Интегралы от функций

Введение.
При решении множества физических, технических, экономических задач
часто приходится вычислять определенные интегралы от функций,
первообразные которых не выражаются через элементарные функции, или
полученная функция довольно громоздкая в плане вычислений. В этом случае для
решения проблемы можно использовать приближенные методы вычисления
определенных интегралов. Существует много вычислительных методов. Выбор
того или другого метода, прежде всего, зависит от решаемой задачи. В данной
работе рассматривается один из простейших методов приближенного
вычисления определенных интегралов, а именно метод центральных
прямоугольников.

1. Постановка задач численного интегрирования
Вычислить значение определенного интеграла





2
2
2
)2(dxexx

при 16,8,4n методом центральных прямоугольников;
Сравнить полученные приближенные значения интеграла в программе
Pascal с точными результатами найденными аналитическим способом, и по
формуле Ньютона-Лейбница, с помощью встроенных функций в математическом
пакете MathСad и инструментов в электронных таблицах Excel. Построить
графики функций в Excel и Mathcad.

5
2. Теоретические сведения.
Определенным интегралом b
a
dxxf)(
называют предел частичных сумм

  

00
)(lim)(
i
ii

x

b
a
xxfdxxf

(Рис. 1.)

Рис.1. Вычисление определенного интеграла

Исходя из геометрической интерпретации определенного интеграла
получаем, что численно определенный интеграл равен площади фигуры,
ограниченной графиком функции )(xfy и прямыми bxaxy,,0
(Рис. 2).

Рис. 2. Определенный интеграл как площадь криволинейной трапеции

Суть метода прямоугольников состоит в том, что основание трапеции
разбивается на n отрезков. Потом на этих отрезках, как на основаниях, строятся

6

прямоугольники высотой 1..0),(nixfi (Рис. 3). Тогда, используя известную
формулу определения площади прямоугольника, вычисляют сумму площадей
полученных прямоугольников 


1
0
)(
n
i
ixfhS

, где n
ab
h

. В итоге получаем

приближенное значение определенного интеграла 


1
0
)()(
n
i
i

b
a
xfhdxxf
.
Интуитивно понятно, что чем больше число разбиений, тем точнее
ожидаемый результат.
Заметим, что построение расчетной формулы прямоугольников зависит от
выбора точки вычисления значения функции, т.е., высоты прямоугольника. Если
будем строить прямоугольники с высотой 1,...,1,0,)
2(nih
xfi

то получим

формулу метода центральных прямоугольников



1
0
)
2()(

n
i
i

b
a

h
xfhdxxf

Составим алгоритм вычисления определенного интеграла методом
центральных прямоугольников.
1. ввести границы интегрирования ba, и количество отрезков разбиения n

2. вычислить шаг интегрирования n
ab
h


3. принять 0S

4. принять 2
h
ax
5. вычислить )(xfSS
6. вычислить hxx
7. если hbx перейти к пункту 5, иначе перейти к пункту 8
8. вычислить итоговое значение интеграла hSI
9. вывести результат
10. завершить работу
3.Блок-схема метода центральных прямоугольников.

7

Нет Рис 4. Блок-схема алгоритма.
>
Да

4. Аналитическое вычисление интеграла
Заданный интеграл допускает аналитическое решение, которое можно
использовать для оценки точности искомых значений. Для вычисления интеграла
запишем его в виде суммы интегралов








2
2
2
2
2
2
2

2
2
2
2)2(dxdxedxxdxexxx

8

Теперь вычислим каждый з полученных интегралов по отдельности.

82222|22
1

|

3
16
3
8
3
8
3
)2(
3
)2(
|
3

2
2

2
2

2
4
222
2

2
2

33
2
2
32
2
2


























xdx

e
e
eeedxe
x
dxx
xx

В итоге получаем

5871.482537.73333.5)2(
2
2
2




dxexx

5. Программа на языке Pascal и результаты вычисления.
5.1. Текст программы.
Program Rect;
var a,b,h,x,s:real;
i,n: integer;
{.......функция - подынтегральная}
Function F(x:real): real;
begin
F := x*x+exp(-x)-2 ;
End ;
{============= основная программа }
begin
write(' Введите a b n ---> ');
Readln(a,b,n);
h:= (b - a) / n; {шаг}
S:= 0; {обнуляем сумму}
x:=a+h/2;
repeat {в цикле }
S := S + F(x); {накапливаем сумму значений функции}
x:=x+h;
until x>b-h;
S:=S*h;
writeln(' Значение интеграла I =',S:10:5);
end.

5.2. Результаты тестирования.

9

Рис 5. Результаты в Паскаль АВС

6. Вычисления интеграла и графики в программе MathСad.

Рис.6. Результаты в Mathсad

10

7. Вычисления интеграла и графики в EXCEL.

11

Рис.7. Результаты в Excel

Рис.8. Результаты в Excel в режиме отображения формул

12

8. Вывод
Сведем полученные результаты в таблицу 1.

Таблица 1. Сравнительный анализ результатов

Результаты Среда вычислений

Паскаль АВС MathСad 15 Excel Точное

n = 4 3.96

4.587

3.96

4.587 n = 8 4.429 4.429
n = 16 4.547 4.547

На основании таблицы делаем выводы:
 результаты, полученные в Паскаль АВС, Matkad , Excel совпадают в
пределах установленной в приложениях точности.
 с ростом числа разбиений растет точность результата

Список литературы

1 Макаров Е. Г. Mathcad: учебный курс /Е. Г. Макаров Изд.- во «Питер», 2009 -
384с.
2 Солодов А.П. Mathcad. Дифференциальные модели /А.П. Солодов, В.Ф. Очков
Изд - во МЭИ, 2002- 239с.
3 Глушаков С.В. Математическое моделирование Mathcad 2000, Matlab
5.С.В. Глушаков, И.А. Жакин, Т.С. Хачиров. Изд - во Фолио, 2001- 524с.
4 Воскобойников Ю.Е. Программирование и решение задач в пакете Mathcad
Руководство программиста /Ю.Е. Воскобойников, В.Ф. Очков. Изд
– во НГАСУ, 2002 – 138с.
5 Охорзин В.А. Прикладная математика в системе MATHCAD /В.А. Охорзин. Изд
- во Лань, СПб, 2008 - 352с.