Расчет линейной электрической цепи

ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУпо дисциплине «Теоретические основы электротехники»студенту Рога и копыта 7 курса 234234234 группыЛупа(фамилия, имя, отчество студента)13.03.02 Электроэнергетика и электротехника(код и наименование направления подготовки/специальность)ТЕМА:Расчет линейной электрической цепиИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ:Вариант 29, m=9; n=4rвх=100 Ом; rвн=100 Ом; L2=1 Гн;L3=0,25 Гн; C3=0.5+0.05m мкФ; C4=0,25 мкФРисунок 1 – Исходная схема.1. Определить операторную передаточную функцию цепи H(p), сделать проверку H(0) и H(∞) по схеме цепи, построить графики АЧХ и ФЧХ и провести их анализ. Определить частоту входного напряжения ω по частотным характеристикам для выполнения следующих разделов курсовой работы. Рекомендуется частоту выбрать близкую к экстремальным значениям по частотным характеристикам.2. Рассчитать установившийся режим линейной электрической цепи при напряжении на входе цепи u=141·sin(ωt+(7-m)·15˚) методом сворачивания цепи к эквивалентному сопротивлению и методом узловых напряжений. По этим двум методам определить токи в ветвях цепи и напряжение на нагрузке, сравнить полученные значения по методам. Проверить баланс мощностей.3. Рассчитать переходный процесс при том же напряжении на входе цепи методом переменных состояния (численно) и операторным методом с использованием теоремы разложения, возникающий в цепи при замыкании ключа. При расчете методом переменных состояния записать вывод нормальной формы Коши. При расчете операторным методом вывести и записать напряжение на нагрузке в виде функции от времени. Построить график переходного процесса для напряжения на нагрузке до момента наступления установившегося режима и график входного напряжения в одних координатах по двум методам. Сравнить результаты расчета по двум методам.Руководитель проекта:Доцент каф.Пупа(должность)(подпись)(инициалы,фамилия)2021ЛИСТ ДЛЯ ЗАМЕЧАНИЙСодержаниеВведение…………………………………………………………………………..61. Задание №1 ……………………………………………….………………….…41.1. Определение операторной передаточной функции ……..……..…..61.2. Построение и анализ амплитудно-частотной и фазочастотной характеристик ………………………………………………….………….….…172. Задание №2. …………………………………………………………………...202.1. Расчёт установившегося режима при заданной частоте синусоидального воздействия……………………….………………………….252.2. Расчёт установившегося режима методом узловых напряжений…272.3. Баланс мощностей…………………….……….…………………….30 3. Задание №3…………………………………………………………………..3.1. Расчёт переходного процесса методом переменных состояния3.2 . Расчёт переходного процесса операторным методомЗаключениеСписок использованных источников...……….………………………………..32ВведениеЦелью курсовой работы является решение задач на тему расчет линейной электрической цепи. В первой части данной работы определим операторную передаточную функцию, а также определим частоту входного напряжения ω. Во второй части рассчитаем установившийся режим линейной электрической цепи двумя методами. В третьей части рассчитаем переходный процесс методом переменных состояния и операторным методом с использованием теоремы разложения1. ЗАДАНИЕ №1 1.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПЕРАТОРНОЙ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИОтношение операторного изображения реакции цепи к операторному изображению воздействия называется операторной передаточной функцией или просто передаточной функцией. В качестве примера рассмотрим этапы определения передаточной функции для цепи схема, которой изображена на рис. 1.Топология схемы позволяет решить задачу путём последовательного сворачивания цепи. Рисунок 2 – Схемы цепиРисунок 3 – Операторская схема замещенияДля вычислений используем символьную математику программы MathCAD.С помощью символьной математики определяем сопротивление всех ветвей и общее входное сопротивление цепиПараллельное сопротивление Z3 и rHПоследовательное сопротивление Z3 Z4HПоследовательное сопротивление Z2 Z34HОбщее сопротивление цепиПроверкой правильности такого результата может быть сравнение значений сопротивления при постоянном входном напряжении (∞) и напряжении бесконечно большой частоты (∞), со значениями последнего выражения при и . Не трудно видеть, чтоИскомая передаточная функция: Подставив, полученные ранее значения сопротивлений участков, окончательно получим:Проверкой правильности служит сравнение отношения напряжения на нагрузке к входному напряжению при постоянном напряжении источника () и при бесконечно большой частоте () со значениями и . Поскольку при сопротивление индуктивностей и емкостей цепи равно нулю и бесконечности, соответственно, а при равно бесконечности и нулю, соответственно, указанное отношение напряжений в обоих случаях равно 0. Сравнение показывает, что и (показатель степени р в числителе меньше показателя в знаменателе).1.2. Построение и анализ амплитудно-частотной и фазочастотной характеристикАмплитудно – частотная характеристика (АЧХ) цепи есть модуль комплексной передаточной функции , а фазочастотная характеристика (ФЧХ) - её аргумент. Комплексная передаточная функция есть частный случай операторной передаточной функции при . Графики частотных характеристик получим с помощью программы Mathcad 14.Произведем замену р = jω и выделим действительную и мнимую части -4643755-15748000Рисунок 4 – Амплитудно-частотная характеристика3115782032000Рисунок 5 – Фазо-частотная характеристикаАнализ графиков позволяет сделать выводы об основных частотных свойствах цепи (рис.1). При нулевой частоте значение АЧХ равно 0. На частоте 335 Гц коэффициент передачи принимает максимальное значение 0,697, т.е на данной частоте присутствует резонанс. При бесконечно большой частоте АЧХ стремиться так же к нулю. Физически это объясняется тем, что на этих частоте ω = 0 сопротивление С3 = ∞, а при ω = ∞ сопротивление L3 = ∞. ФЧХ при нулевой частоте сдвиг фаз равен 180о, так как на входе у нас имеет катушка индуктивности, а на выходе конденсатор.2. ЗАДАНИЕ №22.1. РАСЧЕТ УСТАНОВИВШЕГОСЯ РЕЖИМА ПРИ ЗАДАННОЙ ЧАСТОТЕ СИСУСИДАЛЬНОГО ВОЗДЕЙСТВИЯВ линейной электрической цепи, питаемой источником периодической э.д.с. с периодом Т, спустя достаточный интервал времени после включения, на всех участках цепи устанавливаются периодические токи и падения напряжения с тем же периодом Т. Такой режим цепи называется установившимся периодическим режимом. Основой для его расчёта является система структурных уравнений (законов Кирхгофа) и компонентных уравнений. В технических расчётах предпочтение отдаётся комплексному методу.Определим напряжение на выходе цепи (на нагрузке) при синусоидальном напряжении на входе цепи. Частоту входного напряжения выбираем близкой к экстремальным значениям, которые определены в первом задании и видны на частотных характеристиках. В нашем примере примем при и f=300 Гц (ω≈1884∙с-1). Электрическая цепь (рис.1) по своей топологии смешанное соединение, которое можно привести к одному эквивалентному сопротивлению.Результаты расчетовНапряжение на сопротивлении нагрузки (на выходе цепи):Правильность результатов подтверждается проверкой по первому закону КирхгофаСоответствующие мгновенные значения токов и напряжений:2.2. РАСЧЕТ УСТАНОВИВШЕГОСЯ РЕЖИМА МЕТОДОМ УЗЛОВЫХ НАПРЯЖЕНИЙРассчитаем токи в цепи с помощью метода узловых напряжений (МУН). Число строк в топологической матрице соответствует числу независимых узлов в схеме, число столбцов равно количеству ветвей в схеме.Результаты расчёта:Uн=I5∙rn=61,4305-j∙14,9664=63,2274∙e-j∙13,7oВРезультаты расчетов токов различными методами совпадают.2.3. БАЛАНС МОЩНОСТЕЙРист = Рцепи и Qист = Qцепи – баланс мощностей выполняется.3. ЗАДАНИЕ №3 3.1. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА МЕТОДОМ ПЕРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЯАнализ переходных процессов в сложной линейной цепи любой конфигурации может быть выполнен на основе системы уравнений относительно переменных состояния, записанных в нормальной форме Коши. Система строится на основе структурных и компонентных уравнений. Переменными состояния называют токи через индуктивности и напряжения на ёмкостях. Определение всех переменных состояния сводится к математической задаче интегрирования уравнений. Система уравнений независима, и позволяет единственным образом выразить все остальные токи и напряжения. Такой метод расчёта переходных процессов называется методом переменных состояния. Используем метод при расчете цепи (рис.1) под действие синусоидального напряжения Uвх=Um∙sinω∙t-30o.Пусть в момент времени ключ к (рис.5) замыкается. Частоту входного напряжения выбираем f = 300 Гц ((ω≈1884∙с-1).).Рисунок 5Для цепей сложной конфигурации при формировании системы структурных уравнений рекомендуется использовать топологические свойства цепи. Так уравнения по первому закону Кирхгофа рекомендуется записывать для главных сечений, а по второму для главных контуров нормального дерева. Нормальное дерево включает все ёмкости и источники напряжения и не включает индуктивности и источники тока. Главные сечения содержат только одну ветвь дерева. Главные контура содержат только одну ветвь связей, а все остальные ветви принадлежат дереву. При выборе нормального дерева целесообразно считать все элементы цепи отдельными ветвями. В связи с этим появляются формальные (не физические) узлы. Ниже на рис. 6 изображён граф цепи. Нормальное дерево обозначено жирными линиями, главные сечения точечными линиями, а контура обычными пунктирными линиями.Рис. 6Третья ветвь формально представлены двумя ветвями 3а и 3б. Соответственно узел 1формальные. Такая нумерация дает возможность задать нормальное дерево. Очевидно, что . В итоге получаем 6 ветвей и, следовательно, для формирования системы потребуется 6 структурных уравнений.Для сечения , Для сечения S2: . Для сечения S3: . Для контуров: , и .Компонентные уравнения: ; ; ;; ; ; .В уравнениях всего четыре переменных состояния: i2, i3, uC3 и uC4. Приведём систему к нормальной форме Коши.В системе две переменных uL2, uL4 и i4 не являются переменными состояния. Их следует выразить через переменные состояния. Это делается при помощи остальных, неиспользованных уравнений. Из (S3) .Из (К3)Из (S1)Из (К1)Из (К2)Окончательная запись системы для переменных состояния:Напряжение на нагрузке .Программная реализация системы переменных состояния показана ниже.Рис. 73.2. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА ОПЕРАТОРНЫМ МЕТОДОМ Цепь в начальный момент времени отключена от источника входного сигнала. Следовательно, по законам коммутации i2(0) = i3(0) = 0 и uC3(0) = uC4(0).Составим операторную схему замещения Рис.8Для определения выходного напряжения используем операторную передаточную функцию, полученную в п. 1.Входное воздействие при f = 300 Гц ().Выходной сигнал Изображение входного напряжение найдем используя формулуПрограммная реализация операторного метода показана ниже.Вычислим с помощью маткада временную функцию отклика сигнала:-622935-219400-726452-244500998220-381000ЗАКЛЮЧЕНИЕРис.9ЗАКЛЮЧЕНИЕВ первой части построили частотные характеристики и приняли значение частоты, соответствующее максимальному значению АЧХ. Во второй рассчитали установившийся режим линейной электрической цепи при напряжении на входе цепи двумя методами. Ответы двух методов сошлись. Также сошёлся баланс мощностей, соответственно расчёты выполнены верно. В третьей части графики выходного напряжения, полученные численным и операторным методами, сошлись, соответственно расчёты выполнены верно. Во время выполнения курсового проекта были закреплены знания, полученные во время лекционных и практических занятий. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВЛекции с сайта https://sakai.pomorsu.ru/portal/site/theoretical_foundations_of_electrical_engineering_130302_1cАпанасов В.В. Теория линейных электрических цепей: учебное пособие по выполнению курсовых работ / В.В. Апанасов, Г.А. Баланцев – Архангельск: Арх. гос. тех. ун-т, 2008. – 60 с.