Первый вариант – проверяется только этап аппроксимации, когда определяется насколько точно созданная передаточная функция соответствует исходным требованиям к фильтру по ослаблению в ПП и в ПН. Второй вариант – проверяется точность уже всего расчета, когда по известной передаточной функции схемы фильтра (т.е. с учетом значений элементов схемы) рассчитывается и строится графикH(f)илиA(f) всей схемы фильтра и анализируется, насколько хорошо этот график соответствует исходным требованиям по ослаблению в ПП и в ПН. Конечно, второй вариант для разработчика предпочтительнее.
При синтезе пассивного полосового фильтра получена передаточная функция только НЧ-прототипа (2.9) и в этом случае возможен только первый вариант проверки. При синтезе активного ПФ известна передаточная функция одного звена уже самой схемы фильтра (3.5). Очевидно, чтоH(p)всего фильтра будет:
H(p) = H1(p)H2(p)H3(p), (4.1)
где значения каждого сомножителя будут отличаться из-за разницы в значениях сопротивлений звеньев фильтра. Итак, формула (4.1) позволяет реализовать второй вариант проверки выполненных расчётов.
С этой целью в (3.5) производим замену переменной видаp = j, в результате чего получаем выражение:
Hjω=j∙1R1∙C4∙ω-ω2+j∙C3+C4R5∙C3∙C4∙ω+1R5∙C3∙C4∙1R1+1R2.Представляем модуль H(j) в виде:
Hω=1R1∙C4∙ω1R5∙C3∙C4∙1R1+1R2-ω22+C3+C4R5∙C3∙C4∙ω2.(4.2)
Зная H()легко найти зависимость ослабления от частоты вначале каждого звена, а затем всего фильтра:
A() = A1() + A2() + A3(), (4.3)
где
Aiω=20∙lg1Hiω.(4.4)
Выполняем последовательно расчёт первого, второго и третьего звеньев. Значения элементов берём из раздела 3.3. Для первого звена они равны: C3 = C4 = 1 нФ; R1 = 18,305 кОм; R2 = 135 Ом; R5 = = 77,286 кОм. Подставляем эти значения в (4.2):
Н1() =
=118,305∙103∙1∙10-9∙ω177,3∙103∙10-9∙1∙10-9∙118,305∙103+1135-ω22+1∙10-9+1∙10-977,3∙103∙1∙10-9∙1∙10-9∙ω2==54630∙ω9,682∙1010-ω22+25878∙ω2.Т.е. получили для первого звена:
H1f=54630∙2∙π∙f9,682∙1010-2∙π∙f22+25878∙2∙π∙f2.(4.5)
Для остальных звеньев получаем модули передаточных функций:
H2f=54630∙2∙π∙f1,245∙1011-2∙π∙f22+14555∙2∙π∙f2.(4.6)
H3f=54630∙2∙π∙f7,532∙1010-2∙π∙f22+11323∙2∙π∙f2.(4.7)
Для граничных частот производим расчёты по выше приведённым формулам и заносим все результаты в таблицу 4.1.

Таблица 4.1
Расчётные данные
f, кГц fЗ1 fП1 fП2 fЗ2
40,641 43,104 56,896 60,344
H1(f) 0,43 0,604 0,604 0,432
H2(f) 0,235 0,288 3,17 1,034
H3(f) 1,326 4,059 0,371 0,302
H (f) 0,135 0,707 0,711 0,135
A1(f) 7,29 4,379 4,378 7,291
A2(f) 12,586 10,8 10,022 0,29
A3(f) 2,452 12,168 8,611 10,398
A(f) 17,424 3,011 2,968 17,399
При анализе табличных данных обращаем внимание на разный характер зависимости ослабления от частоты у разных звеньев фильтра. Если сравнивать рассчитанное ослабление всей схемы фильтра на частотах границ ПП и ПН с заданным ослаблением на этих же частотах (раздел 2.2), то можно сделать вывод о довольно хорошем их соответствии. При практическом изготовлении фильтров всегда предусматривается операция по их настройке, в ходе которой добиваются ослабления с требуемой точностью.
В ходе расчёта по формуле (4.2) обращаем внимание на то, что значение H() наиболее сильно зависит от величины сопротивленияR2, поэтому именно это сопротивление выбираем переменным.
На рисунке 4.1 строим ожидаемую теоретическую кривую зависимости ослабления фильтра от частоты, а на рисунке 4.2 приводим принципиальную схему активного полосового фильтра. Зеленая и красная точка на рисунке 4.1 соответствуют значениям таблицы 4.1: зеленая точка: A(f) = A1(f) + A2(f) + A3(f) = 7,29 + 12,586 - 2,452 = 17,424 дБ; красная точка: A(f) = A1(f) + A2(f) + A3(f) = 7,291 - 0,29 + 10,398 = 17,399 дБ. Правильность расчетов подтверждается проверочным расчетом в программе MathCad.
3989705-146050fз2 = 60,344кГц
00fз2 = 60,344кГц
3598545111125fП2 = 56,896 кГц
00fП2 = 56,896 кГц
1784985187325fЗ1 = 40,641кГц
00fЗ1 = 40,641кГц
2133600111125fП1 = 43,104 кГц
00fП1 = 43,104 кГц
283527538735f0 = 49,522кГц
00f0 = 49,522кГц
461645-27305A(f), дБ
00A(f), дБ

8312151104900035369528511540
02000040

2148453218572712052302047240ПЗ
00ПЗ
44361102047240ПЗ
00ПЗ
341121916916400034080441876425003407409206819500826769159829500166623924745950016662392310765001666239212280500468883915976600048825141597660004043679240665000404875917011650041300391605280004047489222758000404748920561300040487591885950004509134160528000431545916052800030441901650365ПП
00ПП
409702062484000342645922783800025723842281555002741294228155500290956922815550030803842281555003254374228155500826135241236400372173462992000218693918821400021342342183765002180589228790500218693916941800016700491730375001599564160210500167004919183350010248891602105001220469160210500141414416021050082613514687550019570701470024004230370147129500197675462992000223583593662500295592462992000-3492502277745Аmax = 3дБ
00Аmax = 3дБ
-4959351511300Аmin = 12 дБ
00Аmin = 12 дБ
10598152543810001713230268668540 50 60 70 f, кГц
02000040 50 60 70 f, кГц
8197852612389001016000254508000107505526161990028194025793700
0200000
320040192976510
02000010
308610127127020
02000020
31813562611030
02000030

Рисунок 4.1 – Зависимость ослабления фильтра от частоты
Почему линия 12 дБ теперь находится так высоко?
-43942035560Рисунок 4.2 – Принципиальная схема активного полосового фильтра: R1 = R1 = R1 = 18 кОм; R21 = 110 Ом; R21 = 47 Ом; R21 = 56 Ом; R22 = 33 Ом; R22 = 15 Ом; R22 = 22 Ом; R5 = 75 кОм; R5 = 130 кОм; R5 = 180 кОм; C3 = C3 = C3 = C4 = C4 = C4 = 1 нФ Удобнее указать номиналы на схеме
Необходимо указать номиналы элементов на схеме
00Рисунок 4.2 – Принципиальная схема активного полосового фильтра: R1 = R1 = R1 = 18 кОм; R21 = 110 Ом; R21 = 47 Ом; R21 = 56 Ом; R22 = 33 Ом; R22 = 15 Ом; R22 = 22 Ом; R5 = 75 кОм; R5 = 130 кОм; R5 = 180 кОм; C3 = C3 = C3 = C4 = C4 = C4 = 1 нФ Удобнее указать номиналы на схеме
Необходимо указать номиналы элементов на схеме

Список литературыБакалов В.П., Дмитриков В.Ф., Крук Б.И. Основы теории цепей. Учебник – М.: Радио и связь, 2000. – 589 с.
Бакалов В.П., Воробиенко П.П., Крук Б.И. Теория электрических цепей. Учебник – М: Радио и связь, 1998. – 444 с.
Белецкий А.Ф. Теория линейных электрических цепей. Учебник. – М.: Радио и связь, 1986. – 544 с.
Воробиенко П.П. Теория линейных электрических цепей. Сб. задач и упражнений. – M.: Радио и связь, 1989. – 328 с.
Зааль Р. Справочник по расчету фильтров. – М.: Радио и связь, 1983. – 752 с.
Шебес М.Р., Каблукова М.В. Задачник по теории линейных электрических цепей. Учеб. пособие для вузов. 4-е изд., перераб. и доп. – М.: «Высшая школа», 1990. – 544 с.