Определить токи в ветвях методом контурных токов

Для заданной схемы (рис.1.1 - 1.28) требуется:1) определить токи в ветвях с помощью уравнений, составлен-ных по законам Кирхгофа;2) определить токи в ветвях методом контурных токов;3) определить токи в ветвях методом узловых потенциалов;4) определить токи в ветвях методом наложения;5) составить уравнение баланса мощностей;6) определить показания вольтметра;7) определить ток I1 в ветви c сопротивлением R1 по методу эк-вивалентного генератора и построить график зависимостиI1= f(R1) при изменении R< R1 < 10R.Схема представлена на рисунке 1.Рисунок 1 – Исходная схема.R1=77 Ом; R2=12 Ом; R3=69 Ом; R4=70 Ом; R5=84 Ом; R6=49 Ом; E2=12 В; E4=18 В; E5=25 В.1) Определение токов в ветвях с помощью уравнений, составленных по законам Кирхгофа.Для определения токов с помощью уравнений составленных по закону Кирхгофа, зададимся положительным направлением токов и положительным обходом в контурах, в соответствии с рисунком 2.Рисунок 2Данная схема содержит 4 узла и 6 ветвей, необходимо определить 6 токов, составим три уравнения по первому закону Кирхгофа и три уравнения по второму закону Кирхгофа:Уравнения для первого закона Кирхгофа:-I2-I4-I5=0 для первого узлаI3+I5-I6=0 для второго узлаI4+I6-I1=0 для третьего узлаУравнения для второго закона Кирхгофа:UR5+UR6-UR4=E5-E4 для контура 1-2-3-1UR2-UR1-UR4=E2-E4 для контура 1-4-3-1UR5-UR3-UR2=E5-E2 для контура 1-2-4-1Выразим напряжения через силу тока по закону Ома:I5∙R5+I6∙R6-I4∙R4=E5-E4 для контура 1-2-3-1I2∙R2-I1∙R1-I4∙R4=E2-E4 для контура 1-4-3-1I5∙R5-I3∙R3-I2∙R2=E5-E2 для контура 1-2-4-1Получим систему уравнений с подставленными числовыми значениями:-I2-I4-I5=0I3+I5-I6=0I4+I6-I1=084∙I5+49∙I6-70∙I4=712∙I2-77∙I1-70∙I4=-684∙I5-69∙I3-12∙I2=13Решим данную систему уравнений с помощью MathCAD, программа представлена на рисунке 3.Рисунок 3.Следовательно, токи равны:I1=0,043 AI2=-0,107 AI3=-0,064 AI4=0,02 AI5=0,087 AI6=0,023 A2) Определение токов в ветвях методом контурных токов.Количество уравнений, составляемые методом контурных токов, равняется N=Nвет-Nузл+1=6-4+1=3.Определим обход контурных токов, как показано на рисунке 4.Рисунок 4.Определим сопротивления контуров и сопротивления ветвей смежных контуров:R11=R4+R5+R6R22=R1+R2+R4R33=R2+R3+R5R12=R21=R4R13=R31=R5R23=R32=R2Составим систему уравнений методом контурных токов:I11∙R4+R5+R6+I22∙R4+I33∙R5=E5-E4I11∙R4+I22∙R1+R2+R4-I33∙R2=E2-E4I11∙R5-I22∙R2+I33∙R2+R3+R5=E5-E2Подставим числовые значения:203∙I11+70∙I22+84∙I33=770∙I11+159∙I22-12∙I33=-684∙I11-12∙I22+165∙I33=13Решим данную систему уравнений с помощью MathCAD, программа представлена на рисунке 5.Рисунок 5Контурные токи равны:I11=0,023 AI22=-0,043 AI33=0,064 AОпределим токи во всех ветвях с помощью контурных токов:I1=-I22=0,043 AI2=I22-I33=-0,107 AI3=-I33=-0,064 AI4=-I11-I22=0,02 AI5=I11+I33=0,087 AI6=I11=0,023 A3. Определим токи в ветвях методом узловых потенциалов:Количество уравнений, составляемые методом узловых напряжений, равняется N=Nузл-1=4-1=3. Примем четвертый узел за землю, т.е, его потенциал равен нулю. Определим проводимости всех узлов и проводимости ветвей смежных узлов.Y11=1R2+1R4+1R5Y22=1R3+1R5+1R6Y33=1R1+1R4+1R6Y12=Y21=1R5Y13=Y31=1R4Y23=Y32=1R6φ1∙1R2+1R4+1R5-φ2∙1R5-φ3∙1R4=-E4R4-E2R2-E5R5-φ1∙1R5+φ2∙1R3+1R5+1R6-φ3∙1R6=E5R5-φ1∙1R4-φ2∙1R6+φ3∙1R1+1R4+1R6=E4R4Подставим числовые значения:0,11∙φ1-0,012φ2-0,014∙φ3=-1,555-0,012∙φ1+0,047∙φ2-0,02∙φ3=0,298-0,014∙φ1-0,02∙φ2+0,048∙φ3=0,257Решим данную систему уравнений с помощью MathCAD, программа решения представлена на рисунке 6.Рисунок 6Потенциалы равны:φ1=-13,284 Bφ2=4,421 Bφ3=3,305 BОпределим токи во всех ветвях:I1=φ3R1=0,043 AI2=φ1+E2R2=-0,107 AI3=-φ2R3=-0,064 AI4=φ1-φ3+E4R4=0,02 AI5=φ1-φ2+E5R5=0,087 AI6=φ2-φ3R6=0,023 A4. Определим токи в цепи методом наложения:Метод наложения состоит в том, что необходимо определить токи возникающие от каждого источника отдельно, так как у нас в цепи три источника ЭДС, то искомые токи будут равны суперпозиции токов образованные от каждого источника ЭДС в отдельности.Определим токи образованные от источника E2, источники Е4 и Е5 закорачиваем:Определим токи с помощью контурных токов, возьмем систему уравнений используемую выше исключив из нее Е4 и Е5. Система уравнений примет вид:I'11∙R4+R5+R6+I'22∙R4+I'33∙R5=0I'11∙R4+I'22∙R1+R2+R4-I'33∙R2=E2I'11∙R5-I'22∙R2+I'33∙R2+R3+R5=-E2Подставим числовые значения:203∙I11+70∙I22+84∙I33=070∙I11+159∙I22-12∙I33=1284∙I11-12∙I22+165∙I33=-12Решим данную систему уравнений с помощью MathCAD, программа представлена на рисунке 7.Рисунок 7Контурные токи равны:I'11=0,006 AI'22=0,067 AI'33=-0,071 AОпределим токи во всех ветвях с помощью контурных токов:I'1=-I'22=-0,067 AI'2=I'22-I'33=0,138 AI'3=-I'33=0,071 AI'4=-I'11-I'22=-0,073 AI'5=I'11+I'33=-0,065 AI'6=I'11=0,006 AОпределим контурные токи образованные от источника ЭДС E4, источники Е2 и Е5 закоротим. Тогда система уравнений для контурных токов примет вид:I''11∙R4+R5+R6+I''22∙R4+I''33∙R5=-E4I''11∙R4+I''22∙R1+R2+R4-I''33∙R2=-E4I''11∙R5-I''22∙R2+I''33∙R2+R3+R5=0Подставим числовые значения:203∙I11+70∙I22+84∙I33=-1870∙I11+159∙I22-12∙I33=-1884∙I11-12∙I22+165∙I33=0Решим данную систему уравнений с помощью MathCAD, программа представлена на рисунке 8.Рисунок 8.Контурные токи равны:I''11=-0,076 AI''22=-0,077 AI''33=0,033 AОпределим токи во всех ветвях с помощью контурных токов:I''1=-I''22=0,077 AI''2=I''22-I''33=-0,11 AI''3=-I''33=-0,033 AI''4=-I''11-I''22=0,153 AI''5=I''11+I''33=-0,043 AI''6=I''11=-0,076 AОпределим контурные токи образованные от источника ЭДС E5, источники Е2 и Е4 закоротим. Тогда система уравнений для контурных токов примет вид:I''11∙R4+R5+R6+I''22∙R4+I''33∙R5=E5I''11∙R4+I''22∙R1+R2+R4-I''33∙R2=0I''11∙R5-I''22∙R2+I''33∙R2+R3+R5=E5Подставим числовые значения:203∙I11+70∙I22+84∙I33=2570∙I11+159∙I22-12∙I33=084∙I11-12∙I22+165∙I33=25Решим данную систему уравнений с помощью MathCAD, программа представлена на рисунке 8.Рисунок 8Контурные токи равны:I'''11=0,092 AI'''22=-0,033 AI'''33=0,102 AОпределим токи во всех ветвях с помощью контурных токов:I'''1=-I'''22=0,033 AI'''2=I'''22-I'''33=-0,135 AI'''3=-I'''33=-0,102 AI'''4=-I'''11-I'''22=-0,059 AI'''5=I'''11+I'''33=0,194 AI'''6=I'''11=0,092 AОпределим искомые токи:I1=I'1+I''1+I'''1=-0,067+0,077+0,033=0,043 AI2=I'2+I''2+I'''2=0,138-0,11-0,135=-0,107 A I3=I'3+I''3+I'''3=0,071-0,033-0,102=-0,064 A I4=I'4+I''4+I'''4=-0,073+0,153-0,059=0,02 A I5=I'5+I''5+I'''5=-0,065 -0,043+0,194=0,087 AI6=I'6+I''6+I'''6=0,006-0,076+0,092=0,023 A 5. Составление баланса мощностейОпределим мощность потребляемую:Pпот=I12∙R1+I22∙R2+I32∙R3+I42∙R4+I52∙R5+I62∙R6Pпот=0,043 2∙77+0,107 2∙12+0,0642∙69+0,022∙70+0,0872∙84+0,0232∙49=1,25 Вт Определим мощность источников:Pист=I2∙E2+I4∙E4+I5∙E5Pпот=0,107∙12+0,02∙18+0,087∙25=1,25 Вт Баланс мощности сошелся, следовательно, расчет токов произведен верно.6. Определение показание вольтметра:Вольтметр находится в одном контуре с элементом R2 следовательно вольтметр будет показывать напряжение элемента R2:UR2=I2∙R2=0,107 ∙12=1,284 В7. Определение тока I1 в ветви с сопротивлением R1 по методу эквивалентного генератора.Метод эквивалентного генератора состоит в том, чтобы определить напряжение холостого хода Uxxab, следующим шагом необходимо определить эквивалентное сопротивление относительно зажимов ab, следовательно ток I1 будет равен:I1=UxxabRэг+R1На рисунке 9 представлена схема для нахождения Uxxab.Рисунок 9Определим напряжение холостого хода с помощью метода узловых потенциалов, используемое выше, при этом из системы уравнений необходимо убрать сопротивление R1. Тогда система уравнений примет вид: φ1∙1R2+1R4+1R5-φ2∙1R5-φ3∙1R4=-E4R4-E2R2-E5R5-φ1∙1R5+φ2∙1R3+1R5+1R6-φ3∙1R6=E5R5-φ1∙1R4-φ2∙1R6+φ3∙1R4+1R6=E4R4Подставим числовые значения:0,11∙φ1-0,012φ2-0,014∙φ3=-1,555-0,012∙φ1+0,047∙φ2-0,02∙φ3=0,298-0,014∙φ1-0,02∙φ2+0,035∙φ3=0,257Решим данную систему уравнений с помощью MathCAD, программа приведена на рисунке 10.Рисунок 10По схеме определяем, что Uxxab соответствует потенциалы φ3=5,236 ВОпределим входное сопротивление относительно зажимов ab, для этого закоротим все источники ЭДС, схема представлена на рисунке 11.Рисунок 11 – Схема для нахождения входного сопротивления:Преобразуем треугольник R4,R5,R6 в звезду, как показано на рисунке 12.Рисунок 12- преобразование треугольник в звездуR45=R4∙R5R4+R5+R6=28,96 ОмR46=R4∙R6R4+R5+R6=16,89 ОмR56=R6∙R5R4+R5+R6=20,28 ОмТогда эквивалентное сопротивление будет равно:Rэг=R46+R3+R56∙R2+R45R3+R56+R2+R45Rэг=44,98 ОмОпределим ток I1:I1=UxxabRэг+R1=5,23644,98+77=0,043 АПостроим график зависимости тока от сопротивления R1 в диапазоне R1 от 30 до 300 Ом. График представлен на рисунке 13.Рисунок 13 – Зависимость тока от сопротивления