Математическая модель расчета опорных реакций жесткого стержня

1. ЗаданиеПостроить математическую модель расчета опорных реакций жесткого стержня с тремя опорными узлами и определение внутренних усилий, поперечной силы Q и изгибающего момента М, возникающих во внутренних сечениях стержня под действием нагрузки. Разработать алгоритм и составить программу вычисления опорных реакций и распределения вдоль оси стержня внутренних усилий.
Вариант - 82-1г. Схема - 2.
Численный метод решения СЛАУ - метод Гаусса.
2. Схема нагруженного стержня
P1, P2-сосредоточенная сила, Н
q4 - интенсивность распределенной нагрузки, H/м
C1, C2 - отрезок балки, м
L1, L2 - пролет балки, м
М1, M2 - круговой момент, Hм
3. Исходные данныеP1=20kH P2=10kHL1=6м L2=6м
M1=5kHм M2=15kHм С1=3м C2=3м
L1=6м L2=6м q2=10kH
Y

4. Построение системы линейных алгебраическихПреобразуем исходную систему:
отбросим опорные стержни и заменим их опорными реакциями (R1; R2; R3);
интенсивность распределённой нагрузки заменим эквивалентной силой (F4 = q4c2) и зададим систему координат.
X

Для вывода формул вычисления опорных реакций запишем уравнение равновесия стержня: сумма моментов относительно опорной точки стержня равна нулю.
:




Представил уравнения равновесия балки в форме системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Матричная форма записи СЛАУ вычисление опорных реакций балки
AR=B
А - матрица коэффициентов при неизвестных
R - матрица неизвестных
В - матрица свободных членов


5. Вывод формул проверки, достоверности вычисления опорных реакцийДля проверки правильности вычисления опорных реакций использовал уравнения равновесия балки, сумма проекций всех сил действующих на балку равна нулю.
Y=R1-P1+R2=0
X=R3-P2-F4=0
6. Вывод рабочих формул определение внутренних усилий стержняНа рассматриваемом стержне выделим четыре участка длиной S (длина отрезка от начала до точки сечения стержня), для которых составим формулы для вычисления внутренних усилий: поперечной силы Q и изгибающего момента М.
s - отрезок от начала до точки сечения балки
I cечение

II cечение


III cечение


IV cечение


В точках границ , ,организуем вычисления поперечной силы Q слева (и QQ справа), изгибающего момента М слева (и MМ справа) от рассматриваемых точек.
1 точка границ:



2 точка границ:



3 точка границ:



7. Численный метод решения СЛАУ - метод ГауссаЧисленный метод Гаусса относится к точным методам решения системы линейных алгебраических уравнений. Он основан на приведении матрицы коэффициентов к треугольному виду. Процесс поиска решения системы линейных алгебраических уравнений выполняется в два хода: прямой ход и обратный ход.
Прямой ход исключения переменных выполняется путём преобразования коэффициентов СЛАУ, коэффициенты при неизвестных обращаются в нуль, начиная со второго по формулам:
; ; , где
; ;
Процесс преобразования уравнений заканчивается последним уравнением. Результатом прямого хода является получение матрицы коэффициентов к треугольному виду.
Обратный ход (последовательное нахождение неизвестных
) выполняется по формулам:
; ; ; , где
;
В результате формируется матрица неизвестных: Метод Гаусса для решения СЛАУ применим при условии, что все диагональные элементы матрицы отличны от нуля, т.е. , где .
8. Обоснование применения метода ГауссаИсходная СЛАУ имеет на главной диагонали элементы равные нулю:

следовательно, метод Гаусса применять нельзя.
Для того чтобы использовать численный метод Гаусса для решения данной СЛАУ необходимо её преобразовать. Для этого необходимо применить к исходной СЛАУ схему выбора главных элементов. В исходной СЛАУ переставим уравнения местами: первое уравнение поставим на второе место, второе уравнение поставим на третье место, третье уравнение поставим на первое место.
В результате на главной диагонали матрицы А отсутствуют члены равные нулю.

Для повышения точности получаемого решения СЛАУ матрица А должна быть диагонально преобладающей:
,
Преобразованная СЛАУ имеет вид:



Условия применения метода Гаусса выполняются, следовательно, метод Гаусса можно использовать для решения преобразованной СЛАУ.
9. Блок - схема алгоритма

10. ПрограммаCLS
SCREEN 12
WINDOW (20, 20) - (-20, - 20)
N = 3
PRINT "Программу составил студент"
50 PRINT " Расчет жесткого стержня "
PRINT " Исходные данные"
INPUT "Интенсивность распределения нагрузки q4 (кH/м) ="; q4
INPUT "Отрезок балки С1 (м) ="; C1
INPUT "Пролет балки L1 (м) ="; L1
INPUT "Отрезок балки C2 (м) ="; c2
INPUT "Пролет балки L2 (м) ="; L2
INPUT "Круговой момент M1 (кH*м) ="; M1
INPUT "Круговой момент M2 (кH*м) ="; M2
INPUT "Сосредоточенная сила P1 (кH) ="; P1
INPUT "Сосредоточенная сила P2 (кH) ="; P2
PRINT " "
IF C1 > 0 THEN GOTO 10 ELSE GOTO 40
10 IF c2 > 0 THEN GOTO 20 ELSE GOTO 40
20 IF L1 > C1 THEN GOTO 30 ELSE GOTO 40
30 IF L2 > c2 THEN GOTO 60 ELSE GOTO 40
40 PRINT "Ошибка ввода": GOTO 50
60 F = q4 * c2
DIM A (N, N), R (N), B (N)
A (1,1) = - (L1 - C1): A (1,2) = 0: A (1,3) = 0
A (2,1) = 0: A (2,2) = L1 - C1: A (2,3) = L2
A (3,1) = - (L1 - C1): A (3,2) = 0: A (3,3) = L2
B (1) = P1 * (L1 - C1) - M1 - F * (C1/2) - M2 - P2 * c2
B (2) = F * (L2 - c2/2) - M1 + P2 * (L2 - c2) - M2
B (3) = - P1 * (L1 - C1) - M1 + F * (L2 - c2/2) - M2 + P2 * (L2 - c2)
FOR I = 1 TO N - 1
FOR J = I + 1 TO N
A (J, I) = - A (J, I) / A (I, I)
FOR K = I + 1 TO N
A (J, K) = A (J, K) + A (J, I) * A (I, K): NEXT K
B (J) = B (J) + A (J, I) * B (I): NEXT J
NEXT I
R (N) = B (N) / A (N, N)
FOR I = N - 1 TO 1 STEP - 1: H = B (I)
FOR J = I + 1 TO N: H = H - R (J) * A (I, J): NEXT J
R (I) = H / A (I, I)
NEXT I
R1 = R (1): R2 = R (2): R3 = R (3)
X = R1 - P1 + R2
Y = R3 - P2 - F
PRINT " Результаты "
PRINT "Опорная реакция в точке 1 R1="; R (1); "kН"
PRINT "Опорная реакция в точке 2 R2="; R (2); "kН"
PRINT "Опорная реакция в точке 3 R3="; R (3); "kН"
PRINT "Y="; Y; " X="; X
PRINT
PRINT " Таблица ординат эпюр Q и M "
PRINT " S Q M QQ MM"
FOR s = 0 TO L1 + L2
IF s >= 0 AND s < C1 THEN
Q = 0
M = 0
GOTO 70
END IF
IF s > C1 AND s < L1 THEN
Q = R1 - P1
M = P1 * (s - C1) - R1 * (s - C1) + M1
GOTO 70
END IF
IF s > L1 AND s < L1 + L2 - c2 THEN
Q = 0
M = P1 * (L1 - C1) - R1 * (L1 - C1) + M1
GOTO 70
END IF
IF s > L1 + L2 - c2 AND s <= L1 + L2 THEN
Q = - P2 - q4 * (s - L1 - L2 + c2)
M = P1 * (L1 - C1) - R1 * (L1 - C1) + M1 + M2 + P2 * (s - L1 - L2 + c2) + q4 * (s - L1 - L2 + c2) * (s - L1 - L2 + c2) / 2
GOTO 70
END IF
IF s = C1 THEN
Q = R1 - P1
M = M1
QQ = R2 - P1 + R1
MM = - M1 - R2 * (L1 - s) + P2 * (L2 - c2) - M2 - R3 * L2 + F * (L2 - c2/2)
GOTO 80
END IF
IF s = L1 THEN
Q = R1 - P1 + R2
M = P1 * (s - C1) - R1 * (s - C1) + M1
QQ = R2
MM = P2 * (L2 - c2) - M2 - R3 * L2 + F * (L2 - c2/2)
GOTO 80
END IF
IF s = L1 + L2 - c2 THEN
Q = - P2
M = M2 + P1 * (L1 - C1) - R1 * (L1 - C1) + M1 + F * (L1 - C1) / 2 - 30
QQ = R3 - P2 - F
MM = - M2 - R3 * c2 + F
GOTO 80
END IF
70 PRINT USING "##. ## ####. #### ####. ####"; s; Q; M: GOTO 90
80 PRINT USING "##. ## ####. #### ####. #### ####. #### ####. ####"; s; Q; M; QQ; MM
90 NEXT s
A$ = INPUT$ (1)
LINE (10,8) - (18,8), 8
LINE (10,3) - (10, 20), 8
FOR Z = 10 TO 18 STEP.5
LINE (Z, 7.9) - (Z, 8.1), 8
FOR W = 3 TO 20 STEP.5
LINE (9.9, W) - (10.1, W), 8
NEXT W
NEXT Z
LINE (10, - 3) - (18, - 3), 8
LINE (10, 0) - (10, - 18), 8
FOR Z = 10 TO 18 STEP.5
LINE (Z, - 2.9) - (Z, - 3.1), 8
FOR W = - 18 TO 0 STEP.5
LINE (9.9, W) - (10.1, W), 8
NEXT W
NEXT ZFOR T = 0 TO L1 + L2 STEP.001
IF T >= 0 AND T < C1 THEN
Q = 0
M = 0
V1 = Q
U1 = M
GOTO 100
END IF
IF T > C1 AND T < L1 THEN
Q = R1 - P1
M = P1 * (T - C1) - R1 * (T - C1) + M1
V2 = Q
U2 = M
GOTO 100
END IF
IF T > L1 AND T < L1 + L2 - c2 THEN
Q = 0
M = P1 * (L1 - C1) - R1 * (L1 - C1) + M1
V3 = Q
U3 = M
GOTO 100
END IF
IF T > L1 + L2 - c2 AND T <= L1 + L2 THEN
Q = - P2 - q4 * (T - L1 - L2 + c2)
M = P1 * (L1 - C1) - R1 * (L1 - C1) + M1 + M2 + P2 * (T - L1 - L2 + c2) + q4* * (T - L1 - L2 + c2) * (T - L1 - L2 + c2) / 2
GOTO 100
END IF
100 PSET (T / 3 + 10, Q / 3 + 8), 4
PSET (T / 3 + 10, M / 3 - 3), 5
NEXT T
T = C1: GOTO 110
110 Q = R1 - P1
M = M1
PSET (T / 3 + 10, Q / 3 + 8), 4
PSET (T / 3 + 10, M / 3 - 3), 5
LINE (T / 3 + 10, V1/3 + 8) - (T / 3 + 10, Q / 3 + 8), 4
LINE (T / 3 + 10, U1/3 - 3) - (T / 3 + 10, M / 3 - 3), 5
T = L1: GOTO 120
120 Q = R1 - P1 + R2
M = P1 * (T - C1) - R1 * (T - C1) + M1
PSET (T / 3 + 10, Q / 3 + 8), 4
PSET (T / 3 + 10, M / 3 - 3), 5
LINE (T / 3 + 10, V2/3 + 8) - (T / 3 + 10, Q / 3 + 8), 4
LINE (T / 3 + 10, U2/3 - 3) - (T / 3 + 10, M / 3 - 3), 5
T = L1 + L2 - c2: GOTO 130
130 Q = - P2
M = M2 + P1 * (L1 - C1) - R1 * (L1 - C1) + M1 + F * (L1 - C1) / 2
PSET (T / 3 + 10, Q / 3 + 8), 4
PSET (T / 3 + 10, M / 3 - 3), 5
LINE (T / 3 + 10, V3/3 + 8) - (T / 3 + 10, Q / 3 + 8), 4
LINE (T / 3 + 10, U3/3 - 3) - (T / 3 + 10, M / 3 - 3), 5
END
11. Форма ввода - вывода информации
Программу составил студент
Расчет жесткого стержня
Исходные данные
Интенсивность распределения нагрузки q2 (кH/м) = 10
Отрезок балки c1 (м) = 3
Пролет балки L1 (м) = 6
Отрезок балки c2 (м) = 3
Пролет балки L2 (м) = 6
Круговой момент M1 (кH*м) = 5
Круговой момент M2 (кH*м) = 15
Сосредоточенная сила P1 (кH) = 20
Сосредоточенная сила P2 (кH) = 10
Результаты
Опорная реакция в точке 1 R1=56.6668kН
Опорная реакция в точке 2 R2=-41.6667kН
Опорная реакция в точке 3 R3=50kН
Y=0 X=
PRINT " Таблица ординат эпюр Q и M "
x Q M QQ MM
0.0000 0.0000 0.0000
1.0000 0.0000 0.0000
2.0000 0.0000 0.0000
3.0000 41.6667 10.0000 0.0000 0.0000
4.0000 41.6667 -31.6667
5.0000 41.6667 -73.3334
6.0000 0.0000 -115.0000 -41.6667 -115.0000
7.0000 0.0000 -115.0000
8.0000 0.0000 -115.0000
9.0000 0.0000 -115.0000
10.0000 0.0000 -115.0000
12.0000 0.0000 -115.0000
13.0000 0.0000 -115.0000
14.0000 0.0000 -115.0000
15.0000 0.0000 -115.0000
16.0000 -30.0000 -80.0000 0.0000 -115.0000
17.0000 -40.0000 -45.0000
18.0000 -50.000 0.0000
Проверка по оси X =0

12. Анализ результатовЭпюры поперечной силы Q и изгибающего момента М.
Q (kH) M (kHм)
11,25
-40
-25
-70
-80
-20

Анализ результатов показал, что наиболее напряженное сечение стержня находится в точке с координатой S=14м, Q=-40 kH, M=-80kHм.
Литература1. Данилина Н.И. Численные методы. - М.: Выш. шк. 1976г. - 368 с.
2. Дъяков В.П. Справочник по алгоритмам и программам на языке Бейсик для ПЭВМ. - М.: Наука, 1987г. - 240с.