Исследование системы автоматического управления

Содержание
Введение……………………………………………………………………………..…3
Нахождение характеристик САУ…………………………………..…………….4
Нахождение передаточной функции Ф(p), амплитудно-фазовой характеристики Ф(j) и построение графиков амплитудно-частотной характеристики Ф(j)и фазово-частотной характеристики argФ(j)……………………………………………………………………..….4
Нахождение переходной функции h(t) и импульсной переходной (весовой) k(t) функции системы…………………………………………….6
Нахождение реакций системы на различные внешние воздействия………..8
Реакция системы на внешнее воздействие g1(t)…………………………..8
Реакция системы на внешнее воздействие g2(t)………………………….9
Реакция системы на внешнее воздействие в виде импульса g3(t)……..13
Заключение…………………………………………………………………...………14
Список использованных источников…………………………………………..…15

Введение
Целью данной работы является исследование системы автоматического управления. Для выполнения этой цели решаются подзадачи по нахождению характеристик САУ, а также нахождение реакций системы на различные внешние воздействия.
Объектом исследования в данной работе является САУ, описываемая простой математической моделью – дифференциальным уравнением 3-го порядка. В качестве методов исследования используются метод нахождение реакции системы с помощью вычетов и с помощью таблиц преобразований Лапласа.
Работа состоит из двух разделов, первый из которых описывает нахождение различных характеристик системы (передаточной функции, амплитудно-фазовой характеристики, амплитудно-частотной характеристики, фазово-частотной характеристики, переходной функции, импульсной переходной (весовой) функции), а второй – нахождению реакции системы на различные внешние воздействия.

Нахождение характеристик САУ
Нахождение передаточной функции Ф(p), амплитудно-фазовой характеристики Ф(j) и построение графиков амплитудно-частотной характеристики Ф(j)и фазово-частотной характеристики argФ(j).
САУ описывается дифференциальным уравнением: x(t)+Ax(t)+Bx(t)+Cxt=Dft, где A = 9.7, B = 6.4, C = 0.9, D = 6, то есть дифференциальное уравнение перепишется в виде:
xt+9.7xt+6.4xt+0.9xt=6ft.
Найдем передаточную функцию системы Ф(р). Для определения Ф(p) применим к (1) преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях:
xpp3+Ap2+Bp+C=Dg(t).
Или
xp=Фpgp→Фp=xpgp=Dp3+Ap2+Bp+C,Фp=6p3+9.7p2+6.4p+0.9.
Найдем амплитудно-фазовую характеристику Ф(iω). Амплитудно-фазовая частотная характеристика САУ Ф(iω) получается заменой p на iω в выражении Ф(p):
Фiω=6iω3+9.7iω2+6.4iω+0.9=6-iω3-9.7ω2+6.4iω+0.9.Представим амплитудно-фазовую частотную характеристику Ф(iω) в показательной форме, общий вид которой , где и .
Фiω=6-iω3-9.7ω2+6.4iω+0.9=60.9-9.7ω2+i6.4ω-ω3==60.9-9.7ω2-i6.4ω-ω30.9-9.7ω2+i6.4ω-ω30.9-9.7ω2-i6.4ω-ω3=60.9-9.7ω2-i6.4ω-ω30.9-9.7ω22+6.4ω-ω32.Фiω=60.9-9.7ω22+6.4ω-ω320.9-9.7ω22+6.4ω-ω32==60.9-9.7ω22+6.4ω-ω32.argФiω=arctgImФiωReФiω==arctg-6.4ω-ω30.9-9.7ω22+6.4ω-ω32÷0.9-9.7ω20.9-9.7ω22+6.4ω-ω32=arctg6.4ω-ω39.7ω2-0.9.Амплитудно-частотная характеристика выражается, как
Фiω=60.9-9.7ω22+6.4ω-ω32.Фазово-частотная характеристика выражается как
argФiω=arctg6.4ω-ω39.7ω2-0.9.Построим графики амплитудно-частотной и фазово-частотной характеристик (рисунок 1).

Рис.1. АЧХ и ФЧХ системы
Нахождение переходной функции h(t) и импульсной переходной (весовой) k(t) функции системы.
Переходной функцией системы h(t) называется реакция системы на внешнее воздействие (t) (единичная ступенчатая функция) при нулевых начальных условиях. Для определения h(t) нужно решить уравнение, подставив в его правую часть вместо g(t) функцию h(t)=1(t). Решение производим операторным методом Лапласа.
Исходное уравнение:
y+9.7y+6.4y+0.9y=6.
С помощью преобразования Лапласа получим:
(p3+9.7p2+6.4p+0.9)xp=6p.Разложим многочлен в знаменателе на множители:
xp=6p(p3+9.7p2+6.4p+0.9)= 6pp+9p+0.5(p+0.2).Переведем изображение Y(s) в оригинал y(t) с помощью вычетов.
ht= k1+k2+k3+k4.k1=limp→0xpe0tp =6.67.k3=limp→-0.5xpe-0.5t(p+0.5) =4.71e-0.5t.k2=limp→-9xpe-9t(p+9) =-8.91×10-3e-9t.k4=limp→-0.2xpe-0.2t(p+0.2) =-11.4e-0.2t.Переходная функция:
ht=6.67+4.71e-0.5t-8.91×10-3e-9t-11.4e-0.2t.Весовую функцию k(t) найдем по формуле k(t)=h’(t):
kt=dh(t)dt=-2.355e-0.5t+0.08e-9t+2.28e-0.2t.
Нахождение реакций системы на различные внешние воздействия
Реакция системы на внешнее воздействие g1(t)
При g1t=exp(3t)cos(3t-3) исходное уравнение принимает вид:
y+9.7y+6.4y+0.9y=6exp(3t)cos(3t-3).
L1exp(3t)cos(3t-3) =p-3p2-6p+18.xp=6(p3+9.7p2+6.4p+0.9)= 6p+9p+0.5(p+0.2).Преобразуем уравнение:
x1p=(6p-18)(p2-6p+18)p+9p+0.5(p+0.2).Затем, найдем оригинал x1(t) с помощь разложения изображения x1(p) на простейшие дроби и обратного преобразования Лапласа.
Разложим изображение x1(p) с помощью метода неопределённых коэффициентов:
6*(p-3)(p2-6p+18)p+9p+0.5(p+0.2)=Cp+0.5+Dp+0.2+Ep+9+Fp3+Gp2+Hp+Ip2-6p+18В итоге изображение x1p примет вид:
x1p=0.39p+0.5-0.38p+0.2+-0.00629p+9+-0.00325p+0.081p2-6p+18С помощью обратного преобразования Лапласа получим: x1t=0.39e-0.5t-0.38e-0.2t-0.00629e-9t+-0.0017-0.0119ie-3it((-0.9632-0.2687i)e3t+e3t+6it

Реакция системы на внешнее воздействие g2(t)
Определим реакцию системы x2(t) на внешнее воздействие g2(t) =cos(t/2+2)η(t-3) с помощью весовой функции k(t) при нулевых начальных условиях.
Реакцию системы x2(t) находим с помощью интеграла Дюамеля:
x2t=0tkt-τg2τdτkt= -2.355e-0.5t-0.08e-9t+2.28e-0.2tx2t=0tkt-τg2τdτ==0t-2.355e-0.5t-τ-0.08e-9t-τ+2.28e-0.2t-τcosτ2+2ητ-3dτ==3t-2.355e-0.5t-τ-0.08e-9t-τ+2.28e-0.2t-τcosτ2+2dτI1=3t-2.355e-0.5t-τcosτ2+2dτ==2.355sin(2)sin(t2)-2.355cos(2)sin(t2)-2.355sin(2)cos(t2)-2.355cos(2)cos(t2)-2.355e1.5-0.5tsin(32)sin(2)+2.355e1.5-0.5tcos(32)sin(2))+2.355e1.5-0.5tsin(32)cos(2)+2.355e1.5-0.5tcos(32)cos(2).I2=3t-0.08e-9t-τcosτ2+2dτ==0.009sin(2)sin(t2)-0.0005cos(2)sin(t2)-0.0005sin(2)cos(t2)-0.009cos(2)cos(t2)-0.009e27-9tsin(32)sin(2)+0.0005e27-9tcos(32)sin(2))+0.0005e27-9tsin(32)cos(2)+0.009e27-9tcos(32)cos(2).I3=3t2.28e-0.2t-τcosτ2+2dτ==-1.572sin2sint2+3.931cos2sint2+3.931sin2cost2+1.572cos2cost2+1.572e0.6-0.2tsin32sin2-3.931e0.6-0.2tcos(32)sin(2))-3.931e0.6-0.2tsin(32)cos(2)-1.572e0.6-0.2tcos(32)cos(2).Реакция системы x2(t) на внешнее воздействие g2(t) при нулевых начальных условиях выражается отношением:
x2t=I1+I2+I3==2.355sin(2)sin(t2)-2.355cos(2)sin(t2)-2.355sin(2)cos(t2)-2.355cos(2)cos(t2)-2.355e1.5-0.5tsin(32)sin(2)+2.355e1.5-0.5tcos(32)sin(2))+2.355e1.5-0.5tsin(32)cos(2)+2.355e1.5-0.5tcos(32)cos(2)+0.009sin(2)sin(t2)-0.0005cos(2)sin(t2)-0.0005sin(2)cos(t2)-0.009cos(2)cos(t2)-0.009e27-9tsin(32)sin(2)+0.0005e27-9tcos(32)sin(2))+0.0005e27-9tsin(32)cos(2)+0.009e27-9tcos(32)cos(2)+-1.572sin2sint2+3.931cos2sint2+3.931sin2cost2+1.572cos2cost2+1.572e0.6-0.2tsin32sin2-3.931e0.6-0.2tcos(32)sin(2))-3.931e0.6-0.2tsin(32)cos(2)-1.572e0.6-0.2tcos(32)cos(2).Реакция системы на внешнее воздействие g3(t)
При g3t=3-2tcos4t исходное уравнение принимает вид:
y+9.7y+6.4y+0.9y=63-2tcos4t .
L13-2tcos4t=10p2+224p2+162.xp=6(p3+9.7p2+6.4p+0.9)= 6p+9p+0.5(p+0.2).Преобразуем уравнение:
x3p=6(10p2+224)p2+162p+9p+0.5(p+0.2).Затем, найдем оригинал x3(t) с помощь разложения изображения x1(p) на простейшие дроби и обратного преобразования Лапласа.
Разложим изображение x3(p) с помощью метода неопределённых коэффициентов:
6(10p2+224)p2+162p+9p+0.5(p+0.2)=Cp+0.5+Dp+0.2+Ep+9+Fp+Gp2+16+Hp+Ip2+162В итоге изображение x1p примет вид:
x3p=-2.02p+0.5-1.98p+0.2+0.009p+9+0.027p-0.53p2+16+0.15p-2.34p2+162С помощью обратного преобразования Лапласа получим: x3t=-2.02e-0.5t-1.98e-0.2t+0.009e-9t+0.027cos4t-0.133sin4t+0.019tsin4t-2.340.008sin4t-0.031tcos4t.Заключение
В результате выполнения работы была исследована система автоматического управления, описываемая дифференциальным уравнением 3-го порядка.
В первой части работы были найдены основные характеристики системы: передаточная функция, амплитудно-частотная и фазово-частотная характеристики, переходная и импульсно-переходная функции. Для АЧХ и ФЧХ также были построены соответствующие графики.
Во второй части работы рассмотрены реакции системы на различные внешние воздействия. Реакции системы находились несколькими способами: с помощью преобразования Лапласа и с помощью метода вычетов.

Список использованных источников
Математические основы теории автоматического регулирования, /под. ред. Чемоданова Б.К., -М.: Высшая школа, 1977.
Ефимов А.В., Золотарев Ю.Г., Терпигорева В.М. Математический анализ (специальные разделы). ч. 2 – М.: Высш. школа 1989.
Пантелеев А.В., Якимов С.А. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление в примерах и задачах. – М.: Высш. школа, 2001.
Охорзин В.А., Сизов С.Н., Сливина Т.А., Розанов О.В. Математические основы теории систем. Учебное пособие. –Красноярск, СибГАУ, 2006.