Анализ прохождения сигнала через линейную электрическую цепь

Содержание

Задание на выполнение курсового проекта 3
1. Расчет переходного процесса классическим методом. 7
2. Получение периодического сигнала и разложение его в ряд Фурье. 13
3. Расчет четырехполюсника. 18
Заключение. 26
Список использованной литературы. 27

Задание

3

на выполнение курсового проекта

Для выполнения анализа передачи сигнала предлагается электрическую цепь
представить в виде каскадного соединения основных ее элементов:
формирователя периодического негармонического напряжения,
периодизатора и пассивного четырехполюсника, работающих в режиме
согласованной нагрузки.
Структурная схема системы передачи электрического сигнала показана на
рисунке1:

Для выполнения задания преподавателем задается номер варианта
курсового проекта. В соответствии с этим номером из таблицы А1
(приложения) осуществляется выбор:
• электрической схемы формирователя негармонического напряжения для
расчета переходного процесса (рисунок А1 приложения);
• исходных параметров элементов электрической цепи формирователя и
выходного напряжения u 1 (t).
Для выполнения первого раздела курсового проекта необходимо
определить закон изменения во времени напряжения на заданном
элементе формирователя несинусоидального напряжения после коммутации.

4
Эту задачу следует решать любым целесообразным (или определенным по
заданию преподавателя) методом расчета переходных процессов:
классическим или операторным.
На основании полученного аналитического выражения следует
построить график изменения искомого напряжения в функции времени в
интервале от t = 0 до t = 3τ max , где τ max – максимальная постоянная времени
составляющей переходного процесса. График необходимо строить в
выбранном масштабе величин.
Во втором разделе работы полученный выходной сигнал u 1 (t) с помощью
периодизатора повторяется во времени с периодом Т с обеспечением одного
из видов симметрии:
а) относительно начала координат;
б) относительно оси абсцисс при совмещении двух полупериодов;
в) относительно начала координат и оси абсцисс;
г) относительно оси ординат или отсутствия какой-либо симметрии.
Полученное периодическое напряжение u 2 (t) должно быть разложено в
тригонометрический ряд Фурье аналитическим или графоаналитическим
способом. При этом необходимо учесть влияние заданного вида симметрии.
Количество гармоник в разложении периодического несинусоидального
напряжения u 2 (t) и заданный вид симметрии определяются номером варианта
в соответствии с таблицей А2 приложения. По результатам расчета
определяется аналитическое выражение напряжения u 2 (t) и затем строится
график полученного напряжения с учетом всех гармонических
составляющих. Полученную функцию u 2 (t) необходимо сравнить с функцией,
полученной в результате расчета переходных процессов u 1 (t). Сравнение
осуществить визуально по графикам, построенным в одних и тех же
координатных осях.

5

В третьем разделе курсового проекта из таблицы А3 приложения
выбирается электрическая схема пассивного четырехполюсника.
Проводится расчет его А-параметров и комплексного коэффициента
передачи по напряжению К U . Определяются АЧХ и ФЧХ характеристики
четырехполюсника и для согласованного режима работы рассчитывают его
выходное напряжение u 3 (t). В заключении проводится сравнительный
визуальный графический анализ напряжений на разных участках системы
передачи: u 1 (t), u 2 (t), u 3 (t).

6

7

1. Расчет переходного процесса классическим методом.

Рисунок 1. Схема для расчета переходного процесса.

Для заданной схемы произведем расчет переходного процесса классическим
методом.
1.1. Расчет независимых начальных условий.
Рассчитываем независимые начальные условия (ток через катушку и
напряжение на конденсаторе в режиме до коммутации – замыкания ключа).
Здесь и далее для упрощения расчетов обозначаем: 2323213 RRRОм
Рассчитываем:

23
120

(0)(0)40 ; (0)(0)120
3LLCC

E

iiAUUEB
R

8
1.2. С учетом полученных независимых начальных условий составляем схему
замещения для момента коммутации t=0 и по этой схеме определяем
зависимое начальное условие – напряжение на катушке в момент
коммутации t=0.

Рисунок 2. Схема замещения для момента комутации.

По полученной схеме определяем:
23(0)(0)(0)1204030 LCLUUiRB
1.3. Определяем постоянные переходного процесса.

Рисунок 3. Схема для расчета постоянных переходного процесса.

Для схемы после коммутации записываем выражение для комплексного

9

сопротивления цепи:

23

1

23
1
()()

()

1
jRjL
C

ZjR

jRjL
C















 .

Производим замену: jp , тогда

23

23
112
23

23
2
1123123

2
23
1
()

()

11
()
1
RLp
RLpCp

ZpRR

LCpRCp

RLp
Cp

RLCpRRCLpRR
LCpRCp












Подставляем числовые значения параметров цепи и решаем уравнение

2
1123123
3663
823

3328

1,28
12
()0; ()0
11101010(131010110)130
1101.041040
1.0410(1.0410)41104
;

2110
11
4000 ; 100000
ZpRLCpRRCLpRR

pp
p
pp

cc
















Так как получены действительные корни характеристического уравнения, то
закон изменения тока катушки при переходном процессе будем искать в
виде: 1212()ptptLLпрitiAeAe

10
1.4. Составляем схему цепи в установившемся режиме после коммутации и
по этой схеме определяем принужденную составляющую – ток через
катушку в установившемся режиме после коммутации.

Рисунок 4. Схема цепи в установившемся режиме после коммутации.

123
120
30
13Lпр
E
iA
RR


1.5. По записанной формуле тока катушки при переходном процессе
определяем закон изменения напряжения катушки при переходном процессе:

1212
121122()(())()()ptptptpt
LLLпрUtLitLiAeAeLApeApe

tt




Для момента коммутации t=0 можем записать:

12
12
00
1212
00333
1122112212

(0)4030
(0)0()()110(41010010)

pp

LLпр

pp

L
iiAeAeAA
ULApeApeLApApAA






Решаем систему уравнений:

12
33
12
403010
410100100
AA
AA




Решение полученной системы: 1210.42; 0.42AA

11

Таким образом, в результате проведенного расчета можем записать
выражения для изменения тока катушки при переходном процессе:

4000100000
()3010.420.42 Att
Litee
Напряжение на катушке индуктивности:

1212
33

333

1122
41010010
()()110(10.42(410)0.42(10010))
41.6741.67

ptptptpt

L

tt

UtLApeApeee

eeB





1.6. Таким образом, записываем выражение для напряжения

33
41010010
1()()41.6741.67 tt
LutUteeB
Строим график для полученного напряжения в интервале от t=0 до

3

max3
1
33
30.7510 0.75
410tсмс
p



12
Рисунок 5. График переходного процесса для напряжения на катушке L.

2. Получение периодического сигнала и разложение его в ряд Фурье.

13

В соответствии с заданием полученную функцию

33
41010010
1()41.6741.67 ttuteeB

необходимо представить в виде
периодической функции с симметрией относительно оси абцисс.

14
Рисунок 6. Получение заданной симметрии периодической несинусоидальной функции

формирователя.

Разложение функции в ряд Фурье производим по формулам:

Постоянная составляющая:

max
max
3
01
3
1
()Uutdt
T







15

Косинусные составляющие:

max
max
3
/

1
3
2
()cos()kUutktdt
T










Синусные составляющие:

max
max
3
//

1
3
2
()sin()kUutktdt
T










Разложение функции в ряд Фурье по этим формулам производим с помощью
ПЭВМ в программе MathCad.

В результате проведенного разложения можем записать функцию
напряжения в виде:
2()12.64312.8sin(90)1.589sin(390)0.038sin(590)
0.49sin(790) B
utttt

t







∘∘∘

∘

16
Рисунок 7. Гармонические составляющие и суммарный сигнал разложения в ряд Фурье.
Производим построение графиков исходной функции и результата ее
разложения в ряд Фурье.

17
Рисунок 8. Графики выходных сигналов формирователя u 1 (t) и периодизатора u 2 (t).
Как видно из полученных графиков, форма сигнала, полученного в
результате разложения в тригонометрический ряд, очень близко совпадает с
формой исходного сигнала.

18

3. Расчет четырехполюсника.

3.1. Для заданной схемы четырехполюсника произведем расчет его A-
параметров.

На вход заданного четырехполюсника подается периодическое
несинусоидальное напряжение, включающее в себя 4 гармонических
составляющих.
В рассматриваемом случае имеем Т-образный четырехполюсник,
у которого соответствующие продольные и поперечное сопротивления на k-й
гармонике, с учетом заданных сопротивлений элементов, определяются по
формулам:

2
1()2()3()1
2
1
()

; ;

1kkk
Rj
kC

ZjkLZRZ

Rj
kC












19

Для расчета его А- параметров используем следующие соотношения:

1()1()3()

11()12()1()3()
2()2()

3()

21()22()
2()2()
1;
1
; 1
kkk

kkkk
kk

k

kk
kk
ZZZ

AAZZ
ZZ

Z

AA
ZZ





Зная A -параметры, можно определить характеристические сопротивления и
собственную постоянную передачи на основной гармонике сигнала:

22()12()
2()
21()11()
kk

ck

kk
AA
Z

AA




Для обеспечения режима согласованной нагрузки по основной
гармонике подключаем к четырехполюснику сопротивление нагрузки Z H ,
равное характеристическому: (1)2(1)HcZZ
Коэффициент передачи по напряжению четырехполюсника на k-й

гармонике определяем через A -параметры:

()

()
11()()12()
Hk

Uk
kHkk
Z

k
AZA


На основании полученных данных определяем значения гармонических
составляющих выходного напряжения u 3 (t): 3()()2()mkUkmkUkU

Расчет по представленным формулам производим с помощью ПЭВМ в
программе MathCad:

20

21

По результатам проведенного расчета составляем таблицу:

22

3

11122122
30.967.1326.57
50.1932.9129.75
60.9550.6326.

, Ом, См10

11.166161.2102.236
21.562162.0101.612
32.059201.8101.342
jjj
jjj
jjj

№

AAAA

гармоники

eee
eee
eee












∘∘∘
∘∘∘
∘∘

57
67.3860.5822.83

2233
25.225.231.5690
23.52

42.6253.9101.213

, Ом, Ом, В, В, град
1175.8175.80.4812.86.145121.56
2129.3163.4

jjj

cHUmmU
jjjj
jj
eee

№

ZZkUU

гармоники

eeee
ee











∘
∘∘∘

∘∘∘∘
∘

13.2448.6290
18.448.9260.4290
14.826.7167.3590

0.3921.5890.623138.62
3114.7161.00.3020.0380.011150.42
4108.8160.20.2390.490.117157.35

jj
jjjj
jjjj
ee
eeee
eeee








∘∘∘
∘∘∘∘
∘∘∘∘

По результатам проведенного расчета можем записать выражение для
выходного напряжения в заданной цепи:

23
3()5.6016.145sin(121.56)0.623sin(2138.62)0.011sin(3150.42)
0.117sin(4157.35) B
utttt

t






∘∘∘

∘

Строим график гармонических составляющих и результирующего сигнала на
выходе цепи.

Рисунок 9. График гармонических составляющих и результирующего сигнала на выходе

четырехполюсника.

Строим спектры амплитуд и фаз выходного сигнала четырехполюсника.

24
Рисунок 10. Спектры амплитуд и фаз выходного сигнала четырехполюсника.

25
Рисунок 11. Графики выходных сигналов формирователя u 1 (t) и периодизатора u 2 (t) и

четырехполюсника u 3 (t).

26

Заключение.

В ходе выполнения представленной курсовой работы выполнен анализ
прохождения сигнала через линейную электрическую цепь. На первом этапе
сформирован несинусоидальный сигнал переходным процессом в
электрической цепи. Этим сигналом является напряжение на катушке
индуктивности L, переходной процесс для которого возникает в результате
замыкания ключа и включения сопротивления R 1 в исходную схему. При
расчете получены действительные корни характеристического уравнения и,
соответственно, получен апериодический затухающий переходной процесс.
На втором этапе с помощью периодизатора получены цепочка
несинусоидальных импульсов с симметрией относительно оси абцисс и
начала координат, повторяемых с периодом 1.5 мс. Для анализа прохождения
полученного периодического сигнала через четырехполюсник выполнено
разложение функции в ряд Фурье с точностью до 4 гармоник аналитическим
способом с использованием математического программного продукта
MathCad. При визуальном сопоставлении периодического сигнала с
графиком функции, полученной при разложении в ряд Фурье, установлено
соответствие с заданной точностью.
На третьем этапе выполнен анализ прохождения сигнала через пассивный
четырехполюсник, проанализированы свойства четырехполюсника (АЧХ и
ФЧХ). В результате расчета получена функция в виде тригонометрического
ряда Фурье, описывающая сигнал на выходе цепи. Расчеты для получения
сигнала на выходе цепи также проведены в программе MathCad.
При визуальном сопоставлении сигналов на входе и выходе
четырехполюсника установлено значительно изменение формы выходного
сигнала вследствие подавления четырехполюсником высших гармоник
входного сигнала.

Список использованной литературы.

1. Попов В.П. Основы теории цепей. М.: Высш. шк., 1985.
496 с.

27

2. Нейман Л.Р. Демирчан К.С. Теоретические основы
электротехники: В 2 т. Т. 1. Л.: Энергоиздат, 1981. 533 с.
3. Атабеков Г.И. Основы теории цепей. М.: Энергия, 1969.
424 с.
4. Лосев А.К. Теория линейных электрических цепей. М.:
Высш. шк., 1987. 512 с.
5. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники.
Электрические цепи. М.: Высш. шк., 1996. 638 с.
6. Шебес М.Р. Задачник по теории линейных электрических
цепей. М.: Высш. шк., 1990. 544 с.