Применение производной в экономике

Введение
Математика является не только орудием количественного расчета, но также методом точного исследования. Она служит средством предельно четкой и ясной формулировки экономических понятий и проблем. Современный человек должен обладать определенными экономическими знаниями, а современный экономист должен обладать способностью проведения анализа с использованием количественного метода. Именно математика является и орудием количественного расчета, и методом точного исследования. Ф.Энгельс в своё время заметил, что "лишь дифференциальное исчисление даёт естествознанию возможность изображать математически не только состояния, но и процессы: движение". Поэтому целью моей работы является выяснить, каков экономический смысл производной, какие новые возможности для экономических исследований открывает дифференциальное исчисление, а также исследовать применение производной при решении различных видов экономических задач. Современная жизнь такова, что экономика стала неотъемлемой ее частью. Ведь без экономики практически невозможно сейчас заниматься домашним хозяйством, распределять и планировать семейный бюджет, правильно тратить ресурсы и средства. Именно в этом нам могут помочь экономические задачи. Основная проблема, которую я запланировал рассмотреть в своей работе – как можно использовать производную в экономических целях и ее роль в современных экономических взаимоотношениях. Кроме того, я решил провести анализ различных производственных задач с точки зрения эффективности применения для их решения аппарата производной.[2]Экономические задачи непросты, и чтобы облегчить их решение, существует такое понятие, как «производная». В своей работе я попытался доказать, что с помощью производной решение экономических задач становится значительно проще.Я поставил перед собой следующие задачи:1. Самостоятельно и дополнительно изучить основы дифференциального исчисления, не входящие в курс математики средней школы или еще не изученные, которые поспособствуют осознанному качественному усвоению материала;2. Выяснить экономический смысл производной, возможности и актуальность применения дифференциального исчисления для экономических исследований;3. Исследовать возможность и актуальность применения производной к решению различных видов экономических задач, произвести их классификацию;4. Провести мониторинг решаемости экономических задач учащимися.Для себя я сформулировал вопрос: Нужна ли производная в экономике?Цель моей работы:Выяснить экономический смысл производной; возможности и актуальность применения дифференциального исчисления для экономических исследований; исследовать возможность и актуальность применения производной к решению различных видов экономических задач, произвести их классификацию.Можно предположить, что знание производной и умение применять ее при решении математических задач позволяет в свою очередь решать многочисленные задачи по экономической теории.Основная частьПроизводная функции – одно из фундаментальных понятий математики, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента, y'=Δy/Δx при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует.История развития дифференциального исчисления берет свое начало несколько веков назад. Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия на основе двух задач:1) о разыскании касательной к произвольной линии;2) о разыскании скорости при произвольном законе движения.Итальянский математик Тартальи (около 1500 - 1557 гг.) рассматривал понятие производной в своих работах еще раньше - здесь появилась касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда. Первый в мире печатный курс дифференциального исчисления опубликовал в 1696 г. Лопиталь. Этот курс состоит из предисловия и 10 глав, в которых излагаются определения постоянных и переменных величин и дифференциала, объясняются употребляющиеся обозначения.При изучении темы «Производная» в школьном курсе алгебры и начал анализа рассматриваются некоторые её приложения в физике, а также ряд текстовых задач на нахождение наибольшего или наименьшего значений. Однако область применения производной этим не ограничивается. Например, существует масса реальных экономических задач, для решения которых необходимо использовать методы дифференциального исчисления.Производная способствует решению не только математических задач, но и задач практического содержания в разных областях, как точных наук, так и социальных.[1]Фридрих Энгельс заметил, что «Лишь дифференциальное исчисление дает возможность… математически изображать не только состояния, но и процессы: движение», это можно отнести и к экономическим процессам, таким, например, как повышение или понижение дохода.Производная функции играет важную роль в социально-экономических исследованиях. Оказалось, что на уроках мы узнаём не так много, а вопрос очень объемный. Самостоятельно и дополнительно я решила изучить основы дифференциального исчисления, которые способствуют осознанному качественному усвоению материала, развитию правильного представления об изучаемом понятии, его огромной значимости в различных областях. В ходе работы я попытаюсь доказать поставленную гипотезу. Производная широко используется в различных областях деятельности человека, поэтому умение прогнозировать, решать имеет огромное значение в практической деятельности. Производная относится к числу математических понятий, которые носят межпредметный и метапредметный характер, и широко применяются в физике, экономике, химии, биологии, в технике и других отраслях наук. Изучение материала по этой теме имеет принципиальное значение, так как здесь показывается приложение к решению различных экономических задач, то есть возможности применения элементов дифференциального исчисления в описании и изучении процессов и явлений реального мира. Я считаю, что эта тема очень важна для таких школ как наша, где есть огромный потенциал учащихся, которые работают над социальными проектами, в том числе, экономической направленности.На сегодняшний день существенно изменился спектр приложений математики в связи с переходом к рыночным отношениям. Данный период "заставляет" население обучаться экономической грамотности, которая, в свою очередь, невозможна без применения математических основ и знаний более углубленного характера. Изучение связей экономических величин в виде функций – базовая задача экономического анализа. Основа основ любой экономики – это производство, т. к. оно позволяет людям удовлетворять свои многочисленные потребности. Экономистам все время приходится решать одну глобальную задачу – удовлетворение неограниченных потребностей ограниченными ресурсами. Меня заинтересовала область применения производной - экономика, так как экономические процессы в нашем государстве, да и во всем мире претерпевают глобальные изменения, и применение производной поможет и уже помогает в решении многих экономических задач, а я планирую, возможно, связать свою будущую профессию с международной экономикой. В экономике очень часто требуется найти значение таких показателей, как предельная производительность труда, максимальная прибыль, максимальный выпуск, минимальные издержки и так далее. Дифференциальное исчисление получило широкое применение как математический аппарат для экономического анализа и его развития в экономике. Базовой задачей экономического анализа является изучение связей экономических величин, записанных в виде функций. Существенным в этой области является ряд следующих вопросов:- В каком направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при введении импортных пошлин?- С какой скоростью изменится доход в этом случае?Для решения подобных задач должны быть построены функции связи входящих в них переменных, которые затем изучаются с помощью методов дифференциального исчисления.Таким образом, нахождение оптимального значения показателя сводится к нахождению экстремума функции с помощью производной.Для реализации плана исследований я собрала и проанализировала информацию, позволяющую подтвердить или опровергнуть выдвинутую мной гипотезу.Прежде всего, мною было проанализированы «Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2018 года по математике» под редакцией И.В. Ященко и других.Приведу примеры статистики сдачи ЕГЭ по математике (профильный уровень) за 2016 - 2018 годы (использовал данные с сайта ФИПИ).ГодНе сдали экзаменСдали экзаменСредний баллКоличество 100-балльников201615,33%84,67%46,3 балла296 учащихся201714,34%85,66%47,1 балла224 учащихся20187,48%92,52%49,8 балла145 учащихсяРешение задания номер 17ГодНабрали ненулевой балл (от сдавших экзамен учащихся)Набрали ненулевой балл (от всех учащихся)Набрали максимальный балл (от сдавших экзамен учащихся)Набрали максимальный балл (от всех учащихся)Доля учащихся201613%11%6,7%Нет данныхНет данных201714,8%12,68%8%6,85%Каждый 152018Нет данныхНет данных2,2%Нет данныхНет данныхТакая статистика решения экономической задачи объясняется и сложностью задания, и просто тем, что такой темы просто нет в наших учебниках по алгебре. Одной из причин снижения доли участников, набравших полный балл за задание 17 (экономическая задача), стало использование при подготовке к экзамену типовых заданий вместо систематического изучения курса и грамотного итогового повторения. Многие участники не прочитали полностью и внимательно условие задачи и допустили существенные ошибки, следуя «типовому алгоритму». Это еще раз подтверждает актуальность выбранной мной темы, так как большинство граждан так или иначе сталкиваются в социуме с экономикой, а значит и с решением экономических задач, часть из которых можно решить, используя знания и умения применения производной к решению задач, связанных с практической деятельностью человека. Поэтому у меня возникла идея после исследования составить краткое методическое пособие по примерам задач экономического содержания и способам их решения с помощью производной, а также разместить это пособие в Интернете для возможно более широкого использования.Также мною были проанализированы результаты муниципального и регионального этапов олимпиад по математике. Мною был сделан вывод, что лишь ограниченное количество участников приступают к решению задач экономического характера, а результата достигают лишь единицы. Поэтому возникает проблема: почему же такой низкий процент решаемости этих задач? Сделав опрос в своей школе и в социальных сетях, я пришла к следующим выводам:1.Понятие производной в школьном курсе математики изучается только в 10 классе во 2 полугодии или в 11 классе, поэтому не все ученики 9-11 классов знакомы с этой темой.2. Экономический смысл производной не изучается в школьном курсе математики, а уроки экономики в основном ведут учителя истории и обществознания, которые больше дают теории, а не практических задач.Это еще раз подтверждает актуальность выбранной мною темы для исследования.Анализируя сведения, имеющиеся в различных источниках информации, я заметила, что задачи данной категории можно разделить на несколько групп:1. Задачи на производительность труда;2. Задачи на темп работы;3. Задачи на скорость работы;4. Задачи на объем работы;5. Задачи на оптимизацию процесса;6. Задачи на эластичность спроса;7. Задачи на оборот предприятия;8. Задачи на предельные издержки производства и дополнительные затраты на производство.Все эти группы задач можно решить с помощью задания функции, отыскания производной, а с её помощью максимумов и минимумов функции.Пример 1: Антон является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производится абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно t 2 часов в неделю, то за эту неделю они производят t единиц товара. За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Антон платит рабочему 250 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, — 200 рублей. Антон готов выделять 900 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?Решение задачи сводится к отысканию производной и нахождению минимума и максимума функции.Пример 2: Оборот предприятия за истекший год описывается через функциюU(t) = 0,15t3 - 2t² + 200,где t - месяц, U – миллионы.Исследуйте оборот предприятия.Решение:Исследуем оборот предприятия с помощью производной:U´(t) = 0,45t² - 4t,U´´(t) = 0,9t - 4,U´´´(t)=0,9.Момент наименьшего оборота U´(t) = 0 при t = 8,9 (наименьший оборот был на 9 месяце).Первая производная показывает экстремальное изменение оборота.Из U´´(t) = 0 следует, что t = 4,4Так как U´´´(t)>0 на пятом месяце имеется сильное снижение оборота.Вывод: Момент наименьшего оборота U´(t) = 0 при t = 8,9 (наименьший оборот был на 9 месяце).Точки перегиба важны в экономике, так как именно по ним можно определить, в какой конкретно момент произошло изменение.Так, например, по решению предложенной задачи можно сделать вывод:В начале исследуемого периода у предприятия было снижение оборота. Предприятие пыталось выйти из этого состояния и для этого использовало определенные средства. На девятом месяце предприятием были предприняты меры по повышению производительности труда и предприятие стало выходить из кризиса.Пример 3: Объем продукции, произведенной цехом, может быть описан уравнением:u (t) = - t3+5t2+120t+10, где 1≤t≤8 — рабочее время (ч). Вычислите производительность труда и скорость ее изменения в момент t=1 и t=4.Производительность труда найдем по формуле:z(t) = u' (t) = -3t2+10t+120 (eд./ч).Скорость изменения производительности труда вычислим как производную: z'(t) = -6t+10 (ед./ч 2 )Тогда в заданные моменты времени имеем:z(1) =128 (ед./ч 2 ),z'(1)= 4 (ед./ч 2 ); z(4) = 112 (ед./ч 2 ),z'(4) = -14 (ед./ч 2 )Можно сделать вывод, что производительность труда к концу рабочего дня снижается. При этом изменение знака в z'(t) свидетельствует о том, что увеличение производительности труда в первые часы рабочего дня смещаются ее снижением в последующие часы. Такой результат является следствием усталости работников, ухудшением условий в помещении множество других факторов, влияющих на производительность труда, а также и на уровень заработной платы работников. Таким образом, важно не только получить ответ при помощи производной, для экономистов важен анализ полученного результата и соотнесения его с реальностью.Рассмотрим некоторые экономические функции и определим экономический смысл их производных.1)Функция спроса – зависимость спроса D на некоторый товар от его цены р (в pублях). Производная дает приблизительное уменьшение спроса при увеличении цены на одну единицу. Поскольку, как известно, при повышении цены спрос уменьшается, то на самом деле абсолютное значение производной показывает уменьшение спроса со стороны покупателей на товар при повышении его цены на одну единицу.2)Функция предложения – зависимость предложения некоторого товара S от его цены p (в pублях). Производная дает приблизительно увеличение предложения товара со стороны продавцов (производителей) при увеличении цены на одну единицу.3)Функция полезности – субъективная числовая оценка U данным индивидом полезности количества x товара для него. Производная дает приблизительную оценку дополнительной полезности от приобретения еще одной единицы товара.4)Налоговая ставка – зависимость налога N в процентах от величины годового дохода Q. ПустьP – само значение налога, которое надо платить с годового дохода Q. Тогда производная P иесть налоговая ставка N.В экономике чрезвычайно часто ставятся такие вопросы:- На сколько процентов изменится спрос на товар, если цена на него увеличится на 1%?- На сколько процентов изменится предложение товара, если цена на него увеличится на 1%? Такие вопросы и ответы на них вводят новое понятие «эластичность функции по аргументу» или «относительная производная».Эластичностью функции Еxy(x0) называется предел отношения относительного приращения функции y к относительному приращению переменной x при D: x ϵ [0;®]. Коэффициент эластичности y по х показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция y = f(x), при изменении независимой переменной x на 1%. Очень широко применяется понятие эластичности функции в экономическом анализе. Выясняя у нескольких экономистов, работающих в сфере торговли продуктами питания, промышленными товарами, фармацевтическими товарами важность понятия эластичности функции, пришел к выводу, что значения эластичности влияет на поведение покупателя.Если E=0, то спрос на данный товар называется абсолютно неэластичным.Если 0≤|E|≤1, то спрос на данный товар называется неэластичным или относительно неэластичным.Если |E|=1, то говорят, что товар имеет единичную эластичность.Если |E|>1, то спрос на данный товар называется эластичным или относительно эластичным.Если |E|=∞, то спрос на данный товар называется абсолютно эластичным. Поведение покупателя: цена снижается – объём покупок неограниченно возрастает; цена растёт – объём покупок падает почти до нуля.Эластичность спроса по цене, ее виды, показатели, факторыЭластичность (Е) измеряет силу влияния причины на результат.Эластичность = относительное изменение результата (%)относительное изменение причины (%)Показатель эластичности обычно отражает процентное изменение одной переменной величины (результата) при однопроцентном изменении значения причины.Эластичность спроса по цене (Еd/p) отражает то изменение объема спроса (D) на товар Х в процентах, которое последует после однопроцентного изменения цены (Рх) на данный товар.ЕD/p=∆D%∆P%=D1-D0D0:P1-P0P0 1.Для обыкновенных товаров эластичность спроса по цене всегда имеет отрицательное значение, так как в приведенной выше формуле отрицательному значению знаменателя соответствуют положительное значение числителя.Характеристика эластичности спроса (Еd/p).Спрос с единичной эластичностью предполагает пропорциональное изменение величины спроса в зависимости от изменения цены, в результате чего общий доход остается неизменным (Еd/p=1).Спрос эластичный, если величина спроса изменяется на процент больший, чем цена (Еd/p >1).Спрос неэластичный, когда величина спроса изменяется на меньший процент, чем цена (Еd/p <1).Совершенно неэластичным будет спрос, когда величина его постоянна независимо от изменения цены на единицу товара (Еd/p =0).Совершенно эластичный спрос изображается горизонтальным положением кривой спроса (Еd/p =∞). 2652395681355002536190112458500321881530607000349186530607000Рис. 1 Эластичность спроса по ценеФакторы эластичности спроса по цене:Наличие товаров-заменителей (товаров-субститутов). Чем больше у того или иного экономического блага полноценных заменителей и чем ближе они к нему по потребительским свойствам, тем эластичнее спрос по цене. Альтернативность. Чем шире у анализируемого товара возможность использовать его в альтернативных целях, тем выше его эластичность спроса по цене.[5]Специфика использования отдельных товаров. Здесь приходится выделять товары двух основных категорий: долговременного и кратковременного использования.Фактор времени. В кратковременном периоде, когда потребитель уже приступил к реализации своих планов, ему сложно изменить принятую линию поведения. Поэтому в кратковременном спрос по цене всегда менее эластичен.Формула 1 может быть применена для расчета эластичности в любой точке кривой, или точечной эластичности. Она верна для любых изменений цены, если кривая спроса является линейной, и для незначительных изменений цены, если кривая спроса имеет произвольную конфигурацию.Однако эластичность спроса оказывается различной в зависимости от того, растет цена или снижается, даже если кривая спроса является линейной.Поэтому необходим универсальный показатель, в качестве которого было предложено использовать среднюю точку интервала («точку Аллена») в качестве знаменателя дроби. Средняя точка интервала рассчитывается как частное от деления суммы первоначального и конечного значений величины спроса на два:D1-D0D1+D0:2.Таким же образом определяется процентное изменение цены.Изложенная методика расчета эластичности спроса по цене получила название дуговой эластичности. Ее можно выразить следующей формулой (2):Едуговая=(D1-D0)÷((D1+D0)÷2)(Р1-Р0)÷((Р1+Р0)÷2) (2).Эластичность спроса по доходу.Динамика спроса реагирует не только на изменение цены, но и на изменение доходов потребителей. Соответственно выделяется также эластичность спроса по доходу, которая представляет собой процентное изменение объема спроса, вызванное тем или иным процентным изменением дохода потребителя.[6]Коэффициент эластичности спроса по доходу:ЕD/I=(D1-D0)÷((D1+D0)÷2)(I1-I0)÷((I1+I0)÷2) (3).Спрос на нормальные товары будет возрастать по мере роста доходов потребителей. Коэффициент эластичности спроса по доходу будет иметь положительное значение. Что касается товаров низшей категории, то при увеличении доходов потребителей спрос на них будет снижаться, т.е. коэффициент будет иметь отрицательное значение.Практическое значение понятия «эластичность спроса по доходу» состоит в том, что ее состояние и динамика позволяют давать прогнозы перспектив развития того или иного производства или отрасли. Перекрестная эластичность.Изменить динамику спроса на какой-либо товар может изменение цены на какой-то другой товар. В этом случае речь идет о перекрестной эластичности (Еdx/py) (ф-ла 4): ЕDх/Ру=∆Dх, %∆Ру, % (4).Что касается товаров-субститутов, то увеличение цены на один из них вызовет увеличение спроса на другой. По отношению к товарам-комплементам перекрестная эластичность спроса отрицательна, т.е. увеличение цены один из них вызывает снижение спроса на другой.Эластичность предложения по цене – это степень реагирования объема предложения на изменение цены единицы товара или услуги.Коэффициент эластичности предложения по цене показывает Еs/p, на сколько процентов изменится величина предложения товаров при изменении цены единицы товара на 1%. Рассчитывается как отношение процентного изменения величины предлагаемой продукции к процентному изменению в цене (ф-ла 5):ЕS/p=∆S%∆P%=S1-S0S0:P1-P0P0 5.Предложение с единичной эластичностью обнаруживается тогда, когда изменение цены вызывает абсолютно пропорциональное изменение величины предложения.Если коэффициент эластичности предложения по цене больше единицы, то предложение считается эластичным. Т.е., на один процент изменения цены производитель реагирует несколькими процентами прироста объемом производства.Предложение считается неэластичным, если коэффициент эластичности меньше единицы. В таком случае линия предложения лишь незначительно отклоняется от вертикали. Если коэффициент эластичности равен нулю, то это означает, что предложение абсолютно неэластично. Со стороны производителя нет никакой реакции на изменение цены. Объем предложения остается на одном уровне.Выделяют три временных периода, характеризующих способность производителя отреагировать на изменение рыночной конъюнктуры: мгновенный, кратко- и долгосрочный.2768600508000029527505080000Рис. 2 Кривая предложения в различных временных интервалахМгновенный период характерен тем, что реализации подлежит уже произведенный товар. Товар поступает в продажу по установившейся рыночной цене, т.е. предложение здесь должно подстраиваться под спрос. В этом случае кривая предложения S1 вертикальна (рис. 2) и показывает, что предложение в данном временном периоде абсолютно неэластично (Es =0).В краткосрочном периоде производитель в состоянии (ему позволяет время) в определенной мере отреагировать на изменение рыночной цены, несколько увеличив или уменьшив объем предложения, но ему удается это сделать лишь путем изменения переменных факторов производства (интенсификация труда, количество материалов, товарных запасов и др.). Что же касается производственных мощностей, то в краткосрочном периоде повлиять на их изменение невозможно. Кривая предложения в краткосрочном периоде S2 будет постепенно отклоняться от вертикального положения и двигаться в направлении, определяемом законом предложения. Эластичность предложения становиться положительной. [10]Долгосрочный период характерен тем, что производитель в состоянии изменить сои производственные мощности, произвести структурную перестройку производства, обновить оборудование. Кривая предложения в этом периоде принимает более пологое положение S3, эластичность предложения достигает максимальной величины.Анализ трех временных периодов позволяет заключить, что предложение становиться более эластичным с удлинением временных интервалов, в пределах которых рассматривается его динамика.Факторы эластичности предложения:Цены на ресурсы;Применяемые технологии;Динамика цен на взаимозаменяемые и взаимодополняемые товары;Налоги и субсидии;Численность производителей;Ожидания.Пример 3: Функция спроса относительно дохода имеет вид S = 4 + 1,2r + 0,44r2.Как изменится спрос, если доход увеличивается от 100 у.е. до 150 у.е.?Решение:Er (S) = r/S*S', r = 100.Найдём эластичность функции относительно дохода по формулеEr = r/4 + 1,2r + 0,44r2 * (0,88r + 1,2) = 1,972.Делаем вывод: так как Er>1, то спрос увеличивается.Определим значение эластичности, если доход равен r = 150 у.е.Так как доход увеличивается на 50 у.е., то есть на 50%, очевидно, что спрос увеличился на50% * 1,972 = 98,6%.Ответ:Увеличится на 98,6%.При работе над научной статьёй мною было проанализировано экономическое положение нескольких ведущих предприятий Забайкальского края и Российской Федерации в целом в свете изменяющейся экономической обстановки за предыдущие два – пять лет. Для исследования данного вопроса я встретилась с членом Комитета по экономической, инвестиционной политике и собственности Законодательного собрания Забайкальского края 1го и 2го созыва Никоновым А. М., генеральным директором ООО «Управляющая компания «Читастройматериалы», в который помимо Силикатного завода входит около 15 предприятий строительной отрасли и его экономистами, которые познакомили меня с бухгалтерской отчетностью за прошлые годы и рассказали о целесообразности применения производной в экономической практике предприятия.Исследование данного вопроса позволило сделать вывод о том, что экономическое положение предприятия в немалой степени зависит от грамотности команды экономистов, работающих в данном предприятии. Все они отметили, что знания, полученные ими в курсе изучения алгебры и начал анализа по теме «Производная функции», а также углубленные и расширенные в последующем при обучении в ВУЗах, позволяют контролировать экономическую ситуацию на производстве, своевременно просчитывать возможные негативные последствия экономической ситуации в государстве в целом и предотвращать либо минимизировать их в рамках отдельно взятого предприятия. Также мною было проанализировано экономическое положение ряда предприятий малого и среднего бизнеса, работающих в нашем МР. К сожалению, не все предприятия могут себе позволить ввести в штат грамотного экономиста, в том числе по причине их малочисленности, поэтому некоторые предприятия вынуждены признаваться банкротами. Таким образом, проведя анализ имеющихся теоретических и практических материалов, можно сделать вывод об экономическом смысле производной.1. Издержки производства y (в экономике TC) будем рассматривать как функцию количества выпускаемой продукции х (Q). Пусть Δ x - прирост продукции, тогда Δ y – приращение издержек производства и - среднее приращение издержек производства на единицу продукции. Производная y΄ = Δ y / Δ x выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты единицы дополнительной продукции:J(x) = y΄ (x) (МС = ТС`)2. Производная выступает как интенсивность изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора.3. Производительность труда есть производная объема выпускаемой продукции.4. Если y = f(x) – функция выпуска ресурса, то эластичность равна отношению предельной производительности ресурса к его средней производительности.Итак, экономический смысл производной заключается в следующем: производная является важнейшим инструментом экономического анализа, позволяющим углубить геометрический и математический смысл экономических понятий, а также выразить ряд экономических законов с помощью математических формул. С ее помощью решаются важнейшие экономические задачи. На практике производная служит очень хорошим инструментом при решении задач оптимизационного характера: на производительность труда, эластичность спроса и др. Из этого следует вывод, что производная играет важную роль в экономике. Задачи, решаемые с помощью производной, широко используются в производстве. Экономическое приложение производной помогает как экономистам и бизнесменам, так и обычным гражданам в распоряжении бюджетом.В связи с чем, полагаю, вполне обоснованно в ЕГЭ по математике профильного уровня с 2015 года была введена задача №17 экономического содержания, которая по своей сложности находится на одном уровне с заданиями на параметры и теорию чисел.
Заключение
Работая над научной статьёй, я убедилсь в важности изучения темы Производная, ее роли в исследовании различных процессов науки и техники, социальных процессов, в возможности конструирования по реальным событиям математические модели, и решать текущие задачи. Я пришел к выводу, что производная очень важна в экономике. С её помощью решаются сложные экономические задачи. На практике производная служит очень хорошим инструментом при решении задач оптимизационного характера: на производительность труда, эластичность спроса и других. Производная является важнейшим инструментом экономического анализа, позволяющим углубить геометрический и математический смысл экономических понятий, а также выразить ряд экономических законов с помощью математических формул. Моя гипотеза была полностью подтверждена. Кроме того, я постарался применить полученные в ходе работы знания в практике, в частности, при решении различных задач экономического характера, распространить полученный мною опыт.
Список используемых источников
Кочержова Е.Н., Боташева Л.Р., Цыплакова О.Н. РОЛЬ ПРОИЗВОДНОЙ В ЭКОНОМИКЕ // Современные наукоемкие технологии. – 2013. – № 6. – С. 72-74;Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни. С. М. Никольский и др. М., Просвещение, 2016.Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. 11 класс. М. К. Потапов и др. М. Просвещение, 2017.В. Л. Клюшин, Высшая математика для экономистов, учебное пособие, Москва, ИНФРА-М, 2009г.Вологжанинов Д.Д., Зеркаль Ф.А. ОПТИМИЗАЦИЯ ПРИБЫЛИ ТОРГОВОЙ ФИРМЫ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ // Молодежный научный форум: Общественные и экономические науки: электр. сб. ст. по мат. XIX междунар. студ. науч.-практ. конф. № 12(19). URL: https://nauchforum.ru/archive/MNF_social/12(19)КИМ по математике, профильный уровень.Кочержова Е.Н., Боташева Л.Р., Цыплакова О.Н. РОЛЬ ПРОИЗВОДНОЙ В ЭКОНОМИКЕ // Современные наукоемкие технологии. – 2013. – № 6. – С. 72-74;Интернет – ресурсыШелматов И. Н ., Искакова А.М. Применение производных при решении задач и значение производной в экономике// ИТОГИ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ: ИЗОБРЕТЕНИЯ, МЕТОДИКИ, ИННОВАЦИИ Сборник материалов VI международной научно-практической конференции. Научный центр "Олимп". – 2015.Экономико-математические методы и модели: учебное пособие/ кол. авторов; под ред. С.И. Макарова.-2-е изд., перераб. и доп.-М.: КНОРУС, 2007. – 240с.