Какие колебания в колебательном контуре называются вынужденными, а какие затухающими

Вопрос 1. Какие колебания в колебательном контуре называются вынужденными, а какие затухающими (определения, примеры)?
Ответ:
Если колебательный контур содержит в своём составе генератор с периодически изменяющейся электродвижущей силой, то колебания, возникающие в таком контуре, называются вынужденными.
Если в колебательном контуре имеется сопротивление, но при этом сам контур не содержит генератора, то колебания, возникающие в таком контуре, будут называться затухающими.
Примером затухающих колебаний является колебательный контур, с последовательно подключенными элементами: катушка индуктивности, конденсатор и сопротивление. При этом роль сопротивления может играть катушка с электрическими потерями от намотанного на неё провода.
Примером вынужденных колебаний в колебательном контуре является та же RLC-цепь, к который подключается генератор ЭДС ε с синусоидальным сигналом циклической частоты ω и амплитудой ε0:
ε=ε0sinωtВопрос 2. Напишите уравнение затухающих колебаний.
20250151333500Ответ:
Рассмотрим RLC-цепь, представленную на рисунке выше. По второму закону Кирхгофа, сумма падений напряжения в контуре равна сумме ЭДС, т.е. равна нулю:
UR+UC+UL=0 . (1)По закону Ома: UR=IR , (2) – где I – сила тока в цепи, R – сопротивление. Напряжение на конденсаторе UC связано с зарядом q: UC=qC , (3) – где qC – ёмкость конденсатора. Напряжение на катушке UL зависит от скорости изменения силы тока dIdt в ней по закону: UL=LdIdt , (4) – где L – индуктивность катушки. Подставляем (2), (3) и (4) в (1):
IR+qC+LdIdt=0 . (5)Связь заряда с силой тока:
I=dqdt . (6)Подставляя (6) в (5), получим выражение:
dqdtR+qC+Ld2qdt2=0 → d2qdt2+RLdqdt+qLC=0 . (7)Уравнение (7) называется уравнением затухающих колебаний в колебательном контуре, где β=R2L (8) – называется коэффициентом затухания, а ω0=1LC (9) – собственная частота колебаний. Подставляя (8) и (9) в (7) запишем уравнение затухающих колебаний в финальном виде:
d2qdt2+2βdqdt+qω02=0 . (10)Вопрос 3. Что называется логарифмическим декрементом затухания, добротностью контура? Объясните связь между этими величинами.
Ответ:
Решением дифференциального уравнения (10) является:
q=q0e-βtcosωt , (11)где q0 – амплитудное значение заряда, ω – частота затухающих колебаний контура (при небольшом затухании β2≪ω02, ω0=ω).
Логарифмическим декрементом затухания χ контура называется отношение амплитуды заряда (тока, напряжения) в момент времени t к амплитуде этой величины через период колебаний T, взятое под натуральный логарифм:
χ=lnA(t)A(t+T) . (12)Подставляя в (12) формулу (11), получим:
χ=lnq0e-βtcosωtq0e-βt+Tcosω(t+T)=lne-βte-βt·e-βT=βT, (13)где T – период колебаний, определяется выражением:
T=2πω=2πLC . (14)Добротностью Q контура называется величина, равная отношению энергии W, запасённой в контуре, к энергии контура ∆W, потраченной за период колебаний:
Q=2πW∆W . (15)Добротность колебательного контура также можно определить выражением:
Q=1RLC . 16Подставляем (14) в (16):
...