Расчет плоских и пространственных конструкций

АННОТАЦИЯИ. сследуется равновесие твердых тел и их систем на примере таких технически важных конструкций, как плоские шарнирные фермы, балки, валы, плиты и пластинки с использованием аналитических и графических методов.
Для каждой расчетной схемы составлены уравнения равновесия и определены реакции внешних и внутренних связей разными методами.
Часть 1 Расчет плоской шарнирной фермыСхема Ф02 вариант 1
Дано:
P2 = 4 кН; P4 = 8 кН; a = 0,5 м; h = 1 м;

Освободим ферму от опор, заменив их действие силами реакций связей:

2. Определим опорные реакции, для чего составим уравнения равновесия сил: Сумма проекций моментов всех сил на ось X и сумма моментов всех сил
относительно точек А и B должны быть равны нулю.
(1) MA= 0;
P4·0,5 + P2·1 - YB·2 = 0;

(2) MB= 0;
RA·sin30·2 - P4·1,5 - P2·1 = 0;
·
1,5 +
·
2
·
2
·
1,5 +

(3) X = 0;
RA·cos30 - XB = 0;
XB = RA·cos30 = 16·cos30 = 13,856 кН;
Выполним проверку найденный значений реакций: сумма проекций на ось Y должна быть равна нулю:
Y= 0:
RA·sin30 + YB - P2 - P4 = 16·sin30 + 4 - 4 - 8 = 0; Реакции найдены верно.
3.Определим реакции опор графическим методом:
Построим силовой многоугольник

Выбираем произвольную точку O (полюс) и проводим лучи

Направления полученных лучей переносим на основной чертеж. Из точки B проводим прямую, параллельную лучу 1 до пересечения с линией действия силы P2 и получаем точку K. Из точки K проводим прямую, параллельную лучу 2 до пересечения с линией действия силы P4 и получаем точку L. Из точки L проводим прямую, параллельную лучу 3 до пересечения с линией действия силы RA и получаем точку M. Полученный веревочный многоугольник оказывается недостроенным. Однако, в случае равновесия такой многоугольник должен быть замкнут. Замыкая его на точку B, получаем направление луча 4, который переносим на план сил и получаем точку пересечения с линией действия силы RB, а, следовательно, и её проекции: XBи YB. Значения искомых сил реакций определяем измерением соответствующих векторов и проекций:


4. Определим усилия в стержнях фермы аналитическим методом вырезания узлов:

Первым рассмотрим узел I:
Освободим выбранный узел от связи, заменим действие стержней их реакциями, направляя их от узлов и составим уравнения равновесия сходящихся сил:






Рассмотрим узел IV:
Суммированием проекций на ось X выполним проверку

Результаты занесём в таблицу. Усилия со знаком "минус" означают, что стержни сжаты.
Номер стержня 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Усилие, кН -8,944 -9,857 8,0 -9,857 0,0 -4,0 0,0 -9,856 -4,472 -2,0 -11,856 4,0 -4,472
5. Определим усилия в стержнях фермы графическим методом вырезания узлов. Вычертим в масштабе ферму и изобразим все приложенные силы и реакции опор (также в масштабе):

Начнем с узла I:

Номер стержня 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Усилие, кН -8,944 -9,857 8,0 -9,857 0,0 -4,0 0,0 -9,856 -4,472 -2,0 -11,856 4,0 -4,472

6.Определимусилиявстержняхфермыпостроениемдиаграммы Максвелла-Кремоны
Обходя внешние силы по часовой стрелке, построим в масштабе сил замкнутый многоугольник внешних сил - "каркас диаграммы". Начнём с перехода от поля "A" к полю "B";

Используя графический метод вырезания узлов, к многоугольнику внешних сил последовательно пристраиваем силовые многоугольники для всех узлов фермы, начиная с узла, где сходятся два стержня, например узел I:

Выполнив такое построение для остальных узлов фермы, получим диаграмму Максвелла-Кремоны:

Определим с учётом масштаба численное значение всех усилий в стержнях, а также характер их работы (растянут или сжат):
Номер стержня 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Усилие, кН -8,944 -9,857 8,0 -9,857 0,0 -4,0 0,0 -9,856 -4,472 -2,0 -11,856 4,0 -4,472
7. Определим усилия в трёх произвольных стержнях методом Риттера
Определим усилия в стержнях 4,5,6.
Для определения нужного усилия по методу Риттера рассечем ферму по этим стержням на части и рассмотрим равновесие левой части. Действие отброшенной части заменим действием сил реакций.
80010113030
Для этого будем считать, что стержни в рассматриваемом сечении условно растянуты (силы реакций N4 , N5 , N6 направлены внутрь стержней).
Составим уравнения равновесия для полученной части фермы:
Уравнение моментов относительно узла II:
,

Уравнение моментов относительно узла V:
,


Уравнение проекций сил на ось Y:
,
Аналогичным образом найдем усилия в стержнях 10,11,12. Рассечем ферму по этим стержням на части и рассмотрим равновесие левой части. Действие отброшенной части заменим действием сил реакций.
Уравнение моментов относительно узла VI:
,


Уравнение моментов относительно узла VII:
,

Уравнение проекций сил на ось Y:
,

Полученные результаты совпадают с предыдущими расчетами

Часть 2. Расчёт плоских составных конструкций2.1 Схема 1Дано:
F = 3 кН, P = 4 кН, q = 2 кН/м, qmax = 1 кН/м, М = 4 кН м , а = 0,6 м, b = 2 м, r = 0,1 м, R = 0,2 м, α=300, β=600
Определить:
R А , МА

Рис.2.1
Решение:
Для нахождения требуемых реакций рассмотрим равновесие всей конструкции и стержня ВС. Расчетные схемы изображены на рис. 2.2, на котором использованы следующие обозначения:
, - составляющие реакции в жесткой заделке А МА- реактивный момент в жесткой заделке А- реакция стержневой опоры В , – составляющие реакции шарнира С на балку AС;
- равнодействующая распределенной нагрузки.
Равнодействующая распределенной нагрузки приложена на расстоянии от жесткой заделки А, а ее модуль определяется по формуле .
Рассмотрим равновесие балки ВС (рис. 2.2, а):
Уравнение моментов сил относительно точки С:
,

a)
В
б)
С
bМ
А
aМА
С
bМ
В

Рис.2.2
Для всей конструкции (рис.2.2,б) составим уравнение моментов сил относительно точки А:
,
Откуда получаем:

Уравнения проекций сил на оси координат:
,
,

Ответ:


2.2 Схема 2Дано:
F = 3 кН, P = 4 кН, q = 2 кН/м, qmax = 1 кН/м, М = 4 кН м , а = 0,6 м, b = 2 м, r = 0,1 м, R = 0,2 м, α=300, β=600
Определить:
X В, R C

Рис.2.3
Решение:
Для нахождения требуемых реакций достаточно рассмотреть равновесие наклонной балки BC, освободив ее от внешней связи неподвижного шарнира В и от внутренней связи – подвижной шарнирной опоры С. Расчетная схема изображена на рис. 2.4, на котором использованы следующие обозначения:
, - составляющие реакции в шарнире В- реакция подвижной шарнирной опоры на балку АС
С
2а
В
М

Рис.2.4
Составим уравнение проекций сил на ось Х равновесия балки ВС (рис. 2.4) :,
И уравнение моментов сил относительно точки В для балки ВС:
,
Откуда получаем:

Ответ:


2.3 Схема 3Дано:
F = 3 кН, P = 4 кН, q = 2 кН/м, qmax = 1 кН/м, М = 4 кН м , а = 0,6 м, b = 2 м, r = 0,1 м, R = 0,2 м, α=300, β=600
Определить:
RА , MА , R В , R C , R D

Рис.2.5
Решение:
Разделим конструкцию на три части: горизонтальные балки AС , BD и наклонную балку CD, освободив ее от внешних связей – жесткой заделки А и неподвижного шарнира В и от внутренних связей – шарниров С и D. Расчетные схемы изображены на рис. 2.6, на котором использованы следующие обозначения:
, - составляющие реакции в жесткой заделке А МА- реактивный момент в жесткой заделке А , - составляющие реакции в шарнире В , – составляющие реакции шарнира С на балку AС;
, – составляющие реакции шарнира С на балку DС;
, – составляющие реакции шарнира D на балку BD;
, – составляющие реакции шарнира D на балку DС;
- равнодействующая распределенной нагрузки на участке АС, модуль которой

a)
б)
aВ
D
aβС
D
bв)
МА
А
С

Рис.2.6
Составим уравнения равновесия балки ВD (рис. 2.6, a):
, (1)
,(2)
,(3)
Из уравнения (3) получаем:
Из уравнения (2):
Составим уравнения равновесия балки DС (рис. 2.6, б):
, (4)
,(5)
,(6)
Из уравнения (5):
Из уравнения (6):
Или
Из (4):
Из (1):
Составим уравнения равновесия балки АС (рис. 2.6, в):
, (7)
,(8)
,(9)
Из уравнения (7):
Из уравнения (8):
Из уравнения (9):

Ответ:





2.4 Схема 4Дано:
F = 3 кН, P = 4 кН, q = 2 кН/м, qmax = 1 кН/м, М = 4 кН м , а = 0,6 м, b = 2 м, r = 0,1 м, R = 0,2 м, α=300, β=600
Определить:
RА ,R B,R C

Рис.2.7
Решение:
Для требуемых реакций рассмотрим равновесие всей конструкции и наклонного стержня ВС. Расчетные схемы изображены на рис.2.8. На них использованы следующие обозначения :
, - составляющие реакции в шарнире А , - составляющие реакции в шарнире В , – составляющие реакции шарнира С на балку АС;
–реакция нити на блок.
- равнодействующая равномерно распределенной нагрузки.
ее модуль определяется по формуле (рис.2.8,а).
Из подобия треугольников получаем:
, откуда и
Сила приложена на расстоянии по вертикали от точек А и В.
б)
R
a)
С
В
А
bbС
В
baaR
R
l
Рис.2.8
Составим уравнения равновесия для всей конструкции (рис.2.8,а):
,(1)
,(2)
,(3)
Из уравнения (3) получаем:
Из уравнения (2):

Составим уравнения равновесия балки ВС (рис. 2.8, б):
Так как нить невесомая, а трением на блоках пренебрегаем, то T  P .
, (4)
,(5)
,(6)
Из уравнения (4):
Из уравнения (6):

Из (5):
Из (1):
Ответ:
;
;;

Часть 3. Расчет пространственной конструкцииДано:
F = 50 кН, P = 10 кН, а = 0,2 м, b = 0,4 м, c = 0,5 м, α=450, β=600
Определить реакции связей
A
zyxβВ
D
αbа
E
с
с
bа

Рис.3.1
Решение:
Рассмотрим равновесие конструкции.
Освободим конструкцию от связей и приложим к ней реакции связей.
, – составляющие реакции цилиндрического подшипника А, расположенные в плоскости, перпендикулярной оси подшипника
, - составляющие реакции цилиндрического подшипника B, расположенные в плоскости, перпендикулярной оси подшипника.
Реакция стержня DE - . Направляем ее вдоль линии стержня, как показано на рис.2, считая, что стержень растянут.
A
zyxβВ
D
αbа
E
с
с
αbа
O

Рис.3.2
Разложим реакцию стержня и силу на составляющие, направленные вдоль осей координат:
Так как , то вектор можно представить как ,
Так как треугольник OED – равнобедренный, то
Тогда
,

Так как , то вектор можно представить как
,
причем
,

Для изображенной на рисунке произвольной пространственной системы сил составляем шесть уравнений равновесия, т. е. три уравнения проекций сил на оси х, у и z и три уравнения моментов сил относительно этих осей:
уравнения проекций на оси координат:
на ось Ох
, (1)
на ось Оу,Так как проекции всех сил на ось Y равны нулю, то равенство выполняется тождественно
на ось Оz, (2)
уравнение моментов относительно оси Х
,
(3)
уравнение моментов относительно оси Y
,
Где – расстояние от оси Y до линии действия силы
Или

Откуда получаем:

И ,

уравнение моментов относительно оси Z
,

Откуда получаем :
Из уравнения (3)


Из уравнения (2)

Из уравнения (1)

Ответ:



Так как значения реакций , , отрицательны, то их действительные направления противоположны показанным на рис.3.2

Выводы
В результате выполнения курсовой работы получены навыки исследования равновесия твердых тел и их систем.
В курсовой работе выполнен расчет плоской шарнирной фермы. Для нахождения усилий в стержнях использовались аналитические методы (вырезания узлов и Риттера) и графические методы (вырезания узлов, построение диаграммы Максвелла-Кремоны), для нахождения реакций опор кроме аналитического метода сечений рассмотрены графические методы (построение силового и веревочного многоугольников). Результаты расчетов различными методами сходятся вплоть до ошибок измерения и округления
.

Список литературы
1. Бертяев В.Д., Латышев И.И., Маркелов С.С. Расчет плоских и пространственных конструкций: Учеб. пособие. – Тула: ТулГУ, 2011. – 79 с.
2. Бертяев В.Д. Теоретическая механика на базе Mathcad. Практикум. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 752 с.
3. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики. Т.1. – М.: Наука, 1979. – 272 с.
4. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. – М.: Высш. шк., 2005. – 416 с.
5. Яблонский А.А., Никифорова В.М. Курс теоретической механики: Статика. Кинематика. Динамика. – М.: Интеграл-Пресс, 2006. – 608 с.