Оптимальное распределение ресурсов

Введение

Целью выполнения курсовой работы является овладение
математическими методами решения экономических задач.
Задачами выполнения курсовой работы является:
- научиться строить экономико-математические модели;
- освоить симплекс-метод табличного решения задачи линейного
программирования;
- освоить двойственный симплекс-метод решения задачи линейного
программирования;
- освоить метод потенциалов решения транспортной задачи;
По структуре курсовая работа состоит из двух заданий.
Целью выполнения первого задания является обоснование
оптимального плана производства.
Задачами выполнения первого задания являются:
- построение экономико-математической модели задачи распределения
ресурсов;
- построение двойственной задачи к задаче распределения ресурсов;
- нахождение оптимального решения прямой и двойственной задач
линейного программирования симплексным методом;
- нахождение границ изменения дефицитных ресурсов, в пределах
которых не изменится структура оптимального плана;
- уточнение значения недефицитных ресурсов, при которых
оптимальный план не изменится.
- нахождение границ изменения цены изделия, попавших в
оптимальный план производства, в пределах которых оптимальный план не
изменится.
- определение величины ∆b s ресурса Р s , введением которого в
производство можно компенсировать убыток и сохранить максимальный
доход на прежнем уровне (ресурсы предполагаются взаимно заменяемыми),
получаемый при исключении из производства ∆b r единиц ресурса Р r 

- оценка целесообразности приобретения ∆b k единиц ресурса Р k по
цене с k за единицу.
- оценка целесообразности выпуска продукции П4;
- проверка решения прямой и двойственной задачи линейного
программирования в среде Microsoft Exсel.
Целью выполнения второго задания является обоснование
оптимального плана перевозок.
Задачами выполнения второго задания являются:
- проверка разрешимости транспортной задачи;
- построение экономико-математической модели прямой транспортной
задачи и двойственной задачи.
- нахождение начального решения транспортной задачи методом
минимальной стоимости и проверить его на вырожденность.
- решение задачи методом потенциалов.
- проверка решения транспортной задачи в среде Microsoft Exсel.

1. Задача оптимального распределения ресурсов
Организация имеется возможность выпускать три вида изделий П 1 , П 2 ,
П 3 . При их изготовлении используются ресурсы Р 1 , Р 2 , Р 3 . Размеры
допустимых затрат ресурсов ограничены соответственно величинами b 1 , b 2 ,
b 3 . Расход ресурса i-го вида (i = 1, 2,…, m) на единицу изделия j-го вида (j = 1,
2,…, n) составляет a ij ден. ед. Цена единицы продукции j-го вида равна с j .
Требуется найти оптимальный план выпуска изделий, который обеспечивал
бы организации максимальный доход.
Обязательные требования к решению задачи.
1. Построить экономико-математическую модель задачи распределения
ресурсов.
2. Построить двойственную задачу к задаче распределения ресурсов.
Ввести соответствие переменных прямой и двойственной задачи.

4

3. Найти оптимальное решение прямой и двойственной задач
линейного программирования, пояснить экономический смысл всех
переменных, участвующих в решении.
4. Найти границы изменения дефицитных ресурсов, в пределах
которых не изменится структура оптимального плана.
5. Уточнить значения недефицитных ресурсов, при которых
оптимальный план не изменится.
6. Найти границы изменения цены изделия, попавших в оптимальный
план производства, в пределах которых оптимальный план не изменится.
7. Определить величину ∆b s ресурса Р s , введением которого в
производство можно компенсировать убыток и сохранить максимальный
доход на прежнем уровне (ресурсы предполагаются взаимно заменяемыми),
получаемый при исключении из производства ∆b r единиц ресурса Р r .
8. Оценить целесообразность приобретения ∆b k единиц ресурса Р k по
цене с k за единицу.
9. Установить, целесообразно ли выпускать новое изделие П 4 , на
единицу которого ресурсы Р 1 , Р 2 , Р 3 расходуются в количествах a 14 , a 24 , a 34
единиц, а цена единицы изделия составляет с4 денежных единиц.
10. Решить прямую и двойственную задачи линейного
программирования в среде Microsoft Exсel, приложить отчеты.

Таблица 1

Исходные данные варианта

Обозна
чение
Вариа
нт 34
Обозна
чение
Вариа
нт 34
Обозна
чение
Вариа
нт 34
Обозна
чение
Вариа
нт 34
Обозна
чение
Вариа
нт 34
b1 30 a11 4 a21 2 a31 1 c1 4
b2 20 a12 1 a22 3 a32 2 c2 6
b3 30 a13 2 a23 4 a33 6 c3 8
Обозна
чение
Вариа
нт 34
Обозна
чение
Вариа
нт 34
Обозна
чение
Вариа
нт 34
Обозна
чение
Вариа
нт 34    
r 2 k 1 l 4 a3l 4    
∆br 2 ∆bk 0,5 a1l 3  сl 60    
s 3 ck 12 a2l 2        
1. Построение экономико-математической модели задачи
распределения ресурсов
С целью построения экономико-математической модели задачи
распределения ресурсов следует ввести переменные и представить исходные
данные в табличном виде:

Таблица 2

Макет таблицы исходных данных

Ресурсы Виды изделий

Запасы ресурсов Скрытые цены ресурсов
П1 П2 П3 yi yi*
Р1 а11 a12 a13 b1 y1  
Р2 а21 a22 a23 b2 y2  
Р3 а31 a32 a33 b3 y3  

5
Цена единицы изделия c1 c2 c3

f(x)max g(y)min

План выпуска xj x1 x2 x3

xj*            

Представим исходные данные варианта в виде таблицы 3.

Таблица 3

Макет таблицы исходных данных

Ресурсы Виды изделий

Запасы ресурсов Скрытые цены ресурсов
П1 П2 П3 yi yi*
Р1 4 1 2 30 y1  
Р2 2 3 4 20 y2  
Р3 1 2 6 30 y3  

Цена единицы изделия 4 6 8

f(x)max g(y)min

План выпуска xj x1 x2 x3

xj*            

Решение:
1. Построим прямую экономико-математическую модель задачи
распределения ресурсов
Вводим переменные: пусть 321,,xxх - объем производства продукции
видов П1, П2 и П3 соответственно.
Целевая функция, отражающая доход от реализации произведенной
продукции, представляет собой сумму произведений объема производства
каждого вида продукции на значение ее цены:

max)(
1


n
j
jjxcxf

(1)
Поскольку требуется максимизировать доход, то целевая функция
стремиться к максимуму. При ресурсных ограничениях, представленных
системой неравенств, левые части которых отражают затраты ресурсов
каждого вида на производство продукции соответствующего вида, а правые
отражают запасы ресурсов каждого вида. Знак неравенств «меньше или
равно», поскольку расход ресурсов не должен превысить имеющихся
запасов:

mibxai
n
j
jij,1,
1

 (2)
Также должно выполняться условие неотрицательности переменных:

njxj,1;0

(3)
Подставляя исходные данные в условия (1)-(3) получаем модель
задачи:

6

max864)(321
1


xххxcxf
n
j
jj












0,,
3062
20432
3024

321
321
321
321

xxx
xхх
xхx
xxx

Таким образом, имеем задачу линейного программирования.
Данная ПЗЛП имеет стандартную форму записи, поскольку в задаче на
максимум все функциональные (ресурсные) ограничения имеют знаки
«меньше или равно».
2. Построение двойственной задачи к задаче распределения
ресурсов
Для построения двойственной задачи линейного программирования
(ДЗЛП) следует ввести двойственные переменные: у 1 – скрытая цена первого
ресурса; у 2 – скрытая цена второго ресурса; у 3 – скрытая цена третьего
ресурса.
Целевая функция ДЗЛП представляет собой совокупные затраты
второго предприятия на приобретение всех ресурсов первого предприятия,
при этом второе предприятие стремиться, чтобы его затраты на приобретение
ресурсов у первого предприятия были минимальными:

min)(
1


m
i
iiybyg

(4)
Ограничениями ДЗЛП является система неравенств, отражающая
условия, при которых первому предприятию будет выгодно продать свои
ресурсы вместо производства из них продукции, то есть при равенстве или
превышении суммы, полученной от второго предприятия, над суммой
дохода, полученной от реализации продукции:

njcyaj
m
i
iij,1,
1

 (5)
Должно выполняться условие неотрицательности переменных:
miyi,1;0 (6)
Также для построения ДЗЛП можно руководствоваться следующими
правилами.

7

1. В первой задаче определяется максимум линейной целевой функции,
во второй – минимум.
2. Коэффициенты при переменных в целевой функции первой задачи
являются правыми частями в системе ограничений во второй задаче.
3. Каждая из задач задана в стандартной форме, при этом в задаче
максимизации все неравенства вида «меньше или равно», а в задаче
минимизации все неравенства вида «больше или равно».
4. Матрицы коэффициентов при переменных в системах ограничений
обеих задач являются транспонированными друг к другу. Матрица
коэффициентов при переменных в системе ограничений ПЗЛП имеет вид:









621
432
214
А

Тогда транспонированная матрица, отражающая коэффициенты при
переменных в системе ограничений ДЗЛП, имеет вид:








642
231
124
Т
А

5. Число неравенств в системе ограничений одной задачи совпадает с
числом переменных в другой задаче.
6. Условие неотрицательности переменных имеются в обеих задачах.
Подставляя исходные данные в условия (4)-(6), получаем модель
двойственной задачи:

min302030)(321
1


yyyybyg
m
i
ii












0,,
8642
623
424

321
321
321
321

yyy
ууу
yyy
yyy

Данная ДЗЛП имеет стандартную форму записи, поскольку в задаче на
минимум все функциональные (затратные) ограничения имеют знаки
«больше или равно».
3. Решение прямой и двойственной задач линейного
программирования
Для решения задачи линейного программирования необходимо
перейти к ее канонической форме записи, то есть перейти в системе
ограничений от функциональных неравенств к равенствам посредством
включения дополнительных переменных.

8

Для перехода к канонической форме записи ПЗЛП варианта 0 следует
добавить дополнительные переменные х 4 , х 5 , х 6 , в соответствующие
неравенства со знаком «+», поскольку они отражают возможный остаток
неиспользованных ресурсов:

max864)(321xххxf












0,,,,,
3062
20432
3024

654321
6321
5321
4321

xxxxxx
xxхх
xxхx
xxxx

Для перехода к канонической форме записи ДЗЛП варианта 0 следует
добавить дополнительные переменные y 4 , y 5 , y 6 , в соответствующие
неравенства со знаком «-», поскольку они отражают возможное превышение
затрат на приобретение ресурсов над ценой реализации продукции
(возможный убыток от производства продукции):
min302030)(321yyyyg












0,,,,,
8642
623
424

654321
6321
5321
4321

yyyyyy
yууу
yyyy
yyyy

Соответствие переменных прямой и двойственной задачи
Во взаимодвойственных задачах линейного программирования
первоначальным переменным ПЗЛП соответствуют дополнительные
переменные ДЗЛП и аналогично первоначальным переменным ДЗЛП
соответствуют дополнительные переменные ПЗЛП.
Установим соответствие переменных прямой и двойственной задачи:

Решение задачи оптимального распределения ресурсов возможно с
помощью одновременного решения ПЗЛП и ДЗЛП с помощью симплекс-
таблиц.
Решаем ПЗЛП.
Находим исходное опорное решение и проверяем его на
оптимальность. Для этого заполняем симплекс-таблицу. Все строки таблицы
1-го шага, за исключением строки ∆ j (индексная строка), заполняем по
данным системы ограничений и целевой функции канонической формы
записи ПЗЛП
Правила заполнения первой симплекс-таблицы

9

В первую строку с j вносятся значения коэффициентов при переменных
из целевой функции. В столбец базисных переменных вносим
дополнительные переменные х j .
В столбец с i вносят значения коэффициентов при переменных из
целевой функции, которые вошли в базис.
Рабочее поле таблицы (столбцы под переменными хj заполняют
коэффициентами при соответствующих переменных из системы равенств
канонической формы записи ПЗЛП. Отсутствие той или иной переменной в
равенстве означает, что ей соответствует коэффициент, равный нулю.
В столбец b i вносят свободные члены системы равенств. Индексная
строка (∆ j ) для переменных находится по формуле:

njchx
m
i
jijijj,1,
1

 (7)
где h ij – соответствующий элемент, стоящий на пересечении i-й строки и j-го
столбца рабочего поля симплекс таблицы.
Индексная строка (∆j) для свободного члена находится по формуле:



m
i
iijlc
1 (8)

где l i – соответствующий элемент, из столбца b i .
В рассматриваемом варианте в первую строку сj вносим значения
коэффициентов при переменных из целевой функции 4, 6 и 8, остальные
значения равны нулю. В столбец базисных переменных вносим
дополнительные переменные х 4 , х 5 , х 6 . В рассматриваемом случае базисные
переменные не входят в целевую функцию, поэтому им соответствуют
нулевые значения в столбце с i .
Рабочее поле таблицы (столбцы под переменными х 1 , х 2 , х 3 , х 4 , х 5 , х 6 )
заполняем коэффициентами при соответствующих переменных из системы
равенств канонической формы записи ПЗЛП.
Поскольку, в первом равенстве отсутствуют переменные х 5 и х 6 ,
поэтому в первой рабочей строке симплекс-таблицы этим переменным
соответствует коэффициент «0»

Таблица 4

Первая симплексная таблица

ci сj 4 6 8 0 0 0 f(x)
Базисные переменные(БП) x1 x2 x3 x4 x5 x6 bi
0 x4 4 1 2 1 0 0 30
0 x5 2 3 4 0 1 0 20
0 x6 1 2 6 0 0 1 30
Δj -4 -6 -8 0 0 0 0

10

Заполняем индексную строку по формулам (7) и (8):
Δ1=0∙4+0∙2+0∙1-4=-4
Δ2=0∙1+0∙3+0∙2-6=-6
Δ3=0∙2+0∙4+0∙6-8=-8
Δ7=0∙30+0∙20+0∙30=0
∆4, ∆5, ∆6 = 0
Первое опорное решение имеет вид:

0,30,20,30,0,0,011XfХ

(компоненты опорного решения выписывают для базисных
переменных из столбца свободных членов b i ; переменные, не входящие в
базис, имеют значение 0). В рассматриваемом случае переменные х 1 , х 2 , х 3 . не
входят в базис, поэтому их компоненты в опорном решении равны нулю,
базисные переменные имеют значения х 4 = 30, х 5 = 20, х 6 = 30. Значение
целевой функции берут из последней строки столбца f(х) . На данном шаге
симплекс-метода 01Xf .
Следует проверить первое опорное решение на оптимальность.
Первое опорное решение не оптимальное, поскольку имеются три
отрицательные оценки ∆1 = -4, ∆2 = -6, ∆3 = -8.
Следовательно, нужно сделать следующий шаг симплекс-метода:
ввести в базис переменную, которую нужно улучшить.
Вводим в базис переменную с наибольшей по абсолютной величине
оценкой, т.е. х3.
Теперь следует определить, какую переменную нужно вывести из
базиса.
За ключевую (разрешающую) строку принимают ту, которой
соответствует минимальное отношение свободных членов (bi) к
положительным коэффициентам ключевого k-го столбца. Элемент,
находящийся на пересечении ключевых строки и столбца, называют
ключевым (разрешающим) элементом.
В столбце оценочных отношений min{bi/hij} отражены отношения
свободных членов к элементам из разрешающего столбца, минимальным
является отношение 20/4 = 5 или 30/6 = 5 соответствующее строке
переменной х5 или х6. Выберем строку с переменной х5, следовательно, эта
строка – разрешающая, а переменная х5 выводится из базисных переменных.
Таблица 5
Выбор ключевого (разрешающего) столбца, ключевой (разрешающей) строки
и ключевого (разрешающего) элемента при переходе от первого опорного

решения ко второму

ci сj 4 6 8 0 0 0 f(x)
bi/hij
Базисные переменные(БП) x1 x2 x3 x4 x5 x6 bi
0 x4 4 1 2 1 0 0 30 15
0 x5 2 3 «4» 0 1 0 20 5
0 x6 1 2 6 0 0 1 30 5

11

Δj -4 -4 -6 -8 0 0 0 0
На пересечении ключевой строки и ключевого столбца находится
ключевой элемент «4».
Переход ко второму шагу симплекс-метода.
В столбец базисных переменных на место выведенной из базисных
вносится новая базисная переменная. При этом в столбец сi вносится
соответствующее значение коэффициента при переменной из целевой
функции.
Ключевая строка переписывается, при этом все ее элементы делят на
ключевой элемент.
Заполняют столбцы для базисных переменных: на пересечении строки
и столбца, в которых находится одна и та же переменная, ставят «1», в
остальных клетках столбца нули.
Остальные коэффициенты таблицы находят по правилу
«прямоугольника» по формуле:

sq
sjiqsqij
ij

h
hhhh
h


(9)
Оценки ∆j можно считать по приведенным ранее формулам (7)-(8).
Таблица 6

Второе опорное решение

ci сj 4 6 8 0 0 0 f(x)
Базисные переменные(БП) x1 x2 x3 x4 x5 x6 bi
0 x4 3 -0,50 0 1 -0,5 0 20
8 x3 0,5 0,75 1 0 0,25 0 5
0 x6 -2 -2,50 0 0 -1,5 1 0
Δj 0 0 0 0 0 2 40

Второе опорное решение имеет вид:

40,0,0,20,5,0,022XfХ

Поскольку все оценки положительные j, то полученное опорное
решение является оптимальным: 0,0,20,5,0,0*Х , а максимальное
значение целевой функции равно 40.
Учитывая соответствие переменных взаимодвойственных задач, можно
выписать оптимальное решение двойственной задачи. Значения
соответствующих переменных берут из последней строки последней
симплекс-таблицы:

00,2,0,0,0,*Y
Значение целевой функции g(Y) = 40.
Экономический смысл переменных:
x 1 * , x 2 * , x 3 * -основные переменные - оптимальный план производства;

12

x 4 * , x 5 * , x 6 * - дополнительные переменные - остатки ресурсов;
y 1 , y 2 , y 3 -основные переменные - скрытые цены;
y 4 , y 5 , y 6 -дополнительные переменны – превышение затрат на ресурсы над
ценой реализации (возможный убыток от производства продукции).
Т.к. при решении прямой задачи есть оценки переменных, входящих в
базис равные нулю: ∆1, ∆2 = 0, то прямая задача имеет альтернативное
решение.
Анализ решения ПЗЛП
Подставим оптимальные значения переменных x* в исходную систему
ограничений ПЗЛП:
1) 4∙х1+х2+2∙х3 = 4∙0+0+2∙5=10
10 < 30, следовательно, х4 = 20, ресурс Р1 используется не полностью.
2) 3∙х1+3∙х2+4∙х3 = 2∙0+3∙0+4∙5=20
20 = 20, следовательно, х5 = 0, ресурс Р2 используется полностью.
3) х1+2∙х2+6∙х3 = 0+2∙0+6∙5=30
30 = 30, следовательно, х6 = 0, ресурс Р3 используется полностью.
Анализ решения ДЗЛП
Подставим оптимальные значения переменных у*в исходную систему
ограничений ПЗЛП:
1) 4∙у1+2∙у2+у3=4∙0+2∙2+1∙0 = 4
4 = 4, следовательно, у4 = 0, убытки от производства первого вида
продукции П1, которая не вошла в оптимальный план производства
отсутствуют;
2) 1∙у1+3∙у2+2∙у3=1∙0+3∙2+2∙0 = 6
6 = 6, следовательно, у5 = 0, убытки от производства второго вида
продукции П2, которая не вошла в оптимальный план производства
отсутствуют;
3) 2∙у1+4∙у2+6∙у3=2∙0+4∙2+6∙0 = 8
8 = 8, следовательно, у6 = 0, убытки от производства третьего вида
продукции П3, которая вошла в оптимальный план производства
отсутствуют;

4. Расчет границ изменения дефицитных ресурсов, в пределах
которых не изменится структура оптимального плана
Ресурсы, которые используются полностью, называются дефицитными.
Признаком дефицитности ресурсов является отличие от нуля
соответствующей данному ресурсу двойственной переменной и равенство
нулю соответствующей дополнительной переменной.
В рассматриваемом случае ресурсы Р2 и Р3 используются полностью,
следовательно, являются дефицитными. Ресурс Р1 используется не
полностью, следовательно, не является дефицитным.
Допустимое уменьшение для запаса ресурса 1-го вида:

201b

13

Таким образом, запас сырья 1-го вида может быть уменьшен на 20
единиц.
1-й вид ресурса в оптимальном плане используется не полностью,
является недефицитным. Увеличение данного ресурса приведет лишь к росту
его остатка. При этом структурных изменений в оптимальном плане не
будет, так как двойственная оценка y 1 = 0. Другими словами, верхняя граница


1b

Интервалы устойчивости для ресурса Р1:


11111bbbbb
302030

1b , т.е. ];10[1b
Допустимое уменьшение для запаса ресурса 2-го вида:

02b

Таким образом, запас сырья 2-го вида может быть уменьшен на 0
единиц.
Допустимое увеличение для запаса ресурса 2-го вида:

252b

Таким образом, запас сырья 2-го вида может быть увеличен на 25
единиц.
Интервалы устойчивости для ресурса Р2:


22222bbbbb
25200201b , т.е. ]45;20[
2b

Допустимое уменьшение для запаса ресурса 3-го вида:

3
2
163b

Таким образом, запас сырья 3-го вида может быть уменьшен на 3
2
16

единиц.
Допустимое увеличение для запаса ресурса 3-го вида:

03b

Таким образом, запас сырья 3-го вида может быть увеличен на 0
единиц.
Интервалы устойчивости для ресурса Р3:


33333bbbbb
030

3
2
16303b

, т.е. 





30;
3
1
133b

5. Уточнение значения недефицитных ресурсов, при которых
оптимальный план не изменится
Значение остатка недефицитного ресурса определяется значением
соответствующей дополнительной переменной.
Недефицитный ресурс Р1.

14

Интервал устойчивости значений запаса недефицитного ресурса, при
котором структура оптимального плана не изменится:

];10[1b

6. Расчет границ изменения цены изделия, попавших в
оптимальный план производства, в пределах которых оптимальный
план не изменится
В план производства вошел только 3-й вид продукции П3, 053x .
Допустимое увеличение для цены единицы продукции П3:

03с

Допустимое уменьшение для цены единицы продукции П3:


3с .

Интервал устойчивости:

[4-∞; 4+0] = [-∞;4]

Если цена изделия П3 будет находится в пределах до 4 ден.ед., то
структура оптимального плана не изменится.
7. Определение величины Δbs ресурса Рs, введением которого в
производство можно компенсировать убыток и сохранить
максимальный доход на прежнем уровне (ресурсы предполагаются
взаимно заменяемыми), получаемый при исключении из производства
Δbr единиц ресурса Рr
В рассматриваемом случае:

r = 2; Δbr = 2; s = 3.

Для взаимозаменяемых ресурсов (коэффициент взаимозаменяемости
ik >0, но отличен от бесконечности) количество ресурса Δbi вида i,
необходимое для замены выбывающего количества Δbk ресурса k,
определяется по формуле:

k
i
k
kikib
y
y
bb
*
*



(10)

Таким образом,

2
0
2
2*
3
*
2
3b
y
y
b

Следовательно, замена второго ресурса невозможна.
8. Оценка целесообразности приобретения Δbk единиц ресурса Рk
по цене сk за единицу
Для оценки целесообразности приобретения дополнительного
количества ресурса Δb i вида i по цене с k необходимо сравнить предлагаемую

15

цену с рассчитанной ранее теневой ценой этого ресурса y i * . Приобретение
дополнительного количества ресурса целесообразно, если выполняется
условие непревышения новой цены над теневой ценой

*
ikyс (11)
В противном случае приобретение дополнительного количества
ресурса нецелесообразно.
В рассматриваемом случае:

Δbk = 0,5; k = 1, ck = 12.

Поскольку у 1 * = 0 < 12, то приобретение дополнительного количества
ресурса не целесообразно.
9. Оценка целесообразности выпуска нового изделия П4, на
единицу которого ресурсы Р1, Р2, Р3 расходуются в количествах a14, a24,
a34 единиц, а цена единицы изделия составляет с4 денежных единиц
Включение дополнительного вида продукции n+1 в план производства
целесообразно, если соотношение дополнительных затрат и цены реализации
дополнительного вида продукции удовлетворяет следующему условию

1
*
1,nm
i
inicya

(12)

Расчет затрат:

3∙0+2∙2+4∙0=4

Учитывая, что затраты на ресурсы для производства продукции вида
П4 меньше цены реализации с 4 = 60 ден. ед., то включение ее в план
производства целесообразно.
10. Решение прямой и двойственной задач линейного
программирования в среде MicrosoftExсel
Решим задачу в excel с помощью надстройки Поиск решения.
На чистый рабочий лист Excel вводим исходные данные:

Рисунок 1 – Фрагмент листа Excel с исходными данными

16

В ячейках В2:D2 будут будущие значения переменных 321,,xxx . В
ячейке Е3 будущее значение функции цели.
2. Вводим зависимость для функции цели
Далее в ячейку Е3 заносим значение целевой функции. Для этого
используем встроенную математическую функцию СУММПРОИЗВ:

=СУММПРОИЗВ(B3:D3;$B$2:$D$2)

Заносим аргументы функции как представлено на рисунке 2.
3. Вводим зависимость для ограничения
Далее ячейку с функцией Е3 копируем в левые части ограничений, т.е.
в ячейки Е5:Е7.

Рисунок 2 – Ввод зависимости для функции цели

17

Рисунок 3 – Фрагмент листа Excel с введенными зависимостями для

функции цели и ограничений

4. Находим оптимальное решение
Теперь можно использовать надстройку Поиск решения.
1) В главном меню выбираем вкладку Данные, в надстройках Поиск
решения
2) Заполняем аргументы Поиска решения
Установить целевую ячейку – заносим ячейку с функцией цели Е3.
Равной максимальному.
Изменяя ячейки – заносим диапазон ячеек со значением переменных
321,,xxxx (В2:D2)
Ограничения:

Рисунок 4 – Ввод ограничений

В Параметрах отмечаем Линейная модель и Неотрицательные
значения.

Рисунок 5 – Заполнение аргументов «Поиск решения»

18

Рисунок 6 – Ввод параметров поиска решения

Нажимаем кнопку ОК и в меню Поиск решения Выполнить. Получаем
лист Excel с решением задачи (рисунок 7). Выделяем все виды отчетов и
нажимаем ОК.

Рисунок 7 – Результаты решения задачи

Максимальная прибыль от реализации изделий всех трех видов
составит 40 ден.ед. если производить 5 единиц изделий вида П3, а изделия
видов П1 и П2 не производить совсем.
40)(maxxf при х

1 = 0, х 2 = 0, х 3 = 5.

При решении задачи в Excel двойственные оценки представлены в
отчете по устойчивости (столбец теневая цена):

19

Рисунок 8 – Отчет по результатам решения задачи

Рисунок 9 – Отчет по устойчивости задачи

Решение прямой и двойственной задачи совпадает с решением,
найденным симплексным методом.

20

Рисунок 10 – Отчет по пределам решения задачи

2. Транспортная задача

На трех базах (пунктах отправления) A 1 , A 2 , A 3 находится однородный
груз в количествах, соответственно равных а 1 , а 2 и а 3 единицам. Этот груз
требуется перевести в три пункта назначения B 1 , B 2 , B 3 соответственно в
количествах b 1 , b 2 и b 3 единиц. Стоимость перевозки единицы груза из i-го
пункта отправления в j-й пункт назначения составляет c ij денежных единиц.
Определить оптимальный план перевозок, при котором общая
стоимость перевозок будет минимальной.
Обязательные требования к решению задачи.

21

1. Проверить разрешимость транспортной задачи. Если задача не
разрешима, свести ее к закрытой задаче введением фиктивного пункта
отправления (поставщика) или пункта назначения (потребителя).
2. Построить экономико-математическую модель прямой транспортной
задачи и двойственной задачи.
3. Найти начальное решение транспортной задачи и проверить его на
вырожденность.
4. Решить транспортную задачу методом потенциалов.
5. Решить транспортную задачу в среде Microsoft Exсel, приложить
отчет.

Таблица 7

Транспортная таблица

  В1 В2 В3 В4 Запасы
А1 9 14 17 9 17
А2 4 11 17 8 17
А3 12 20 4 11 16
А4 10 20 8 5 10
Потребности 10 10 20 20  

1. Проверка разрешимости транспортной задачи
а i –запасы пунктов отправления i = 1, 2, 3, 4.
b j –потребности пунктов потребления; j = 1, 2, 3 ,4.
Если сумма запасов груза равна суммарной потребности в нем:



n
j
j

m
i
iba
11 , (13)

то транспортная задача является закрытой.
Если сумма запасов не совпадает с суммой потребностей:



n
j
j

m
i
iba
11 , (14)
то транспортная задача является открытой. При этом возможны два варианта:
а) если



n
j
j

m
i
iba
11 , (15)
, то объем запасов превышает объем потребления, все потребители будут
удовлетворены полностью и часть запасов останется не вывезенной. Для

22

решения задачи вводят фиктивного (n + 1) потребителя, потребности
которого 

n
j
j

m
i
iba
11 .
б) если



n
j
j

m
i
iba
11 , (16)
то объем потребления превышает объем запасов, часть потребностей
останется неудовлетворенной. Для решения такой задачи вводят фиктивного
(m+ 1) поставщика, запас которого 

m
i
i

n
j
jab
11 .
Рассчитываем суммарные запасы и потребности:
6010161717
4
1

iia
6020201010
4
1

jjb

Поскольку выполняется условие (13), то данная задача закрытого типа
(сбалансированная). Т.е. со всех пунктов отправления будут вывезен груз и
все потребности пунктов потребления будут удовлетворены.
Условие разрешимости транспортной задачи выполнено.
2. Экономико-математическая модель транспортной задачи.
Обозначим x ij – количество груза, перевозимого из пункта А i в пункт B j
(i = 1,2,3,4; j = 1, 2, 3, 4).
Математическая модель транспортной задачи имеет вид:



n
j
m
i
ijijxcxL
11
min)(

(17)

при ограничениях:
















0
1
1

ij
j
m
i
ij
i
n
j
ij

x
bx
ax

(18)

Целевая функция вида (17) для данной задачи имеет вид:

23

min5820101142012
817114917149)(
4443424134333231
2423222114131211


хххххxxx
хxxxхxxxxL

Ограничения вида (18) для решаемой задачи:
1714131211xxxx
1724232221xxxx
1634333231xxxx
1044434241xxxx
1041312111xxxx
1042322212xxxx
2043332313xxxx
2044342414xxxx
0
ijx

Математическая модель двойственной задачи:
4321,,,uuuu – переменные для складов, поставщиков
4321,,,vvvv - переменные для магазинов, потребителей
Переменные 4321,,,uuuu , 4321,,,vvvv - потенциалы пунктов
отправления и пунктов назначения.
Функция цели:

max),(

4
1

4
1

jjj
i

iivbuauvG

(19)

Система ограничений:

ijjicvu

для всех i и j. (20)

Для решаемой задачи функция цели вида (19):
432143212020101010161717),(maxvvvvuuuuuvG
Ограничения вида (20):

24















5
8
20
...............
17
14
9

44
34
24
31
21
11

vu
vu
vu
vu
vu
vu

3. Начальное решение транспортной задачи
Найдем исходное опорное решение по методу минимальной стоимости.
В соответствии с методом минимальной стоимости грузы
распределяются в первую очередь в те клетки, которым соответствует
минимальный тариф перевозок с ij . При этом объем поставки, вносимый в
клетку, определяется как минимальное значение среди значений запаса и
потребности:

),min(jiijbax

(21)
Далее поставки распределяются в незанятые клетки с наименьшими
тарифами с учетом оставшихся запасов у поставщиков и удовлетворения
спроса потребителей.
В случае нескольких клеток с одинаковыми значениями тарифов в
первую очередь поставки распределяются в клетку с максимально возможной
поставкой. Процесс распределения продолжают до тех пор, пока все грузы от
поставщиков не будут вывезены, а потребители не будут удовлетворены.
Минимальное значение имеет тариф перевозки от 2-го поставщика к 1-
му потребителю и от 3-го поставщика 3-му потребителю с21 = с33 = 4, т.е.
клетка (2, 1) и (3;3).
В клетку (2;1) вносится значение поставки, представляющее собой
минимальное значение из значений запаса у 2-го поставщика и потребности
1-го потребителя, т.е. min (17, 10) = 10. Это первая из искомых поставок х21
= 10.
Поскольку потребность 1-го поставщика поставкой х21 = 10 полностью
удовлетворена, то потребность обнуляется, а в остальных клетках 1-го
столбца проставляется прочерк – в эти клетки другое поставки вноситься не
будут. У 2-го поставщика остается еще 17-10=7 единиц груза, которые
подлежат дальнейшему распределению.
В клетку (3;3) вносится значение поставки, представляющее собой
минимальное значение из значений запаса у 3-го поставщика и потребности
3-го потребителя, т.е. min (16, 20) = 16. Это вторая из искомых поставок х33
= 16.

25

Поскольку мощность 3-го поставщика поставкой х33 = 16 полностью
исчерпана, то мощность обнуляется, а в остальных клетках 3-й строки
столбца проставляется прочерк – в эти клетки другое поставки вноситься не
будут. Потребность 3-го потребителя остается еще 20-16=4 единиц груза,
которые подлежат дальнейшему распределению.
Следующая клетка с минимальным значением тарифа - клетка (4;4),
с44 = 5. В клетку (4, 4) можно разместить поставку min (10;20) = 10 единиц
груза. Поскольку мощность 4-го поставщика поставкой х44 = 10 полностью
исчерпана, то мощность обнуляется, а в остальных клетках 4-й строки
столбца проставляется прочерк – в эти клетки другое поставки вноситься не
будут. Потребность 4-го потребителя остается еще 20-10=10 единиц груза,
которые подлежат дальнейшему распределению.
Продолжая заполнять аналогично получаем первое опорное решение
(таблица 8).

Таблица 8

Исходное опорное решение методом наименьшей стоимости

Число базисных переменных должно быть:
m + n – 1 = 4 + 4 – 1 = 7

Т.к. число заполненных клеток равно 7, то полученное опорное
решение является базисным.
Найдем значение функции цели по найденному опорному плану:

)(
1xL 10∙14+4∙17+3∙19+10∙4+7∙8+16∙4+10∙5=445
4. Решение транспортной задачи методом потенциалов
Метод потенциалов решения транспортной задачи для каждого
получаемого решения Хk включает выполнение следующих действий:
1. Проверку решения на невырожденность;
2.Ппроверку решения на оптимальность, в т.ч.:
2.1. Расчет потенциалов на основе известных тарифов для занятых
клеток;
2.2. Расчет оценок свободных клеток;
2.3. Проверку условия оптимальности решения.

26

Проверим первое опорное решение 1x на оптимальность. Для этого по
занятым клеткам подберем потенциалы v и u. Для занятых клеток

ijjicvu

(22)

Получаем систему:

















5
4
8
4
9
17
14

44
33
42
12
41
31
21

vu
vu
vu
vu
vu
vu
vu

Данная система имеет бесконечное множество решений. Найдем хотя
бы одно: если u 1 =0, то u 2 = -1, u 3 = -18, u 4 = -4, v 1 = 5, v 2 =14, v 3 =17, v 4 = 9.
Находим оценки свободных клеток по формуле:

ijjiijcvu

(23)

По формуле (23) получаем:
∆11=0+5-9=-4
∆22=-1+14-11=2
∆23=-1+17-17=-1
∆31=-13+5-12=-20
∆32=-13+14-20=-19
∆34=-13+9-11=-15
∆41=-4+5-10=-9
∆42=-4+14-20=-10
∆43=-4+17-8=5
В распределительной таблице оценки клеток проставлены в нижнем
левом углу (таблица 9):

Таблица 9

Проверка 1-го опорного решения на оптимальность

27

Критерий оптимальности задачи на минимум – все Δ ij ≤ 0.
Получили две положительные оценки свободных клеток: ∆22 = 2 > 0
∆43 = 5 > 0. Следовательно, исходное опорное решение не является
оптимальным и его можно улучшить.
Переход к следующему опорному решению.
Выбираем клетку, от которой начнем построение цикла
перераспределения поставок. Выбираем клетку с наибольшей оценкой, т.е.
клетку (4;3).
В таблице в клетку (4;3) даем поставку k, тогда нарушается баланс в 4-
ой строке и 3-м столбце. Это же количество k вычитаем из поставок клеток
(1;3), (4;4) и прибавим в клетку (1;4). Цикл построен (таблица 10).
Определим k

k = min {4; 10} = 4.

Построим таблицу 11 (второе опорное решение), в которой изменятся
только клетки цикла

Таблица 10

Построение цикла для клетки (4;3)

Таблица 11

Второе опорное решение

28

Найдем значение функции цели по найденному опорному плану:

)(
2xL 10∙14+7∙9+10∙4+7∙8+16∙4+4∙8+6∙5=425

Значение функции цели уменьшилось )(2xL < )(1xL , следовательно,
нашли улучшенное решение.
Проверяем второе опорное решение на оптимальность аналогично 1-му
опорному решению.
По формуле (22) подбираем потенциалы и по формуле (23) находим
оценки свободных клеток. Расчет представлен в таблице 12.

Таблица 12

Проверка 2-го опорного решения на оптимальность

Получили одну положительную клетку: ∆22=2. Следовательно, второе
опорное решение не является оптимальным и его можно улучшить.
Переход к следующему опорному решению.
Выбираем клетку, от которой начнем построение цикла
перераспределения поставок. Выбираем клетку с положительной оценкой,
т.е. клетку (2;2).
В таблице в клетку (2;2) даем поставку k, тогда нарушается баланс во
2-ой строке и 2-м столбце. Это же количество k вычитаем из поставок клеток
(1;2), (2;4) и прибавим в клетку (1;4). Цикл построен (таблица 13).

29

Таблица 13

Построение цикла для клетки (2;2)

Определим k : k = min {7; 10} = 7.
Построим таблицу 14, в которой изменятся только клетки цикла
Таблица 14

Третье опорное решение

Найдем значение функции цели по найденному опорному плану:

)(
3xL 411

Значение функции цели уменьшилось )(3xL < )(2xL , следовательно,
нашли улучшенное решение.
Проверяем 3-е опорное решение на оптимальность аналогично 1-му и
2-му опорному решению. По формуле (22) подбираем потенциалы и по
формуле (23) находим оценки свободных клеток. Расчет представлен в
таблице 15.

Таблица 15

Проверка 3-го опорного решения на оптимальность

30

Решение является оптимальным, т.к. нет положительных оценок
свободных клеток.
411)(minxL при х

12 = 3, х 14 = 14, х 21 = 10, х 22 = 7, х 33 = 16, х 43 = 4, х 44 =

6.
Минимальные затраты на перевозку продукции составят 411 ден.ед.
если:
- с 1-й базы будет вывезено 3 единицы груза 2-му потребителю, 14
единиц груза 4-му потребителю;
- со 2-й базы будет вывезено 10 единиц груза 1-му потребителю и 7
единиц груза второму потребителю;
- с 3-й базы будет вывезено 16 единиц груза 3-му потребителю;
- с 4-й базы будет вывезено 4 единицы груза 3-му потребителю и 6
единиц груза 4-му потребителю.
5. Проверим решение задачи в среде Microsoft Exсel
1. Вводим на чистый рабочих лист Excel исходные данные
В рабочий лист Excel заносим матрицу тарифов на перевозку с
соответствующими данными о мощностях поставщиков и потребителей.
также составляем матрицу перевозок (матрицу переменных). В ячейках
матрицы переменных (B13:Е16) ставим единицы. Целевая функция будет
находиться в ячейке В19.
2. Вводим зависимость для функции цели
В ячейку В19 заносим математическую функцию СУММПРОИЗВ
(рисунок 12). В массив_1 заносим диапазон ячеек матрицы тарифов на
перевозку. В массив_2 указываем диапазон ячеек матрицы перевозок (с
единицами).

31

Рисунок 11 – Фрагмент листа Excel с исходными данными

Рисунок 12 – Диалоговое окно функции СУММПРОИЗВ
Нажимаем ОК.
3. Вводим зависимость для ограничений
Задаем суммы по строкам:
В ячейку F13 вводим функцию:

=СУММ(B13:E13)

Копируем ячейку по все 4-м поставщикам (ячейки F14:F16).

32
В ячейку В17 вводим функцию:

=СУММ(B13:B16)

Копируем ячейку по все 4-м потребителям (ячейки С17:E17).

Рисунок 13 – Фрагмент листа Excel с введенными зависимостями для

функции цели и ограничений
4. Находим оптимальное решение задачи
Применяем надстройку Поиск решения.
Назначение целевой функции (установить целевую ячейку). Вводим
ячейку с целевой функцией В19.
Ввести направление целевой функции: Минимальному значению.
Ввести адреса искомых переменных: вводим адреса ячеек матрицы
перевозок В13:Е16.
Добавляем ограничения:

Рисунок 14 – Введение ограничений по строкам

Рисунок 15 – Введение ограничений по столбцам

33

Нажимаем на кнопку ОК.

Рисунок 16 – Диалоговое окно Поиска решения

В Параметрах отмечаем Линейная модель и Неотрицательные
значения.
Нажимаем кнопку ОК и в меню Поиск решения Выполнить.

Рисунок 17 – Ввод параметров Поиска решения

34

Рисунок 18 – Результаты поиска решения

Выделяем отчеты всех видов и нажимаем ОК.
Решение задачи на компьютере и методом потенциалов совпадают.
Microsoft Excel 12.0 Отчет по результатам
Рабочий лист: [ТЗ.xlsx]Трасп.задача
Целевая ячейка (Минимум)
Ячейк
а

Имя Исходное
значение

Результат
$B$19 min L = В1 179 411

Изменяемые ячейки
Ячейк
а

Имя Исходное
значение

Результат
$B$13 А1 В1 1 0
$C$13 А1 В2 1 3
$D$13 А1 В3 1 0
$E$13 А1 В4 1 14
$B$14 А2 В1 1 10
$C$14 А2 В2 1 7
$D$14 А2 В3 1 0
$E$14 А2 В4 1 0
$B$15 А3 В1 1 0
$C$15 А3 В2 1 0
$D$15 А3 В3 1 16

35

$E$15 А3 В4 1 0
$B$16 А4 В1 1 0
$C$16 А4 В2 1 0
$D$16 А4 В3 1 4
$E$16 А4 В4 1 6

Ограничения
Ячейк
а

Имя Значение Формула Статус Разниц
а

$F$13 А1 Мощности
поставщиков

17 $F$13=$F$4 не
связан.

0

$F$14 А2 Мощности
поставщиков

17 $F$14=$F$5 не
связан.

0

$F$15 А3 Мощности
поставщиков

16 $F$15=$F$6 не
связан.

0

$F$16 А4 Мощности
поставщиков

10 $F$16=$F$7 не
связан.

0

$B$17 Мощности потребителей
В1

10 $B$17=$B$8 не
связан.

0

$C$17 Мощности потребителей
В2

10 $C$17=$C$8 не
связан.

0

$D$17 Мощности потребителей
В3

20 $D$17=$D$
8

не
связан.

0

$E$17 Мощности потребителей
В4

20 $E$17=$E$8 не
связан.

0

Microsoft Excel 12.0 Отчет по устойчивости
Рабочий лист:
[ТЗ.xlsx]Трасп.задача
Изменяемые ячейки
    Результ
.
Нормир. Целевой Допустим
ое
Допустимо
е

Ячейк
а

Имя значен
ие
стоимос
ть
Коэффицие
нт
Увеличен
ие
Уменьшен
ие
$B$13 А1 В1 0 2 9 1E+30 2
$C$13 А1 В2 3 0 14 2 2
$D$13 А1 В3 0 5 17 1E+30 5
$E$13 А1 В4 14 0 9 2 7
$B$14 А2 В1 10 0 4 2 1E+30
$C$14 А2 В2 7 0 11 2 2
$D$14 А2 В3 0 8 17 1E+30 8
$E$14 А2 В4 0 2 8 1E+30 2
$B$15 А3 В1 0 13 12 1E+30 13
$C$15 А3 В2 0 14 20 1E+30 14
$D$15 А3 В3 16 0 4 10 1E+30
$E$15 А3 В4 0 10 11 1E+30 10
$B$16 А4 В1 0 7 10 1E+30 7

36

$C$16 А4 В2 0 10 20 1E+30 10
$D$16 А4 В3 4 0 8 5 10
$E$16 А4 В4 6 0 5 7 5
Ограничения
    Результ
.
Теневая Ограничени
е
Допустим
ое
Допустимо
е

Ячейк
а

Имя значен
ие
Цена Правая
часть

Увеличен
ие
Уменьшен
ие

$F$13 А1 Мощности
поставщиков

17 12 17 0 4

$F$14 А2 Мощности
поставщиков

17 9 17 0 4

$F$15 А3 Мощности
поставщиков

16 4 16 0 16

$F$16 А4 Мощности
поставщиков

10 8 10 0 4

$B$17 Мощности
потребителей В1

10 -5 10 4 0

$C$17 Мощности
потребителей В2

10 2 10 4 0

$D$17 Мощности
потребителей В3

20 0 20 0 1E+30

$E$17 Мощности
потребителей В4

20 -3 20 4 0

Microsoft Excel 12.0 Отчет по пределам
Рабочий лист: [ТЗ.xlsx]Отчет по пределам 1
  Целевое  
Ячейка Имя Значение
$B$19 min L = В1 411

  Изменяемое   Нижний Целевой Верхний Целевой
Ячейка Имя Значение предел результат предел результат
$B$13 А1 В1 0 -6,05951E-11 411 -6,05951E-11 411
$C$13 А1 В2 3 3 411 3 411
$D$13 А1 В3 0 -6,05951E-11 411 -6,05951E-11 411
$E$13 А1 В4 14 14 411 14 411
$B$14 А2 В1 10 10 411 10 411
$C$14 А2 В2 7 7 411 7 411
$D$14 А2 В3 0 -6,05986E-11 411 -6,05986E-11 411
$E$14 А2 В4 0 -6,05986E-11 411 -6,05986E-11 411
$B$15 А3 В1 0 -5,59339E-11 411 -5,59339E-11 411
$C$15 А3 В2 0 -5,59339E-11 411 -5,59339E-11 411
$D$15 А3 В3 16 16 411 16 411
$E$15 А3 В4 0 -5,59339E-11 411 -5,59339E-11 411

$B$16 А4 В1 0 -2,7967E-11 411 -2,7967E-11 411
$C$16 А4 В2 0 -2,7967E-11 411 -2,7967E-11 411
$D$16 А4 В3 4 4 411 4 411
$E$16 А4 В4 6 6 411 6 411

Заключение

В результате решения задачи обоснования оптимального плана
производства можно сделать следующий вывод:
Максимальная прибыль от реализации изделий всех трех видов
составит 40 ден.ед. если производить 5 единиц изделий вида П3, а изделия
видов П1 и П2 не производить совсем.
Если цена изделия П3 будет находится в пределах до 4 ден.ед., то
структура оптимального плана не изменится.
Ресурс Р1 используется в оптимальном плане не полностью, не
является дефицитным, находится в избытке. Увеличение запасов ресурса Р1
не приведет к росту объема производства и прибыли.
Приобретение дополнительного количества ресурса первого вида не
целесообразно.
Интервал устойчивости значений запаса недефицитного ресурса, при
котором структура оптимального плана не изменится: ];10[1b
Ресурсы Р2 и Р3 используются полностью в оптимальном плане.
Ресурсы являются дефицитными. Ограниченные запасы ресурсов Р2 и Р3
сдерживают рост производства и прибыли.
Включение в план производства продукции П4целесообразно, т.к.
затраты на ресурсы для производства продукции вида П4 меньше цены
реализации
В результате решения задачи обоснования оптимального плана
перевозок можно сделать следующий вывод:
Минимальные затраты на перевозку продукции составят 411 ден.ед.
если: с 1-й базы будет вывезено 3 единицы груза 2-му потребителю, 14
единиц груза 4-му потребителю; со 2-й базы будет вывезено 10 единиц груза
1-му потребителю и 7 единиц груза второму потребителю; с 3-й базы будет
вывезено 16 единиц груза 3-му потребителю; с 4-й базы будет вывезено 4
единицы груза 3-му потребителю и 6 единиц груза 4-му потребителю.

Список использованной литературы

1. Бережная И.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования
экономических систем: Учеб пособие. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.:
Финансы и статистика, 2006. – 432 с.
2. Васин А. А. Исследование операций : учеб.пособие для вузов / А.А.
Васин, П.С. Краснощеков, В. В. Морозов.— М. : Академия, 2008.— 464 с
3. Вентцель Е.С. Исследование операций : задачи, принципы, методология :
учеб.пособие / Е.С. Вентцель.— 5-е изд., стер. — М. :Высш.шк., 2010 .—
191 с.
4. Горбунова Р.И. Экономико-математические методы и модели :
учеб.пособие / Р.И. Горбунова [и др.]; под ред. С.И. Макарова.— М. :
КНОРУС, 2007.— 232с.
5. Исследование операций в экономике : учеб.пособие для вузов / Н.Ш.
Кремер [и др.] ; под ред. Н. Ш. Кремера.— 2-е изд., перераб. и доп.— М.
: Юрайт, 2010.— 431 с.
6. Красе М. С, Чупрынов Б. П. Математика для экономистов. — СПб.:
Питер, 2005. — 464 с.
7. Пелих А.С. Экономико-математические методы и модели в управлении
производством / А.С. Пелих, Л.Л. Терехов, Л.А. терехова. – Росто н/Д:
«Феникс», 2005. – 248 с.
8. Солодовников А.С. Математика в экономике : учебник для вузов. Ч.1 /
А.С. Солодовников [и др.] .— 2-е изд., перераб. и доп. — М. : Финансы и
статистика, 2007 .— 384с.
9. Трофимова Л.А. Методы принятия управленческих решений: учебное
пособие / Л.А. Трофимова, В.В. Трофимов. – СПб. : Изд-во СПбГУЭФ,
2012. – 101 с.
10. Шикин Е.В., Чхартишвили А.Г. Математические методы и модели в
управлении: Учеб. пособие. – 2-е изд., импр. – М.: Дело, 2002 – 440 с.