Математические методы в компьютерных системах управления

Оглавление
Введение2
Глава 1. Теоретические основы компьютерного математического моделирования 4
1.1. Анализ понятий, связанных с математическим моделированием…………………………………………………………………..4
1.2 Различные классификации математических моделей……………….6
1.3 Компьютерное математическое моделирование .................................8
Глава 2. Методические рекомендации по изложению теоретического материала13
2.1 Моделирование в курсе «Информатика и ИКТ»13
2.2 Построение и использование компьютерных моделей на занятиях по информатике………………………………………………………………….15
Заключение………………………………………………………………19
Список использованной литературы………………………………...21

Введение
Современную науку невозможно представить себе без широкого применения математического моделирования. Сущность этой методологии состоит в замене исходного объекта его «образом» - математической моделью - и дальнейшем изучении модели с помощью реализуемых на компьютерах вычислительно-логических алгоритмов. Этот «третий метод» познания, конструирования, проектирования сочетает в себе многие достоинства, как теории, так и эксперимента. Работа не с самим объектом (явлением, процессом), а с его моделью дает возможность безболезненно, относительно быстро и без существенных затрат исследовать его свойства и поведение в любых мыслимых ситуациях (преимущества теории). В то же время вычислительные (компьютерные, имитационные) эксперименты с моделями объектов позволяют, опираясь на мощь современных вычислительных методов, подробно и глубоко изучать объекты в достаточной полноте, недоступной чисто теоретическим подходам (преимущества эксперимента). Неудивительно, что методология математического моделирования бурно развивается, охватывая все новые сферы - от разработки технических систем и управления ими до анализа сложнейших экономических и социальных процессов.
В данной курсовой работе будет рассмотрен вопрос на тему «Математические методы в компьютерных системах управления».
Данная тема является весьма актуальной, поскольку в настоящее время знания информатики, использование компьютерных моделей является практически обязательным требованиям к специалистам из самых разных областей.
Целью написания данной курсовой работы является изучение математических методов в компьютерных системах управления.
Объектом исследования являются компьютерные моделей в базовом курсе информатики.
Предметом исследования является процесс обучения построению и использованию компьютерных моделей в базовом курсе информатики.
Задачами курсовой работы являются:
-провести анализ понятий, связанных с математическим моделированием;
-рассмотреть различные классификации математических моделей;
-раскрыть вопрос о компьютерном математическом моделировании;
-рассмотреть вопрос о моделировании в курсе «Информатика и ИКТ»;
-изучить вопрос о построении и использовании компьютерных моделей на занятиях по информатике.
Практическая значимость работы состоит в том, что она позволит глубже изучить и усвоить вопрос об обучении построению и использованию компьютерных моделей в базовом курсе информатики, а полученные знания использовать в педагогической практике и, таким образом, давать более глубокие знания ученикам.

1. Теоретические основы компьютерного математического моделирования
1.1. Анализ понятий, связанных с математическим моделированием
Применение математических моделей необходимо в тех случаях, когда проблема сложна, зависит от большого числа факторов, по-разному влияющих на ее решение. В этом случае непродуманное и научно не обоснованное решение может привести к серьезным последствиям. Примеров этому в нашей жизни имеется немало, в частности в экономике. Использование математических моделей позволяет осуществить предварительный выбор оптимальных или близких к ним вариантов решений по определенным критериям. Они научно обоснованы, и лицо, принимающее решения, может руководствоваться ими при выборе окончательного решения. Следует понимать, что не существует решений, оптимальных «вообще». Любое решение, полученное при расчете математической модели, оптимально по одному или нескольким критериям, предложенным постановщиком задачи и исследователем.
Практика показывает, что заниматься операционными исследованиями и построением математических моделей лучше всего не «чистым» математикам, не всегда представляющим себе сущность изучаемой проблемы и уделяющим большее внимание различным математическим тонкостям построения и расчета, и не предметникам, которые не всегда могут корректно поставить задачу. Хорошие результаты получают специалисты, знающие предметную область и вместе с тем владеющие математическими методами исследования.
В настоящее время математические модели применяются для анализа, прогнозирования и выбора оптимальных решений в различных областях экономики. Это планирование и оперативное управление производством, управление трудовыми ресурсами, управление запасами, распределение ресурсов, планировка и размещение объектов, руководство проектом, распределение инвестиций и т.п.
К основным понятиям математического моделирования относятся:
-Математическая модель;
-Математическое моделирование;
Существует множество определений математической модели. Например:
Математическая модель - это математическое представление реальности.
Математическое моделирование - процесс построения и изучения математических моделей.
Или, например, определение модели по А.А. Ляпунову:
Моделирование - это опосредованное практическое или теоретическое исследование объекта, при котором непосредственно изучается не сам интересующий нас объект, а некоторая вспомогательная искусственная или естественная система (модель):
-находящаяся в некотором объективном соответствии с познаваемым объектом;
-способная замещать его в определенных отношениях;
-дающая при её исследовании, в конечном счете, информацию о самом моделируемом объекте [5].
По Севостьянову А.Г. Математической моделью называется совокупность математических соотношений, уравнений, неравенств и т.п., описывающих основные закономерности, присущие изучаемому процессу, объекту или систем [7]. Экономико-математическая модель - это математическая модель, предназначенная для исследования экономической проблемы. Хорошо построенная модель доступнее для исследования - нежели реальный объект. Например, недопустимы эксперименты с экономикой страны в познавательных целях, здесь без модели не обойтись.
1.2 Различные классификации математических моделей

Можно выделить следующие основные этапы построения математической модели.
-Определение цели, т.е. чего хотят добиться, решая поставленную задачу.
-Определение параметров модели, т.е. заранее известных фиксированных факторов, на значения которых исследователь не влияет.
-Формирование управляющих переменных, изменяя значение которых можно приближаться к поставленной цели. Значения управляющих переменных являются решениями задачи.-Определение области допустимых решений, т.е. тех ограничений, которым должны удовлетворять управляющие переменные.
-Выявление неизвестных факторов, т.е. величин, которые могут изменяться случайным или неопределенным образом.
-Выражение цели через управляющие переменные, параметры и неизвестные факторы, т.е. формирование целевой функции, называемой также критерием эффективности или критерием оптимальности задачи.
Основными этапами математического моделирования являются:
-Построение модели (подробнее см. предыдущий абзац). На этом этапе задается некоторый «нематематический» объект - явление природы, конструкция, экономический план, производственный процесс и т.д. При этом, как правило, четкое описание ситуации затруднено. Сначала выявляются основные особенности явления и связи между ними на качественном уровне. Затем найденные качественные зависимости формулируются на языке математики, то есть строится математическая модель. Это самая трудная стадия моделирования.
-Решение математической задачи, к которой приводит модель. На этом этапе большое внимание уделяется разработке алгоритмов и численных методов решения задачи на ЭВМ, при помощи которых результат может быть найден с необходимой точностью и за допустимое время.
-Интерпретация полученных следствий из математической модели. Следствия, выведенные из модели на языке математики, интерпретируются на языке, принятом в данной области.
-Проверка адекватности модели. На этом этапе выясняется, согласуются ли результаты эксперимента с теоретическими следствиями из модели в пределах определенной точности.
-Модификация модели. На этом этапе происходит либо усложнение модели, чтобы она была более адекватной действительности, либо ее упрощение ради достижения практически приемлемого решения.
Классифицировать математические модели можно по различным критериям. Например, по характеру решаемых проблем модели могут быть разделены на:
-функциональные;
-структурные.
В первом случае все величины, характеризующие явление или объект, выражаются количественно. При этом одни из них рассматриваются как независимые переменные, а другие - как функции от этих величин. Математическая модель обычно представляет собой систему уравнений разного типа (дифференциальных, алгебраических и т.д.), устанавливающих количественные зависимости между рассматриваемыми величинами.
Во втором случае модель характеризует структуру сложного объекта, состоящего из отдельных частей, между которыми существуют определенные связи. Как правило, эти связи не поддаются количественному измерению. Для построения таких моделей удобно использовать теорию графов. Граф - это математический объект, представляющий собой некоторое множество точек (вершин) на плоскости или в пространстве, некоторые из которых соединены линиями (ребрами).
По характеру исходных данных и результатов предсказания модели могут быть разделены на детерминистические и вероятностно-статистические. Модели первого типа дают определенные, однозначные предсказания. Модели второго типа основаны на статистической информации, а предсказания, полученные с их помощью, имеют вероятностный характер.
Формальная классификация моделей основывается на классификации используемых математических средств. Часто строится в форме дихотомий. Например, один из популярных наборов дихотомий:
-Линейные или нелинейные модели [4];
-Сосредоточенные или распределённые системы [1];
-Детерминированные или стохастические;
-Статические или динамические;
-Дискретные или непрерывные [8];
-и так далее.
Статистическая модель включает описание связей между основными переменными моделируемого объекта в установившемся режиме без учета изменения параметров во времени.
Линейные модели - все функции и отношения, описывающие модель линейно зависят от переменных и не линейные в противном случае
В динамической модели описываются связи между основными переменными моделируемого объекта при переходе от одного режима к другому.
Каждая построенная модель является линейной или нелинейной, детерминированной или стохастической. Возможны и смешанные типы: в одном отношении сосредоточенные (по части параметров), в другом - распределённые модели и т.д.
1.3 Компьютерное математическое моделирование
Каким образом происходит построение математической модели?
-Во-первых, формулируется цель и предмет исследования.
-Во-вторых, выделяются наиболее важные характеристики, соответствующие данной цели.
-В-третьих, словесно описываются взаимосвязи между элементами модели.
-Далее взаимосвязь формализуется.
-И производится расчет по математической модели и анализ полученного решения.
Используя данный алгоритм можно решить любую оптимизационную задачу, в том числе и многокритериальную, т.е. ту в которой преследуется не одна, а несколько целей, в том числе противоречивых.
Приведем пример. Теория массового обслуживания - проблема образования очередей. Нужно уравновесить два фактора - затраты на содержание обслуживающих устройств и затраты на пребывание в очереди. Построив формальное описание модели, производят расчеты, используя аналитические и вычислительные методы. Если модель хороша, то ответы, найденные с ее помощью адекватны моделирующей системе, если плоха, то подлежит улучшению и замене. Критерием адекватности служит практика.
Оптимизационные модели, в том числе многокритериальные, имеют общее свойство - известна цель (или несколько целей) для достижения которой часто приходится иметь дело со сложными системами, где речь идет не столько о решении оптимизационных задач, сколько об исследовании и прогнозировании состояний в зависимости от избираемых стратегий управления. И здесь мы сталкиваемся с трудностями реализации прежнего плана. Они состоят в следующем:
-сложная система содержит много связей между элементами;
-реальная система подвергается влиянию случайных факторов, учет их аналитическим путем невозможен;
-возможность сопоставления оригинала с моделью существует лишь в начале и после применения математического аппарата, т.к. промежуточные результаты могут не иметь аналогов в реальной системе.
В связи с перечисленными трудностями, возникающими при изучении сложных систем, практика потребовала более гибкий метод, и он появился - имитационное моделирование «Simujation modeling».
Обычно под имитационной моделью понимается комплекс программ для ЭВМ, описывающий функционирование отдельных блоков систем и правил взаимодействия между ними. Использование случайных величин делает необходимым многократное проведение экспериментов с имитационной системой (на ЭВМ) и последующий статистический анализ полученных результатов. Весьма распространенным примером использования имитационных моделей является решение задачи массового обслуживания методом МОНТЕ-КАРЛО.
Таким образом, работа с имитационной системой представляет собой эксперимент, осуществляемый на ЭВМ. В чем же заключаются преимущества?
-Большая близость к реальной системе, чем у математических моделей;
-Блочный принцип дает возможность верифицировать каждый блок до его включения в общую систему;
-Использование зависимостей более сложного характера, не описываемых простыми математическими соотношениями.
Перечисленные достоинства определяют недостатки
-построить имитационную модель дольше, труднее и дороже;
-для работы с имитационной системой необходимо наличие подходящей по классу ЭВМ;
-взаимодействие пользователя и имитационной модели (интерфейс) должно быть не слишком сложным, удобным и хорошо известным;
-построение имитационной модели требует более глубокого изучения реального процесса, нежели математическое моделирование.
Встает вопрос: может ли имитационное моделирование заменить методы оптимизации? Нет, но удобно дополняет их. Имитационная модель - это программа, реализующая некоторый алгоритм, для оптимизации управления которым прежде решается оптимизационная задача.
Таким образом, ни ЭВМ, ни математическая модель, ни алгоритм для ее исследования порознь не могут решить достаточно сложную задачу. Но вместе они представляют ту силу, которая позволяет познавать окружающий мир, управлять им в интересах человека.
Модель не эквивалентна программе, а моделирование не сводится к программированию.
Специфические операции математического моделирования, например, идентификация, линеаризация не сводятся в ЭВМ к преобразованию в ней программ. Расширяется и область применения компьютера и компьютерных моделей.
Основные функции компьютера при моделировании систем:
-исполнение роли вспомогательного средства для решения задач, доступных и для обычных вычислительных средств, алгоритмам, технологиям;
-исполнение роли средства постановки и решения новых задач, не решаемых традиционными средствами, алгоритмами, технологиями;
-исполнение роли средства конструирования компьютерных обучающих и моделирующих сред типа: «обучаемый - компьютер - обучающий», «обучающий - компьютер - обучаемый», «обучающий - компьютер - группа обучаемых», «группа обучаемых - компьютер - обучающий», «компьютер - обучаемый - компьютер»;
-исполнение роли средства моделирования для получения новых знаний;
-исполнение роли «обучения» новых моделей (самообучение модели).
Компьютерное моделирование - основа представления знаний в ЭВМ (построения различных баз знаний). Компьютерное моделирование для рождения новой информации использует любую информацию, которую можно актуализировать с помощью ЭВМ. Прогресс моделирования связан с разработкой систем компьютерного моделирования, которые поддерживает весь жизненный цикл модели, а прогресс в информационной технологии - с актуализацией опыта моделирования на компьютере, с созданием банков моделей, методов и программных систем, позволяющих собирать новые модели из моделей банка. Автономные подмодели модели обмениваются информацией друг с другом через единую информационную шину - банк моделей, через базу знаний по компьютерному моделированию. Особенность компьютерных систем моделирования - их высокая интеграция и интерактивность. Часто эти компьютерные среды функционируют в режиме реального времени.
Вычислительный эксперимент - разновидность компьютерного моделирования.
Можно говорить сейчас и о специальных пакетах прикладных программ, текстовых, графических и табличных процессоров, визуальных и когнитивных средах (особенно, работающих в режиме реального времени), позволяющих осуществлять компьютерное моделирование.
Компьютерное моделирование и вычислительный эксперимент становятся новым инструментом, методом научного познания, новой технологией из-за возрастающей необходимости перехода от исследования линейных математических моделей систем (для которых достаточно хорошо известны или разработаны методы исследования, теория) к исследованию сложных и нелинейных математических моделей систем (анализ которых гораздо сложнее); грубо, но образно, говоря: «наши знания об окружающем мире - линейны и детерминированы, а процессы в окружающем мире - нелинейны и стохастичны».
Глава 2. Методические рекомендации по изложению теоретического материала
2.1 Моделирование в курсе «Информатика и ИКТ»
Государственный стандарт общего образования - нормы и требования, определяющие обязательный минимум содержания основных образовательных программ общего образования, максимальный объем учебной нагрузки обучающихся, уровень подготовки выпускников образовательных учреждений, а также основные требования к обеспечению образовательного процесса.
Назначением государственного стандарта общего образования является обеспечение равных возможностей для всех граждан в получении качественного образования; единства образовательного пространства в Российской Федерации; защиты обучающихся от перегрузок и сохранение их психического и физического здоровья; преемственности образовательных программ на разных ступенях общего образования, возможности получения профессионального образования; социальной защищенности обучающихся; социальной и профессиональной защищенности педагогических работников; прав граждан на получение полной и достоверной информации о государственных нормах и требованиях к содержанию общего образования и уровню подготовки выпускников образовательных учреждений; основы для расчета федеральных нормативов финансовых затрат на предоставление услуг в области общего образования, а также для разграничения образовательных услуг в сфере общего образования, финансируемых за счет средств бюджета и за счет средств потребителя, и для определения требований к образовательным учреждениям, реализующим государственный стандарт общего образования.
Государство гарантирует общедоступность и бесплатность общего образования в образовательных учреждениях в пределах, определяемых государственным стандартом общего образования.
Государственный стандарт общего образования является основой разработки федерального базисного учебного плана, образовательных программ начального общего, основного общего и среднего (полного) общего образования, базисных учебных планов субъектов Российской Федерации, учебных планов образовательных учреждений, примерных программ по учебным предметам; объективной оценки уровня подготовки выпускников образовательных учреждений; объективной оценки деятельности образовательных учреждений; определения объема бюджетного финансирования образовательных услуг, оказание которых гражданам на безвозмездной основе гарантируется государством на всей территории Российской Федерации; установления эквивалентности (нострификации) документов об общем образовании на территории Российской Федерации; установления федеральных требований к образовательным учреждениям в части оснащенности учебного процесса, оборудования учебных помещений.
В образовательном стандарте и примерной программе курса «Информатика и ИКТ» для основной школы тема, относящаяся к моделированию, стоит после темы «Алгоритмы». Такой порядок изучения отличается от принятого в стандартных учебниках по базовому курсу и в методических пособиях, где принят обратный порядок. Логика изложения базового курса и степень трудности учебного материала говорят о том, что вначале лучше изучать модели, а затем изучать алгоритмы и сразу после этого - основы программирования. В такой последовательности базовый курс изложен в учебнике. Моделирование является теоретической основой базового курса информатики, выступает важным методом научных исследований, средством решения широкого класса информационных задач.
2.2 Построение и использование компьютерных моделей на занятиях по информатике
Самое главное и сложное в компьютерном моделировании - это построение или выбор той или иной модели.
При построении компьютерной модели используют системный подход, который заключается в следующем. Рассмотрим объект - солнечную систему. Систему можно разбить на элементы - Солнце и планеты. Введем отношения между элементами, например, удаленность планет от Солнца. Теперь можно рассматривать независимо отношения между Солнцем и каждой из планет, затем обобщить эти отношения и составить общую картину солнечной системы (принципы декомпозиции и синтеза).
Некоторые характеристики моделей являются неизменными, не меняют своих значений, а некоторые изменяются по определенным законам. Если состояние системы меняется со временем, то модели называют динамическими, в противном случае - статическими.
Построение компьютерной модели. Моделирование
При построении моделей используют два принципа: дедуктивный (от общего к частному) и индуктивный (от частного к общему).
При первом подходе рассматривается частный случай общеизвестной фундаментальной модели. Здесь при заданных предположениях известная модель приспосабливается к условиям моделируемого объекта. Например, можно построить модель свободно падающего тела на основе известного закона Ньютона ma = mg-Fсопр и в качестве допустимого приближения принять модель равноускоренного движения для малого промежутка времени.
Второй способ предполагает выдвижение гипотез, декомпозицию сложного объекта, анализ, затем синтез. Здесь широко используется подобие, аналогичное моделирование, умозаключение с целью формирования каких-либо закономерностей в виде предположений о поведении системы. Например, подобным способом происходит моделирование строения атома. Вспомним модели Томсона, Резерфорда, Бора.
Технология построения модели при дедуктивном способе:
Теоретический этап:
а) оценки;
б) аналогии;
в) подобие.
Знания, информация об объекте (исходные данные об объекте).
Постановка задачи для целей моделирования.
Выбор модели (математические формулировки, компьютерный дизайн).
Технология построения модели при индуктивном способе:
Эмпирический этап:
а) умозаключение;
б) интуиция;
в) предположения;
г) гипотеза.
Постановка задачи для моделирования.
Оценки. Количественное и качественное описание
Построение модели.
Этапы решения задачи с помощью компьютера (построение модели - формализация модели - построение компьютерной модели - проведение компьютерного эксперимента - интерпретация результата).
Основные этапы разработки и исследования моделей на компьютере
-описательная информационная модель
-формализованная модель
-компьютерная модель
-компьютерный эксперимент
Анализ полученных результатов и корректировка исследуемой модели.
Этап 1 - описательная информационная модель: такая модель выделяет существенные (с точки зрения целей проводимого исследования) параметры объекта, а несущественными параметрами пренебрегает
Этап 2 - Описательная информационная модель записывается с помощью какого-либо формального языка. В такой модели с помощью формул, уравнений, неравенств и пр. фиксируются формальные соотношения между начальными и конечными значениями свойств объектов, а также накладываются ограничения на допустимые значения этих свойств.
Этап 3 - компьютерная модель
Описательная информационная модель записывается с помощью какого-либо формального языка.
В такой модели с помощью формул, уравнений, неравенств и пр. фиксируются формальные соотношения между начальными и конечными значениями свойств объектов, а также накладываются ограничения на допустимые значения этих свойств.
Пути построения компьютерной модели
Построение алгоритма решения задачи и его кодирование на одном из языков программирования;
Построение компьютерной модели с использованием одного из приложений (электронных таблиц, СУБД и пр.)
Этап 4 - компьютерный эксперимент
Если компьютерная модель существует в виде программы на одном из языков программирования, её нужно запустить на выполнение и получить результаты.
Если компьютерная модель исследуется в приложении, например в электронных таблицах, можно провести сортировку или поиск данных, построить диаграмму или график.
Этап 5 - анализ полученных результатов и корректировка исследуемой модели
В случае различия результатов, полученных при исследовании информационной модели, с измеряемыми параметрами реальных объектов можно сделать вывод, что на предыдущих этапах построения модели были допущены ошибки или неточности.
Провести корректировку модели.
Метод имитационного моделирования (метод Монте-Карло)
Теоретическая основа метода была известна давно. Однако до появления ЭВМ этот метод не мог найти сколько-нибудь широкого применения, ибо моделировать случайные величины вручную - очень трудоемкая работа.
Само название «Монте-Карло» происходит от города Монте-Карло в княжестве Монако, знаменитого своим игорным домом. Дело в том, что одним из механических приборов для получения случайных величин является рулетка. Для вычисления площади круга единичного радиуса проведем эксперимент.

Заключение
В данной курсовой работе проведено изучение вопроса об обучении построению и использованию компьютерных моделей в базовом курсе информатики.
В ходе выполнения курсовой работы раскрыты следующие вопросы:
- проведен анализ понятий, связанных с математическим моделированием;
- рассмотрены различные классификации математических моделей;
- раскрыт вопрос о компьютерном математическом моделировании;
- рассмотрен вопрос о моделировании в курсе «Информатика и ИКТ»;
- изучен вопрос о построении и использовании компьютерных моделей на занятиях по информатике.
Таким образом, подводя итог всему вышесказанному можно ответить на вопрос: для чего нужны модели? Модели нужны для того, чтобы:- понять, как устроен объект (его структура, свойства, законы развития, взаимодействия с окружающим миром).
- научиться управлять объектом (процессом) и определять наилучшие стратегии
- прогнозировать последствия воздействия на объект.
Модель позволяет получить новые знания об объекте, но, в подавляющем большинстве случаев, в той или иной степени она не полна.
Модель, сформулированная на языке математики с использованием математических методов называется математической моделью.
Исходным пунктом ее построения обычно является некоторая задача, например экономическая. Широко распространены, как дескриптивные, так и оптимизационные математические, характеризующие различные экономические процессы и явления, например:
- распределение ресурсов
- рациональный раскрой
- транспортные перевозки
- укрупнение предприятий
- сетевое планирование.
На основании проведенного исследования можно сделать следующие основные выводы:
- имитационное моделирование не заменяет методы оптимизации, а удобно дополняет их;
- компьютерная модель исполняет роль вспомогательного средства для решения задач;
- компьютерная модель исполняет роль средства конструирования компьютерных обучающих и моделирующих сред;
- исполняет роль средства моделирования для получения новых знаний.
Практическая значимость работы состоит в том, что она позволила мне глубже изучить и усвоить вопрос об обучении построению и использованию компьютерных моделей в базовом курсе информатики.
Полученные знания можно использовать в педагогической практике и, таким образом, давать более глубокие и полные знания ученикам.
В качестве рекомендации относительно возможностей практического применения материалов работы считаю перспективным разработать программный продукт и использовать его для обучения учеников построению и использованию компьютерных моделей в базовом курсе информатики в школе.

Список использованной литературы
1. Анищенко, В.С. Динамические системы / В.С. Анищенко // Соросовский образовательный журнал. - 2007. - №11. - М. - С. 77-84
2. Васильков, Ю.В. Компьютерные технологии моделирования: учеб. пособие / Ю.В. Васильков - М.: Финансы и статистика, 2010. - 256 с.
3. Введение в математическое моделирование: учебное пособие / под ред. П.В. Трусова; рецензенты: А.Р. Абдулаев, В.П. Матвиенко; Министерство образования РФ. - М.: Логос, 2004. - 440 с.4. Данилов, Ю.А. Лекции по нелинейной динамике. Элементарное введение: учеб. пособие / Ю.А. Данилов.; - 2-е изд. - М.: КомКнига, 2011. - 208 с.
5. Новик, И.Б. О философских вопросах кибернетического моделирования / И.Б. Новик - М.: Знание, 1964.
6. Самарский, А.А. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры / А.А. Самарский, А.П. Михайлов - М.: Физматлит, 2009. - 320 с.7. Севостьянов, А.Г. Моделирование технологических процессов: учебник / А.Г. Севостьянов, П.А. Севостьянов. - М.: Легкая и пищевая промышленность, 1984. - 344 с.8. Советов, Б.Я. Моделирование систем: учебник для ВУЗов / Б.Я. Советов, С.А. Яковлев - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Высшая школа, 2011. - 343 с.
9. Экштайн, В. Компьютерное моделирование взаимодействия частиц с поверхностью твердого тела / В. Экштайн; пер. с англ. М.Г. Степановой; под ред. Е.С. Машковой. - М.: Мир, 2009. - 319 с.