Численное интегрирование методом трапеций

Содержание
TOC \o "1-3" \h \z \u HYPERLINK \l "_Toc74452269" 1.Постановка задач численного интегрирования PAGEREF _Toc74452269 \h 3
HYPERLINK \l "_Toc74452270" 2.Метод трапеций PAGEREF _Toc74452270 \h 5
HYPERLINK \l "_Toc74452271" 3.Блок-схема метода PAGEREF _Toc74452271 \h 6
HYPERLINK \l "_Toc74452272" 4.Контрольный пример PAGEREF _Toc74452272 \h 7
HYPERLINK \l "_Toc74452273" 5.Программа на языке Pascal и результаты вычисления PAGEREF _Toc74452273 \h 8
HYPERLINK \l "_Toc74452274" 6.Вычисления и графики в программе MathСad PAGEREF _Toc74452274 \h 9
HYPERLINK \l "_Toc74452275" 7.Вычисления и графики в EXCEL PAGEREF _Toc74452275 \h 10
HYPERLINK \l "_Toc74452276" 8.Вывод PAGEREF _Toc74452276 \h 12
HYPERLINK \l "_Toc74452277" 9.Список литературы PAGEREF _Toc74452277 \h 13

Постановка задач численного интегрированияПусть требуется вычислить интеграл
I=abfxdx( SEQ Формула \* ARABIC 1)Из курса математического анализа известно, что для непрерывной на отрезке [a,b] функции f интеграл REF _Ref74431764 \h \* MERGEFORMAT (1) существует и равен разности значений для первообразной F для функции f в точках b и a:
I=abfxdx=Fb−F(a)( SEQ Формула \* ARABIC 2)Однако в подавляющем большинстве практических задач первообразную F не удается выразить через элементарные функции. Кроме того, функция f часто задается в виде таблицы ее значений для определенных значений аргумента. Все это порождает потребность в приближенных методах вычислении интеграла REF _Ref74431764 \h \* MERGEFORMAT (1), которые можно условно подразделить на аналитические и численные. Первые заключаются в приближенном построении первообразной и дальнейшем использовании формулы REF _Ref74431949 \h \* MERGEFORMAT (2). Вторые позволяют непосредственно найти числовое значение интеграла, основываясь на известных значениях подынтегральной функции (а иногда и ее производной) в заданных точках, называемых узлами. В настоящей главе остановимся лишь на численных методах интегрирования функций. Сам процесс численного определения интеграла называется квадратурой, а соответствующие формулы – квадратурными.
Задача: На отрезке [a,b] в узлах xi заданы значения fi некоторой функции f, принадлежащей определенному классу F. Тре6уется приближенно вычислить интеграл REF _Ref74431764 \h \* MERGEFORMAT (1). Так обычно ставится задача численного интегрирования в том случае, когда подынтегральная функция задана в виде таблицы.
Один из способов решения сформулированной задачи основан на использовании различных квадратурных формул вида
I≡abfxdx≈(b−a)i=1nAifxi≡In( SEQ Формула \* ARABIC 3)С известным остаточным членом Rn=f=I=In или его оценкой.
В общем случае, как узловые точки xi, так и весовые множители (веса) Ai заранее не известны и подлежат определению при выводе каждой конкретной квадратурной формулы на основе предъявляемых к ней требований.
Алгоритм решения задачи:
Выбирают конкретную квадратурную формулу REF _Ref74432877 \h (3) и вычисляют In. Если значения функции fi заданы приближенно, то фактически вычисляют лишь приближенное значение In для точного In.
Приближенно принимают, что I≈In.
Пользуясь конкретным выражением для остаточного члена или оценкой его для выбранной квадратурной формулы, вычисляют погрешность метода:
∆1=I−In=|Rn|Определяют погрешность вычисления In:
∆2=I−Inпо погрешности приближения значений fi.
Находят полную абсолютную погрешность приближенного значения In:
∆ =I−In≤∆1+∆2Получают решение задачи в виде
I =In±∆Используемые в алгоритме квадратурные формулы строятся на основании тех или иных критериев, определяющих положение узловых точек и величины весовых множителей. Такими критериями могут быть: представление интеграла в виде интегральной суммы; аппроксимация подынтегральной функции (например, многочленом) и последующее интегрирование аппроксимирующей функции; требование, чтобы формула REF _Ref74432877 \h (3) была абсолютно точной для определенного класса функций, и др.
Метод трапецийПусть на отрезке a;b, a<b задана непрерывная функция f(x). Требуется вычислить интеграл
abf(x)dx,численно равный площади соответствующей обычной трапеции.
Разобьем промежуток a;b, на n равных частей длины ℎ=(b−a)/n. Абсциссы точек деления x0=a,x1,x2,…,xn−1,xn=b ( REF _Ref59996956 \h \* MERGEFORMAT Рис. 1).

Рис. SEQ Рис. \* ARABIC 1. Криволинейная фигура, полученная о методу криволинейных трапеций
Пусть x0,x1,…,yn – соответствующие им ординаты графика функции. Тогда расчетные формулы для этих значений примут вид xi=x0+ℎ∙i, yi=fx, где i=0,1,…,n.
Заменим кривую y=fx ломаной линией, звенья которой соединяют концы ординат yi и yi+1, где i=0,1,…,n.
Тогда площадь криволинейной трапеции приближенно равна сумме площадей обычных трапеций с основаниями yi, yi+1 и высотой ℎ=(b−a)/nabf(x)dx≈y0−y12∙ℎ+y1−y22∙ℎ+…+yn−1+yn2∙ℎ( SEQ Формула \* ARABIC 4)
или формула трапеций
abf(x)dx≈b−any0+yn2+y1+y2+…+yn−1.( SEQ Формула \* ARABIC 5)
Блок-схема методаfalse
Рис. SEQ Рис. \* ARABIC 2. Блок-схема алгоритма
Контрольный примерДля вычисления по формуле Ньютона-Лейбница найдём первообразную. Для функции:
fx=x−3,1ex+tgxпервообразная будет иметь вид:
Fx=exx−4,1−ln⁡(cosx)теперь, для пределов интегрирования от a=0 до b=1 и используя формулу, получим:
Fb−Fa=ebb−4,1−lncosb−eaa−4,1−lncosa=−7,811−−4,1=−3,711Программа на языке Pascal и результаты вычисленияconst a = 0;
b = 1;
n = 20;
function F(x: Real): Real;
begin
f := (x - 3.1) * Exp(x) + Tan(x);
end;
var
h, x, y, s: real;
i: integer;
begin
h := (b - a) / n;
s := (F(a) + F(b)) / 2;
x := a;
for i := 1 to n - 1 do
begin
x := x + h;
y := F(x);
s := s + y;
end;
s := h * s;
writeln('Результат: ', s:0:5);
readln;
end.
Рис. SEQ Рис. \* ARABIC 3. Листинг программы

Рис. SEQ Рис. \* ARABIC 4. Результат вычисления
Вычисления и графики в программе MathСad
Рис. SEQ Рис. \* ARABIC 5. Результат выполнения MathСad
Вычисления и графики в EXCEL
Рис. SEQ Рис. \* ARABIC 6. Лист Excel в режиме отображения формул

Рис. SEQ Рис. \* ARABIC 7. Лист Excel в режиме вычислений

Рис. SEQ Рис. \* ARABIC 8. График
ВыводВ результате выполнения работы, были получены теоретические знания и практические навыки использования метода численного интегрирования – метода трапеций.
Была написана программа на языке Pascal, выполнены расчёты в Excel и MathCad, выполнены аналитические расчёты.
Все полученные результаты схожи, это говорит о том, что решение выполнено верно.
Список литературыЗаварыкин В.М., Житомирский В.Г., Лапчик М.П. Численные методы. М.: Просвещение, 1990.
Климова М.Л. PASCAL 7.0. Практическое программирование. Решение типовых задач. М.: КУДИЦ-ОБРАЗ, 2000.
Немнюгин С.А. TurboPascal. СПб.: Питер, 2000.
Кирьянов Д.В. Mathcad 15/Mathcad Prime 1.0. – СПб.: БХВ-Петербург, 2012.
Кузьменко Е.А. Информатика. Численные методы решения прикладных задач. Лабораторный практикум: учебное пособие / Е.А. Кузьменко, Н.И. Кривова, О.Е. Мойзес; Национальный исследовательский Томский политехнический университет. – Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2012.